第一章 《勾股定理》 单元练习 2024--2025学年北师大版八年级数学上册

第一章 勾股定理 综合测试题 考试时间:120分钟 满分150分 班级：________________ 姓名：________________ 考号：________________ 一、单选题（本大题共10小题，总分40分） 1．以下列各组长度的线段为边作三角形，能作出直角三角形的是（　　） A．2，3，5 B．3，8，10 C．6，8，10 D．，， 2．我国是最早了解勾股定理的国家之一．据《周髀算经》记载，勾股定理的公式与证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的蒋铭祖对《蒋铭祖算经》内的勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一个证明，下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（　　） A． B． C． D． 3．课间休息时，嘉嘉从教室窗户向外看，看到行人为从A处快速到达图书馆B处，直接从长方形草地中穿过．为保护草地，嘉嘉想在A处立一个标牌：“少走■米，踏之何忍？”如图，若AB＝17米，BC＝8米，则标牌上“■”处的数字是（　　） A．6 B．8 C．10 D．11 4．在学习《直角三角形》这一章时，爱动脑筋的小明同学发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中．按照这个规律，当a＝35时，b的值是（　　） a 3 5 7 9 11 … b 4 12 24 40 60 … c 5 13 25 41 61 … A．611 B．612 C．613 D．614 5．如图，一木杆在离地面8m的A处折断，木杆顶端落在离木杆底端6m的B处，则木杆折断之前的长度为（　　） A．10m B．14m C．18m D．22m 6．有一个水池，水面是一个边长为12尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面2尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的终点，它的顶端恰好到达池边的水面，则这根芦苇的长度是（　　）尺 A．6 B．8 C．10 D．12 7．如图将一根长为22cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为h cm，则h的取值范围是（　　） A．9＜h＜10 B．9≤h≤10 C．5≤h≤13 D．5＜h＜13 8．在Rt△ABC中，斜边BC＝5，则AB2+AC2+BC2的值为（　　） A．15 B．25 C．50 D．无法计算 9．如图，在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，BD是边AC上的中线，AE⊥BC，垂足为点E，AE交BD于点F，则AF＝（　　） A．12 B．8 C．7 D．4 10．下列条件中，能判断△ABC是直角三角形的有（　　） ①∠A+∠B＝∠C； ②∠A﹣∠B＝∠C； ③∠A：∠B：∠C＝2：5：3； ④∠A＝2∠B＝3∠C； ⑤； ⑥AB：AC：BC＝3：4：5． A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 二、填空题（本大题共5小题，总分20分） 11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝5，AB＝13，则AC＝　 　． 12．如图，在一个长2米，宽1米的长方形草地上，放着一根长方体的木块，它的棱和草地宽AD平行且棱长大于AD，木块从正面看是边长为0.2米的正方形，一只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程是 　 　米． 13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB于点E，CD＝2，BC＝6，则BE＝　 　． 14．如图，透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为10cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁与B相对且距离容器上沿2cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径长度是 　 　cm． 15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒，当△ABP为等腰三角形时，t的取值为 　 　． 三、解答题（本大题共10小题，总分90分） 16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，．求AB的长． 17．如图在平静的湖面上，有一支红莲BA，高出水面的部分AC为1米，一阵风吹来，红莲被吹到一边，花朵齐及水面（即AB＝DB），已知红莲移动的水平距离CD为3米，则湖水深CB为多少？ 18．八年级二班小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得如图风筝的高度CE， 他们进行了如下操作： （1）测得BD的长度为15米．（注：BD⊥CE） （2）根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米． （3）牵线放风筝的小明身高1.6米． 求风筝的高度CE． 19．如图，每个小正方形的边长都为1． （1）求四边形ABCD的面积与周长； （2）∠BCD是直角吗？ 20．为了响应政府提出的“绿色长垣，文明长垣”的号召，某小区决定开始绿化，要在一块四边形ABCD空地上种植草皮．如图，经测量∠B＝90°，AB＝6米，BC＝8米，CD＝24米，AD＝26米，若每平方米草皮需要300元，问需要投入多少元？ 21．我国古典数学著作中有一道计算秋千绳索长度的题目．翻译成现代文为：如图，秋千OA静止的时候，踏板离地高一尺（AC＝1尺），将它往前推进两步（EB＝10尺，BE⊥OA于E），此时踏板升高离地五尺（EC＝BD＝5尺），求秋千绳索（OA或OB）的长度． 22．如图所示，在△ABC中，CD⊥AB于D，AC＝4，BC＝3，AD． （1）求CD、BD的长； （2）求证：△ABC是直角三角形． 23．在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路CH，测得CB＝3千米，CH＝2.4千米，HB＝1.8千米． （1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路？（即问：CH与AB是否垂直？）请通过计算加以说明； （2）求原来的路线AC的长． 24．如图，某村庄A到公路l之间有一池塘相隔，村民出行都是走AB这条村级公路．在美丽乡村建设过程中，为了便于村民出行，村委会治理了池塘并从A到公路l之间架桥不新修了一条公路AC，且AC⊥l，测得，． （1）求新修的公路AC的长； （2）在后期的建设中，村委会在B、C之间修建了一个观光亭D，使得观光亭D到C的距离与观光亭D到B的距离相等，求观光亭D到村庄A的距离． 25．如图是盼盼家新装修的房子，其中三个房间甲、乙、丙，他将一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距离地面的垂直距离记作MA，如果梯子的底端P不动，顶端靠在对面墙上，此时梯子的顶端距离地面的垂直距离记作NB． （1）当盼盼在甲房间时，梯子靠在对面墙上，顶端刚好落在对面墙角B处，若MA＝1.6米，AP＝1.2米，则甲房间的宽度AB＝　 　米． （2）当他在乙房间时，测得MA＝2.4米，MP＝2.5米，且∠MPN＝90°，求乙房间的宽AB； （3）当他在丙房间时，测得MA＝2.8米，且∠MPA＝75°，∠NPB＝45°． ①求∠MPN的度数； ②求丙房间的宽AB． 答案 一、单选题（本大题共10小题，总分40分） 1-5．CDABC． 6-10．CBCBB． 二、填空题（本大题共5小题，总分20分） 11．12． 12．2.6． 13．2． 14．． 15．8或5或． 三、解答题（本大题共10小题，总分90分） 16．解：在Rt△ABC中由勾股定理得， ． ∴AB的长为3． 17．解：设BC为h米， Rt△BCD中，BC＝h，AB＝BD＝h+1，DC＝3， 由勾股定理得：BD2＝DC2+BC2， 即（h+1）2＝h2+32， 解得：h＝4． 因此湖深BC为4米． 18．解：在Rt△CDB中， 由勾股定理得，CD2＝BC2﹣BD2＝252﹣152＝400， 所以，CD＝±20（负值舍去）， 所以，CE＝CD+DE＝20+1.6＝21.6米， 答：风筝的高度CE为21.6米． 19．解：（1）由勾股定理可得：AB2＝52+12＝26， 则AB， ∵BC2＝42+22＝20， ∴BC＝2 ∵CD2＝22+12＝5， ∴CD， ∵AD2＝12+42＝17， ∴AD， 故四边形ABCD的周长为：23． 四边形ABCD的面积为：5×5（1×5+4×2+2×1+4×1）﹣1×1＝25﹣10.5＝14.5； （2）∠BCD是直角，理由如下： 由（1）得：BC2＝20，CD2＝5，而BD2＝32+42＝25， ∴DC2+BC2＝BD2， ∴∠BCD＝90°． 20．解：连接AC， ∵∠B＝90°， ∴在Rt△ABC中，由勾股定理得AC10（米）， 在△ACD中，∵AC2+CD2＝102+242＝262＝AD2， ∴△ACD是直角三角形，且∠ACD＝90°， ∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD AB•BCAC•CD 6×810×24 ＝24+120 ＝144（平方米）， 所以需费用300×144＝43200（元）． ∴需要投入43200元． 21．解：由题意得：EC＝BD，BE＝CD，∠OEB＝90°， 设OA＝OB＝x尺， ∵EC＝BD＝5尺，AC＝1尺， ∴EA＝EC﹣AC＝5﹣1＝4（尺），OE＝OA﹣AE＝（x﹣4）尺， 在Rt△OEB中，OE＝（x﹣4）尺，OB＝x尺，EB＝10尺， 根据勾股定理得：x2＝（x﹣4）2+102， 解得：x＝14.5， 则秋千绳索的长度为14.5尺． 22．（1）解：在Rt△ACD中，CD， 在Rt△BCD中，BD； （2）证明：AB＝AD+BD5， ∵AC2+BC2＝42+32＝25， AB2＝52＝25， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形． 23．解：（1）是， 理由是：在△CHB中， ∵CH2+BH2＝（2.4）2+（1.8）2＝9 BC2＝9 ∴CH2+BH2＝BC2 ∴CH⊥AB， 所以CH是从村庄C到河边的最近路 （2）设AC＝x 在Rt△ACH中，由已知得AC＝x，AH＝x﹣1.8，CH＝2.4 由勾股定理得：AC2＝AH2+CH2 ∴x2＝（x﹣1.8）2+（2.4）2 解这个方程，得x＝2.5， 答：原来的路线AC的长为2.5千米． 24．解：（1）∵AC⊥l， ∴∠ACB＝90°， ∴AC2（km）； （2）如图所示，连接AD， ∵光亭D到C的距离与观光亭D到B的距离相等， ∴点D为BC的中点， ∴CDCB2（km）， ∴（km）， ∴观光亭D到村庄A的距离为． 25．解：（1）在Rt△AMP中，∵∠A＝90°，MA＝1.6米，AP＝1.2米， ∴PM2， ∵PB＝PM＝2， ∴甲房间的宽度AB＝AP+PB＝3.2米， 故答案为：3.2； （2）∵∠MPN＝90°， ∴∠APM+∠BPN＝90°， ∵∠APM+∠AMP＝90°， ∴∠AMP＝∠BPN． 在△AMP与△BPN中，， ∴△AMP≌△BPN， ∴MA＝PB＝2.4， ∵PA0.7， ∴AB＝PA+PB＝0.7+2.4＝3.1； （3）①∠MPN＝180°﹣∠APM﹣∠BPN＝60°； ②过N点作MA垂线，垂足点D，连接NM． 设AB＝x，且AB＝ND＝x． ∵梯子的倾斜角∠BPN为45°， ∴△BNP为等腰直角三角形，△PNM为等边三角形（180°﹣45°﹣75°＝60°，梯子长度相同），∠MND＝15°． ∵∠APM＝75°， ∴∠AMP＝15°． ∴∠DNM＝∠AMP， ∵△PNM为等边三角形， ∴NM＝PM． ∴△AMP≌△DNM（AAS）， ∴AM＝DN， ∴AB＝DN＝AM＝2.8米， 即丙房间的宽AB是2.8米． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$