第01讲 3.1.1函数的概念（知识清单+15类热点题型讲练+分层强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（人教A版2019必修第一册）

第01讲 3.1.1函数的概念 课程标准 学习目标 ①函数的概念； ②了解函数的三要素； ③掌握简单函数的定义域； ④掌握求函数的值； ⑤掌握区间的写法. 通过本节课的学习，掌握函数概念及函数的三要素，会判断同一函数，会求简单函数的定义域及值域. 知识点01：函数的概念 1、初中学习的函数的传统定义 设在一个变化的过程中，有两个变量和，如果给定了一个值，相应地就有唯一确定的一个值与之对应，那么我们就称是的函数，其中是自变量，是因变量.它们描述的是两个变量之间的依赖关系. 2、函数的近代定义 一般地，设，是非空的实数集，如果对于集合中的任意一个数，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数(function)，记作，.其中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．显然，值域是集合的子集. 函数的四个特征： ①非空性：，必须为非空数集（注意不仅非空，还要是数集），定义域或值域为空集的函数是不存在的. ②任意性：即定义域中的每一个元素都有函数值. ③单值性：每一个自变量有且仅有唯一的函数值与之对应（可以多对一，不能一对多）. ④方向性：函数是一个从定义域到值域的对应关系，如果改变这个对应方向，那么新的对应所确定 的关系就不一定是函数关系. 【即学即练1】（23-24高一上·河南濮阳·阶段练习）下图中可表示函数的图象是（    ） A．B．C． D． 知识点02：函数的三要素 1、定义域：函数的定义域是自变量的取值范围． 2、对应关系：对应关系是函数的核心，它是对自变量实施“对应操作”的“程序”或者“方法”． 3、值域：与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域(range). 【即学即练2】（23-24高一上·广东韶关·阶段练习）函数的定义域是 . 知识点03：函数相等 同一函数：只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时,这两个函数才相等,即是同一个函数. 【即学即练3】（2024高二下·浙江·学业考试）下列各组函数表示同一函数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．与 知识点04：区间的概念 1区间的概念 设 ， 是实数，且，满足的实数的全体，叫做闭区间， 记作，即，。如图：， 叫做区间的端点．在数轴上表示一个区间时，若区间包括端点，则端点用实心点表示；若区间不包括端点，则端点用空心点表示． 集合 区间 2含有无穷大的表示 全体实数也可用区间表示为，符号“”读作“正无穷大”，“”读作“负无穷大”，即。 集合 区间 【即学即练4】（23-24高一上·全国·课后作业）把下列数集用区间表示： (1)； (2)； (3)； (4)或. 题型01函数关系的判断 【典例1】（23-24高一上·安徽淮南·期中）设，给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的是（    ） A．   B．   C．   D．   【典例2】（多选）（23-24高一上·海南海口·阶段练习）以下与的关系中，其中是关于的函数的有（    ） A． B．   C． D． 【变式1】（多选）（23-24高一上·江苏徐州·期中）下列图形不可能是函数图象的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（多选）（23-24高一上·重庆永川·开学考试）下列坐标系中的曲线或直线，能作为函数的图象的是（   ） A． B． C． D． 题型02集合与区间的转化 【典例1】（23-24高一·全国·课堂例题）用区间表示下列数集： （1） ； （2） ； （3）且 ； （4） ； （5） ． 【典例2】（23-24高一·全国·课后作业）试用区间表示下列实数集 （1）； （2）； （3）； （4）； 【变式1】（2024高一·全国·专题练习）用区间表示下列集合： （1）用区间表示为 ； （2）用区间表示为 . 【变式2】（23-24高一·全国·课堂例题）用区间表示下列集合： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型03同一个函数 【典例1】（23-24高一上·浙江杭州·期中）下列函数中，与函数是同一函数的是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高一上·安徽·期末）中文“函数”一词，最早是由近代数学家李善兰翻译的，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，下列选项中是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式1】（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）下列各组函数是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式2】（多选）（23-24高一下·山东淄博·期中）下列各组函数是同一函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 题型04求函数值 【典例1】（23-24高一上·四川遂宁·期末）已知函数，则（    ） A． B．2 C． D．1 【典例2】（23-24高一上·黑龙江·期中）已知函数，则 ． 【变式1】（23-24高一上·广东韶关·阶段练习）若，的值为 . 【变式2】（23-24高一上·浙江温州·期末）已知函数，则 ． 题型05根据函数值求自变量或参数 【典例1】（23-24高二下·山东烟台·阶段练习）已知函数，且，则实数的值等于（    ） A． B． C．2 D． 【典例2】（23-24高一上·辽宁大连·期中）已知，，则m等于（    ） A．0 B． C． D． 【变式1】（23-24高一上·海南海口·期中）已知函数，且，则 ． 【变式2】（23-24高三上·四川·阶段练习）已知函数，若，则 ． 题型06函数的定义域（具体函数的定义域） 【典例1】（23-24高一上·浙江杭州·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高一上·北京·期中）函数的定义域为 . 【变式1】（23-24高一下·广东韶关·阶段练习）函数的定义域是 .（结果写成集合或区间形式，否则不得分） 【变式2】（23-24高一上·北京·期中）函数的定义域是 ． 题型07函数的定义域（抽象函数的定义域） 【典例1】（23-24高一上·重庆璧山·阶段练习）已知函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高一上·江西南昌·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（      ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高一上·福建莆田·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高一上·安徽六安·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 . 【变式3】（23-24高一上·广东惠州·阶段练习）若函数的定义域为，则函数的定义域为 ． 题型08函数的定义域（复合函数的定义域） 【典例1】（2024·河北衡水）已知函数的定义域为R，则实数k的取值范围是 A． B． C． D． 【典例2】（23-24高一上·河北衡水·阶段练习）已知函数. (1)当时，求函数的定义域； (2)若函数的定义域为，求实数的取值范围. 【变式1】（23-24高二上·福建泉州·期中）已知函数的定义域,则实数的取值范围为 A． B． C． D． 【变式2】（23-24高二下·辽宁阜新·期末）函数的定义域是 . 【变式3】（23-24高二上·广东清远·期末）设函数． (1)当时，求函数的定义域； (2)若函数的定义域为，求实数的取值范围． 题型09函数的定义域（实际问题中的定义域） 【典例1】（23-24高一上·四川成都·期中）一枚炮弹发射后，经过落到地面击中目标．炮弹的射高为，且炮弹距地面的高度（单位：）与时间（单位：）的关系为．该函数定义域为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高一上·贵州遵义·期中）将长度为2的一根铁丝折成长为的矩形，矩形的面积关于的函数关系式是，则函数的定义域为 A． B． C． D． 【变式1】（23-24高一·全国·单元测试）已知等腰三角形的周长为，底边长是腰长的函数，则函数的定义域为( ) A． B． C． D． 【变式2】（23-24高一上·江苏淮安·期末）如图所示，在一张边长为20cm的正方形铁皮的4个角上，各剪去一个边长是cm的小正方形，折成一个容积是的无盖长方体铁盒，试写出用表示的函数关系式，并指出它的定义域． 题型10函数的值域（常见（一次，二次，反比例）函数的值域） 【典例1】（23-24高一上·广西南宁·阶段练习）函数的值域为 ． 【典例2】（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）求下列函数的值域． (1)， (2) 【变式1】（23-24高一上·北京·期中）函数，的值域是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高一上·云南丽江·阶段练习）函数在的值域为 . 【变式3】（2024高一上·全国·专题练习）求下列函数的值域． (1)； (2)； 题型11函数的值域（根式型函数的值域） 【典例1】（2024高一上·安徽·竞赛）已知函数，则的值域为 . 【典例2】（23-24高一上·河北邢台·阶段练习）函数的最大值为 . 【变式1】（23-24高一上·福建莆田·期中）已知函数，则的值域是 ． 【变式2】（23-24高一上·江苏南京·期中）函数的值域是 . 题型12函数的值域（分式型函数的值域） 【典例1】（23-24高一上·广西南宁·期中）若，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高一上·四川宜宾·期中）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2024高一上·全国·专题练习）求函数的值域 【变式2】（2024高三·全国·专题练习）求函数的值域. 【变式3】（2024高一·全国·专题练习）求函数的值域. 题型13重点方法之换元法求值域 【典例1】（23-24高三上·山西吕梁·阶段练习）函数的最大值为（    ） A．4 B．2 C． D． 【典例2】（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）求下列函数的值域： (1) 【变式1】（23-24高一上·全国·课后作业）求下列函数的值域． (1)； 题型14重点方法之分离常数法求值域 【典例1】（23-24高一上·天津红桥·期中）已知函数 ，则函数的值域为 . 【典例2】（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）若，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高一上·河南南阳·阶段练习）函数的值域为 . 题型15数学思想方法（数形结合的思想方法） 【典例1】（2024高一·全国·专题练习）函数的值域是 . 【典例2】（23-24高一·全国·课后作业）作出下列函数的图象，并根据图象求其值域： (1)，； (2)，． 【变式1】（23-24高一上·上海·阶段练习）函数的值域为 A夯实基础 B能力提升 C新定义题型 A夯实基础 一、单选题 1．（23-24高一上·广东韶关·阶段练习）设,如下选项是从M到N的四种应对方式,其中是M到N的函数是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·重庆北碚·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）函数，则的定义域是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·河南商丘·期中）下列四组函数中，表示同一个函数的一组是（    ） A．， B．， C．， D．， 5．（23-24高一上·广东广州·期中）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 6．（2024·江苏南通·二模）已知对于任意，都有，且，则（    ） A．4 B．8 C．64 D．256 7．（23-24高一上·四川广安·期中）若函数的值域为，则实数m的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 8．（23-24高一上·陕西西安·期中）已知函数的定义域为R，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 二、多选题 9．（23-24高一上·山东临沂·期中）下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 10．（23-24高一上·四川眉山·期中）若函数的定义域为，值域为，则可以取（    ） A． B． C． D． 三、填空题 11．（23-24高一上·贵州·阶段练习）已知函数，则 . 12．（2024高三·上海·专题练习）若函数的值域为，则实数a的值为 ． 四、解答题 13．（2023高一上·全国·专题练习）求下列函数的值域． (1)； (2). 14．（23-24高一上·云南昆明·期中）已知，． (1)当时，求的解集； (2)若的解集为，求实数的值； (3)当时，求关于的不等式的解集. B能力提升 1．（23-24高一上·安徽芜湖·期中）定义：称为区间的长度，若函数的定义域与值域区间长度相等，则的值为（    ） A． B． C．4或 D．与的取值有关 2．（23-24高一上·广东深圳·期中）若函数的定义域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·辽宁沈阳）定义两种运算：，，则函数的解析式为（    ） A．， B．， C．， D．， 4．（23-24高一上·重庆南岸·阶段练习）高斯是德国著名的数学家，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，､已知函数，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． C新定义题型 1．（23-24高一上·辽宁大连·阶段练习）设函数在其图象上横坐标与纵坐标相等的点称为这个函数的稳定点． (1)求函数的稳定点； (2)若函数有两个关于原点对称的稳定点A，B，求a的值及函数的稳定点； (3)已知函数，．若，函数恒有两个相异的稳定点，求a的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 3.1.1函数的概念 课程标准 学习目标 ①函数的概念； ②了解函数的三要素； ③掌握简单函数的定义域； ④掌握求函数的值； ⑤掌握区间的写法. 通过本节课的学习，掌握函数概念及函数的三要素，会判断同一函数，会求简单函数的定义域及值域. 知识点01：函数的概念 1、初中学习的函数的传统定义 设在一个变化的过程中，有两个变量和，如果给定了一个值，相应地就有唯一确定的一个值与之对应，那么我们就称是的函数，其中是自变量，是因变量.它们描述的是两个变量之间的依赖关系. 2、函数的近代定义 一般地，设，是非空的实数集，如果对于集合中的任意一个数，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数(function)，记作，.其中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．显然，值域是集合的子集. 函数的四个特征： ①非空性：，必须为非空数集（注意不仅非空，还要是数集），定义域或值域为空集的函数是不存在的. ②任意性：即定义域中的每一个元素都有函数值. ③单值性：每一个自变量有且仅有唯一的函数值与之对应（可以多对一，不能一对多）. ④方向性：函数是一个从定义域到值域的对应关系，如果改变这个对应方向，那么新的对应所确定 的关系就不一定是函数关系. 【即学即练1】（23-24高一上·河南濮阳·阶段练习）下图中可表示函数的图象是（    ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的定义即可得解. 【详解】根据函数的定义可知一个只能对应一个值，故答案为B. 故选：B. 知识点02：函数的三要素 1、定义域：函数的定义域是自变量的取值范围． 2、对应关系：对应关系是函数的核心，它是对自变量实施“对应操作”的“程序”或者“方法”． 3、值域：与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域(range). 【即学即练2】（23-24高一上·广东韶关·阶段练习）函数的定义域是 . 【答案】 【分析】保证分母不为零，被开方式大于等于零即可. 【详解】由题意得，解得且， ∴函数的定义域为. 故答案为：. 知识点03：函数相等 同一函数：只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时,这两个函数才相等,即是同一个函数. 【即学即练3】（2024高二下·浙江·学业考试）下列各组函数表示同一函数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．与 【答案】C 【分析】逐项判断两个函数的定义域、表达式和值域是否相同即可. 【详解】对于A，的定义域为，的定义域为，定义域不同，不是同一函数，故A错误； 对于B，，，表达式不同，不是同一函数，故B错误； 对于C，两函数的定义域，表达式和值域均相同，是同一函数，故C正确； 对于D，的定义域为，的定义域为，定义域不同，不是同一函数，故D错误. 故选：C. 知识点04：区间的概念 1区间的概念 设 ， 是实数，且，满足的实数的全体，叫做闭区间， 记作，即，。如图：， 叫做区间的端点．在数轴上表示一个区间时，若区间包括端点，则端点用实心点表示；若区间不包括端点，则端点用空心点表示． 集合 区间 2含有无穷大的表示 全体实数也可用区间表示为，符号“”读作“正无穷大”，“”读作“负无穷大”，即。 集合 区间 【即学即练4】（23-24高一上·全国·课后作业）把下列数集用区间表示： (1)； (2)； (3)； (4)或. 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】利用区间的概念表示出各个集合. 【详解】（1） （2） （3） （4）或 题型01函数关系的判断 【典例1】（23-24高一上·安徽淮南·期中）设，给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】逐项分析定义域和值域的对应情况，由此判断出结果. 【详解】对于A：定义域为，定义域是的真子集，故错误； 对于B：定义域为，值域为，且图像也满足函数定义，故正确； 对于C：不满足“从定义域中任意取一个有唯一的与之对应”，故错误； 对于D：定义域为，定义域是的真子集，故错误； 故选：B. 【典例2】（多选）（23-24高一上·海南海口·阶段练习）以下与的关系中，其中是关于的函数的有（    ） A． B．   C． D． 【答案】ABD 【分析】由函数的定义进行判断. 【详解】根据函数定义，A选项，对于任意的，只有唯一确定的与其对应，满足函数定义，A正确； B选项，对于任意的，均由唯一确定的与其对应，满足函数定义，B正确； C选项，对于，有和与其对应，不是函数，C错误； D选项，对于任意的，均由唯一确定的与其对应，满足函数定义，D正确. 故选：ABD 【变式1】（多选）（23-24高一上·江苏徐州·期中）下列图形不可能是函数图象的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据函数的定义判断即可 【详解】选项B、C：对于定义域内每一个x都有唯一的y与之相对应，满足函数关系，故B、C正确； 选项A、D：存在一个x有两个y与之对应，不满足函数对应的唯一性，故A、D错误； 故选：AD 【变式2】（多选）（23-24高一上·重庆永川·开学考试）下列坐标系中的曲线或直线，能作为函数的图象的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据函数的定义确定正确答案. 【详解】根据函数的定义可知，一个有唯一的与其对应， 所以AC选项错误，BD选项正确. 故选：BD 题型02集合与区间的转化 【典例1】（23-24高一·全国·课堂例题）用区间表示下列数集： （1） ； （2） ； （3）且 ； （4） ； （5） ． 【答案】 【分析】根据区间的定义逐个分析可得结果. 【详解】； ； 且； ； . 故答案为：；；；；. 【典例2】（23-24高一·全国·课后作业）试用区间表示下列实数集 （1）； （2）； （3）； （4）； 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）. 【分析】（1）、（2）直接写出区间即可；（3）画数轴，由集合的交集运算可得结果；（4）由集合的并集运算可得结果. 【详解】（1） （2） （3） （4） 【点睛】本题考查了区间的表示和集合的交集、并集运算，考查了计算能力，属于基础题目. 【变式1】（2024高一·全国·专题练习）用区间表示下列集合： （1）用区间表示为 ； （2）用区间表示为 . 【答案】 【分析】根据区间与集合的关系即可得到答案. 【详解】根据区间与集合的关系可得结果. 故答案为：；. 【变式2】（23-24高一·全国·课堂例题）用区间表示下列集合： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据区间的定义即可逐一求解. 【详解】（1） （2） （3） （4） 题型03同一个函数 【典例1】（23-24高一上·浙江杭州·期中）下列函数中，与函数是同一函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同一函数满足定义域与解析式相同判断即可. 【详解】对A，的定义域为，的定义域为，故A错误； 对B，，故B错误； 对C，的定义域为，故C错误； 对D，，故D正确. 故选：D 【典例2】（23-24高一上·安徽·期末）中文“函数”一词，最早是由近代数学家李善兰翻译的，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，下列选项中是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】利用同一函数的定义，逐项分析判断即得. 【详解】对于A，函数的定义域为，函数的定义域为，两个函数定义域不同，A不是； 对于B，函数的定义域为，函数的定义域 为或，两个函数定义域不同，B不是； 对于C，函数的定义域为，函数的定义域为，且， 两个函数定义域相同，对应法则也相同，C是； 对于D，函数的定义域为，函数的定义域为，两个函数定义域不同，D不是. 故选：C 【变式1】（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）下列各组函数是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】A 【分析】 根据相同函数的定义，依次判断选项即可. 【详解】A：函数和的定义域为R，解析式一样，故A符合题意； B：函数与的定义域为R，解析式不一样，故B不符合题意； C：函数的定义域为，的定义域为R，解析式一样，故C不符合题意； D：函数的定义域为，的定义域为R，解析式不一样，故D不符合题意. 故选：A 【变式2】（多选）（23-24高一下·山东淄博·期中）下列各组函数是同一函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】BD 【分析】结合同一函数的定义，判断两个函数的定义域与对应关系是否一致即可得. 【详解】对A：对的定义域为，则， 故与不是同一函数，故A错误； 对B：，， 故与是同一函数，故B正确； 对C：定义域为，即，定义域为， 即或，故与不是同一函数，故C错误； 对D：与定义域与对应关系都相同， 故与是同一函数，故D正确. 故选：BD. 题型04求函数值 【典例1】（23-24高一上·四川遂宁·期末）已知函数，则（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】D 【分析】根据解析式求函数值. 【详解】, 故选:D. 【典例2】（23-24高一上·黑龙江·期中）已知函数，则 ． 【答案】1 【分析】根据解析式直接计算函数值即可. 【详解】因为， 所以. 故答案为：1 【变式1】（23-24高一上·广东韶关·阶段练习）若，的值为 . 【答案】 【分析】代入及即可得. 【详解】因为， 则. 故答案为：. 【变式2】（23-24高一上·浙江温州·期末）已知函数，则 ． 【答案】 【分析】求出，即可得出的值. 【详解】由题意， 在中，，， 故答案为：. 题型05根据函数值求自变量或参数 【典例1】（23-24高二下·山东烟台·阶段练习）已知函数，且，则实数的值等于（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】利用抽象函数定义域求法求解即可； 【详解】令，解得或由此解得， 故选：D 【典例2】（23-24高一上·辽宁大连·期中）已知，，则m等于（    ） A．0 B． C． D． 【答案】A 【分析】令求出的值即得解. 【详解】令， 所以. 故选：A 【变式1】（23-24高一上·海南海口·期中）已知函数，且，则 ． 【答案】/0.5 【分析】应用赋值法已知函数值求自变量即可. 【详解】令 . 故答案为：. 【变式2】（23-24高三上·四川·阶段练习）已知函数，若，则 ． 【答案】3 【分析】运用换元法和代入法进行求解即可. 【详解】令，得，则． 因为，所以，解得． 故答案为：3 题型06函数的定义域（具体函数的定义域） 【典例1】（23-24高一上·浙江杭州·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据根式、分式的意义列式求解即可. 【详解】令，解得且， 所以函数的定义域为. 故选：B. 【典例2】（23-24高一上·北京·期中）函数的定义域为 . 【答案】 【分析】根据分母不为零和偶次根号下非负可得函数的定义域. 【详解】由题意得： ， ． 故答案为： 【变式1】（23-24高一下·广东韶关·阶段练习）函数的定义域是 .（结果写成集合或区间形式，否则不得分） 【答案】 【分析】根据二次根式有意义及分母不为0列不等式计算即可. 【详解】由题意知，，解得且， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 【变式2】（23-24高一上·北京·期中）函数的定义域是 ． 【答案】且 【分析】依据条件列出不等式组求解即可. 【详解】要使函数有意义， 只需，解得：且. 故答案为：且 题型07函数的定义域（抽象函数的定义域） 【典例1】（23-24高一上·重庆璧山·阶段练习）已知函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据抽象函数定义域之间的关系进行求解即可． 【详解】由于函数的定义域为，故，解得， 即函数的定义域为. 故选：A. 【典例2】（23-24高一上·江西南昌·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由函数的定义域求出的定义域，再由可得答案. 【详解】因为函数的定义域为，所以满足，即， 又函数有意义，得，解得， 所以函数的定义域为. 故选：C 【变式1】（23-24高一上·福建莆田·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的定义域求出的定义域，结合，求出函数的定义域. 【详解】因为函数的定义域为，则，， 所以的定义域为， 又因为，即， 所以函数的定义域为， 故选：C 【变式2】（23-24高一上·安徽六安·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 . 【答案】 【分析】根据复合函数的定义域的性质求解即可. 【详解】因为的定义域为， 所以满足， 又函数有意义， 所以， 所以函数的定义域为， 故答案为： 【变式3】（23-24高一上·广东惠州·阶段练习）若函数的定义域为，则函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】求出函数的定义域，再列出不等式组求解即可得答案. 【详解】解：因为的定义域为， 即，所以， 即函数的定义域为， 所以的定义域为不等式组的解集， 解此不等式组得：， 所以函数的定义域为. 故答案为： 题型08函数的定义域（复合函数的定义域） 【典例1】（2024·河北衡水）已知函数的定义域为R，则实数k的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】本题考查函数的定义域及恒成立问题的解法. 因为函数的定义域为R，则恒成立. ①当时，函数是开口向下的抛物线，不符合题意； ②当时，函数恒满足，符合题意 ③当时，函数满足恒成立的条件是，即，解得. 由①②③知实数k的取值范围是 正确答案为C 【典例2】（23-24高一上·河北衡水·阶段练习）已知函数. (1)当时，求函数的定义域； (2)若函数的定义域为，求实数的取值范围. 【答案】(1)或； (2). 【分析】（1）把代入后，要使函数有意义使得根式下不小于0，解不等式得答案； （2）分和求解，当时转化为不等式组求解的范围得答案. 【详解】（1）当时，， 由题意得，即，即或， ∴函数的定义域为或. （2）设， 由题意得对一切都成立. 当时，满足题意； 当时，必须满足，即，解得，即， 综上：，即. 【变式1】（23-24高二上·福建泉州·期中）已知函数的定义域,则实数的取值范围为 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】试题分析：由函数定义域可知对于任意实数恒成立，当时恒成立，当时需满足，解不等式得实数的取值范围为 考点：二次函数性质与函数定义域 【变式2】（23-24高二下·辽宁阜新·期末）函数的定义域是 . 【答案】 【分析】由，解不等式求得的定义域. 【详解】根据函数，可得，即， 求得，可得函数的定义域为. 故答案为： 【变式3】（23-24高二上·广东清远·期末）设函数． (1)当时，求函数的定义域； (2)若函数的定义域为，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）令代入即可求解； （2）对分类讨论，根据一元二次不等式的相关性质即可求解, 【详解】（1）依题意， 满足函数有意义，则：， 当时，则， 解得：，故函数的定义域为：. （2）若函数定义域为， 则对任意的，恒成立 当时，显然成立. 当时，由，解得：. 综上：实数的取值范围. 题型09函数的定义域（实际问题中的定义域） 【典例1】（23-24高一上·四川成都·期中）一枚炮弹发射后，经过落到地面击中目标．炮弹的射高为，且炮弹距地面的高度（单位：）与时间（单位：）的关系为．该函数定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据实际意义分析即可. 【详解】由题意可知，炮弹发射后共飞行了， 所以，即函数的定义域为. 故选：C 【典例2】（23-24高一上·贵州遵义·期中）将长度为2的一根铁丝折成长为的矩形，矩形的面积关于的函数关系式是，则函数的定义域为 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意易得，从而得到结果. 【详解】将长度为2的一根铁丝折成长为的矩形，则宽为， ∴，解得 ∴函数的定义域为 故选D 【点睛】定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数的定义域为，则函数的定义域由不等式求出. 【变式1】（23-24高一·全国·单元测试）已知等腰三角形的周长为，底边长是腰长的函数，则函数的定义域为( ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用两边之和大于第三边及边长为正数可得函数的定义域. 【详解】由题设有， 由得，故选A. 【点睛】本题考查应用题中函数的定义域，注意根据实际意义和几何图形的性质得到自变量的取值范围. 【变式2】（23-24高一上·江苏淮安·期末）如图所示，在一张边长为20cm的正方形铁皮的4个角上，各剪去一个边长是cm的小正方形，折成一个容积是的无盖长方体铁盒，试写出用表示的函数关系式，并指出它的定义域． 【答案】，定义域为 【详解】试题分析:根据题意确定长方体的长宽高,再根据长方体体积公式得函数关系式,最后根据实际意义得定义域 试题解析: , ,所以定义域为 题型10函数的值域（常见（一次，二次，反比例）函数的值域） 【典例1】（23-24高一上·广西南宁·阶段练习）函数的值域为 ． 【答案】 【分析】根据二次函数的性质，求得函数的最大值和最小值，即可求解. 【详解】由函数， 根据二次函数的性质，当时，得到；当时，得到， 所以函数在的值域为. 故答案为：. 【典例2】（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）求下列函数的值域． (1)， (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接求值即可； （2）分离常数得即可讨论值域 【详解】（1）∵，∴； （2），∵，∴ 【变式1】（23-24高一上·北京·期中）函数，的值域是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出函数的对称轴，结合二次函数的单调性和对称性进行求解即可． 【详解】，对称轴为，， 函数在上单调递减，在上单调递增， ，由对称性可得， 所以函数的值域是. 故选：D. 【变式2】（23-24高一上·云南丽江·阶段练习）函数在的值域为 . 【答案】 【分析】根据不等式性质运算求解即可. 【详解】因为，则，可得， 所以在的值域为. 故答案为：. 【变式3】（2024高一上·全国·专题练习）求下列函数的值域． (1)； (2)； 【答案】(1) (2)且 【分析】（1）利用函数的单调性可求出最值，可求得值域； （2）将函数式分离常数，结合反比例函数的值域可得解. 【详解】（1）解：由，可得其对称轴为， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以当时，函数取得最小值，最小值为， 又由当时，；当时，， 所以函数的最大值为， 所以函数在区间上的值域为. （2）解：由函数， 可得其定义域为，则，即， 所以函数的值域为且. 题型11函数的值域（根式型函数的值域） 【典例1】（2024高一上·安徽·竞赛）已知函数，则的值域为 . 【答案】 【分析】换元后，转化为二次函数问题，求出值域. 【详解】令，则，， ， 当时，取的最小值，最小值为， 则的值域为. 故答案为： 【典例2】（23-24高一上·河北邢台·阶段练习）函数的最大值为 . 【答案】8 【分析】换元法求解函数最值. 【详解】令，则， 则， 故当时，取得最大值，最大值为8. 故答案为：8 【变式1】（23-24高一上·福建莆田·期中）已知函数，则的值域是 ． 【答案】 【分析】令，则且，再令，，结合二次函数的性质求出的值域，即可得解. 【详解】函数的定义域为， 令，则且， 令，，则， 所以，当且仅当时取等号，即， 所以. 故答案为： 【变式2】（23-24高一上·江苏南京·期中）函数的值域是 . 【答案】 【分析】利用换元法，转化为二次函数求值域. 【详解】换元法： 令，则， 所以， 所以当时，函数单调递增，当时，函数单调递减， 所以， 所以函数的值域为，即函数的值域是， 故答案为: . 题型12函数的值域（分式型函数的值域） 【典例1】（23-24高一上·广西南宁·期中）若，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将函数变现为，结合反比例函数的性质计算可得. 【详解】因为，又因为，所以， 所以，所以，所以函数，的值域为． 故选：A． 【典例2】（23-24高一上·四川宜宾·期中）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对函数分离常数，借助基本不等式，分三种情况讨论即可. 【详解】结合题意：， 当时，； 当时，，当且仅当， 即，原式取得最小值； 另一方面，因为，所以，即; 当时，， 当且仅当，即，原式取得最大值; 另一方面因为， 令，则，所以，所以 所以，即; 综上所述：函数的值域是. 故选：A. 【变式1】（2024高一上·全国·专题练习）求函数的值域 【答案】 【分析】 分离常数后，结合函数定义域即可求解. 【详解】由题意，函数可化为， 可得定义域为，所以， 可得， 所以值域为． 【变式2】（2024高三·全国·专题练习）求函数的值域. 【答案】 【分析】由变形得，当时，此方程无解；当时，利用方程有实根即列不等式求解值域. 【详解】由变形得， 当时，此方程无解； 当时，因为，所以， 解得，又，所以， 所以函数的值域为. 【变式3】（2024高一·全国·专题练习）求函数的值域. 【答案】 【分析】求出函数定义域，再利用判别式法求出函数值域即可. 【详解】显然恒成立，即原函数定义域为， 由，得， 当时，，符合题意； 当时，由，得恒有实数根， 因此，解得且， 所以函数的值域为. 题型13重点方法之换元法求值域 【典例1】（23-24高三上·山西吕梁·阶段练习）函数的最大值为（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】令（），通过求出的范围，则配方后即可求得最大值. 【详解】由解析式易知的定义域为， 令（）， 所以，则， 由，可知， ，所以，则， 所以（）， 则， 所以的最大值为. 故选：C. 【典例2】（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）求下列函数的值域： (1) 【答案】(1) 【分析】（1）由换元法结合二次函数的性质得出值域. 【详解】（1）设, 则. ， 对称轴为，由二次函数的性质可知，故值域为. 【变式1】（23-24高一上·全国·课后作业）求下列函数的值域． (1)； 【答案】(1) 【分析】（1）利用换元法求值域； 【详解】（1）令，则，且， 所以（）．故函数的值域． 题型14重点方法之分离常数法求值域 【典例1】（23-24高一上·天津红桥·期中）已知函数 ，则函数的值域为 . 【答案】 【分析】分离常数法求函数的值域. 【详解】定义域为， 因为，所以，即， 所以的值域为. 故答案为：. 【典例2】（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）若，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分离常数后求其值域即可. 【详解】， 因为，所以，所以， 所以，所以函数的值域为. 故选：A. 【变式1】（23-24高一上·河南南阳·阶段练习）函数的值域为 . 【答案】,, 【分析】将原函数变成，因为，所以，这样就求得了函数的值域； 【详解】函数的定义域为,, ∵； 又，； 函数的值域为,,. 故答案为：,,. 题型15数学思想方法（数形结合的思想方法） 【典例1】（2024高一·全国·专题练习）函数的值域是 . 【答案】 【分析】由函数解析式判断二次函数的开口方向和对称轴，画出图象，结合定义域得到值域即可. 【详解】由题意：函数，开口向上，对称轴， 画出函数如下， 函数在区间上的值域为. 故答案为： 【典例2】（23-24高一·全国·课后作业）作出下列函数的图象，并根据图象求其值域： (1)，； (2)，． 【答案】(1)图象见解析， (2)图象见解析， 【分析】（1）做出函数的图象结合图象可得答案； （2）做出函数的图象结合图象可得答案. 【详解】（1）该函数的图象如图所示，由图可知值域为； （2）作出函数，的图象，如图所示，由图象可知值域为. 【变式1】（23-24高一上·上海·阶段练习）函数的值域为 【答案】 【分析】设，求出新函数的定义域即可求出值域. 【详解】设，，所以， 由图象易知值域为. 故答案为：. A夯实基础 B能力提升 C新定义题型 A夯实基础 一、单选题 1．（23-24高一上·广东韶关·阶段练习）设,如下选项是从M到N的四种应对方式,其中是M到N的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由函数对应关系可得,对于集合M中的每个数,集合N中都有唯一且确定的数与之对应. 【详解】对于A,集合M中的3对应了集合N中的两个数,A错误; 对于B,集合M中的2对应了集合N中的两个数,B错误; 对于C,集合M中的每个数在集合N中都有唯一的数对应,C正确; 对于D,集合M中的3对应了集合N中的两个数,D错误, 故选:C. 2．（23-24高一上·重庆北碚·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由被开方数大于等于零求出定义域. 【详解】由已知可得， 所以定义域为. 故选：B 3．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）函数，则的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数定义域的定义直接求解即可. 【详解】由， 可得可得， 即定义域为， 令，则， 即的定义域为. 故选：C 4．（23-24高一上·河南商丘·期中）下列四组函数中，表示同一个函数的一组是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】由两个函数在定义域及对应关系相同时是同一个函数逐个分析判断. 【详解】对于A，显然的定义域为，的定义域为，两个函数的定义域不同，不是同一个函数； 对于B，与的对应关系不同，不是同一个函数； 对于C，，故与的定义域相同，对应关系也相同，是同一个函数； 对于D，显然，即的定义域为，而或，即的定义域为，两个函数的定义域不同，不是同一个函数. 故选：C. 5．（23-24高一上·广东广州·期中）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由二次函数的性质，即可得到结果. 【详解】因为函数的对称轴为， 则当时，， 当时，，即. 故选：B 6．（2024·江苏南通·二模）已知对于任意，都有，且，则（    ） A．4 B．8 C．64 D．256 【答案】D 【分析】由题意有，得，求值即可. 【详解】由，当时，有， 由，则有. 故选：D 7．（23-24高一上·四川广安·期中）若函数的值域为，则实数m的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意由二次函数值域利用判别式即可求得实数m的取值范围. 【详解】因为函数的值域为， 所以能取遍所有大于或等于零的实数， 即方程在实数范围内有解． 所以，解得． 故选：B． 8．（23-24高一上·陕西西安·期中）已知函数的定义域为R，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用题给条件列出关于的不等式，解之即可求得实数的取值范围. 【详解】由题意得对任意恒成立， 当时，不等式可化为，其解集不是R，不符合题意； 当时，由该不等式恒成立可得 ，解之得， 综上，实数的取值范围是 故选：A 二、多选题 9．（23-24高一上·山东临沂·期中）下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】AC 【分析】求出各选项中函数、的定义域，结合函数相等的定义逐项判断可得出合适的选项. 【详解】对于A选项，与，两个函数的定义域为，对应法则也一样，则A满足要求； 对于B选项，定义域为，函数的定义域为， 两个函数的定义域不同，不是同一函数，B不满足要求； 对于C选项，与，两个函数的定义域为， 对应法则也一样，C满足要求； 对于D选项，函数的定义域为， 函数的定义域为，这两个函数的定义域不相同，不是同一个函数，D不满足要求. 故选：AC. 10．（23-24高一上·四川眉山·期中）若函数的定义域为，值域为，则可以取（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】画出二次函数图象，结合对称轴和值域可判断取值范围，即可得出合适的选项. 【详解】的对称轴为，当时，， 令，解得或， 要使定义域为时，值域为，故. 故选：ABC. 三、填空题 11．（23-24高一上·贵州·阶段练习）已知函数，则 . 【答案】 【分析】先求，再求即可. 【详解】因为，所以. 故答案为：. 12．（2024高三·上海·专题练习）若函数的值域为，则实数a的值为 ． 【答案】2 【分析】分离常数得出，根据，即可得出该函数值域为，从而得出a的值． 【详解】由， ∵，∴， 又该函数的值域为， ∴． 故答案为：2． 四、解答题 13．（2023高一上·全国·专题练习）求下列函数的值域． (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用换元法，再根据二次函数相关性质即可求得结果； （2）先求得函数定义域，再求出二次函数最值即可求得其值域. 【详解】（1）令，所以， 即， 当时，， 即函数的值域为. （2）由题意得：，即， 所以函数定义域为， ， 由二次函数性质可得， 所以的值域为． 14．（23-24高一上·云南昆明·期中）已知，． (1)当时，求的解集； (2)若的解集为，求实数的值； (3)当时，求关于的不等式的解集. 【答案】(1) (2)4 (3)答案见解析 【分析】（1）代入直接运算求解即可； （2）由题意可知，且是方程的解，利用韦达定理运算求解； （3）由题意可得：，分类讨论两根大小分析求解. 【详解】（1）当时，由，即，解得， 所以的解集为. （2）由的解集为，可知，且是方程的解， 则，解得， 所以实数的值为4. （3）由题意可得：， 因为，令，解得或1，则有： 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为 B能力提升 1．（23-24高一上·安徽芜湖·期中）定义：称为区间的长度，若函数的定义域与值域区间长度相等，则的值为（    ） A． B． C．4或 D．与的取值有关 【答案】A 【分析】由值域结合题设条件确定定义域，从而得出的值. 【详解】函数的值域为，所以区间的长度为. 设的解集为，所以. 因为，且， 所以，解得. 故选：A 2．（23-24高一上·广东深圳·期中）若函数的定义域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意，问题转化为一次或者二次不等式恒正的问题，先检验一次不等式是否符合题意，对于二次不等式，联立二次项系数范围，判别式范围求解. 【详解】∵函数的定义域为，∴对任意实数恒成立. 若，不等式转化为：，显然成立； 若，要使对任意实数恒成立，则，解得，综上所述， 故选：A 3．（2024·辽宁沈阳）定义两种运算：，，则函数的解析式为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据已知的定义可化简得到，根据函数定义域的求法可求得，结合定义域再次化简函数解析式即可得到结果. 【详解】由题意知：， 由得：或，即定义域为， ，. 故选：A. 4．（23-24高一上·重庆南岸·阶段练习）高斯是德国著名的数学家，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，､已知函数，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】化简函数，用基本不等式求解最值. 【详解】显然，. 当时， ， 令， 当x>0时，，， 当且仅当，x=1时，等号成立； 当x<0时，，， 且.当且仅当，x=-1时，等号成立. 综上所述，的值域为 所以，根据高斯函数的定义，函数的值域是 故选：C. C新定义题型 1．（23-24高一上·辽宁大连·阶段练习）设函数在其图象上横坐标与纵坐标相等的点称为这个函数的稳定点． (1)求函数的稳定点； (2)若函数有两个关于原点对称的稳定点A，B，求a的值及函数的稳定点； (3)已知函数，．若，函数恒有两个相异的稳定点，求a的取值范围． 【答案】(1) (2)；，， (3) 【分析】（1）根据定义直接列出方程求解； （2）根据题意知方程有两个互为相反数的根，由根与系数关系求解即可； （3）根据题意，方程恒有两个不相等实数根，利用判别式恒成立求解即可. 【详解】（1）由题意可知，得，故函数的稳定点为 （2）设点是稳定点，则有即， 由题意知方程有两个根，且这两个根互为相反数．故，且， 解得． 得，则稳定点为， （3）对任意实数b，函数恒有两个相异的稳定点， 即恒有两个不相等实数根， 即有两不等实数根， 恒成立， 令，视作关于b的不等式恒成立， 所以，解得． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$