5.1角的概念推广与弧度制（课件）-2024届湖北省中职高考数学总复习

第5章 三角函数 中职高考数学总复习与同步练 考纲要求 知识单元 考试内容 考核要求                 三角函数 角的概念推广(终边相同角、象限角和界限角等) 了解 弧度制，角度与弧度的互化 理解 任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数的概念 理解 各象限角的三角函数值的正负号，特殊角(含界限角)的三角函数值 理解 同角三角函数的基本关系式：   理解 诱导公式：2kπ+α(k∈Z),-a,π±α的正弦、余弦及正切公式 了解 正弦函数的图象和性质 理解 余弦函数的图象和性质 了解 已知三角函数值求指定范围内的特殊角 了解   知识框架 三角函数 角的概念推广与弧度制 任意角的三角函数 同角三角函数的基本 关系式 诱导公式 三角函数的图象和性质 已知三角函数值求指定 范围内的特殊角 角的概念 角的分类 角的度量 任意角的三角函数的概念 三角函数值在各象限的正负号 特殊角的三角函数值 单位圆 同角三角函数的平方关系式 和商数关系式 α+2kπ的诱导公式 -α的诱导公式 π±α的诱导公式 正弦函数和余弦函数的图象 正弦函数和余弦函数的性质 考点1 角的概念推广与弧度制 考点2 任意角的三角函数 考点3 同角三角函数的基本关系式 考点4 诱导公式 考点5 三角函数的图象和性质 考点6 已知三角函数值求指定范围内的特殊角 01 角的概念推广与弧度制 1.1 角的概念 一条射线由位置 OA ，绕着它的端点 O ，按逆时针（或顺时针）方向旋转到另一位置 OB 形成的图形叫作角．端点 O 称为角的顶点，旋转开始位置的射线 OA 称为角的始边，终止位置的射线 OB 称为角的终边． 1.2 角的分类 按照不同的分类标准，可将角分为如表 5-1 所示的不同类型． 正角、负角和零角 表 5-1 分类标准 名称 定义或集合表示 举例         旋转方向   正角   按逆时针方向旋转所形成的角           负角   按顺时针方向旋转所形成的角   零角 不进行任何旋转所形成的角 0 1.2 角的分类 表 5-1 （续） 分类标准 名称 定义或集合表示 举例             所在象限 (象限角)   第一象限角   π - 4   第二象限角     5π 6   第三象限角         第四象限角         1.2 角的分类 表 5-1 （续） 分类标准 名称 定义或集合表示 举例       终边所落位置 (界限角) 终边落在x轴上的角 {β | β=kπ,k∈Z} π     终边落在y轴上的角     5π 2     终边落在坐标轴上的角         终边是否相同   终边相同的角   {βlβ=α+2kπ,k∈Z} 1.2 角的分类 （1）角的始边固定不动，终边逆时针旋转角增大，顺时针旋转角减小． （2）将角的顶点与坐标原点重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，它就是第几象限角． （3）界限角不属于任何象限，任何象限的角也都不是界限角． 敲黑板 1.3 角的度量 1）角度制与弧度制 角的度量方法有角度制和弧度制两种，这两种度量方法的定义、记法及它们之间的转换关系如表5-2 所示． 表5-2 1.3 角的度量 以“弧度”或者“度”为单位的角的大小都是一个与半径大小无关的定值． 敲黑板 常用特殊角的弧度与角度之间的转换如表5-3 所示． 表5-3 采用弧度制后，每一个角都对应唯一的一个实数；反之，每一个实数都对应唯一的一个角．这样， 角与实数之间就建立了一一对应关系． 1.3 角的度量 2）弧长及扇形面积公式 当角 α 用弧度表示时，其绝对值等于圆弧长 l 与半径 r 的比，即 ． （1）弧长公式：l = | α | r． （2）扇形面积公式： （ α 是圆心角的弧度数） 典例精讲 例1 与角 终边相同的角的集合是（　　）． A. B. C. D. 解析 因为 ，所以 与 是终边相同的角．因此，与角 终边相同的角可写为 ．故选 B． 典例精讲 【名师点睛】 本题考查的是终边相同的角的概念． 变式训练 1 解答下列问题． 写出与-495° 角终边相同的角的集合，并指出其中在 0° ～ 360° 范围内的角； 判断 780° 角所在的象限． 解题通法 判断 一个任意角所在象限的一般方法是，找出 0° ～ 360° 范围内与这个角终边相同的角，该角在第几象限，任意角就在第几象限． 典例精讲 易错警示 表示终边相同的角或各象限角时，需注意： （1）角度或弧度的运用要前后统一，不能在同一个表达式中出现两种用法． （2）不能遗漏“ k ∈ Z ”的条件． 典例精讲 例 2 下列命题正确的是（）． A．终边相同的角一定相等 B．第一象限角都是锐角 C．锐角都是第一象限角 D．小于 90° 的角是锐角 解析 终边相同的角不一定相等，A 选项错误；锐角组成的集合是 {a | 0°< a < 90°} ，第一象限角组成的集合是 {a | k × 360° < a < 90° + k × 360°，k ∈ Z} ，所以第一象限角不都是锐角，但锐角都是第一象限角，B 选项错误，C 选项正确；小于 90° 的角组成的集合为 {a | a < 90°} ，所以它不一定是锐角，还可能是负角，D 选项错误．故选 C． 【名师点睛】 本题考查角的基本概念，注意区分锐角、小于 90° 的角和第一象限角． 典例精讲 易错警示 （1）锐角一定是第一象限角，但第一象限角不一定是锐角． （2）锐角小于90° ，但小于90°的角不一定是锐角． （3）终边相同的角不一定相等，但相等的角其终边一定相同． 变式训练 2 下列命题错误的是（ ）． A．钝角都是第二象限角 B．第二象限角都是钝角 C．在同一坐标系中相等的角终边相同 D． -220° 角与 140° 角的终边相同 钝角一定属于 ，所以钝角一定是第二象限角，但第二象限角不一定是钝角． 敲黑板 典例精讲 例3 若 α 为第一象限角，那么 是第几象限角？ 解析 因为 k × 360° < a < k × 360° + 90° (k ∈ Z) ，所以 k ×180° < < k ×180° + 45° (k ∈ Z) ． （1）若 k 为偶数，设 k = 2n (n ∈ Z) ，则有 n × 360° < < n × 360° + 45° (n ∈ Z) ．此时， 的终边落在第一象限，且位于第一象限的角平分线与 x 轴正半轴所围成的区域内，不包括边界． （2）若 k 为奇数，设 k = 2n + 1 (n ∈ Z) ，则有 n × 360° + 180° < < n × 360° + 225° (n ∈ Z) ．此时， 的终边落在第三象限，且位于第三象限的角平分线与 x 轴负半轴所围成的区域内，不包括边界． 综上所述， 为第一或第三象限角，其终边范围如图 5-1 中的阴影部分所示． 典例精讲 【名师点睛】 本题考查各象限角的半角范围． 解题通法 将各象限二等分（见图5-2），图中Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ区域分别是第一、第二、第三和第四象限角的半角范围．例如， α 为第三象限角，则 的终边落在Ⅲ区域，即 为第二或第四象限角． 图5-1 图5-2 典例精讲 变式训练3 　若 α 是第四象限角，则 是第________ 象限角． 典例精讲 例 4 将下列各角度换算为弧度． （1） 75° ； （2） -120° ； （3） 225° ； （4） 450° ． 解析 （1） （2） （3） （4） 【名师点睛】 本题考查角度制与弧度制的转换，即弧度 = 角度 × ，角度 = 弧度 × ． 正角的弧度为正数，负角的弧度为负数，零角的弧度为零． 敲黑板 典例精讲 （1）角度换算为弧度时，“弧度（rad）”可以省略不写，且常常把弧度数写成多少 π 的形式． 如无特殊要求，一般不必把 π 写成小数． （2）弧度换算为角度时，“度（°）”不能省略． 敲黑板 变式训练4 将下列各弧度换算为角度． （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 典例精讲 例 5 一段公路的弯道半径为 48 m ，转过的圆心角为 60° ，求该弯道的长度．（结果精确到 1 m） 解析 ，由弧长公式可得， ． 因此，该弯道的长度为． 50 m 【名师点睛】 本题考查弧长公式的实际运用． 易错警示 运用弧长及扇形面积公式时，要先将圆心角 α 的单位转化为弧度，再代入公式进行计算． 变式训练 5 一扇形的周长为 20 cm，当扇形的圆心角 a 等于多少时，这个扇形的面积最大？最大面积是多少？ $$