12.2 三角形全等的判定 讲义 2024-2025学年人教版 八年级数学上册

12.2 三角形全等的判定 ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ 1．三边分别相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS”． 2．两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”． 3．两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”． 4．两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”． 5．斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“HL”． 1．当三角形的三边确定后，其形状、大小也随之确定．这也是三角形具有稳定性的原因． 2．不能说“有两角和一边分别相等的两个三角形全等”，即满足“SSA”的两个三角形不一定全等，这是因为：假设这条边是两角的夹边，则根据角边角可知正确；假设一个三角形的一边是两角的夹边，而与另一个三角形相等的边是其中一等角的对边，则两个三角形不一定全等． 3．证三角形全等时，常见的隐含等角有： （1）公共角； （2）对顶角相等； （3）等角加（或减）等角仍得等角； （4）角平分线得两等角； （5）同角（或等角）的余角或补角相等； （6）平行线得同位角、内错角相等； （7）垂直定义得两角相等； （8）一些自然规律：“太阳光线可以看作是平行线”“光的入射角等于反射角”等也是常见的隐含条件． 【题型1】用边边边（SSS）证明三角形全等 （2023秋•龙岩期末）如图，在和中，，，则能说明的依据是　　例1 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据题目所给条件结合全等三角形的判定方法解答即可． 【解答】解：在和中， ， ． 故选：． ◄ 点拨 ► 1．有三个角对应相等的两个三角形不一定全等． 2．明确要证明全等的两个三角形，在书写两个三角形全等时，“≌”左边三角形的三边与“≌”右边三角形的三边的前后顺序要保持一致． 【变式1】　（2024春•碑林区校级期中）工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法是：如图在的边、上分别取，移动角尺，使角尺的两边相同的刻度分别与、重合，得到的平分线，做法中用到三角形全等的判定方法是　　 A． B． C． D． 【变式2】　（2023秋•漳州期末）某中学八年级同学在听了“天宫课堂”第三课后，组成了数学兴趣小组进行了设计伞的实践活动．康康所在的小组设计了截面如图所示的伞骨结构，当伞完全打开后，测得，，分别是，的中点，，那么的依据是　　 A． B． C． D． 【变式3】　（2023秋•邻水县期末）用直尺和圆规过直线外一点作已知直线的平行线，如图能得出的依据是　　 A． B． C． D． 1．【答案】 【分析】已知两三角形三边分别相等，可考虑证明三角形全等，从而证明角相等． 【解答】解：做法中用到的三角形全等的判定方法是 证明如下： 由题意得，， 在和中， ， 所以 故为的平分线． 故选：． 2．【答案】 【分析】由，分别是，的中点，得出；根据三边对应相等，证明三角形全等． 【解答】解：，分别是，的中点，， ， 在与中， ， ． 故选：． 3．【答案】 【分析】根据作图过程可根据判定三角形全等，利用全等三角形的性质得出． 【解答】解：如图， 根据作图过程可知， ，， ． 故选：． 【题型2】用角边角、角角边（ASA、AAS）证明三角形全等 （2022秋•林州市期末）如图，点，分别在线段，上，与相交于点，已知，现添加“”，则判定的直接依据是　　例2 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据全等三角形的判定定理解答即可． 【解答】解：在和中， ， ． 故选：． ◄ 点拨 ► “ASA”与“AAS”可相互转化：只要两个三角形的两组角分别相等，则其第三组角也相等，所以两角及一边分别对应相等的两个三角形一定全等． 【变式1】　（2024春•招远市期末）如图，已知，，则的依据是　　 A． B． C． D． 【变式2】　（2023秋•平山县期末）如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是　　 A． B． C． D． 【变式3】　（2023秋•太和县期末）如图，直角三角形被挡住了一部分，小明根据所学知识很快就另外画出了一个与原来完全一样的三角形，这两个三角形全等的依据是　　 A． B． C． D． 1．【答案】 【分析】根据全等三角形的判定定理求解即可． 【解答】解：在和中， ， ， 故选：． 2．【答案】 【分析】根据图象，三角形有两角和它们的夹边是完整的，所以可以根据“角边角”画出． 【解答】解：根据题意，三角形的两角和它们的夹边是完整的，所以可以利用“角边角”定理作出完全一样的三角形． 故选：． 3．【答案】 【分析】由图形可知三角形的两角和夹边，于是根据“”即可画出一个与原来完全样的三角形． 【解答】解：由图形可知三角形的两角和夹边， 两个三角形全等的依据是． 故选：． 【题型3】用边角边（SAS）证明三角形全等 （2023春•浦江县期末）如图，已知和，根据已知求证，则填入括号中的“▲”处正确的是　　例3 已知：，，且，． 求证： 证明：， 又，▲ A． B． C． D． 【答案】 【分析】由垂直的定义得到，而，得到，又，即可证明． 【解答】证明：，， ， 又， ， ， ． 故选：． ◄ 点拨 ► 1．此方法是证明两个三角形全等最常用的方法之一，应用时，可以从图形上直接观察到三个对应元素必须符合“两边夹角”，即“SAS”． 2．在书写时也要按照“边→角→边”的顺序排列条件，必须牢记“边边角”不能作为判定两个三角形全等的条件． 【变式1】　（2023秋•临湘市期中）如图，已知，平分，那么就可以证明，理由是　　 A． B． C． D． 【变式2】　（2022秋•峨边县期末）在和中，已知，，，，，，能证明的判定方式为　　 A． B． C． D． 【变式3】　（2023秋•乐陵市期末）如图，在平面直角坐标系中，的边，分别在轴，轴上，以原点为圆心、的长为半径作圆，交轴于点，以原点为圆心、的长为半径作圆，交轴于点，连接，不做其他计算，就可判定，其判定依据是　　 A． B． C． D． 1．【分析】根据角平分线定义求出，根据推出即可． 【解答】证明：理由是：平分， ， 在和中 ， 故选：． 2．【答案】 【分析】根据全等三角形的判定方法并结合所给条件可得答案． 【解答】解：，，，，，， ，，， 在和中， ， ． 故选：． 3．【答案】 【分析】根据已知条件两边，及两边的夹角是对顶角解答． 【解答】解：由题意得： 在和中， ， ． 故选：． 【题型4】用斜边、直角边（HL）证明直角三角形全等 （2023秋•沧县期中）如图，已知，，．则的理由是　　例4 A． B． C． D． 【答案】 【分析】利用直角三角形的判定方法进行判断． 【解答】证明：，， ， 在和中， ， ． 故选：． ◄ 点拨 ► 1．在用一般方法证明时，因为两个直角三角形中已具备一对直角相等的条件，故只需找另外两个条件即可，在实际证明中可根据条件灵活选用不同的方法． 2．已知两个直角三角形的一条直角边和一条斜边分别对应直角边和一条斜边分别对应相等，证明两直角三角形全等时，应用的判定定理是“HL”而不是“SSA”． 【变式1】　（2023秋•望城区期末）如图，与相交于点，，，不添加辅助线，判定的依据是　　 A． B． C． D． 【变式2】　（2023秋•凉州区期末）如图，已知，．则证明的理由是　　 A． B． C． D． 【变式3】　（2024春•莲湖区期中）如图，，，于点，于点．求证：． 1．【答案】 【分析】根据全等三角形的判定定理求解即可． 【解答】解：在和中， ， ， 故选：． 2．【答案】 【分析】利用全等三角形的判定定理进行分析即可． 【解答】解：， 在和中， ， ． 故选：． 3．【答案】证明见解析． 【分析】根据等式的性质得出，进而利用证明即可． 【解答】证明：， ， 即， 在与中， ， ． 【题型5】全等三角形的判定和性质的综合 （2024春•九龙坡区校级期中）如图，中，，延长到点，过点作于点，与交于点，若．例5 （1）求证：； （2）若，，求的长度． 【答案】（1）答案见解答过程； （2）2． 【分析】（1）证和全等即可得出结论； （2）根据，及（1）的结论可得，进而可判定和全等，从而得，再根据可得的长． 【解答】（1）证明：，， ， 在和中， ，，， ， ； （2）解：，由（1）可知：， ， 即， ，， ， 在和中， ，，， ， ， ， ． ◄ 点拨 ► 判定两个三角形全等常用的思路方法如下： 【变式1】　（2024春•临渭区期末）如图，，，垂足分别为、，、相交于点．如果，那么图中全等的直角三角形的对数是　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】　（2024春•驿城区期末）如图，已知，点，在线段上，与相交于点，且，．若，求的度数． 【变式3】　（2024春•山亭区期末）如图，点在线段上，，，，平分． （1）证明：； （2）若，，求的面积． 1．【答案】 【分析】全等的直角三角形共有3对，分别为、、；做题时要从已知条件开始结合图形利用全等的判定方法由易到难逐个寻找即可． 【解答】解：，， ， 在和中， ， ； ，， ， ， 在和中， ， ； ，， 在和中， ， ； 共有3对全等直角三角形， 故选：． 2．【答案】． 【分析】根据题意得出，再由全等三角形的判定和性质得出，结合图形及三角形内角和定理即可求解． 【解答】解：， ， ， 在和中， ， ， 在中，，， ， ， 在中，． 3． 【分析】（1）根据，可以得到，然后根据即可证明结论成立； （2）根据（1）中的结果和等腰三角形的性质，可以得到的长，，再根据三角形的面积计算公式即可计算出的面积． 【解答】（1）证明：， ， 在和中， ， ； （2）解：由（1）知， ， 又平分， ，， 垂直平分， ，． ， ， 即的面积是12． 【题型6】全等三角形的条件探究题 （2023秋•任丘市期末）如图，，添加下列条件，仍不能判定的是　　例6 A． B． C． D． 【答案】 【分析】利用，加上为公共角，然后根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断． 【解答】解：，， 当添加时，； 当添加时，不能判断； 当添加时，； 当添加时，． 故选：． ◄ 点拨 ► 此类题目的特点是已知条件不足无法证明两个三角形全等或解决相关的问题时，需要从所给的条件中选择适当的条件添加到已知条件中，从而完成证明过程．实际考察的是对三角形全等的判定条件的掌握和理解. 【变式1】　（2024•东阳市二模）如图，已知，添加下列条件，不能判定的是　　 A． B．平分 C．为的中点 D． 【变式2】　（2024春•利津县期末）如图，在与中，，，添加下列条件后，仍不能得到的是　　 A． B． C． D． 【变式3】　（2024春•东营区期末）如图，在和中，已知，还需要添加两个条件，才能使，不能添加的一组是　　 A．， B．， C．， D．， 1．【答案】 【分析】先由得到，加上为公共边，则根据全等三角形的判定方法可分别对各选项进行判断． 【解答】解：， ， 而， 当添加时，，则，所以，所以选项不符合题意； 当添加平分时，，不能判断，所以选项符合题意； 当添加为的中点时，，，则，所以，所以选项不符合题意； 当添加时，所以，所以选项不符合题意． 故选：． 2．【答案】 【分析】根据全等三角形的判定方法：．，，逐一判断即可解答． 【解答】解：、，，， ， 故不符合题意； 、， ， ， ，， ， 故不符合题意； 、，，， ， 故不符合题意； 、，，， 与不一定全等， 故符合题意； 故选：． 3．【分析】利用全等三角形的判定定理、、、进行分析即可． 【解答】解：、添加，可利用判定，故此选项不合题意； 、添加，可利用判定，故此选项不合题意； 、添加，不能判定，故此选项符合题意； 、添加，可利用判定，故此选项不合题意； 故选：． 【题型7】全等三角形的实际应用 （2023秋•鹤壁期末）打碎的一块三角形玻璃如图所示，现在要去玻璃店配一块完全一样的玻璃，最省事的方法是　　例7 A．带①②去 B．带②③去 C．带③④去 D．带②④去 【答案】 【分析】可以采用排除法进行分析从而确定最后的答案． 【解答】解：、带①②去，符合判定，选项符合题意； 、带②③去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不符合任何判定方法，选项不符合题意； 、带③④去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不符合任何判定方法，选项不符合题意； 、带②④去，仅保留了原三角形的两个角和部分边，不符合任何判定方法，选项不符合题意； 故选：． ◄ 点拨 ► 1．此类题目就是应用三角形全等的知识去解决一些生活中遇到的实际问题，例如测量河宽、开凿隧道等问题．一些无法直接测量的长度，我们可以在可测量的范围内选取恰当的点，构造出一对全等三角形，利用全等三角形的性质解决问题． 2．一般三角形全等的判定方法有“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”四种，切记满足“SSA”的两个三角形不一定全等． 【变式1】　（2024春•管城区校级期末）小明与爸妈在公园里荡秋千．如图，小明坐在秋千的起始位置处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的处接住他后用力一推，爸爸在处接住他．若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，．爸爸在处接住小明时，小明距离地面的高度是 　　． 【变式2】　（2024春•桥西区期末）如图是嘉淇测量水池宽度的方案，下列说法不正确的是　　 ①先确定直线，过点作； ②在上取，两点，使得△； ③过点作； ④作射线□，交于点； ⑤测量☆的长度，即的长． A．△代表 B．□代表 C．☆代表 D．该方案的依据是 【变式3】　（2024春•富平县期末）数学实践活动课中，老师布置了“测量小口圆柱形瓶底部内径”的探究任务，某学习小组设计了如下方案：如图，用螺丝钉将两根小棒，的中点固定，现测得，之间的距离为，求小口圆柱形瓶底部的内径的长度． 1．【答案】． 【分析】由直角三角形的性质得出，根据可证明，由全等三角形的性质得出，，求出的长则可得出答案． 【解答】解：由题意可知，， ， ． ， 和中， ， ， ，， 、分别为和， ， ， ， 答：小明距离地面的高度是． 故答案为：． 2．【答案】 【分析】先根据方案补全作图步骤，再说明作图理由即可判断每一个选项的对错． 【解答】解：①先确定直线，过点作； ②在上取、两点，使得； 故选项正确； ③过点作； ④作射线，交于点； 故选项正确； ⑤测量的长度，即的长； 故选项正确； ，， ． ，， ． ． 该方案的依据是； 故选项错误； 故选：． 3．【答案】． 【分析】根据点是、的中点可得，，再根据对顶角相等即可证明，根据全等三角形的性质可得． 【解答】解：点是、的中点， ，， 在和中， ， ， ． 即小口圆柱形瓶底部的内径的长度为． 学科网（北京）股份有限公司 $$ SHAPE \* MERGEFORMAT 1．三边分别相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS”． 2．两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”． 3．两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”． 4．两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”． 5．斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“HL”． SHAPE \* MERGEFORMAT 1．当三角形的三边确定后，其形状、大小也随之确定．这也是三角形具有稳定性的原因． 2．不能说“有两角和一边分别相等的两个三角形全等”，即满足“SSA”的两个三角形不一定全等，这是因为：假设这条边是两角的夹边，则根据角边角可知正确；假设一个三角形的一边是两角的夹边，而与另一个三角形相等的边是其中一等角的对边，则两个三角形不一定全等． 3．证三角形全等时，常见的隐含等角有： （1）公共角； （2）对顶角相等； （3）等角加（或减）等角仍得等角； （4）角平分线得两等角； （5）同角（或等角）的余角或补角相等； （6）平行线得同位角、内错角相等； （7）垂直定义得两角相等； （8）一些自然规律：“太阳光线可以看作是平行线”“光的入射角等于反射角”等也是常见的隐含条件． 【题型1】用边边边（SSS）证明三角形全等 SHAPE \* MERGEFORMAT SHAPE \* MERGEFORMAT （2023秋•龙岩期末）如图，在 和 中， ， ，则能说明 的依据是 　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据题目所给条件结合全等三角形的判定方法解答即可． 【解答】解：在 和 中， ， ． 故选： ． ◄ 点拨 ► 1．有三个角对应相等的两个三角形不一定全等． 2．明确要证明全等的两个三角形，在书写两个三角形全等时，“≌”左边三角形的三边与“≌”右边三角形的三边的前后顺序要保持一致． SHAPE \* MERGEFORMAT 【变式1】　（2024春•碑林区校级期中）工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法是：如图在 的边 、 上分别取 ，移动角尺，使角尺的两边相同的刻度分别与 、 重合，得到 的平分线 ，做法中用到三角形全等的判定方法是 　　 A． B． C． D． 【变式2】　（2023秋•漳州期末）某中学八年级同学在听了“天宫课堂”第三课后，组成了数学兴趣小组进行了设计伞的实践活动．康康所在的小组设计了截面如图所示的伞骨结构，当伞完全打开后，测得 ， ， 分别是 ， 的中点， ，那么 的依据是 　　 A． B． C． D． 【变式3】　（2023秋•邻水县期末）用直尺和圆规过直线 外一点 作已知直线的平行线，如图能得出 的依据是 　　 A． B． C． D． 【题型2】用角边角、角角边（ASA、AAS）证明三角形全等 SHAPE \* MERGEFORMAT SHAPE \* MERGEFORMAT （2022秋•林州市期末）如图，点 ， 分别在线段 ， 上， 与 相交于 点，已知 ，现添加“ ”，则判定 的直接依据是 　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据全等三角形的判定定理解答即可． 【解答】解：在 和 中， ， ． 故选： ． ◄ 点拨 ► “ASA”与“AAS”可相互转化：只要两个三角形的两组角分别相等，则其第三组角也相等，所以两角及一边分别对应相等的两个三角形一定全等． SHAPE \* MERGEFORMAT 【变式1】　（2024春•招远市期末）如图，已知 ， ，则 的依据是 　　 A． B． C． D． 【变式2】　（2023秋•平山县期末）如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是 　　 A． B． C． D． 【变式3】　（2023秋•太和县期末）如图，直角三角形被挡住了一部分，小明根据所学知识很快就另外画出了一个与原来完全一样的三角形，这两个三角形全等的依据是 　　 A． B． C． D． 【题型3】用边角边（SAS）证明三角形全等 SHAPE \* MERGEFORMAT SHAPE \* MERGEFORMAT （2023春•浦江县期末）如图，已知 和 ，根据已知求证 ，则填入括号中的“▲”处正确的是 　　 已知： ， ，且 ， ． 求证： 证明： ， 又 ， ▲ A． B． C． D． 【答案】 【分析】由垂直的定义得到 ，而 ，得到 ，又 ，即可证明 ． 【解答】证明： ， ， ， 又 ， ， ， ． 故选： ． ◄ 点拨 ► 1．此方法是证明两个三角形全等最常用的方法之一，应用时，可以从图形上直接观察到三个对应元素必须符合“两边夹角”，即“SAS”． 2．在书写时也要按照“边→角→边”的顺序排列条件，必须牢记“边边角”不能作为判定两个三角形全等的条件． SHAPE \* MERGEFORMAT 【变式1】　（2023秋•临湘市期中）如图，已知 ， 平分 ，那么就可以证明 ，理由是 　　 A． B． C． D． 【变式2】　（2022秋•峨边县期末）在 和 中，已知 ， ， ， ， ， ，能证明 的判定方式为 　　 A． B． C． D． 【变式3】　（2023秋•乐陵市期末）如图，在平面直角坐标系中， 的边 ， 分别在 轴， 轴上，以原点 为圆心、 的长为半径作圆，交 轴于点 ，以原点 为圆心、 的长为半径作圆，交 轴于点 ，连接 ，不做其他计算，就可判定 ，其判定依据是 　　 A． B． C． D． 【题型4】用斜边、直角边（HL）证明直角三角形全等 SHAPE \* MERGEFORMAT SHAPE \* MERGEFORMAT （2023秋•沧县期中）如图，已知 ， ， ．则 的理由是 　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】利用直角三角形的判定方法进行判断． 【解答】证明： ， ， ， 在 和 中， ， ． 故选： ． ◄ 点拨 ► 1．在用一般方法证明时，因为两个直角三角形中已具备一对直角相等的条件，故只需找另外两个条件即可，在实际证明中可根据条件灵活选用不同的方法． 2．已知两个直角三角形的一条直角边和一条斜边分别对应直角边和一条斜边分别对应相等，证明两直角三角形全等时，应用的判定定理是“HL”而不是“SSA”． SHAPE \* MERGEFORMAT 【变式1】　（2023秋•望城区期末）如图， 与 相交于点 ， ， ，不添加辅助线，判定 的依据是 　　 A． B． C． D． 【变式2】　（2023秋•凉州区期末）如图，已知 ， ．则证明 的理由是 　　 A． B． C． D． 【变式3】　（2024春•莲湖区期中）如图， ， ， 于点 ， 于点 ．求证： ． 【题型5】全等三角形的判定和性质的综合 SHAPE \* MERGEFORMAT SHAPE \* MERGEFORMAT （2024春•九龙坡区校级期中）如图， 中， ，延长 到点 ，过点 作 于点 ， 与 交于点 ，若 ． （1）求证： ； （2）若 ， ，求 的长度． 【答案】（1）答案见解答过程； （2）2． 【分析】（1）证 和 全等即可得出结论； （2）根据 ，及（1）的结论 可得 ，进而可判定 和 全等，从而得 ，再根据 可得 的长． 【解答】（1）证明： ， ， ， 在 和 中， ， ， ， ， ； （2）解： ，由（1）可知： ， ， 即 ， ， ， ， 在 和 中， ， ， ， ， ， ， ． ◄ 点拨 ► 判定两个三角形全等常用的思路方法如下： SHAPE \* MERGEFORMAT 【变式1】　（2024春•临渭区期末）如图， ， ，垂足分别为 、 ， 、 相交于点 ．如果 ，那么图中全等的直角三角形的对数是 　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】　（2024春•驿城区期末）如图，已知 ，点 ， 在线段 上， 与 相交于点 ，且 ， ．若 ，求 的度数． 【变式3】　（2024春•山亭区期末）如图，点 在线段 上， ， ， ， 平分 ． （1）证明： ； （2）若 ， ，求 的面积． 【题型6】全等三角形的条件探究题 SHAPE \* MERGEFORMAT SHAPE \* MERGEFORMAT （2023秋•任丘市期末）如图， ，添加下列条件，仍不能判定 的是 　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】利用 ，加上 为公共角，然后根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断． 【解答】解： ， ， 当添加 时， ； 当添加 时，不能判断 ； 当添加 时， ； 当添加 时， ． 故选： ． ◄ 点拨 ► 此类题目的特点是已知条件不足无法证明两个三角形全等或解决相关的问题时，需要从所给的条件中选择适当的条件添加到已知条件中，从而完成证明过程．实际考察的是对三角形全等的判定条件的掌握和理解. SHAPE \* MERGEFORMAT 【变式1】　（2024•东阳市二模）如图，已知 ，添加下列条件，不能判定 的是 　　 A． B． 平分 C． 为 的中点 D． 【变式2】　（2024春•利津县期末）如图，在 与 中， ， ，添加下列条件后，仍不能得到 的是 　　 A． B． C． D． 【变式3】　（2024春•东营区期末）如图，在 和 中，已知 ，还需要添加两个条件，才能使 ，不能添加的一组是 　　 A． ， B． ， C． ， D． ， 【题型7】全等三角形的实际应用 SHAPE \* MERGEFORMAT SHAPE \* MERGEFORMAT （2023秋•鹤壁期末）打碎的一块三角形玻璃如图所示，现在要去玻璃店配一块完全一样的玻璃，最省事的方法是 　　 A．带①②去 B．带②③去 C．带③④去 D．带②④去 【答案】 【分析】可以采用排除法进行分析从而确定最后的答案． 【解答】解： 、带①②去，符合 判定，选项符合题意； 、带②③去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不符合任何判定方法，选项不符合题意； 、带③④去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不符合任何判定方法，选项不符合题意； 、带②④去，仅保留了原三角形的两个角和部分边，不符合任何判定方法，选项不符合题意； 故选： ． ◄ 点拨 ► 1．此类题目就是应用三角形全等的知识去解决一些生活中遇到的实际问题，例如测量河宽、开凿隧道等问题．一些无法直接测量的长度，我们可以在可测量的范围内选取恰当的点，构造出一对全等三角形，利用全等三角形的性质解决问题． 2．一般三角形全等的判定方法有“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”四种，切记满足“SSA”的两个三角形不一定全等． SHAPE \* MERGEFORMAT 【变式1】　（2024春•管城区校级期末）小明与爸妈在公园里荡秋千．如图，小明坐在秋千的起始位置 处， 与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面 高的 处接住他后用力一推，爸爸在 处接住他．若妈妈与爸爸到 的水平距离 、 分别为 和 ， ．爸爸在 处接住小明时，小明距离地面的高度是 　　． 【变式2】　（2024春•桥西区期末）如图是嘉淇测量水池 宽度的方案，下列说法不正确的是 　　 ①先确定直线 ，过点 作 ； ②在 上取 ， 两点，使得△； ③过点 作 ； ④作射线□，交 于点 ； ⑤测量☆的长度，即 的长． A．△代表 B．□代表 C．☆代表 D．该方案的依据是 【变式3】　（2024春•富平县期末）数学实践活动课中，老师布置了“测量小口圆柱形瓶底部内径”的探究任务，某学习小组设计了如下方案：如图，用螺丝钉将两根小棒 ， 的中点 固定，现测得 ， 之间的距离为 ，求小口圆柱形瓶底部的内径 的长度． 12.2 三角形全等的判定 ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ 例1 例2 例3 例4 例5 例6 例7 学科网（北京）股份有限公司 $$