第02讲 3.1.2函数的表示法（知识清单+13类热点题型讲练+分层强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（人教A版2019必修第一册）

第02讲 3.1.2函数的表示法 课程标准 学习目标 ①了解函数的三种表示方法及特点； ②掌握求函数解析式的常用方法 ③了解与认识分段函数及其定义域 ④会用分析法与图象法表示分段函数，并能掌握分段函数的相关性质. 通过本节课的学习，熟练掌握函数的三种表示方法，会求函数的解析式，掌握分段函数的解析法与图象法的表示方法与性质. 知识点01：函数的表示法 1、解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系. 2、列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系. 3、图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系. 优点 缺点 联系 解析法 ①简明、全面的概括了变量之间的关系； ②可以通过解析式求出在定义域内任意自变量所对应的函数值； ③便于利用解析式研究函数的性质； ①并不是所有的函数都有解析式； ②不能直观地观察到函数的变化规律； 解析法、图象法、列表法各有各的优缺点，面对实际情境时，我们要根据不同的需要选择恰当的方法表示函数． 图象法 ①能直观、形象地表示自变量的变化情况及相适应的函数值的变化趋势； ②可以直接应用图象来研究函数的性质； ①并不是所有的函数都能画出图象； ②不能精确地求出某一自变量相应的函数值； 列表法 ①不需要计算就可以直接看出与自变量的值对应的函数值； ①不够全面，只能表示自变量取较少的有限值的对应关系； ②不能明显地展示出因变量随自变量变化的规律； 知识点02：求函数解析式 1、待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数，反比例等），可用待定系数法． 2、换元法：主要用于解决已知这类复合函数的解析式，求函数的解析式的问题，在使用换元法时特别注意，换元必换范围. 3、配凑法：由已知条件，可将改写成关于的表达式， 4、方程组（消去）法：主要解决已知与、、……的方程，求解析式。 【即学即练1】（23-24高二下·天津滨海新·阶段练习）（1）已知函数，求函数的解析式. （2）已知是二次函数，且，求的解析式. （3）已知函数满足，求的解析式 知识点03：分段函数 对于函数，若自变量在定义域内的在不同范围取值时，函数的对应关系也不相同，则称函数叫分段函数． 注：(1)分段函数是一个函数，只是自变量在不同范围取值时，函数的对应关系不相同； （2）在书写时要指明各段函数自变量的取值范围； （3）分段函数的定义域是所以自变量取值区间的并集． 【即学即练2】（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知函数，则 . 知识点04：函数的图象 1、函数图象的平移变换（左“+”右“-”；上“+”下“-”） ① ② ③ ④ 注：左右平移只能单独一个加或者减，注意当前系数不为1,需将系数提取到外面. 2、函数图象的对称变换 ①的图象的图象； ②的图象的图象； ③的图象的图象； 3、函数图象的翻折变换（绝对值变换） ①的图象的图象； （口诀；以轴为界，保留轴上方的图象；将轴下方的图象翻折到轴上方） ②的图象的图象. （口诀；以轴为界，去掉轴左侧的图象，保留轴右侧的图象；将轴右侧图象翻折到轴左侧；本质是个偶函数） 【即学即练3】（23-24高一上·全国·课前预习）作出下列函数的图象. (1)． 题型01函数的三种表示法的应用 【典例1】（23-24高一上·湖南·期中）已知函数的对应关系如表所示，函数的图象是如图所示，则的值为（    ） 1 2 3 4 3 -1      A．-1 B．0 C．3 D．4 【典例2】（23-24高一下·河北石家庄·阶段练习）已知函数分别由右表给出：满足的x的集合是 . x 1 2 3 x 1 2 3 1 3 1 3 2 1 【变式1】（多选）（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）某工厂8年来某产品产量与时间的函数关系如图，则以下说法中正确的是（    ） A．前2年的产品产量增长速度越来越快 B．前2年的产品产量增长速度越来越慢 C．第2年后，这种产品停止生产 D．第2年后，这种产品产量保持不变 【变式2】（23-24高一上·全国·课后作业）函数的图象如图所示，则其解析式为 ． 【变式3】（23-24高一上·广东深圳·阶段练习）已知函数和分别由下表给出： 1 2 3 4 5 1 4 9 16 25 2 3 4 5 6 1 3 2 4 5 则 ． 题型02待定系数法求函数的解析式 【典例1】（23-24高一上·云南昭通·阶段练习）（1）若二次函数满足，且图象过原点，求的解析式; （2）已知是一次函数，且满足，求的解析式. 【典例2】（23-24高一上·甘肃兰州·期中）已知是一次函数，若，则的解析式为 . 【变式1】（23-24高三·全国）若二次函数满足，且，则的表达式为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高一上·河南郑州·阶段练习）（1）已知为二次函数，且 ，求函数的解析式； 题型03换元法求函数的解析式 【典例1】（23-24高一上·山东淄博·期中）（1）已知，求函数的解析式； 【典例2】（22-23高一上·安徽芜湖·阶段练习）（1）已知，求的解析式； 【变式1】（23-24高一上·甘肃金昌·期末）（1）已知，求函数的解析式； 题型04配凑法求函数的解析式 【典例1】（22-23高三·全国·对口高考）（1）已知，求； 【典例2】（23-24高一上·重庆涪陵·阶段练习）若，则 【变式1】（23-24高一上·四川达州·阶段练习）已知，求的解析式． 题型05方程组（消去）法求函数的解析式 【典例1】（23-24高一上·甘肃金昌·期末）已知，求函数的解析式； 【典例2】（23-24高一上·广东佛山·期中）根据下列条件，求的解析式． (1)已知满足． 【变式1】（23-24高一上·四川成都·期中）（1）已知，求的解析式． 题型06求分段函数的值 【典例1】（23-24高一上·北京·期中）设，则=（    ） A．3 B．5 C．-1 D．1 【典例2】（23-24高一上·湖北恩施·期末）设函数，则 . 【变式1】（23-24高一上·广东·期末）已知函数，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式2】（23-24高一上·黑龙江绥化·期末）设函数，则 题型07根据分段函数的值求参数 【典例1】（22-23高一上·天津西青·期末）已知函数．若．则实数（    ） A． B．1 C． D．2 【典例2】（2024·陕西·模拟预测）已知，若，则 ． 【变式1】（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）设函数，若，则（     ） A． B． C．或 D．或 【变式2】（23-24高一上·山东青岛·期中）设函数，若，则实数 ； 题型08分段函数的值域或最值问题 【典例1】（23-24高一上·江苏连云港·期中）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（多选）（23-24高一上·江苏连云港·期中）定义为中最大值，设，则的函数值可以取（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【典例3】（23-24高一上·广东广州·期中）已知函数，则的最小值是 ． 【变式1】（23-24高一上·云南保山·期中）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高一上·福建·期中）定义若函数，则的最大值为 ；若在区间上的值域为，则的最大值为 ． 【变式3】（23-24高一上·山西运城·期中）已知函数. (1)画出函数的图象并写出它的值域； (2)若，求x的取值范围. 题型09解分段不等式 【典例1】（2024·北京东城·二模）设函数，则 ，不等式的解集是 . 【典例2】（23-24高一上·山西朔州·阶段练习）已知函数,若，则的取值范围是 . 【变式1】（23-24高一下·浙江·阶段练习）定义表示中的最小者，设函数，若，则x的取值范围是 ． 【变式2】（2024·全国·模拟预测）已知函数，则不等式的解集是 . 【变式3】（23-24高一上·浙江·期中）已知函数若，则的取值范围为 . 题型10函数图象识别 【典例1】（23-24高一上·重庆·期中）函数的图象可能是（    ） A．    B．   C． D．   【典例2】（22-23高一上·云南德宏·期中）函数的图象是（    ） A．   B．   C．   D．   【变式1】（23-24高一上·贵州遵义·阶段练习）函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高一上·陕西西安·期中）函数的图象是（        ） A． B． C． D． 题型11画出具体函数图象 【典例1】（23-24高一上·福建厦门·阶段练习）已知函数. (1)写出的分段函数形式的解析式； (2)画出函数的图象； (3)当时，求实数的取值范围. 【典例2】（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）设函数 (1)将函数写成分段函数并画出函数的图像； (2)求的值； (3)求不等式的解集. 【变式1】（23-24高一上·甘肃武威·期中）已知函数.作出函数的图像，并根据图像写出函数的值域.    【变式2】（23-24高一上·江西赣州·期末）设函数． (1)在平面直角坐标系中画出它的图象； (2)解不等式． 题型12根据实际问题做出函数图象 【典例1】（2024·海南省直辖县级单位·三模）小李在如图所示的跑道（其中左、右两边分别是两个半圆）上匀速跑步，他从点处出发，沿箭头方向经过点、、返回到点，共用时秒，他的同桌小陈在固定点位置观察小李跑步的过程，设小李跑步的时间为（单位：秒），他与同桌小陈间的距离为（单位：米），若，则的图象大致为（    ）    A．   B．   C．   D．   【典例2】（23-24高三·全国·对口高考）如图，点在边长为1的正方形上运动，设点为的中点，当点沿运动时，点经过的路程设为，面积设为，则函数的图象只可能是下图中的（    ）    A．   B．   C．   D．   【变式1】（2024·广东佛山·模拟预测）如图，点在边长为1的正方形边上运动，是的中点，当点沿运动时，点经过的路程与的面积的函数的图象的形状大致是（    ） A． B． C． D． E．均不是 【变式2】（23-24高一上·湖南郴州·阶段练习）直角梯形如图，直线左边截得面积的图象大致是（    ） A． B． C．D． 题型13根据图象选择解析式 【典例1】（23-24高一上·天津滨海新·期中）我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休”.在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征.下面的图象对应的函数可能是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高一上·浙江嘉兴·期中）已知某函数的部分图象如图所示，则下列函数解析式符合该图象特征的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2024·福建三明）若函数的大致图象如图所示，则的解析式可能是（    ） A． B． C． D． A夯实基础 B能力提升 C新定义题型 A夯实基础 一、单选题 1．（23-24高一上·北京·期中）已知函数 则（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·湖南长沙·期末）已知函数分别由下表给出：则的值是（    ） 1 2 3 1 3 1 3 2 1 A．1 B．2 C．3 D．1和2 3．（23-24高一上·福建三明·期末）函数若，则实数的取值是（    ） A．3 B． C．3或 D．5或 4．（23-24高二下·安徽·阶段练习）函数的定义域为R，对于任意实数x，y，都有，则的值不可能是（    ） A．-2 B． C．1 D．2 5．（2024·广东佛山·二模）如图，是边长为2的正三角形，记位于直线（）左侧的图形的面积为．则函数的大致图象是（    ）    A．       B．     C．     D．     6．（2024高三·全国·专题练习）对于实数，规定表示不大于的最大整数，那么不等式成立的的范围是（　　） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·河南开封·期中）已知函数的定义域为，且满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一上·重庆北碚·期末）设函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（22-23高一上·重庆万州·期中）已知函数，若，则实数的值为（   ） A． B． C． D．1 10．（23-24高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）若函数的值域为，则的可能取值为（    ） A． B． C． D．0 三、填空题 11．（2024高三·全国·专题练习）已知为二次函数且，，则 ． 12．（23-24高二下·天津滨海新·阶段练习）给定函数，，对于，用表示，中的较小者，记为，则的最大值为 . 四、解答题 13．（23-24高一上·广东潮州·期中）已知函数. (1)求，的值； (2)若，求实数的值. 14．（23-24高一上·河南濮阳·阶段练习）已知函数. (1)画出函数的图象； (2)当时，求实数的取值范围， B能力提升 1．（2024高三·全国·专题练习）设，定义符号函数，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·江西九江·期末）已知定义在上的函数，满足，且，则（    ） A．1 B．11 C．12 D．1024 3．（23-24高一上·安徽阜阳·期中）已知函数，若值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·陕西汉中·期末）设集合，，函数，已知实数，且，则的取值范围为 . C新定义题型 1．（2024高三下·全国·专题练习）若正整数，只有1为公约数，则称，互质.对于正整数，是小于或等于的正整数中与互质的数的个数，函数以其首位研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如：，，，则下列说法正确的序号是 ． ①； ②； ③； ④，是正整数． 2．（23-24高一上·上海闵行·期末）已知函数与的定义域均为，若对任意的都有成立，则称函数是函数在上的“L函数”. (1)若，判断函数是否是函数在上的“函数”，并说明理由； (2)若，函数是函数在上的“函数”，求实数的取值范围； (3)若，函数是函数在上的“函数”，且，求证：对任意的都有. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 3.1.2函数的表示法 课程标准 学习目标 ①了解函数的三种表示方法及特点； ②掌握求函数解析式的常用方法 ③了解与认识分段函数及其定义域 ④会用分析法与图象法表示分段函数，并能掌握分段函数的相关性质. 通过本节课的学习，熟练掌握函数的三种表示方法，会求函数的解析式，掌握分段函数的解析法与图象法的表示方法与性质. 知识点01：函数的表示法 1、解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系. 2、列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系. 3、图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系. 优点 缺点 联系 解析法 ①简明、全面的概括了变量之间的关系； ②可以通过解析式求出在定义域内任意自变量所对应的函数值； ③便于利用解析式研究函数的性质； ①并不是所有的函数都有解析式； ②不能直观地观察到函数的变化规律； 解析法、图象法、列表法各有各的优缺点，面对实际情境时，我们要根据不同的需要选择恰当的方法表示函数． 图象法 ①能直观、形象地表示自变量的变化情况及相适应的函数值的变化趋势； ②可以直接应用图象来研究函数的性质； ①并不是所有的函数都能画出图象； ②不能精确地求出某一自变量相应的函数值； 列表法 ①不需要计算就可以直接看出与自变量的值对应的函数值； ①不够全面，只能表示自变量取较少的有限值的对应关系； ②不能明显地展示出因变量随自变量变化的规律； 知识点02：求函数解析式 1、待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数，反比例等），可用待定系数法． 2、换元法：主要用于解决已知这类复合函数的解析式，求函数的解析式的问题，在使用换元法时特别注意，换元必换范围. 3、配凑法：由已知条件，可将改写成关于的表达式， 4、方程组（消去）法：主要解决已知与、、……的方程，求解析式。 【即学即练1】（23-24高二下·天津滨海新·阶段练习）（1）已知函数，求函数的解析式. （2）已知是二次函数，且，求的解析式. （3）已知函数满足，求的解析式 【答案】（1）；（2）；（3）. 【分析】（1）令，使用换元法可得； （2）设，根据多项式相等列方程组求出系数即可； （3）用代替，联立两个方程求解可得. 【详解】（1）令，则， 所以， 即. （2）设， 则 ， 又， 所以，解得， 所以. （3）因为①， 所以②， 得，所以. 知识点03：分段函数 对于函数，若自变量在定义域内的在不同范围取值时，函数的对应关系也不相同，则称函数叫分段函数． 注：(1)分段函数是一个函数，只是自变量在不同范围取值时，函数的对应关系不相同； （2）在书写时要指明各段函数自变量的取值范围； （3）分段函数的定义域是所以自变量取值区间的并集． 【即学即练2】（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知函数，则 . 【答案】/ 【分析】根据分段函数解析式直接求解即可. 【详解】. 故答案为： 知识点04：函数的图象 1、函数图象的平移变换（左“+”右“-”；上“+”下“-”） ① ② ③ ④ 注：左右平移只能单独一个加或者减，注意当前系数不为1,需将系数提取到外面. 2、函数图象的对称变换 ①的图象的图象； ②的图象的图象； ③的图象的图象； 3、函数图象的翻折变换（绝对值变换） ①的图象的图象； （口诀；以轴为界，保留轴上方的图象；将轴下方的图象翻折到轴上方） ②的图象的图象. （口诀；以轴为界，去掉轴左侧的图象，保留轴右侧的图象；将轴右侧图象翻折到轴左侧；本质是个偶函数） 【即学即练3】（23-24高一上·全国·课前预习）作出下列函数的图象. (1)． 【答案(1)图象见解析 【分析】（1）先作的图象，保留轴上方的图象，再把轴下方的图象对称翻到轴上方．再把它向上平移1个单位，即得到的图象 【详解】（1）先作的图象，保留轴上方的图象，再把轴下方的图象对称翻到轴上方．再把它向上平移1个单位，即得到的图象，如下图所示． 题型01函数的三种表示法的应用 【典例1】（23-24高一上·湖南·期中）已知函数的对应关系如表所示，函数的图象是如图所示，则的值为（    ） 1 2 3 4 3 -1      A．-1 B．0 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据函数的定义及图表计算即可. 【详解】由图象可知，而由表格可知，所以. 故选：A 【典例2】（23-24高一下·河北石家庄·阶段练习）已知函数分别由右表给出：满足的x的集合是 . x 1 2 3 x 1 2 3 1 3 1 3 2 1 【答案】 【分析】分别计算出时，与的值，比较后得到答案. 【详解】，故，满足要求， ，故，不满足要求， ，故，满足要求， 所以满足的的集合为. 故答案为： 【变式1】（多选）（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）某工厂8年来某产品产量与时间的函数关系如图，则以下说法中正确的是（    ） A．前2年的产品产量增长速度越来越快 B．前2年的产品产量增长速度越来越慢 C．第2年后，这种产品停止生产 D．第2年后，这种产品产量保持不变 【答案】AD 【分析】根据给定的年产量与时间的函数关系图，结合函数的性质，即可求解. 【详解】根据题意，根据给定的年产量与时间的函数关系图， 可得：前2年的产品产量增长速度越来越快，所以A正确，B不正确； 第2年后，这种产品的年产量保持不变，所以C错误，D正确. 故选：AD. 【变式2】（23-24高一上·全国·课后作业）函数的图象如图所示，则其解析式为 ． 【答案】 【分析】分，与三种情况，求出解析式，得到答案. 【详解】当时，设，又图象过点，故， ∴； 当时，；当时，. 综上，. 故答案为： 【变式3】（23-24高一上·广东深圳·阶段练习）已知函数和分别由下表给出： 1 2 3 4 5 1 4 9 16 25 2 3 4 5 6 1 3 2 4 5 则 ． 【答案】2 【分析】利用给定列表，直接计算函数值即可. 【详解】依题意，，所以. 故答案为：2 题型02待定系数法求函数的解析式 【典例1】（23-24高一上·云南昭通·阶段练习）（1）若二次函数满足，且图象过原点，求的解析式; （2）已知是一次函数，且满足，求的解析式. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据待定系数法即可求解， （2）根据待定系数法即可求解. 【详解】解：（1）设 , , 且图象过原点, 解得 （2）设 ， 则, , 即 不论为何值都成立, 解得 【典例2】（23-24高一上·甘肃兰州·期中）已知是一次函数，若，则的解析式为 . 【答案】或 【分析】设出函数的解析式，利用待定系数法求解即得. 【详解】依题意，设，于是， 而，因此，解得或， 所以的解析式为或. 故答案为：或 【变式1】（23-24高三·全国）若二次函数满足，且，则的表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，，根据得到，再根据得到，，从而得到函数的解析式. 【详解】设，， ∵，则， 又∵， 令，则，∴，即，， 令，则，，即，， ∴，，. 故选：D. 【变式2】（23-24高一上·河南郑州·阶段练习）（1）已知为二次函数，且 ，求函数的解析式； 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）设二次函数解析式，将分别代入化简计算，再用恒等思想既可计算得出结论； 【详解】（1）设 ， 则有： ， 所以 ， 所以 ， 所以 . 题型03换元法求函数的解析式 【典例1】（23-24高一上·山东淄博·期中）（1）已知，求函数的解析式； 【答案】（1），（2） 【分析】（1）用换元法即可求得解析式； 【详解】（1）设，， ， ，， ，. 【典例2】（22-23高一上·安徽芜湖·阶段练习）（1）已知，求的解析式； 【答案】（1）； 【分析】（1）根据题意利用换元法运算求解，注意变量的范围； 【详解】（1）由，令，则， 所以， 故的解析式为； 【变式1】（23-24高一上·甘肃金昌·期末）（1）已知，求函数的解析式； 【答案】（1）； 【分析】（1）利用换元法求解即可； 【详解】（1）设，则，，即， 所以， 所以. 题型04配凑法求函数的解析式 【典例1】（22-23高三·全国·对口高考）（1）已知，求； 【答案】（1）或; 【分析】（1）将函数变形为，利用凑配法求解析式； 【详解】 因为当时，当时， 所以或. 【典例2】（23-24高一上·重庆涪陵·阶段练习）若，则 【答案】 【分析】通过配凑法即可得到答案. 【详解】由题意，，则. 故答案为：. 【变式1】（23-24高一上·四川达州·阶段练习）已知，求的解析式． 【答案】 【分析】【详解】因为，所以． 题型05方程组（消去）法求函数的解析式 【典例1】（23-24高一上·甘肃金昌·期末）已知，求函数的解析式； 【答案】； 【分析】（1）利用换元法求解即可；（2）利用待定系数法求解即可；（3）利用方程组法求解即可. 【详解】因为，① 所以，② ②①，得，所以. 【典例2】（23-24高一上·广东佛山·期中）根据下列条件，求的解析式． (1)已知满足． 【答案】(1) 【详解】（1）在①中，令替换得②， 由②得③， 将③代入①得， 所以./ 【变式1】（23-24高一上·四川成都·期中）（1）已知，求的解析式． 【答案】（1）， 【详解】（1）由已知①，， 则②， 所以①②得，， 所以，. 题型06求分段函数的值 【典例1】（23-24高一上·北京·期中）设，则=（    ） A．3 B．5 C．-1 D．1 【答案】A 【分析】根据分段函数的定义区间和解析式，求函数值. 【详解】，则. 故选：A 【典例2】（23-24高一上·湖北恩施·期末）设函数，则 . 【答案】 【分析】根据题意，结合函数的解析式，逐次计算，即可求解. 【详解】由函数， 则. 故答案为：. 【变式1】（23-24高一上·广东·期末）已知函数，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】根据分段函数解析式代入求解即可. 【详解】由已知，. 故选：. 【变式2】（23-24高一上·黑龙江绥化·期末）设函数，则 【答案】8 【分析】利用分段函数的性质求解. 【详解】解：因为， 所以， 故答案为：8 题型07根据分段函数的值求参数 【典例1】（22-23高一上·天津西青·期末）已知函数．若．则实数（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】代入分段函数依次计算即可. 【详解】结合题意可得： ， ， 解得：. 故选：B. 【典例2】（2024·陕西·模拟预测）已知，若，则 ． 【答案】3或 【分析】分和分别代入函数，解出即可. 【详解】当时，，解得； 当时，，解得． 故答案为：3或. 【变式1】（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）设函数，若，则（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据函数解析式，分类讨论，分别计算可得. 【详解】因为，又， 所以或， 解得或. 故选：C 【变式2】（23-24高一上·山东青岛·期中）设函数，若，则实数 ； 【答案】或 【分析】由分段函数定义域解相应方程可得答案. 【详解】当，； 当，. 故答案为： 或 . 题型08分段函数的值域或最值问题 【典例1】（23-24高一上·江苏连云港·期中）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，分别求得当时与当时，的值域，即可得到结果. 【详解】当时，， 则当时，，当时，，则； 当时，； 综上所述，. 故选：C 【典例2】（多选）（23-24高一上·江苏连云港·期中）定义为中最大值，设，则的函数值可以取（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】CD 【分析】分别作出，根据图象可得的值域，对比选项分析判断. 【详解】在同一坐标系内分别作出， 可得的图象（图中实线部分），    所以的值域为， 结合选项可知CD正确，AB错误. 故选：CD. 【典例3】（23-24高一上·广东广州·期中）已知函数，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】根据题意将函数的每个分段上的最小值求出后进行比较，从而求出最小值. 【详解】由题意知：当时，， 所以：当时，有最小值：. 当时，， 令，， 当时，有最大值：，且， 所以得：， 所以得：在时，有最小值：， 所以得：当时，有最小值：. 综上所述：的最小值为：. 故答案为：. 【变式1】（23-24高一上·云南保山·期中）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分段求解值域，再取并集即可. 【详解】当时，； 当时，； 当时，， 所以函数的值域为. 故选:A. 【变式2】（23-24高一上·福建·期中）定义若函数，则的最大值为 ；若在区间上的值域为，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】 先表示出的解析式，然后作出的图象，根据图象求解出最大值；结合图象分析值域为时定义域的情况，由此确定出的取值情况，即可求的最大值. 【详解】当时，解得或， 所以， 作出的图象如下图所示： 由图象可知：当时，有最大值，所以； 当时，解得或或； 当时，或， 由图象可知：当，时，的值域为，此时的最大值为； 当时，的值域为，此时， 由上可知，的最大值为， 故答案为：；. 【点睛】思路点睛：本题考查取最小值函数的应用，处理这一类函数时，图象法是首选方法，通过数形结合的思想能高效的将问题简化.常见的图象应用的命题角度有：（1）确定方程根的数目；（2）求参数范围；（3）解不等式；（4）研究函数性质. 【变式3】（23-24高一上·山西运城·期中）已知函数. (1)画出函数的图象并写出它的值域； (2)若，求x的取值范围. 【答案】(1)图象详见解析，值域为 (2) 【分析】（1）画出的图象，结合图象求得的值域. （2）通过解不等式求得的取值范围. 【详解】（1）画出的图象如下图所示， 由图可知的值域为 （2）由得或， 解得或， 所以不等式的解集为. 题型09解分段不等式 【典例1】（2024·北京东城·二模）设函数，则 ，不等式的解集是 . 【答案】 1 【分析】根据题中分段函数解析式直接代入即可求；分、和三种情况，结合题中函数解析式分析求解. 【详解】由题意可知：； 因为， 当，即时，则，可得，不合题意； 当，即时，可得， 解得或，所以； 当，即或时，则，可得，符合题意； 综上所述：不等式的解集是. 故答案为：1；. 【典例2】（23-24高一上·山西朔州·阶段练习）已知函数,若，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】讨论的范围，把不等式具体化，解出不等式即可. 【详解】根据分段函数的定义可知， 当时，不等式可化为， 解得； 当时，不等式可化为， 解得； 当，不等式可化为，无解. 综上知，的取值范围为 故答案为： 【变式1】（23-24高一下·浙江·阶段练习）定义表示中的最小者，设函数，若，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由定义表示中的最小者，分类讨论解不等式即可. 【详解】令，解得或， 令，解得， 当或时，，由，可得：，所以； 当时，，由，可得：或，所以. 综上，由，可得． 故答案为： 【变式2】（2024·全国·模拟预测）已知函数，则不等式的解集是 . 【答案】 【分析】分、两种情况解不等式，综合可得出原不等式的解集. 【详解】当时，由得，解得，此时，； 当时，由得，即，解得，此时，. 综上所述，不等式的解集是. 故答案为：. 【变式3】（23-24高一上·浙江·期中）已知函数若，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】分类讨论，按分类解不等式． 【详解】对于函数 （i）当，则，解得，故此时不存在； （ii）当，则， 解得或，故此时的取值范围为； （iii）当，则，即，其中，不等式恒成立，故此时的取值范围为. 综上，的取值范围为. 故答案为：． 题型10函数图象识别 【典例1】（23-24高一上·重庆·期中）函数的图象可能是（    ） A．    B．   C． D．   【答案】C 【分析】根据的定义域即可判断. 【详解】由于，得，所以的定义域是， 由此排除ABD选项，所以正确的选项为C. 故选：C. 【典例2】（22-23高一上·云南德宏·期中）函数的图象是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】法一：根据时的函数值即可得解. 法二：根据函数的图象是由函数先向右平移个单位长度，再向上平移一个单位长度得到的，即可得解. 【详解】法一：当时，，只有B选项符合. 法二：， 则函数的图象是由函数先向右平移个单位长度， 再向上平移一个单位长度得到的，只有B选项符合. 故选：B. 【变式1】（23-24高一上·贵州遵义·阶段练习）函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将函数转化为分段函数，再选择图象即可. 【详解】，结合图形可知C适合题意. 故选：C. 【变式2】（23-24高一上·陕西西安·期中）函数的图象是（        ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用函数定义域和图象上的点，排除法选择正确选项. 【详解】函数，定义域为，BD选项排除； 时，，A选项排除. 故选：C. 题型11画出具体函数图象 【典例1】（23-24高一上·福建厦门·阶段练习）已知函数. (1)写出的分段函数形式的解析式； (2)画出函数的图象； (3)当时，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）直接对函数化简即可； （2）分别画出和的图象，从而可得的图象； （3）分和两种情况解不等式即可. 【详解】（1）， （2）的图象如图所示， （3）当时，由，得，，得， 当时，由，得，，得， 综上，实数的取值范围为. 【典例2】（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）设函数 (1)将函数写成分段函数并画出函数的图像； (2)求的值； (3)求不等式的解集. 【答案】(1)，图像见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据绝对值的定义写出函数解析式，结合二次函数图象画出分段函数图像； （2）先求，再求即可； （3）换元，先解外层不等式，再利用图象法解内层不等式即可. 【详解】（1）当时，， 当时，， 所以，函数图像如图：      （2）因为，所以； （3）令，则，由图像及（2）知， 故只需解，当时，，解得或（舍去）， ，解得，所以或，由图可知当时，. 所以不等式的解集为. 【变式1】（23-24高一上·甘肃武威·期中）已知函数.作出函数的图像，并根据图像写出函数的值域.    【答案】图像见解析，值域为 【分析】把表示为分段函数，作出图像，由图像得函数的值域. 【详解】函数，图像如图所示，    由函数图像可知，当时，函数有最小值0，函数值域为. 【变式2】（23-24高一上·江西赣州·期末）设函数． (1)在平面直角坐标系中画出它的图象； (2)解不等式． 【答案】(1)答案见解析 (2)或或 【分析】（1）根据分段函数的性质，结合二次函数的图象即可求解， （2）结合函数图象即可求解. 【详解】（1） 的图象如下： （2）由，结合（1）可得 ①或②， 解①得或 解②得 故的解集为或或. 题型12根据实际问题做出函数图象 【典例1】（2024·海南省直辖县级单位·三模）小李在如图所示的跑道（其中左、右两边分别是两个半圆）上匀速跑步，他从点处出发，沿箭头方向经过点、、返回到点，共用时秒，他的同桌小陈在固定点位置观察小李跑步的过程，设小李跑步的时间为（单位：秒），他与同桌小陈间的距离为（单位：米），若，则的图象大致为（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】分析在整个运动过程中，小李和小陈之间的距离的变化，可得出合适的选项. 【详解】由题图知，小李从点到点的过程中，的值先增后减， 从点到点的过程中，的值先减后增， 从点到点的过程中，的值先增后减，从点到点的过程中，的值先减后增， 所以，在整个运动过程中，小李和小陈之间的距离（即的值）的增减性为：增、减、增、减、增，D选项合乎题意， 故选：D. 【典例2】（23-24高三·全国·对口高考）如图，点在边长为1的正方形上运动，设点为的中点，当点沿运动时，点经过的路程设为，面积设为，则函数的图象只可能是下图中的（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】先分点在上时，点在上时，点在上时求得函数，再利用函数的性质来判断. 【详解】当点在上时：； 当点在上时： ； 当点在上时：， 所以， 由函数解析式可知，有三段线段，又当点在上时是减函数，故符合题意的为A. 故选：A 【变式1】（2024·广东佛山·模拟预测）如图，点在边长为1的正方形边上运动，是的中点，当点沿运动时，点经过的路程与的面积的函数的图象的形状大致是（    ） A． B． C． D． E．均不是 【答案】A 【分析】 求出点在对应线段上时的解析式，结合图象判断即可得. 【详解】当点在上时，， 当点在上时， ， 当点在上时，， 其中A选项符合要求，B、C、D都不符合要求，故A正确. 故选：A. 【变式2】（23-24高一上·湖南郴州·阶段练习）直角梯形如图，直线左边截得面积的图象大致是（    ） A． B． C．D． 【答案】C 【分析】根据图形的面积求得的表达式，进而确定正确答案. 【详解】直线的方程为， 当，. 当时，. 所以， 对应的图象为C选项. 故选：C 题型13根据图象选择解析式 【典例1】（23-24高一上·天津滨海新·期中）我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休”.在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征.下面的图象对应的函数可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先由函数的定义域排除CD，再由时，排除A，即可得答案. 【详解】由图象可知，函数的定义域为， 因为的定义域为，所以排除C， 因为的定义域为，所以排除D， 因为当时，，所以排除A， 故选：B 【典例2】（23-24高一上·浙江嘉兴·期中）已知某函数的部分图象如图所示，则下列函数解析式符合该图象特征的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数图象的两条渐近线结合为正可得正确的选项. 【详解】对于，故其图象的渐近线为，， 而，结合图象可得，故A不符合； 对于，故其图象的渐近线为，， 而，结合图象可知D符合； 对于，因为，故其图象的渐近线为，， 结合图象可知B不符合； 对于，因为，故其图象的渐近线为，， 结合图象可知C不符合； 故选：D. 【变式1】（2024·福建三明）若函数的大致图象如图所示，则的解析式可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用排除法，取特殊值分析判断即可得答案 【详解】解：由图可知，当时，， 取，则对于B，，所以排除B，对于D，，所以排除D， 当时，对于A，，此函数是由向右平移1个单位，再向上平移1个单位，所以时，恒成立，而图中，当 时，可以小于1，所以排除A, 故选：C A夯实基础 B能力提升 C新定义题型 A夯实基础 一、单选题 1．（23-24高一上·北京·期中）已知函数 则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分段函数的定义求值． 【详解】由题意， 故选：B． 2．（23-24高一上·湖南长沙·期末）已知函数分别由下表给出：则的值是（    ） 1 2 3 1 3 1 3 2 1 A．1 B．2 C．3 D．1和2 【答案】C 【分析】根据表中自变量与函数值的对应关系，先求得，再求即得. 【详解】由表可知：，则. 故选：C. 3．（23-24高一上·福建三明·期末）函数若，则实数的取值是（    ） A．3 B． C．3或 D．5或 【答案】D 【分析】对于求解与分段函数有关的方程时，应分段考虑再合并. 【详解】当时，，解得：； 当时，，解得：； 即实数的取值是5或. 故选：D. 4．（23-24高二下·安徽·阶段练习）函数的定义域为R，对于任意实数x，y，都有，则的值不可能是（    ） A．-2 B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】采用“赋值法”为突破口，确定的取值范围，可得答案. 【详解】令，则，解得或 令，则， 所以 故BCD皆有可能． 故选：A 5．（2024·广东佛山·二模）如图，是边长为2的正三角形，记位于直线（）左侧的图形的面积为．则函数的大致图象是（    ）    A．       B．     C．     D．     【答案】A 【分析】结合图形，分类讨论与，求得的解析式，从而得解. 【详解】依题意，当时，可得直角三角形的两条直角边分别为， 从而可以求得， 当时，阴影部分可以看做大三角形减去一个小三角形， 可求得， 所以， 从而可知选项A的图象满足题意. 故选：A. 6．（2024高三·全国·专题练习）对于实数，规定表示不大于的最大整数，那么不等式成立的的范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先解出不等式的解集可得，再根据的定义即可得. 【详解】由，解得； 又表示不大于的最大整数，所以． 所以的范围是 故选：C． 7．（23-24高一上·河南开封·期中）已知函数的定义域为，且满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，可得，然后化简求得，利用基本不等式即可求解. 【详解】由①， 令，②， 由得， 所以， 当且仅当，即时，取等号， 所以的最小值为. 故选：D 8．（23-24高一上·重庆北碚·期末）设函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，先分段讨论求得，再分段讨论求得，从而得解. 【详解】因为， 令，则可化为， 当时，，即，解得（负值舍去），即， 当时，，即， 而，故上述不等式无解； 综上，， 若，则，解得（负值舍去）； 若，则，解得（舍去）； 综上：. 故选：A. 二、多选题 9．（22-23高一上·重庆万州·期中）已知函数，若，则实数的值为（   ） A． B． C． D．1 【答案】CD 【分析】分和两种情况进行讨论即可 【详解】因为函数，， 所以当时，，解得； 当时，，即解得， 故选：CD 10．（23-24高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）若函数的值域为，则的可能取值为（    ） A． B． C． D．0 【答案】BCD 【分析】对进行分类讨论，结合判别式求得的取值范围. 【详解】①时，，值域为，满足题意； ②时，若的值域为， 则； 综上，． 故选：BCD 三、填空题 11．（2024高三·全国·专题练习）已知为二次函数且，，则 ． 【答案】 【分析】根据条件设二次函数为，代入条件求解即可． 【详解】设， ， ， ． 又， . 故答案为： 12．（23-24高二下·天津滨海新·阶段练习）给定函数，，对于，用表示，中的较小者，记为，则的最大值为 . 【答案】3 【分析】作出函数的图象，根据定义作出的图象，求出交点B的坐标即可得解. 【详解】作出函数的图象如图： 根据定义可得的图象如图： 由解得或，得， 所以的最大值为3. 故答案为：3 四、解答题 13．（23-24高一上·广东潮州·期中）已知函数. (1)求，的值； (2)若，求实数的值. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用函数对应关系代入求解即可； （2）令，讨论的范围解方程求解得答案. 【详解】（1）因为，且，所以. 因为，所以. （2）依题意，令， 若，则，解得， 与矛盾，舍去； 若，则，解得， 故，解得，所以实数的值为； 综上所述：的值为. 14．（23-24高一上·河南濮阳·阶段练习）已知函数. (1)画出函数的图象； (2)当时，求实数的取值范围， 【答案】(1)作图见解析； (2) 【分析】（1）根据函数解析式直接画出函数图象； （2）结合函数解析式分段得到不等式组，解得即可. 【详解】（1）因为，所以的图象如图所示： （2）由题可得或或， 解得或或， 所以实数的取值范围为 B能力提升 1．（2024高三·全国·专题练习）设，定义符号函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】去掉绝对值符号，结合函数新定义逐项比较即可求解. 【详解】对于选项A，，，故，故A不正确； 对于选项B，，，故，故B不正确； 对于选项C， ，，故，故C不正确； 对于选项D，，，故，故D正确. 故选：D. 2．（23-24高一上·江西九江·期末）已知定义在上的函数，满足，且，则（    ） A．1 B．11 C．12 D．1024 【答案】C 【分析】令，求得，令，求得，继而进一步计算即可. 【详解】根据题中的条件，令，则， 所以，令， 则，又， 所以, 则， 故选:C. 3．（23-24高一上·安徽阜阳·期中）已知函数，若值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分段函数的解析式、的值域、的图象来求得的取值范围. 【详解】当时，， 值域为当时，由，得， 由，得，解得或， 作出的图象如下图所示， 由图象可得：，即实数的取值范围是. 故选：C. 4．（23-24高一上·陕西汉中·期末）设集合，，函数，已知实数，且，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据分段函数解析式，函数的定义域、值域等知识求得正确答案. 【详解】依题意，， ，即，所以， 所以， 依题意， 而，所以的取值范围为. 故答案为： 【点睛】对于含有多层函数符合的函数的取值范围问题，可从最里面的函数符号来进行求解，如本题中的，则可从来开始求解.求解函数值域的问题，可根据函数的定义域和解析式的结构，选择恰当的方法来进行求解. C新定义题型 1．（2024高三下·全国·专题练习）若正整数，只有1为公约数，则称，互质.对于正整数，是小于或等于的正整数中与互质的数的个数，函数以其首位研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如：，，，则下列说法正确的序号是 ． ①； ②； ③； ④，是正整数． 【答案】①③ 【分析】利用欧拉函数定义求解判断； 【详解】∵小于或等于的正整数中与互质的正整数为，，，， 小于或等于的正整数中与互质的正整数为，，，， ∴，故①正确； ∵当时，，故②不正确； ∵小于或等于的正整数中与互质的正整数为，，，， ，，，，，，，，，，，，共有个， ∴，故③正确； ∵当时，，故④不正确． 故答案为：①③ 2．（23-24高一上·上海闵行·期末）已知函数与的定义域均为，若对任意的都有成立，则称函数是函数在上的“L函数”. (1)若，判断函数是否是函数在上的“函数”，并说明理由； (2)若，函数是函数在上的“函数”，求实数的取值范围； (3)若，函数是函数在上的“函数”，且，求证：对任意的都有. 【答案】(1)函数是函数在上的“L函数”，理由见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据“L函数”定义判断即可； （2）根据数是函数在上的“L函数”得到对任意的恒成立，据此计算的取值范围即可； （3）对分和两种情况，根据“L函数”定义证明即可. 【详解】（1）对任意的，且， . 显然有， 所以函数是函数在上的“L函数”； （2）因为函数是函数在上的“L函数”， 所以对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 化简得对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 即，解得； （3）对于，不妨设， （i）当时， 因为函数是函数在上的“L函数”， 所以. 此时成立； （ii）当时，由得， 因为，函数是函数在上的“函数， 所以 ， 此时也成立， 综上，恒成立. 【点睛】关键点睛：本题关键在于对“L函数”定义的正确理解，据此计算即可. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$