第一章 特殊平行四边形章节压轴题模拟训练-【B卷常考题型】2024-2025学年四川成都九年级数学上学期题型全攻略（北师大版）

第一章 特殊平行四边形章节压轴题模拟训练 一、填空题 1．如图，以的斜边为边，在的同侧作正方形，设正方形的中心为，连接．若，，则的长等于 ．    2．如图，菱形中，点E，F分别在边上，将菱形沿折叠，点B恰好落在边上的点G处，若，，，则的长为 ． 3．如图，正方形的边长为6，点G在边上，，将沿着对折得到，延长交边于点E，则的长为 ． 4．如图，在矩形中，，点E，G分别在边上，且，点F在边上，连接，若，则的最小值为 .    5．如图，正方形的边长为4，点，分别在边，上，且，平分，连接，分别交，于点，．是线段上的一个动点，过点作，垂足为，连接．则的最小值为 ， ． 6．如图，用边长为的正方形纸片进行如下操作：对折正方形得折痕，点在上，沿折叠．如图1，当点对应点落在上时， ；如图2，连接，当点对应点落在上时， ． 7．如图，正方形，是对角线上一动点，，且，连接，，，若，则长度的最小值为 ．    8．如图，在中，，，过点作，且．点在边上，以为直角边作等腰，且．连接，当时，的面积是 ． 9．如图，四边形和四边形均为正方形，点为的中点，若，连接，则的长为 ． 10．如图，正方形的边长为12，点、分别在边、上，，与相交于点，点为的中点，连接，则 ． 11．如图，在正方形中，分别是边，的中点，连接，，分别是，的中点，连接，若，则的长度为 ． 12．如图，在正方形中，点E是的中点，F为上一点，交于点O．若，则的长为 ． 13．如图，在菱形中，，，，分别是边和对角线上的动点，且，则的最小值为 ． 14．如图，正方形纸片的边长为4，点E在边上，点F在边上．将正方形纸片沿EF对折，点B的对应点是点G，连接，若，则长的最小值是 ． 15．如图，在中，，以的三边分别作三个正方形，若，，则 ，阴影部分的面积为 ．    二、解答题 16．如图，直线与坐标轴分别交于点，以为边在轴的右侧作正方形． (1)求点的坐标； (2)如图，点是轴上一动点，点在的右侧，． ①如图1，问点是否在定直线上，若是，求该直线的解析式；若不是，请说明理由； ②如图2，点是线段的中点，另一动点在直线上，且，请直接写出点的坐标． 17．【操作判定】 （1）如图1，在中，，，点E在上（且不与点B、C重合），在的外部作，使，，连接，过点作，过点作，交于点，连接．根据以上操作，判断：四边形的形状是______，______； 【变换探究】 （2）如图2，将图1中的绕点B逆时针旋转，使点E落在边上，过点A作，过点D作，交于点F，连接．若，求的长． 【拓展应用】 （3）将图1中的绕点B顺时针旋转，使点D在的右侧，过点A作，过点D作，交于点F，连接，若，当四边形为菱形时． ①求的长； ②当点D在左侧时，请直接写出的长． 18．已知四边形中，，连接，过点作的垂线交于点，连接． (1)如图，若，求证：四边形是菱形； (2)如图，连接，设，相交于点，垂直平分线段． （ⅰ）求的大小； （ⅱ）若，求证：． 19．如图①，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x，y轴分别交于A，B两点，正比例函数的图象与交于点．    (1)求n、k的值； (2)已知点D是直线：上的一个动点． ①过点D作轴，交直线于点P，当点D，P关于x轴对称时，则点D的横坐标为______； ②连接，当的面积是面积的2倍时，求点D的坐标； (3)如图②，设点E的坐标为，且，连接，以为边向下作正方形． ①用含t的式子表示点M的坐标为(______，______)； ②连接，若落在的内部（含边上），则t的取值范围是______． 20．如图①，在正方形边、上分别取点、，连接、、，当时，通过将绕点顺时针旋转得，这样就将与转移到一条直线上，再通过全等可证得． (1)请写出证明过程． 反思交流： (2)如图②，若点、分别为、延长线上一点时，、、之间有什么数量关系？请用以上证明方法证明你的结论； 拓展延伸： (3)如图③，若四边形中，，，点、分别为射线、上一点，，直接写出、、之间数量关系； (4)如图④，若四边形为菱形，且，点、分别为的、边上一点，，直接写出与之间的数量关系． 21．在菱形中，是直线上一动点，以为边向右侧作等边按逆时针排列)，点的位置随点的位置变化而变化． (1)如图1，当点在线段上，且点在菱形内部或边上时，连结，小明通过连接后证明得到与的数量关系是______________； (2)如图2，当点在线段上，且点在菱形外部时，(1)中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由； (3)当点在的延长线上时，其他条件不变，连接，若，，求的长． 22．如图，在中，平分，延长使得，连接． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)如图，过作交于点，点在上，平分，过作交的延长线于点． ①求证：点在的垂直平分线上； ②试探究：的数量关系，并证明． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 特殊平行四边形章节压轴题模拟训练 一、填空题 1．如图，以的斜边为边，在的同侧作正方形，设正方形的中心为，连接．若，，则的长等于 ．    【答案】6 【分析】本题考查了勾股定理的推论，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是以赵爽弦图为背景合理作出辅助线，运用勾股定理，全等三角形的判定和性质证明等腰直角三角形． 根据题意，结合赵爽弦图，合理构造正方形，运用全等三角形判定点是正方形，正方形的中心，得出是等腰直角三角形，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作延长线于点，过点作延长线于点，延长交于点，连接,    ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，即， ∴四边形是正方形，则点是正方形，正方形的中心，则，且， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 故答案为：6 ． 2．如图，菱形中，点E，F分别在边上，将菱形沿折叠，点B恰好落在边上的点G处，若，，，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了翻折变换的性质、菱形的性质．等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识；过作于，交延长线于，作于，则，，，由折叠的性质得：，，，由平行线的性质得出，得出和是等腰直角三角形，得出，，，在中，由勾股定理求出，得出，设，则，，在中，由勾股定理得出方程，解方程求出，据此计算即可得出结果． 【详解】解：过作于，交延长线于，作于，如图所示： 则，，， 由折叠的性质得：，，， 四边形是菱形， ∴， ， 和是等腰直角三角形， ，， ， 在中，由勾股定理得：， 解得：（负值舍去）， ， ， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ， 故答案为：． 3．如图，正方形的边长为6，点G在边上，，将沿着对折得到，延长交边于点E，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、折叠的性质等知识点，掌握折叠前后对应边相等，对应角相等是解题的关键． 由正方形的性质可得，进而可得；由折叠的性质可得，进而证明可得，设，则，再利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：∵正方形的边长为6， ∴， ∵点G在边上，， ∴， ∵将沿着对折得到， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴，解得：，即的长为3． 故答案为：3． 4．如图，在矩形中，，点E，G分别在边上，且，点F在边上，连接，若，则的最小值为 .    【答案】 【分析】如图，连接，作关于的对称点，连接交于，连接，证明四边形为平行四边形，可得，当，，三点共线时，，此时最小，过作于，则四边形为矩形，再进一步可得答案． 【详解】解：如图，连接，作关于的对称点，连接交于，连接，    由轴对称的性质可得：，，， ∵矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴当，，三点共线时， ，此时最小， 过作于，则四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查的是平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，轴对称的性质，勾股定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 5．如图，正方形的边长为4，点，分别在边，上，且，平分，连接，分别交，于点，．是线段上的一个动点，过点作，垂足为，连接．则的最小值为 ， ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质等知识．证明，则，再证明，则，得到垂直平分，连接与交于点，交于点，连接，由垂直平分，证明，证明当点与点重合时，的值最小，此时，即的最小值是的长，由，即可得到的最小值为，证明，，则． 【详解】解：四边形是正方形， ，， ， ， 即， 在和中，， ， ， ， ， ， ， ， 平分， ， 又为公共边， ， ， 又， ∴垂直平分， 连接与交于点，交于点，连接， 四边形是正方形， ， 即， 垂直平分， ， 当点与点重合时，的值最小，此时，即的最小值是的长， 正方形的边长为4， ， ， 即的最小值为， 垂直平分， ， 又， ， 故答案为：； 6．如图，用边长为的正方形纸片进行如下操作：对折正方形得折痕，点在上，沿折叠．如图1，当点对应点落在上时， ；如图2，连接，当点对应点落在上时， ． 【答案】 【分析】过点H作的平行线交，于点Q，R，由矩形的判定及性质，由折叠的性质得，，，由勾股定得可求出， 再由勾股定理得，即可求解； 延长，交于点M，折叠的性质及等腰三角形的判定及性质得，由勾股定理得，由正切函数得，可得，即可求解． 【详解】解：如图1，过点H作的平行线交，于点Q，R， 四边形，四边形，四边形均是矩形， ， ， 由翻折得：， ， ， ， ， 在中， ， ， ， 在中， ， ， 解得：； 延长，交于点M，如图所示： ∵四边形为正方形， ， ， ∴， 由折叠得：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， 解得：（）； 故答案：，． 【点睛】本题考查了折叠的性质，正方形的性质，矩形的判定与性质，等腰三角形的判定及性质，勾股定理；掌握折叠的性质，能相关是线段转化到直角三角形中，熟练利用勾股定理求解是解题的关键． 7．如图，正方形，是对角线上一动点，，且，连接，，，若，则长度的最小值为 ．    【答案】2 【分析】本题考查正方形中的动点问题，解题的关键是根据证明，把问题转化为求的最小值．过作于，证明，可得，，即得是等腰直角三角形，，故当运动到时，最小，最小值即为的长度，此时最小值为，由，即可得答案． 【详解】解：过作于，如图：   四边形是正方形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ，即， 是等腰直角三角形， ， 当最小时，最小， 当运动到时，最小，最小值即为的长度，此时最小值为， ，， ， 最小值为， 故答案为：2． 8．如图，在中，，，过点作，且．点在边上，以为直角边作等腰，且．连接，当时，的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的判定，正方形的判定和性质，余角性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形性质，等腰三角形的性质，三角形的面积，过点作于，延长交于点，可得四边形是矩形，再证明，得到，，即可得四边形是正方形，得到，进而得，再由三线合一可得，即得，即可得，最后根据三角形的面积公式即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点作于，延长交于点，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 9．如图，四边形和四边形均为正方形，点为的中点，若，连接，则的长为 ． 【答案】 【分析】连接，把绕点A顺时针旋转90度，此时重合，得到，连接，证明，可得点F，E，三点共线，根据等腰三角形的性质的长度，再求得，然后根据勾股定理，即可求解． 【详解】解：如图，连接，把绕点A顺时针旋转90度，此时重合，得到，连接， ∵四边形和四边形均为正方形， ∴， 由旋转的性质得：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 此时点F，E，三点共线， ∵，∴， ∵点D为的中点， ∴， 设，则， 在中，， ∴，解得：，即， ∵， ∴，∴， ∵， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质，正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，正确画出辅助线，耐心推理是解题的关键． 10．如图，正方形的边长为12，点、分别在边、上，，与相交于点，点为的中点，连接，则 ． 【答案】// 【分析】利用正方形的性质证出，所以，进而证得是直角三角形，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半可知，最后利用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，， 在和中， ∵ ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点H为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考点涉及正方形的性质、三角形全等的证明、直角三角形斜边中线定理、勾股定理等知识点，难度适中，熟练掌握相关性质定理是解题关键． 11．如图，在正方形中，分别是边，的中点，连接，，分别是，的中点，连接，若，则的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，以及三角形的中位线等知识，连接并延长交于，连接，根据正方形的性质得到，，，进而证明，根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理求出，最后利用三角形的中位线定理即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接并延长交于，连接， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵分别是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∵是的中点， ∴, 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点分别是的中点， ∴， 故答案为：． 12．如图，在正方形中，点E是的中点，F为上一点，交于点O．若，则的长为 ． 【答案】2 【分析】利用面积关系建立方程是本题的关键；延长到H，使，连接，过E作于M；首先证明，则，，则由已知可得，从而；由勾股定理求得，从而得；设，利用面积关系建立方程即可求得x的值，从而求解． 【详解】解：如图，延长到H，使，连接，过E作于M； 四边形是正方形， ； ； ， ， ，； ， ， 即， ； ， ， ； 为的中点， ， 由勾股定理得，； 设，则； ， ， 解得：（舍去）； 即； 故答案为：2． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定等知识，构造辅助线证明三角形全等，利用面积关系建立方程是本题的关键； 13．如图，在菱形中，，，，分别是边和对角线上的动点，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】的下方作，截取，使得，连接，，证明，推出，，根据求解即可． 【详解】解：如图，的下方作，截取，使得，连接，， 四边形是菱形，， ，， ，，， ， ， ，， ， ， ， ， 的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题． 14．如图，正方形纸片的边长为4，点E在边上，点F在边上．将正方形纸片沿EF对折，点B的对应点是点G，连接，若，则长的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方形的性质、折叠的性质、勾股定理等知识点，掌握相关知识的灵活运用是解题的关键． 设点A，点C的对应点为H，P，连接，由折叠的性质得到，利用勾股定理求出，当点E，D，G三点共线时，长的有最小值，即为求解即可． 【详解】解：设点A，点C的对应点为H，P，连接， ∵正方形纸片的边长为4，， ∴， 由折叠的性质得到， ∴， 当点E，D，G三点共线时，长的有最小值， ∴． 故答案为：． 15．如图，在中，，以的三边分别作三个正方形，若，，则 ，阴影部分的面积为 ．    【答案】 / / 【分析】延长交于点，根据四边形和四边形都是正方形，证明，推出点和点重合，得，，证明，得，，证明，得，继而得到，在，根据勾股定理得，，代入数据求出即可得解． 【详解】解：延长交于点， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴点和点重合， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵四边形都是正方形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在，，，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，阴影部分的面积为． 故答案为：；．    【点睛】本题考查求阴影部分的面积，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，平行线的性质，直角三角形的面积等知识点，解题的关键是证明，，． 二、解答题 16．如图，直线与坐标轴分别交于点，以为边在轴的右侧作正方形． (1)求点的坐标； (2)如图，点是轴上一动点，点在的右侧，． ①如图1，问点是否在定直线上，若是，求该直线的解析式；若不是，请说明理由； ②如图2，点是线段的中点，另一动点在直线上，且，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)①是，；②或 【分析】（1）先求出，得到，，再由正方形的性质可得，解之即可得到答案； （2）①过点作轴，通过证明，得到，即可求解；②连接，可得点H与点重合，作点关于直线的对称点，可得，求得直线的解析式，即可求解． 【详解】（1）解：在中，当时，，当时，， ∴， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴ ∴ ∴； （2）解：①过点作轴，如下图：    由题意可得：， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设，则， 由题意可得：，即， ∴E在定直线上； ②连接，由题意可得为等腰直角三角形， ∴ ∵四边形为正方形， ∴ ∴， ∴当点与点重合时满足题意， ∵点是线段的中点， ∴， 由①可得，， 设直线解析式为，将、代入可得 ，解得， ∴直线解析式为， 设交于M， 在中，当时，，即点 作点关于直线的对称点，则 ∴， ∴点为直线与的交点， 同理可得直线解析式为 联立，解得 此时；    综上，点坐标为或 【点睛】此题考查了一次函数与几何的综合应用，涉及了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质与判定，轴对称的性质等等，解题的关键是熟练掌握相关基础性质． 17．【操作判定】 （1）如图1，在中，，，点E在上（且不与点B、C重合），在的外部作，使，，连接，过点作，过点作，交于点，连接．根据以上操作，判断：四边形的形状是______，______； 【变换探究】 （2）如图2，将图1中的绕点B逆时针旋转，使点E落在边上，过点A作，过点D作，交于点F，连接．若，求的长． 【拓展应用】 （3）将图1中的绕点B顺时针旋转，使点D在的右侧，过点A作，过点D作，交于点F，连接，若，当四边形为菱形时． ①求的长； ②当点D在左侧时，请直接写出的长． 【答案】（1）平行四边形，；（2）；（3）①；② 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，可得，从而得到，再证明点D，E，F三点共线，可得，然后根据勾股定理，即可求解； （2）连接，证明四边形是矩形．可得，，再证明，可得，．从而得到．继而得到是等腰直角三角形，即可求解； （3）①连接并延长交于点，连接，根据四边形是菱形，可得到．设交于点，交于点，交于点．证明，可得，，可得到是等腰直角三角形．从而得到．进而得到是线段的中垂线，即可；②类比①的方法解答，即可求解． 【详解】解：（1）∵，， ∴四边形是平行四边形； ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴点D，E，F三点共线， ∴， ∴， 即； 故答案为：平行四边形，；． （2）如图，连接． ，， 四边形是平行四边形． 又， 四边形是矩形． ，， 又， ． 又，， ， ， ． ， ，． ， 即． 是等腰直角三角形． ， 即， ， ； （3）①如图，连接并延长交于点，连接． 四边形是菱形， ，， ， ． 设交于点，交于点，交于点． ， ， ， ，， ， ， ，． 又， ， 是等腰直角三角形． ． ，， 是线段的中垂线． ，， ． ， ； ②延长交于， ，， ． ， ， ． ∵， ． ∵， ∴． ， ， 为等腰直角三角形． ． 设交于点． 由①得：是线段的中垂线． ， ∴． ， ． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定与性质，旋转的性质，菱形的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识．熟练掌握平行四边形的判定，矩形的判定与性质，旋转的性质，菱形的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质是解题的关键． 18．已知四边形中，，连接，过点作的垂线交于点，连接． (1)如图，若，求证：四边形是菱形； (2)如图，连接，设，相交于点，垂直平分线段． （ⅰ）求的大小； （ⅱ）若，求证：． 【答案】(1)见详解 (2)（ⅰ）（ⅱ）见详解 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质、等腰三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，菱形的判定，直角三角形的性质，作出辅助线，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）先根据，，得出，再根据“”证明，得出，得出四边形为平行四边形，再根据对角线互相垂直的平行四边形为菱形，得出四边形为菱形； （2）（ⅰ）根据垂直平分线的性质和等腰三角形三线合一，证明，再根据，即可得出； （ⅱ）连接，根据已知条件和等腰三角形的性质，算出，得出，证明，再证明，即可证明结论． 【详解】（1）证明：设与相交于点O， ，， ， ， ，， ， ， 四边形为平行四边形， ， 四边形为菱形． （2）（ⅰ）根据（1）可知，， 垂直平分， ， ， ， 垂直平分， ， ， ， ， ， （ⅱ）连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 19．如图①，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x，y轴分别交于A，B两点，正比例函数的图象与交于点．    (1)求n、k的值； (2)已知点D是直线：上的一个动点． ①过点D作轴，交直线于点P，当点D，P关于x轴对称时，则点D的横坐标为______； ②连接，当的面积是面积的2倍时，求点D的坐标； (3)如图②，设点E的坐标为，且，连接，以为边向下作正方形． ①用含t的式子表示点M的坐标为(______，______)； ②连接，若落在的内部（含边上），则t的取值范围是______． 【答案】(1)n、k的值分别为、； (2)①；②或 (3)①；② 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质，正方形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，数形结合是解题的关键． （1）把点分别代入函数解析式即可得到答案； （2）①由（1）可知，直线：，直线：，设点D的坐标为，得到点P的坐标是，点D，P关于x轴对称，则，解得，即可得到答案；②求出点A的坐标是，点B的坐标是，设点D的坐标为，则，，根据的面积是面积的2倍得到，解得值，即可得到答案； （3）①点C作轴于点F，过点M作于点H，则，证明，则，得到，则，即可得到点M的坐标为；②连接，相交于点K，则点K是的中点，也是的中点，根据中点坐标公式求出点的坐标是，求出，当时，即时，，此时满足题意，当时，即时，，此时无解，即可得到答案． 【详解】（1）把点代入得， ， 解得，， 把点代入得，， 解得， 即n、k的值分别为、； （2）①由（1）可知，直线：，直线：， 设点D的坐标为， ∵过点D作轴，交直线于点P， ∴点P的坐标是， ∵点D，P关于x轴对称， ∴ 解得， ∴， ∴点D的坐标为 故答案为： ②当时， 当时，，解得， ∴点A的坐标是，点B的坐标是， 设点D的坐标为，则 ， ， ∵的面积是面积的2倍 ∴， 解得， ∴当时，， 当时，， ∴点D的坐标为或 （3）①点C作轴于点F，过点M作于点H，则， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点E的坐标为， ∴ ∴， ∴， ∴点M的坐标为， 故答案为： ②连接，相交于点K，则点K是的中点，也是的中点，    ∵．点E的坐标为，点M的坐标为， ∴， ∴， ∴点的坐标是， 当时，，解得， 当时，，解得， ∴，解得， 当时，即时，，此时满足题意， 当时，即时，，此时无解， 综上可知， 故答案为： 20．如图①，在正方形边、上分别取点、，连接、、，当时，通过将绕点顺时针旋转得，这样就将与转移到一条直线上，再通过全等可证得． (1)请写出证明过程． 反思交流： (2)如图②，若点、分别为、延长线上一点时，、、之间有什么数量关系？请用以上证明方法证明你的结论； 拓展延伸： (3)如图③，若四边形中，，，点、分别为射线、上一点，，直接写出、、之间数量关系； (4)如图④，若四边形为菱形，且，点、分别为的、边上一点，，直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1)见解析； (2)，见解析； (3)； (4) 【分析】（1）证明，由全等三角形的性质得出，证明，由全等三角形的性质得出； （2）将绕点顺时针旋转到，连接，证明，由全等三角形的性质得出，，证明，由全等三角形的性质得出； （3）延长到点，使，连接，即可证明，可得，再证明，可得，即可得出结论； （4）将绕点顺时针旋转得，连接，则，证明，由全等三角形的性质得出，则可得出结论． 【详解】（1）证明：将绕点顺时针旋转到，将与转移到一条直线上， 则，， 在正方形中，，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）解：． 理由如下： 将绕点顺时针旋转到，连接， 则，， 在正方形中，，， ， 在和中， ， ， ，， ， ，，三点在一条直线上， ，， ， ， 在和中， ， ， ； （3）解：． 理由：如图2，延长到点，使，连接， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （4）解：． 将绕点顺时针旋转得，连接，则， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，菱形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 21．在菱形中，是直线上一动点，以为边向右侧作等边按逆时针排列)，点的位置随点的位置变化而变化． (1)如图1，当点在线段上，且点在菱形内部或边上时，连结，小明通过连接后证明得到与的数量关系是______________； (2)如图2，当点在线段上，且点在菱形外部时，(1)中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由； (3)当点在的延长线上时，其他条件不变，连接，若，，求的长． 【答案】(1) (2)（1）中的结论仍然成立，详见解析 (3) 【分析】（1）根据菱形的性质及等边三角形的性质可知，再根据全等三角形的判定与性质即可解答； （2）根据菱形的性质及等边三角形的性质可知，再根据全等三角形的判定与性质即可解答； （3）根据菱形的性质及直角三角形可知，再根据全等三角形的判定与性质可知，最后利用直角三角形的性质 及勾股定理即可解答． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图，连接，延长交于点， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴； 故答案为； （2）解：仍然成立，理由如下： 如图，连接，延长交于点， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴是等边三角形， ∴，，，， ∵是等边三角形 ， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解： 当点在的延长线上时，连接交于点，连接，， ∵四边形是菱形， ∴，平分，， ∵，， ∴， ∴， 由（2）可知：， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴在中，， ∴． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的判定与性质，勾股定理，根据题意作出辅助线是解题的关键． 22．如图，在中，平分，延长使得，连接． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)如图，过作交于点，点在上，平分，过作交的延长线于点． ①求证：点在的垂直平分线上； ②试探究：的数量关系，并证明． 【答案】(1)矩形，理由见解析 (2)①见解析；②，理由见解析 【分析】本题考查了四边形综合题，掌握矩形的性质，构造平行四边形，是解题关键． （1）由角平分线的定义可得，由等腰三角形的性质可得，可得，由矩形的判定可求解； （2）①连接．由，得．由，，得，得，故点在的垂直平分线上； ②过作，交延长线于，连接．由平分平分，得，故是等腰，得，利用角度换算得．再证明，最后证明四边形是平行四边形，故． 【详解】（1）解：四边形是矩形，理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； （2）解：①证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由，得， ∴， ∴点在的垂直平分线上； ②． 理由：过作，交延长线于，连接， ∵平分，平分， ∴，， ∴， 又， ∴是等腰， ∴， 设，则， ∵， ∴． ∴， ∴， ∴． 由， 得， ∴， ∴为等腰， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$