精品解析：广东省广州市南沙区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2023-2024学年第二学期八年级期末考试 数学 本试卷共6页，25小题，满分120分． 考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必在答题卡上用黑色字迹的钢笔或签字笔填写自己的学校、姓名、试室号、座位号；同时填写考生号，再用2B铅笔把对应的考生号的标号涂黑． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 5．考试时不可使用计算器． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列二次根式中，最简二次根式的是 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是最简二次根式的概念，最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．根据最简二次根式的概念进行判断即可． 【详解】解：．，则不是最简二次根式，故该选项不符合题意； ．最简二次根式，故该选项符合题意； ．，则不是最简二次根式，故该选项不符合题意； ．，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； 故选：B． 2. 一组数据5，4，5，6，5，3，4的众数是 （ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查众数的定义，根据众数的概念，找到该组数据中出现次数最多的数即可选出正确答案． 【详解】解：数据5出现了3次，最多， 所以众数为5， 故选：C． 3. 在平行四边形 中，，则的度数是 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，由平行四边形的性质得，即可解决问题． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 4. 下列计算正确的是 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的加法、减法、乘法运算，利用运算法则进行判断即可． 【详解】A. 与不能进行合并，故选项错误，不符合题意； B. ，故选项错误，不符合题意； C. 与不能合并，故选项错误，不符合题意； D. ，故选项正确，符合题意． 故选：D． 5. 在平面直角坐标系中，点 在函数的图像上，则 （ ） A. B. C. D. 无法判断 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，理解并掌握一次函数图象与性质，增减性是解题的关键．根据一次函数图像的增减性即可求解． 【详解】解：函数在平面直角坐标系中，随的增大而增大， ∵， ∴， 故选：A． 6. 如图，四边形是平行四边形，是两条对角线，添加下列条件后能判定四边形是矩形的是 （ ） A. B. C. D. 平分 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定、矩形的判定以及平行四边形的性质、等腰三角形的判定，熟练掌握菱形的判定和矩形的判定是解题关键．由菱形的判定、平行四边形的性质、矩形的判定分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A. 四边形是平行四边形，，能判定四边形是矩形，故选项符合题意； B.四边形是平行四边形，，能判定四边形是菱形，故选项不符合题意； C.四边形是平行四边形，， 平行四边形是菱形，选项不符合题意； D.四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分 ， ∴， ∴， ∴， 四边形是菱形，故选项不符合题意； 故选：A． 7. 在中，所对的边分别为，下列选项中能判定是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，等腰三角形的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据求出最大角，勾股定理逆定理，等腰三角形依次判断四个选项即可． 【详解】A、∵， ∴最大角 ∴不是直角三角形， 故选项不符合题意． B、∵， ∴ ∴不是直角三角形， 故选项不符合题意． C、∵， ∴ ∴ ∴是直角三角形， 故选项符合题意． D、∵， ∴是等腰三角形，不一定是直角三角形， 故选项不符合题意． 故选C． 8. 已知小丽家、便利店、体育馆在同一直线上，某天小丽从家步行到便利店买了一瓶水，再到体育馆锻炼，最后骑共享单车回家．小丽离家距离与时间之间的关系如图所示． 下列结论错误的是（ ）． A. 小丽家到便利店距离500米 B. 小丽在便利店停留了5分钟 C. 小丽步行的速度是 D. 小丽骑自行车的速度是步行速度的1.5倍 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，准确识图是解题的关键．根据图象逐项分析即可． 【详解】解：由图象可得， A．小丽家到便利店距离500米，正确； B． ∴小丽在便利店停留了5分钟，正确； C． ∴小丽步行的速度是，正确； D．小丽骑自行车的速度为 ∴ ∴小丽骑自行车的速度是步行速度的2倍，故选项错误． 故选：D． 9. 如图，在 中，对角线 与 相交于点 是边 中点，连接． 若 的长为6，的周长为10，则 的周长是（ ） A. 8 B. 12 C. 16 D. 20 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是平行四边形的性质，三角形的中位线的性质，根据平行四边形的对角线互相平分，得到是的中点，进而得到为的中位线，再进一步即可得解． 【详解】解：∵的对角线相交于点O， ∴，，，， ∵点E是中点， ∴， ∵的周长， ∴， ∴， ∴， ∴的周长； 故选：D． 10. 如图，在矩形中，点在上，，，作于点G，交于F，则的长是（ ） A. B. C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，，，可得，这样得，设，则，利用勾股定理计算即可． 本题考查了矩形的性质，勾股定理，线段的垂直平分线的判定和性质，熟练掌握勾股定理，线段的垂直平分线的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵矩形 ，，， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴， 设，则， 则， 解得， 故选：B． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．） 11. 若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，掌握被开方数为非负数是解题关键．先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴， 解得． 故答案为：． 12. 技术员分别从甲、乙两块玉米试验田中随机抽取100株玉米苗，测得玉米苗高的平均数相同，方差分别为，则玉米苗长得更整齐的试验田是__________． 【答案】甲 【解析】 【分析】本题考查方差的定意义：它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．根据方差越小，长势越整齐进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴玉米苗长得更整齐的是甲， 故答案为：甲． 13. 若直线 与 轴的交点为，则关于 的一元一次方程的解为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数与坐标轴的交点问题，根据直线 与 轴的交点为，可得关于 的一元一次方程交点的横坐标就是方程的解． 【详解】解：直线 与 轴的交点为， 则关于 的一元一次方程交点的横坐标就是方程的解， 即， 故答案为：． 14. 如图，在中，，点 是 中点，，则 的度数为__________． 【答案】##35度 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边的中线等于斜边的一半， 三角形内角和定理，由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得出， 根据等边对等角可得出， 根据三角形内角和可得出，最后再利用三角形内角和即可得出答案． 【详解】解：∵在中，，是 的中点， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， 故答案为： 15. 如图，某港口在南北方向的海岸线上，快、慢两艘船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，已知快、慢两船每小时分别航行12海里和5海里，2小时后两船分别位于点 ，处，且相距26海里，如果知道快船沿北偏西方向航行，那么慢船沿__________方向航行． 【答案】南偏西 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理及方位角，熟练掌握勾股定理的逆定理及方位角是解题的关键． 根据勾股定理逆定理求出，进而可得，然后问题可求解． 详解】解：如图所示， 由题意得：（海里），（海里），，海里， ∴， ∴， ∴， ∴乙船沿南偏西方向航行． 故答案为：南偏西． 16. 如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于点和点，点的坐标为，点，分别是线段，上的动点，且，则的长为 ______；当的值取最小值时，点的坐标为 ______． 【答案】 ① ②. 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，勾股定理，待定系数法求解析式，两点之间线段最短，由一次函数的图象与轴、轴分别交于点和点，求出，，作轴于，使得，连接，，证明，则，由，当在上时，最小，在求出直线为，直线为，联立得，求出，然后由线段和差即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵一次函数的图象与轴、轴分别交于点和点， ∴令，则；令，则， ∴，， 又∵点的坐标为，， ∴，， ∴， 如图，作轴于，使得，连接，， ∴， ∴． ∵，， ∴， 又∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴当在上时，最小， 设直线解析式为， ∵，， ∴，解得：， ∴直线为， 同理可得：直线为， ∴联列方程组， ∴， ∴， ∴的纵坐标为：． ∴， 答案为：；． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分，解答要求写出文字说明、证明过程或计算步骤） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，利用二次根式的乘法运算法则计算乘法，最后化简后合并同类项即可． 【详解】解：． 18. 如图，在 中，，，以点 A为圆心，长为半径画弧交于点 ，求的长． 【答案】的长为4 【解析】 【分析】此题主要考查了勾股定理，关键是熟练掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．首先利用勾股定理可以算出的长，再根据题意可得到，根据即可算出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵以点A为圆心，长为半径画弧，交于点D， ∴， ∴． 19. 如图，、为 的对角线 上的两点，请你添加一个条件，使得 ． （1）你添加的条件是________； （2）根据你添加的条件和题目的已知条件，求证：． 【答案】（1）（答案不唯一） （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键． （1）由题意添加条件即可； （2）由平行四边形的性质得，则，再证明，即可得出结论． 【小问1详解】 解：添加条件：， 故答案为：（答案不唯一）； 【小问2详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 20. 小明打算利用暑假阅读名著《儒林外史》，该书有472页，他计划每天看15页，设小明看书时间为天，还剩下 页书没看． （1）求 与 的函数关系； （2）当小明阅读20天后，还剩下多少页书没看． 【答案】（1） （2）当小明阅读20天后，还剩下172页书没看 【解析】 【分析】本题考查了列函数关系式及求函数值，正确理解题意是解题关键， （1）根据题意列函数关系式即可； （2）把代入函数表达式求值即可． 【小问1详解】 解：由题意，得：； 【小问2详解】 解：当时， 页， 当小明阅读20天后，还剩下172页书没看． 21. 2024年4月25日，神舟十八号载人飞船发射取得成功，将我国航天事业推向了新的高峰．南沙区某中学为了丰富学生们航天知识，组织全校学生进行航天知识竞赛，并随机抽取50名学生的成绩，整理成如下统计表： 分数 60 70 80 90 100 频数 2 3 15 16 14 （1）该50名同学这次竞赛成绩的中位数是________； （2）求该50名同学这次竞赛成绩的平均数； （3）若竞赛成绩90分以上（含90分）为优秀，该校有1500名学生，请估计竞赛成绩为优秀的人数． 【答案】（1）90 （2）87.4 （3）估计竞赛成绩为优秀的人数为900人 【解析】 【分析】本题主要考查了求中位线、平均数、用样本估计总体，解题的关键是熟练掌握平均数数和中位数的定义，注意偶数个数的中位数是中间两个数的平均数． （1）根据中位数的定义即可解答； （2）利用平均数的公式代入数据计算即可； （3）用成绩90分以上（含90分）的人数所占比例乘以1500即可． 【小问1详解】 解：将该50名同学成绩从小到大排列，该50名同学这次竞赛成绩的中位数位于第25名和第26名的平均数， 则该50名同学这次竞赛成绩的中位数是,； 【小问2详解】 解：（分） 答：该50名同学这次竞赛成绩的平均数为分； 【小问3详解】 解：（人） 答：估计竞赛成绩为优秀的人数为900人． 22. 已知一次函数的图象不经过第四象限． （1）求的取值范围； （2）当时，在给定的平面直角坐标系中画出该函数的图象； （3）在（2）的情况下，当时，根据图象求出的取值范围． 【答案】（1）的取值范围是 （2）图见详解 （3）的取值范围是 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式组，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据题意不等式组即可求解； （2）根据，求出一次函数解析式，然后画函数图像即可． （3）将和分别代入中，分别求出的值，即可求出的取值范围． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象不经过第四象限， ∴， 解得， ∴的取值范围是． 【小问2详解】 解：当时，一次函数解析式为 即， 在图上画上该函数的图象如下： 【小问3详解】 解：将和分别代入中， 可分别得出和， ∴当时，的取值范围． 23. 在进行二次根式化简时，我们有时会碰上形如 的式子，这样的式子我们可以将其进一步化简， ，，这种化简的方法叫做分母有理化，请利用分母有理化解答下列问题： （1）化简： ______；______； （2）矩形的面积为 ，一边长为 ，求这个矩形的周长； （3）当时，化简：． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算， 按照二次根式的混合运算法则求解即可 （1）根据分母有理化的步骤进行计算即可． （2）首先求出矩形的另外一边长，再按矩形的周长公式计算即可． （3）把各分母先有理化再进行加减运算． 【小问1详解】 解：， 【小问2详解】 矩形的另外一边长为： ∴矩形的周长为：． 【小问3详解】 当时 24. 如图1，矩形一边 在轴上，点 的坐标为，点的坐标为 ． （1）求证：四边形 为正方形； （2）如图2，若点 为 中点，连接 ，直线 交 于点 ，交 轴于点 ． ①求 的面积； ②点在轴的正半轴上，平面内是否存在点，使以点为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）见详解 （2）① ②存在，N的坐标为，或 【解析】 【分析】（1）由矩形的性质得出， 先证明四边形是矩形，再证明，再由，即可证明四边形 为正方形． （2）①分别求出直线，的解析式，再求出两直线的交点坐标，再求出点H的坐标，再根据计算即可．②设，，而，，利用菱形的性质分三种情况，分别列式计算即可得出答案． 【小问1详解】 证明∶∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵ ∴四边形是矩形 ∵， ∴， ∴ ∵， ∴四边形为正方形； 【小问2详解】 ①由(1)知，，四边形为正方形， ∴， ∵点F为中点 ∴， 设由，的直线解析式为， 把代入，可得出， ∴解析式为 设，得直线解析式为， 则， 解得：， ∴解析式为， 联立 解得：， ∴， 在中， 另，则， ∴， ∴， ∴，， ∴． ②平面内存在点N，使以点A，H，M，N为顶点的四边形是菱形，理由如下∶ 设，，而，， 当，为对角线时，，的中点重合，且， ∴， 解得：， ∴， 当，为对角线时，，的中点重合，且， ∴， 解得：此时，点A、M重合，舍去，或（此时，M不在x轴正半轴上，舍去）， 当，为对角线时，，的中点重合，且， ∴ 解得：或（舍去）， ∴， 综上：N的坐标为或 【点睛】本题考查四边形综合应用，涉及矩形，萎形，正方形的判定以及性质，一次函数的应用等，坐标与图形，解题的关键是分类讨论思想，方程思想的应用． 25. 四边形 是正方形，点 是射线 上一动点，过点作交直线 于点，作的平分线交直线于点，连接． （1）如图1，若点 在线段延长线上，点在线段上． ①求证：； ②如图2，连接 交 于点 ，交 于点 ，请探索之间的数量关系并证明； （2）请直接写出 和之间的数量关系． 【答案】（1）①见解析；②； （2）当点E在线段的延长线上时，；当点E在线段的上时，． 【解析】 【分析】此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质等知识． （1）①利用同角的余角相等即可得到结论；②在上截取点G，使得，连接，证明，则，得到，则，得到，证明，则，即可得到； （2）当点E在线段的延长线上时，证明，则，证明，则，得到；当点E在线段的上时，证明，则，证明，则，即可得到． 【小问1详解】 ①证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②，证明如下；在上截取点G，使得，连接，如图， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵的平分线交直线于点， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴； 【小问2详解】 当点E在线段的延长线上时，如图， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 当点E在线段的上时，如图， ∵， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， 综上可知，当点E在线段的延长线上时，；当点E在线段的上时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年第二学期八年级期末考试 数学 本试卷共6页，25小题，满分120分． 考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必在答题卡上用黑色字迹的钢笔或签字笔填写自己的学校、姓名、试室号、座位号；同时填写考生号，再用2B铅笔把对应的考生号的标号涂黑． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 5．考试时不可使用计算器． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列二次根式中，最简二次根式的是 （ ） A. B. C. D. 2. 一组数据5，4，5，6，5，3，4的众数是 （ ） A 3 B. 4 C. 5 D. 6 3. 在平行四边形 中，，则度数是 （ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确是 （ ） A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中，点 在函数的图像上，则 （ ） A. B. C. D. 无法判断 6. 如图，四边形是平行四边形，是两条对角线，添加下列条件后能判定四边形是矩形是 （ ） A. B. C. D. 平分 7. 在中，所对的边分别为，下列选项中能判定是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知小丽家、便利店、体育馆在同一直线上，某天小丽从家步行到便利店买了一瓶水，再到体育馆锻炼，最后骑共享单车回家．小丽离家距离与时间之间的关系如图所示． 下列结论错误的是（ ）． A. 小丽家到便利店距离500米 B. 小丽在便利店停留了5分钟 C. 小丽步行的速度是 D. 小丽骑自行车的速度是步行速度的1.5倍 9. 如图，在 中，对角线 与 相交于点 是边 中点，连接． 若 的长为6，的周长为10，则 的周长是（ ） A. 8 B. 12 C. 16 D. 20 10. 如图，在矩形中，点在上，，，作于点G，交于F，则长是（ ） A. B. C. 3 D. 2 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．） 11. 若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围为__________． 12. 技术员分别从甲、乙两块玉米试验田中随机抽取100株玉米苗，测得玉米苗高的平均数相同，方差分别为，则玉米苗长得更整齐的试验田是__________． 13. 若直线 与 轴的交点为，则关于 的一元一次方程的解为__________． 14. 如图，在中，，点 是 的中点，，则 的度数为__________． 15. 如图，某港口在南北方向的海岸线上，快、慢两艘船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，已知快、慢两船每小时分别航行12海里和5海里，2小时后两船分别位于点 ，处，且相距26海里，如果知道快船沿北偏西方向航行，那么慢船沿__________方向航行． 16. 如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于点和点，点的坐标为，点，分别是线段，上的动点，且，则的长为 ______；当的值取最小值时，点的坐标为 ______． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分，解答要求写出文字说明、证明过程或计算步骤） 17. 计算：． 18. 如图，在 中，，，以点 A为圆心，长为半径画弧交于点 ，求的长． 19. 如图，、为 的对角线 上的两点，请你添加一个条件，使得 ． （1）你添加的条件是________； （2）根据你添加的条件和题目的已知条件，求证：． 20. 小明打算利用暑假阅读名著《儒林外史》，该书有472页，他计划每天看15页，设小明看书时间为天，还剩下 页书没看． （1）求 与 的函数关系； （2）当小明阅读20天后，还剩下多少页书没看． 21. 2024年4月25日，神舟十八号载人飞船发射取得成功，将我国航天事业推向了新的高峰．南沙区某中学为了丰富学生们航天知识，组织全校学生进行航天知识竞赛，并随机抽取50名学生的成绩，整理成如下统计表： 分数 60 70 80 90 100 频数 2 3 15 16 14 （1）该50名同学这次竞赛成绩的中位数是________； （2）求该50名同学这次竞赛成绩的平均数； （3）若竞赛成绩90分以上（含90分）为优秀，该校有1500名学生，请估计竞赛成绩为优秀的人数． 22. 已知一次函数的图象不经过第四象限． （1）求的取值范围； （2）当时，在给定的平面直角坐标系中画出该函数的图象； （3）在（2）的情况下，当时，根据图象求出的取值范围． 23. 在进行二次根式化简时，我们有时会碰上形如 的式子，这样的式子我们可以将其进一步化简， ，，这种化简的方法叫做分母有理化，请利用分母有理化解答下列问题： （1）化简： ______；______； （2）矩形的面积为 ，一边长为 ，求这个矩形的周长； （3）当时，化简：． 24. 如图1，矩形的一边 在轴上，点 的坐标为，点的坐标为 ． （1）求证：四边形 为正方形； （2）如图2，若点 为 中点，连接 ，直线 交 于点 ，交 轴于点 ． ①求 的面积； ②点在轴的正半轴上，平面内是否存在点，使以点为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由． 25. 四边形 是正方形，点 是射线 上一动点，过点作交直线 于点，作的平分线交直线于点，连接． （1）如图1，若点 在线段延长线上，点在线段上． ①求证：； ②如图2，连接 交 于点 ，交 于点 ，请探索之间的数量关系并证明； （2）请直接写出 和之间的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$