高二数学开学摸底考试卷03 (考试范围：必修第一、二册+空间向量)-2024-2025学年高二数学上学期考点剖析及分层精练（人教A版）

2024-2025学年高二数学上学期考点剖析及分层精练（人教A版） 高二数学开学摸底考试卷03 （考试范围：必修第一、二册+空间向量 考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．在复平面内，非零复数z满足（i为虚数单位），则复数z对应的点在（    ） A．一、三象限 B．二、四象限 C．实轴上（除原点外） D．坐标轴上（除原点外） 2．已知空间向量，空间向量满足且，则＝（ ） A． B． C． D． 3．若函数，若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知平面向量满足， ，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．已知且，若函数，的最大值不超过1，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．已知为棱长为的正四面体各面所围成的区域内部（不在表面上）一动点，记到面，面，面，面的距离分别为，若，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 7．同时抛掷两枚质地均匀的骰子，观察向上的点数，记事件A=“点数之和为5”，事件B=“点数之积为6”，事件C=“至少有一个点数为3”，事件D=“点数都不为3”，则（    ） A．为不可能事件 B．与相互独立 C．B与D互斥 D．C与D互为对立 8．在中，内角的对边分别为，且，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9．某高中举行的数学史知识答题比赛，对参赛的2000名考生的成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为，若同一组中数据用该组区间中间值作为代表值，则下列说法中正确的是（    ） A．考生参赛成绩的平均分约为72.8分 B．考生参赛成绩的第75百分位数约为82.5分 C．分数在区间内的频率为0.2 D．用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为200的样本，则成绩在区间应抽取30人 10．已知函数（，，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A． B．的图象关于点对称 C．在区间上单调递减 D．将的图象向右平移个单位长度可得函数的图象 11．在长方体中，，，，，分别是，，上的动点，下列结论正确的是（    ） A．对于任意给定的点，存在点使得 B．对于任意给定的点，存在点使得 C．当时， D．当时，与平面的法向量垂直 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围为 13．若，则 . 14．已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，D为的中点，E为的中点，延长交于点F，若，则的面积为 . 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知复数的共轭复数为在复平面上对应的点在第一象限，且满足， (1)求复数； (2)求复数的模长． 16．（15分）2024年3月31日，贵州铜仁梵净山春季马拉松在梵净山赛道成功举行，其中志愿者的服务工作是马拉松成功举办的重要保障.铜仁市文体广电旅游局承办了志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图. (1)估计这100名候选者面试成绩的平均数和第80百分位数； (2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的宣传者.若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为62和40，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和50，请据此估计这次第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差. 17．（15分）如图，已知是半径为2，圆心角为的扇形，是扇形弧上的动点，是扇形的内接矩形.记. (1)用分别表示的长度： (2)当为何值时，矩形的面积最大？并求出这个最大面积. 18．（17分）如图，在三棱锥中，，，点O是的中点，平面. (1)求； (2)点M在直线上，二面角的正弦值为，求三棱锥的体积. 19．（17分）已知a，b，c分别是三内角A，B，C所对的三边，且． (1)求A的大小； (2)若，的面积为，求a，b； (3)求的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年高二数学上学期考点剖析及分层精练（人教A版） 高二数学开学摸底考试卷03 （考试范围：必修第一、二册+空间向量 考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．在复平面内，非零复数z满足（i为虚数单位），则复数z对应的点在（    ） A．一、三象限 B．二、四象限 C．实轴上（除原点外） D．坐标轴上（除原点外） 【答案】A 【详解】设，则， 因为，则，可得， 可知复数z对应的点在直线上（原点除外）， 所以复数z对应的点在一、三象限. 故选：A. 2．已知空间向量，空间向量满足且，则＝（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵，且空间向量满足， ∴可设， 又，∴，得． ∴，故A正确. 故选：A. 3．若函数，若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：①当时，由，得， 即，所以，解得； ②当时，由，得， 所以，解得，或（舍去）， 综上：， 故选：B． 4．已知平面向量满足， ，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意，，， 则， 所以. 故选：C 5．已知且，若函数，的最大值不超过1，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，在上单调递增， 则函数，故， 函数在上单调递增， 当时，在上单调递减， 所以函数的最大值不超过1， 则，又因为，解得：. 故选：C. 6．已知为棱长为的正四面体各面所围成的区域内部（不在表面上）一动点，记到面，面，面，面的距离分别为，若，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【详解】正四面体的棱长为，底面等边三角形一边上的高为， 底面外接圆的半径为，则正四面体的高． 正四面体的体积， 则，得， 又，， 可得． 当且仅当取等号． 故选：C． 7．同时抛掷两枚质地均匀的骰子，观察向上的点数，记事件A=“点数之和为5”，事件B=“点数之积为6”，事件C=“至少有一个点数为3”，事件D=“点数都不为3”，则（    ） A．为不可能事件 B．与相互独立 C．B与D互斥 D．C与D互为对立 【答案】D 【详解】对于A：当第一次向上的点数为2，第二次向上的点数为3时，事件同时发生，则A错误； 对于B：， 则，则与不相互独立，故B错误； 对于C：当第一次向上的点数为1，第二次向上的点数为6时，事件同时发生，则C错误； 对于D：设样本空间为，事件C与事件D不能同时发生，且，则C与D互为对立，故D正确； 故选：D 8．在中，内角的对边分别为，且，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为， 由正弦定理得， 所以， 所以， 由余弦定理得， ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以， 所以当时，取得最大值， 此时， 所以的最大值是． 故选：D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9．某高中举行的数学史知识答题比赛，对参赛的2000名考生的成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为，若同一组中数据用该组区间中间值作为代表值，则下列说法中正确的是（    ） A．考生参赛成绩的平均分约为72.8分 B．考生参赛成绩的第75百分位数约为82.5分 C．分数在区间内的频率为0.2 D．用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为200的样本，则成绩在区间应抽取30人 【答案】BC 【详解】对A，平均成绩 为，故A错误； 对B，由频率分布直方图知第75百分位数位于内， 则第75百分位数为，故B正确； 对C，分数在区间内的频率为，故C正确； 对D，区间应抽取人，故D错误. 故选：BC 10．已知函数（，，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A． B．的图象关于点对称 C．在区间上单调递减 D．将的图象向右平移个单位长度可得函数的图象 【答案】ACD 【详解】由题意可得，，，所以， 所以，所以， 又，因为，所以， 所以，故A正确； ，故B错误； 令，解得， 所以在单调递减，而，故C正确； 将的图象向右平移个单位长度可得函数的图象，故D正确. 故选：ACD 11．在长方体中，，，，，分别是，，上的动点，下列结论正确的是（    ） A．对于任意给定的点，存在点使得 B．对于任意给定的点，存在点使得 C．当时， D．当时，与平面的法向量垂直 【答案】ABD 【详解】如图所示，以为原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则，，，，，，，， 设，，，， 设，， 得，． ，，， 当时，，A正确； ，， 当时，，B正确； 若，则，， 此时，C错误； 若，则，， 又，， 设平面的法向量为， 则即 取，则，， 所以平面的一个法向量为， 故，D正确． 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围为 【答案】 【详解】由，得， 因为“”是“”的充分不必要条件， 所以集合是集合的真子集， 所以（不同时取等号），解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 13．若，则 . 【答案】 【详解】 ， 故答案为： 14．已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，D为的中点，E为的中点，延长交于点F，若，则的面积为 . 【答案】/ 【详解】 的面积为， 注意到， 所以 ， 因为三点共线，所以设， 而点是中点，点是中点， 所以，设， 所以，因为不共线， 所以，解得， 因为， 设的面积为，则. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：关键在于得到的面积，，由此即可顺利得解. 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知复数的共轭复数为在复平面上对应的点在第一象限，且满足， (1)求复数； (2)求复数的模长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设，则， 由题意可得，解得， 又因为在复平面上对应的点在第一象限，即，所以. （2）由（1）可知，则， 所以. 16．（15分）2024年3月31日，贵州铜仁梵净山春季马拉松在梵净山赛道成功举行，其中志愿者的服务工作是马拉松成功举办的重要保障.铜仁市文体广电旅游局承办了志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图. (1)估计这100名候选者面试成绩的平均数和第80百分位数； (2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的宣传者.若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为62和40，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和50，请据此估计这次第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差. 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）由图得， 解得， 则， ， ， 设第80百分位数为，则， ，解得， 故这100名候选者面试成绩的平均数为，第80百分位数为. （2）设第二组、第四组所有面试者的面试成绩的平均数、方差分别为， 且两组的频率之比为， 则第二组和第四组所有面试者的面试成绩的平均数为， 第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差为： ， 故第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差为. 17．（15分）如图，已知是半径为2，圆心角为的扇形，是扇形弧上的动点，是扇形的内接矩形.记. (1)用分别表示的长度： (2)当为何值时，矩形的面积最大？并求出这个最大面积. 【答案】(1)，； (2)时，. 【详解】（1）在直角三角形中，，， 在直角三角形中，，所以， 所以 （2）设矩形的面积为， 所以 ， 因为，所以 所以当，即时， 18．（17分）如图，在三棱锥中，，，点O是的中点，平面. (1)求； (2)点M在直线上，二面角的正弦值为，求三棱锥的体积. 【答案】(1). (2) 【详解】（1）因为，点O是的中点， 所以， 在直角中，， 又平面，平面，所以， 在直角中，， 又因为，所以， 在直角中，，所以，解得，所以. （2）如图： 以O为坐标原点，分别以，，所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 则，， 由题意平面的一个法向量为，设，，则， 设为平面的一个法向量，则，即， 令，则， 因为二面角的正弦值为，结合图和已知得二面角的平面角为， 所以，化简得， 解得或（舍去），所以，所以， 所以， 所以三棱锥的体积为. 19．（17分）已知a，b，c分别是三内角A，B，C所对的三边，且． (1)求A的大小； (2)若，的面积为，求a，b； (3)求的取值范围． 【答案】(1) (2)， (3)． 【详解】（1）由正弦定理得 ， 因为， 所以， 即， 因为，所以，故， 所以， 因为，所以， 故，解得； （2）因为，所以， 即，所以， 又因为，即， 所以； （3）因为， 所以， 设，因为，所以， 由（1）知，由余弦定理， 得，， ， ， 当时，取最小值；时，取最大值． 所以的取值范围是． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$