10.1 函数（三）一元二次函数及函数的实际应用（教学设计）-2024届湖北省中职高考数学总复习

课题 函数（三）一元二次函数及函数的实际应用 课时 1课时（45 min） 教学目标 知识技能目标： （1）掌握一元二次函数的定义 （2）熟悉一元二次函数常用解析式的形式 （3）熟悉一元二次函数的图象和性质 （4）了解两种特殊函数 素质目标： 培养学生的逻辑思维、辩证思维和创新思维能力；引导学生养成独立思考和深度思考的良好习惯；树立学生实事求是、一丝不苟的科学精神 教学重难点 教学重点：一元二次函数常用解析式的形式 教学难点：在实际问题中建立二次函数模型 教学方法 案例分析法、问答法、讨论法、讲授法 教学用具 电脑、投影仪、多媒体课件、教材 教学设计 10.1： 课前任务→考勤（2 min）→问题导入（5 min）→考点讲解（10 min）→典型例题（28 min） 10.2：问题导入（5 min）→课堂实训（35 min）→课堂小结（3 min）→作业布置（2 min） 教学过程 主要教学内容及步骤 设计意图 10.1 课前任务 【教师】布置课前任务，和学生负责人取得联系，让其提醒同学完成课前任务 复习一元二次函数的相关知识，思考函数的实际应用 【学生】完成课前任务 通过课前任务，使学生了解所学课程的重要性，增加学生的学习兴趣 考勤 （2 min） 【学生】班干部报请假人员及原因 培养学生的组织纪律性，掌握学生的出勤情况 问题导入 （5 min） 【教师】提出以下问题： 一元二次函数常用解析式的形式有哪些？ 【学生】思考、举手回答 【教师】通过学生的回答引入要讲的知识 通过问题导入的方法，引导学生主动思考，激发学生的学习兴趣 考点讲解 （10 min） 【教师】通过多媒体展示身边的分段函数，并介绍相关的概念及分类 一、一元二次函数的定义 一般地，如果y = ax2 + bx+ c ( a ，b ，c 是常数且 a ≠ 0 ) ，那么 y 称为x 的一元二次函数，它的定义域为R。 二、一元二次函数常用解析式的形式 一元二次函数常用解析式的形式有3种，包括一般式、顶点式和截距式，其解析式如表所示。 三、一元二次函数的图象和性质 一元二次函数y = ax² + bx + c (a ≠ 0) 的图象和性质如表所示。 四、两种特殊函数 1．分段函数 在定义域中，对于自变量x的不同取值范围，对应法则不同，这样的函数称为分段函数。 求分段函数值f() 时，首先应判断所属的取值范围，然后再把代入相应的解析式进行计算。 ✈【教师】解题技巧 分段函数是一个函数，只是需要分段表示。 ✈【学生】聆听、记录 2．常值函数 无论自变量x 取什么值，函数值总等于同一个数，这样的函数称为常值函数。 【学生】聆听、记录、理解 通过教师的讲解和媒体展示，带领学生复习一元二次函数的定义、数常用解析式的形式、图象和性质和两种特殊函数，加深学生的印象，巩固所学知识 典型例题 （28 min） 【教师】讲解典型例题，串联所学知识点 例1 已知函数f (x) = 则f {f [f (−1)]} = __________。 ✈【教师】进行解析： 求分段函数的函数值时，通常有几个“f”就需要进行几次代入计算。 − 1∈(−∞ ，0] ⇒ f (−1) = 0 ，0 ∈(−∞ ，0] ⇒ f (0) = 1 ，1∈(0 ，+∞) ⇒ f (1) = 2 ． 因此，f {f [f (−1)]} = 2。 ✈【学生】聆听、记录 例2 已知一元二次函数的顶点坐标为 (3，− 2) ，且其图象过点 (0 ，7) ，则一元二次函数的解析 式为 __________。 ✈【教师】进行解析： 题中可运用待定系数法求解函数解析式，即如果已知一元二次函数的顶点坐标 (h ，k) ，则可设函数解析式为f(x) = a(x − h)² + k (a ≠ 0) ，再根据其他条件列出关于a的方程，求出 系数a。 因为顶点坐标为 (3，− 2) ，所以设一元二次函数的解析式为 f(x) = a(x − 3)²− 2 ．又因为图象过点 (0 ，7) ，代入函数解析式得 a × (0 − 3)²− 2 = 7 ，解得 a = 1 ，故所求解析式为 f (x) = (x − 3)²− 2 = x²− 6x + 7 。 ✈【学生】聆听、记录 例3 如果函数f (x) = x² + bx + c 对于任意实数 t 都有f (1 + t) = f (1 − t) ，那么( )。 A．f (1) < f (0) < f (3) B．f (0) < f (1) < f (3) C．f (1) < f (3) < f (0) D．f (3) < f (1) < f (0) ✈【教师】进行解析： 一元二次函数中比较函数值大小的一般步骤如下： ( 1 )确定开口方向和对称轴； (2)根据函数图象开口方向及各点到对称轴的距离大小得出结论： ① 当一元二次函数图象开口 向上时，点到对称轴的距离越大，点越在上方，函数值越大； ② 当一元二次函数图象开口向下时，点到对称轴的距离越大，点越在下方，函数值越小。 因为f (1 + t) = f (1−t) 对于一切的t ∈ R均成立，所以f (x) 的图象关于直线x = 1对称。 因为a > 0，抛物线开口向上，所以 f (1) 是 f(x) 的最小值．因为 | 0−1 | < | 3 − 1 | ，所以 f (0) < f (3) ，故f (1) < f (0) < f (3) ，正确选项为 A。 ✈【教师】介绍解题技巧： “函数y = f (x) 的图象关于直线x = t 对称”的充要条件为“f (t − x) = f (t + x) ”。 ✈【学生】聆听、记录 例4一元二次函数y =−x²+ 2x + 8 ，x∈ [−2 ，2] 的值域是 __________。 ✈【教师】进行解析： 求一元二次函数在指定区间内的最小值和最大值的步骤： 配方→确定图象(可能是一部分) →找出图象的最低点和最高点→确定相应的最小值和最大值。 函数y = −x² + 2x + 8 = −(x −1)² + 9 ，可得其对称轴为 x = 1 ，与 x 轴的交点坐标分别为 (−2 ，0) ， (4 ，0) ，与 y 轴的交点坐标为(0 ，8) ，进而画出该函数的图象，如图所示． 由图可得，在区间[−2 ，2] 内，f (1) = 9 是f (x) 的最大值，f (−2) = 0 是 f (x) 的最小值，故在该区间内函数的值域为 [0 ，9] 。 ✈【学生】聆听、记录 例5 若函数y = 2x²+ (a −1)x + 6 在 (−∞ ，1) 内是减函数，则 a 的取值范围是 ___________。 ✈【教师】进行解析： 此类题目应从一元二次函数的对称轴入手，结合函数图象观察对称轴与给定区间的位置关系，然后列出包含参数的不等式，进而求解。 函数y = 2x²+ (a −1)x + 6 的对称轴为x = −= − ，与 y 轴的交点坐标为 (0 ，6) ，图象开口向上，则函数的大致图象如图所示。 由图可得，要满足函数y 在 (−∞ ，1) 内是减函数，则 − ≥1 ，解得a − 3 ，即a的取值范围是 (−∞ ，− 3]。 ✈【学生】聆听、记录 例6 如果某商人将进价为8元的商品，按每件10元出售，每天可销售100 件。现在他采用提高售价、减少进货的办法来增加利润。已知商品的售价每提高1元，销售量就减少10件，当每件商品的售价定为多少时，每天的利润最大？最大的利润是多少？ ✈【教师】进行解析： 本题考查一元二次函数的实际应用。根据已知条件列出相应的一元二次函数解析式后，再根据一元二次函数的最值性质进行求解。 (解法一)设每件商品的售价为x元，利润为y元，则 y = (x − 8)[100 −10(x −10)] = − 10x²+ 280x −1600 = −10(x − 14)²+ 360 ． 因此，当售价为 14 元时，每天的利润达到最大值，最大值为 360 元． (解法二)设每件商品的售价提高x元，利润为y元，则 y = (10 + x − 8)(100 − 10x) = − 10x² + 80x + 200 = −10(x − 4)²+ 360 ✈【学生】聆听、记录 【学生】聆听、记录、理解 通过对典型例题的讲解，促进知识的前后联系，及时解决学生的疑难问题，提高学生的解题技巧和能力，使学生在原有的基础上得到更大的提高 课堂小结 （3 min） 【教师】简要总结本节课的要点 本节课复习了一元二次函数的定义、数常用解析式的形式、图象和性质和两种特殊函数。希望大家在课下多加练习，巩固所学知识 【学生】总结回顾知识点 总结知识点，巩固学生对一元二次函数的定义、数常用解析式的形式、图象和性质和两种特殊函数相关知识的印象 作业布置 （2 min） 【教师】布置课后作业 完成本节“难点突破”“直击真题”中的习题 【学生】完成课后任务 通过课后作业复习巩固学到的知识，熟练运用知识点 教学反思 本节课效果不错，每个学生都积极参与到教学活动中，发挥了自己的价值。教学中注意分析学生的特点，根据不同学生的学习情况采用灵活多样的教学方法，极力营造一种平等和谐、活跃有序的课堂氛围。 学科网（北京）股份有限公司 $$