第二章 实数（B卷·培优卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记·巧练（四川成都专用，北师大版）

第二章 实数（B卷·培优卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．如图，在数轴上的A，B两点表示的数分别为和5.1，则A，B两点之间表示整数的点共有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的估算、实数与数轴，掌握无理数的估算方法是解题关键．先得出， 然后再根据实数与数轴可得出答案． 【详解】解：∵，∴， ∴和5.1之间有整数，2，3，4，5一共4个， 故选：C． 2．估算的值约为（误差小于0.1）（    ） A．4.1或4.2 B．4.3或4.4 C．4.4或4.5 D．4.5或4.6 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的估算，根据相关性质进行计算比较即可． 【详解】解：依题意， A、，故该选项是错误的； B、，故该选项是错误的； C、，故该选项是正确的； D、，故该选项是错误的； 故选：C 3．如图，已知数轴上的点A、B、C、D分别表示数、1、2、3，则表示数的点P应落在线段（   ） A．上 B．上 C．上 D．上 【答案】B 【分析】此题主要考查的是实数的比较大小，无理数的估算，熟练掌握无理数的估算是解决此题的关键．先求出的取值范围，从而求出的取值范围，然后根据数轴即可得出结论． 【详解】解：， ， 即， 由数轴可知表示的点应落在线段上，故B正确． 故选：B． 4．已知，则的值为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件．熟练掌握被开方数是非负数，是解决问题的关键． 被开方数是非负数，得到，得到，即得． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 5．下列说法错误的个数为（ ）个． （1）；（2）的倒数是； （3）；（4）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据二次根式运算法则和二次根式性质，判定每个式子的正误即可得出答案． 本题考查二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确二次根式混合运算的计算方法． 【详解】解：（1），故错误； （2）的倒数为，故错误； （3）当时，，故错误； （4），故正确； ∴符合题意的有3个； 故选：C． 6．下列说法∶①；②64的平方根是，立方根是；③；④有意义，则；其中结论正确的序号是（   ） A．①③ B．③④ C．①②④ D．①④ 【答案】B 【分析】此题主要考查平方根的定义，二次根式的性质，立方根的定义和性质，正确掌握相关运算法则是解题关键． 直接利用平方根的定义以及二次根式的性质，立方根的定义和性质，分别化简判断得出答案． 【详解】解：①，故此选项错误； ②64的平方根是，立方根是4，故此选项错误； ③，正确； ④有意义，则，正确． 故选：B． 7．化简的结果是（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】先将根号内整理为和，再化简，并计算即可． 【详解】原式． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，理解是解题的关键． 8．已知的整数部分为a，小数部分为b，则的值为（   ） A． B． C． D．5 【答案】A 【分析】利用算术平方根的估算可知，，即，，由此即可求得结果． 本题主要考查了实数的估算，熟练掌握其整数及小数部分的求法是解题的关键． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 9．如图，若实数，，在数轴上的对应点如图所示，则化简 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式的化简和绝对值的化简，掌握利用数轴判断式子或字母的符号、绝对值的性质和二次根式的性质是解题关键．由数轴可知：，，然后根据绝对值的性质和二次根式的性质化简即可． 【详解】解：由图可知：，， ， 故答案为：． 10．已知的三边分别为，化简 ． 【答案】4 【分析】本题考查了三角形的三边关系以及二次根式的化简，正确理解二次根式的性质是关键． 首先根据三角形的三边的关系求得的范围，然后根据二次根式的性质进行化简． 【详解】解：、、5是三角形的三边， ， ，， 原式． 故答案为：4． 11．已知，，则 ． 【答案】8 【分析】本题考查的是二次根式的乘法运算，完全平方公式与平方差公式的灵活应用，熟记运算法则是解本题的关键．先计算出，，再将变形为，代入数据计算即可． 【详解】解：，， ，， ， 故答案为：8． 12．已知，是两边，且满足，则第三边长是 ． 【答案】5或 【分析】本题考查的是非负数的性质、勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．根据非负数的性质分别求出、，分是直角边、是斜边两种情况，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：， ， ，， 解得，(舍去)，， 当是直角边时，斜边， 当是斜边时，第三边长， 故答案为：5或． 13．已知一个三角形的三边长分别为1，1，x，化简： ． 【答案】 【分析】根据三角形三边关系定理，得，结合，去掉绝对值即可． 本题考查了三角形三边关系定理，二次根式的化简，熟练掌握二次根式的化简是解题的关键． 【详解】解：∵三角形的三边长分别为1，1，x， ∴， ∴， ∴，， ∴ ． 故答案为：． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14．已知a、b、c满足． (1)求a、b、c的值． (2)试问：以a、b、c为三边长能否构成三角形，如果能，请求出这个三角形的周长，如不能构成三角形，请说明理由． 【答案】(1)，，； (2)以、、为三边长能构成三角形，周长为． 【分析】本题考查非负数的性质与构成三角形的边的关系，熟记平方、绝对值和二次根式的非负性是关键． （1）由绝对值、平方的非负性与二次根式有意义的条件得到，，即可求解； （2）由构成三角形的变得关系即可判断． 【详解】（1）解：， ∴， ，，， 解得：，，； （2）解：以、、为三边长能构成三角形，理由如下： 由（1）知，，，． ， ，即， 以、、为三边长能构成三角形． 周长． 15．如图， (1)【感知】如图①，将两个边长为1的小正方形分别沿一条对角线剪开，得到四个等腰直角三角形，即可拼成一个大正方形，则这个大正方形的边长是_______． (2)【探究】如图②是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1． ①通过裁剪，将阴影部分的图形拼成一个正方形，请在空白网格中画出拼成的正方形； ②所拼成的正方形的边长是________． (3)【应用】小明想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长与宽之比为，请通过计算说明他能否裁出这样的纸片？ 【答案】(1) (2)①见解析（画法不唯一）；② (3)不能，理由见解析 【分析】本题考查的是作图-应用与设计作图，熟知勾股定理是解答此题的关键． （1）大正方形的边长就是等腰直角三角形的斜边长，利用勾股定理可得答案； （2）①由正方形的定义可得拼的图形； ②根据勾股定理求解； （3）设长方形纸片的长为，宽为，利用长方形面积公式可得方程，求解比较即可． 【详解】（1）， 故答案为：； （2）①如图所示： ②． 故答案为：； （3）设长方形纸片的长为，宽为，根据题意得， 解得，（舍去）， ∵， ∴长方形纸片的长大于原正方形纸片的边长， ∴小明不能裁出这样的长方形纸片． 16．先阅读下列的解答过程，然后再解答：形如的化简，只要我们找到两个数a、b，使，使得，那么便有：． 例如：化简． 解：首先把化为，这里，由于即，； ． 由上述例题的方法化简：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，读懂阅读材料中的方法是解题的关键．先将原式变形，再由，，仿照阅读材料中的方法计算即可． 【详解】解：，这里， 由于，， ∴， ∴ ． 17．阅读下面的文字，解答问题： 【阅读材料】现规定：分别用和表示实数x的整数部分和小数部分，如实数3.14的整数部分是，小数部分是；实数的整数部分是，小数部分是无限不循环小数，无法写完整，但是把它的整数部分减去，就等于它的小数部分，即就是的小数部分，所以． (1)___________，_________；________，__________． (2)如果，，求的立方根． 【答案】(1)1，，3，；(2)2 【分析】本题考查了估算无理数的大小和平方根的意义，求一个数的立方根，能够估算出无理数的范围是解决问题的关键． （1）先估算出和的范围，再根据题目规定的表示方法写出答案即可； （2）先估算出，的范围，即可求出，的值，进一步即可求出结果． 【详解】（1）解：，， ，，，， 故答案为：1，，3，； （2）解：，， ，， ， 的立方根是2． 18．如图，观察图形，认真分析，其中表示的面积，表示的面积，…，以此类推． ，； ，； ，； …． 根据以上规律，解答下列问题： (1)填空：______，______； (2)求的值． 【答案】(1)6，(2) 【分析】本题考查勾股定理，数字类规律探索，二次根式的计算．理解题意，找出规律是解题关键． （1）根据题意可得出，，再令求解即可； （2）由（1）可得出，再结合二次根式的运算法则计算即可． 【详解】（1）解：，； ，； ，； …， ∴，． 当时，即，． 故答案为：6，； （2）解：由（1）可知 ． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小題，每小題4分，共20分，答案写在答题卡上） 19．化简 ． 【答案】 【分析】将原式变形为，再求出，继而化简得到． 【详解】解：设 则 ， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的运算法则和二次根式的性质． 20．当时，多项式的值为 【答案】 【分析】本题考查已知字母的值，求代数式的值，根据已知条件，得到，进而得到，将多项式转化为，再代值计算即可，本题的难度较大，关键是将已知式子进行变形，转化． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：. 21．如图所示，数轴上表示1，的对应点分别为，，则以点为圆心，为半径的圆交数轴于点，则点表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数与数轴的对应关系．关键是根据点的坐标求半径，根据线段之间的关系求C点坐标．先求，根据，求C点坐标． 【详解】解：依题意，， ∵半径, ∴ ， 故答案为： ． 22．已知实数a满足，则 ． 【答案】2022 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件以及实数的运算．根据二次根式有意义可得a的取值范围，再根据绝对值的性质解答即可． 【详解】解：由题意得，， 解得， ∵， ∴， ∴， 即， ∴． 故答案为：2022． 23．若记表示任意实数的整数部分，例如：，，…，则（其中“”“”依次相间）的值为 ． 【答案】5 【分析】找到所有平方数，确定其中间各个数字的个数规律，直接计算即可得到答案 【详解】解：，，，，，，，，，， ∵表示任意实数的整数部分 由3个1，有5个2，有7个3，有9个4，有个5， 有个6，有个7，有个8，有个9， ∴原式， 故答案为：5； 【点睛】本题考查根数估算与规律题，解题的关键是找到两个平方数之间数字的个数及符号选择． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 24．（1），，求代数式的值． （2）先化简，再求值． ，其中，． 【答案】（1） （2）， 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，平方差公式等知识点，能灵活运用二次根式的运算法则进行计算是解题的关键． （1）先求出和的值，再把变成，最后代入求出答案即可； （2）先根据二次根式的性质、二次根式的加减混合运算法则对原式进行化简，然后求出的值，再代入原式即可求出答案． 【详解】解：（1），， ， ， ； （2），， ， 当，时， ， 原式． 25．【阅读理解】 在解决数学问题时，我们一般先仔细阅读题干，找出有用信息作为已知条件，然后利用这些信息解决问题，但是有的题目信息比较明显，我们把这样的信息称为显性条件；而有的信息不太明显，需要结合图形、特殊式子成立的条件、实际问题等发现隐含信息作为条件，我们把这样的条件称为隐含条件，所以我们在做题时，要注意发现题目中的隐含条件． 阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题． 化简：． 解：隐含条件为，解得， ∴， ∴原式． 【启发应用】 (1)按照上面的解法，试化简：； (2)已知a、b、c为的三边长，化简：． 【答案】(1)1(2) 【分析】本题考查二次根式的性质，化简绝对值，三角形的三边关系： （1）要使有意义，其被开方数应大于或等于0，求出的取值范围，再根据二次根式的性质化简即可； （2）根据三角形三边关系及二次根式的性质可得答案． 【详解】（1）解：隐含条件为，得， ∴． ∴原式； （2）解：∵a，b，c为的三边长， ∴， ∴， ∴ ． 26．将边长分别为，，，，的正方形的面积记为，，, (1)计算：，， ； (2)把边长为的正方形的面积记作，其中是整数，从（）中计算结果，你能猜出等于多少吗？你的猜想是否正确，请说明理由． (3)若将边长变为，， ，时，的值是多少？ 【答案】(1)，，； (2)，理由见解析； (3)． 【分析】（）根据正方形的面积公式列式计算即可求解； （）根据正方形的面积公式列出算式，利用完全平方公式化简即可求证； （）根据正方形的面积公式列出算式，利用完全平方公式化简即可求解； 本题考查了二次根式的混合运算，掌握完全平方公式的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：； ； ； （2）解：，理由如下： ， ， ， ， ； （3）解：由题意得， ， ， ， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 实数（B卷·培优卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．如图，在数轴上的A，B两点表示的数分别为和5.1，则A，B两点之间表示整数的点共有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．估算的值约为（误差小于0.1）（    ） A．4.1或4.2 B．4.3或4.4 C．4.4或4.5 D．4.5或4.6 3．如图，已知数轴上的点A、B、C、D分别表示数、1、2、3，则表示数的点P应落在线段（   ） A．上 B．上 C．上 D．上 4．已知，则的值为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 5．下列说法错误的个数为（ ）个． （1）；（2）的倒数是； （3）；（4）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．下列说法∶①；②64的平方根是，立方根是；③；④有意义，则；其中结论正确的序号是（   ） A．①③ B．③④ C．①②④ D．①④ 7．化简的结果是（    ） A． B． C．2 D． 8．已知的整数部分为a，小数部分为b，则的值为（   ） A． B． C． D．5 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 9．如图，若实数，，在数轴上的对应点如图所示，则化简 ． 10．已知的三边分别为，化简 ． 11．已知，，则 ． 12．已知，是两边，且满足，则第三边长是 ． 13．已知一个三角形的三边长分别为1，1，x，化简： ． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14．已知a、b、c满足． (1)求a、b、c的值． (2)试问：以a、b、c为三边长能否构成三角形，如果能，请求出这个三角形的周长，如不能构成三角形，请说明理由． 15．如图， (1)【感知】如图①，将两个边长为1的小正方形分别沿一条对角线剪开，得到四个等腰直角三角形，即可拼成一个大正方形，则这个大正方形的边长是_______． (2)【探究】如图②是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1． ①通过裁剪，将阴影部分的图形拼成一个正方形，请在空白网格中画出拼成的正方形； ②所拼成的正方形的边长是________． (3)【应用】小明想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长与宽之比为，请通过计算说明他能否裁出这样的纸片？ 16．先阅读下列的解答过程，然后再解答：形如的化简，只要我们找到两个数a、b，使，使得，那么便有：． 例如：化简． 解：首先把化为，这里，由于即，； ． 由上述例题的方法化简：． 17．阅读下面的文字，解答问题： 【阅读材料】现规定：分别用和表示实数x的整数部分和小数部分，如实数3.14的整数部分是，小数部分是；实数的整数部分是，小数部分是无限不循环小数，无法写完整，但是把它的整数部分减去，就等于它的小数部分，即就是的小数部分，所以． (1)___________，_________；________，__________． (2)如果，，求的立方根． 18．如图，观察图形，认真分析，其中表示的面积，表示的面积，…，以此类推． ，； ，； ，； …． 根据以上规律，解答下列问题： (1)填空：______，______； (2)求的值． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小題，每小題4分，共20分，答案写在答题卡上） 19．化简 ． 20．当时，多项式的值为 21．如图所示，数轴上表示1，的对应点分别为，，则以点为圆心，为半径的圆交数轴于点，则点表示的数是 ． 22．已知实数a满足，则 ． 23．若记表示任意实数的整数部分，例如：，，…，则（其中“”“”依次相间）的值为 ． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 24．（1），，求代数式的值． （2）先化简，再求值． ，其中，． 25．【阅读理解】 在解决数学问题时，我们一般先仔细阅读题干，找出有用信息作为已知条件，然后利用这些信息解决问题，但是有的题目信息比较明显，我们把这样的信息称为显性条件；而有的信息不太明显，需要结合图形、特殊式子成立的条件、实际问题等发现隐含信息作为条件，我们把这样的条件称为隐含条件，所以我们在做题时，要注意发现题目中的隐含条件． 阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题． 化简：． 解：隐含条件为，解得， ∴， ∴原式． 【启发应用】 (1)按照上面的解法，试化简：； (2)已知a、b、c为的三边长，化简：． 26．将边长分别为，，，，的正方形的面积记为，，, (1)计算：，， ； (2)把边长为的正方形的面积记作，其中是整数，从（）中计算结果，你能猜出等于多少吗？你的猜想是否正确，请说明理由． (3)若将边长变为，， ，时，的值是多少？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$