5.2任意角的三角函数（课件）-2024届湖北省中职高考数学总复习

第5章 三角函数 中职高考数学总复习与同步练 考纲要求 知识单元 考试内容 考核要求                 三角函数 角的概念推广(终边相同角、象限角和界限角等) 了解 弧度制，角度与弧度的互化 理解 任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数的概念 理解 各象限角的三角函数值的正负号，特殊角(含界限角)的三角函数值 理解 同角三角函数的基本关系式：   理解 诱导公式：2kπ+α(k∈Z),-a,π±α的正弦、余弦及正切公式 了解 正弦函数的图象和性质 理解 余弦函数的图象和性质 了解 已知三角函数值求指定范围内的特殊角 了解   知识框架 三角函数 角的概念推广与弧度制 任意角的三角函数 同角三角函数的基本 关系式 诱导公式 三角函数的图象和性质 已知三角函数值求指定 范围内的特殊角 角的概念 角的分类 角的度量 任意角的三角函数的概念 三角函数值在各象限的正负号 特殊角的三角函数值 单位圆 同角三角函数的平方关系式 和商数关系式 α+2kπ的诱导公式 -α的诱导公式 π±α的诱导公式 正弦函数和余弦函数的图象 正弦函数和余弦函数的性质 考点1 角的概念推广与弧度制 考点2 任意角的三角函数 考点3 同角三角函数的基本关系式 考点4 诱导公式 考点5 三角函数的图象和性质 考点6 已知三角函数值求指定范围内的特殊角 02 任意角的三角函数 任意角的三角函数的概念 如图 5-3 所示，设 α 是平面直角坐标系中的一个任意角，点 P(x ，y) 为角α 终边上的任意一点，点 P 到原点的距离 ，那么角 α 的正弦、余弦和正切分别定义为 2.1 对每一个确定的 α 值，其正弦、余弦和正切（当 x ≠ 0 时）都分别对应一个确定的比值．因此，正弦、余弦和正切都是以 α 为变量的函数，分别叫作正弦函数、余弦函数和正切函数，它们都是三角函数． 图 5-3 任意角的三角函数的概念 正弦函数、余弦函数和正切函数的定义域和值域如表5-4 所示． 2.1 表5-4 当角 α 的终边在 y 轴上时， ，终边上任意一点的横坐标 x 的值都等于 0， 此时 无意义． 敲黑板 三角函数 定义域 值域 sina R [-1,1] COSa R [-1,1]   tanα   R 三角函数值在各象限的正负号 由于 r > 0 ，所以三角函数值在各象限的正负号由终边上点 P 的坐标来确定，具体如图 5-4 所示． 2.2 图 5-4 三角函数值在各象限的正负号 2.2 三角函数值在各象限的正负号情况记忆口诀： ① “一全正”（第一象限内， sin α ， cos α 和tan α 全部为正）； ② “二正弦”（第二象限内， sin α 为正， cos α 和tan α 都为负）； ③ “三正切”（第三象限内， tan α 为正， sin α 和cos α 都为负）； ④ “四余弦”（第四象限内， cos α 为正， sin α 和tan α 都为负）． 敲黑板 特殊角的三角函数值 0°～360° 范围内各特殊角的三角函数值如表 5-5 所示． 2.3 表 5-5 特殊角的三角函数值 2.3 表 5-5（续） α ( 角 度 ) 180° 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330°   a ( 弧 度 )   π π     π π         sina   0           -1         COsa   -1           0           tana   0     1   √3   不 存 在   - √3   -1     典例精讲 例 1 已知角 α 的终边上有一点 M (4m ，-3m) ， m < 0 ，求sin α ， cos α ， tan α ． 解析 点 M 到原点的距离 ．因为 m < 0 ，所以 r = -5m ，故有 ， ， ． 【名师点睛】 本题考查任意角的三角函数的概念． 典例精讲 变式训练 1 解答下列问题． 已知角 α 的终边上有一点 P(-8n ，15n) ， n > 0 ，求sin α ， cos α ， tan α ． 已知角 α 的终边上有一点 Q(-2n ，3n) ，求sin α ， cos α ， tan α ． 解题通法 用概念求角 α 的三角函数值的步骤：① 在角 α 的终边上任取一点；② 利用勾股定理求出 r ；③ 根据三角函数的概念求值． 易错警示 在计算 r 的时候，如果已知角的终边上点的坐标中含有参数，且参数的正负号未知，就需要分情况讨论． 典例精讲 【名师点睛】 本题考查已知一个任意角的三角函数值，求该角的其他三角函数值． 例 2 已知第二象限角 α 的终边上有一点 ，且 ，求cos α ， tan α ． 解析 　点 M 到原点的距离为 ．因此， ，解得 ．因为 α 是第二象限角，所以 n > 0，即 ．因此， ，故 ， ． 变式训练 2 已知第四象限角 α 的终边上有一点 M (n ，- 1) ，且cos α = ，求sin α ，tan α ． 典例精讲 例 3 已知sin α > 0 ， cos α < 0 ，则角 α 是第 ________ 象限角． 解析 因为 sin α > 0 ，所以角 α 的终边可能落在第一、二象限或 y 轴的正半轴上；因为cos α < 0 ，所以角 α 的终边可能落在第二、三象限或 x 轴的负半轴上．综合两个条件，可以得出角 α 的终边落在第二象限，即角 α 是第二象限角． 【名师点睛】 本题考查根据三角函数值正负号判断任意角所在象限． 变式训练 3 已知cos θ tan θ < 0 ，那么角 θ 是第（ ）象限角． A．一或四 B．二或三 C．三或四 D．二或四 解题通法 三角函数值在各个象限中的正负情况，可通过口诀“一全正、二正弦、三正切、四余弦”来记忆． 典例精讲 例4 判断下列各三角函数值的正负号． （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 解析 （1）因为 250° 角是第三象限的角，所以cos250°< 0 ． （2）因为 角是第四象限的角，所以 < 0 ． （3）因为- 672° = 48° + (-2) x 360° ，则- 672° 角与 48° 角终边相同，48° 角是第一象限的角，所以- 672° 角也是第一象限的角，故tan( - 672° ) > 0 ． 典例精讲 （4）因为 ，则 角与 角终边相同， 角是第四象限的角，所以 角也是第四象限的角，故 ． 【名师点睛】 本题考查任意角的三角函数值在各象限的正负号． 解题通法    要 判 断不属于 [0 ,2π] 范围内的角的三角函数值正负号，可先利用终边相同角的概念把所给角转化到 [0 ,2π] 范围内，然后得出所给角的终边落在第几象限，再进行判断． 变式训练 4 判断下列各三角函数值的正负号． （1） sin (-225°) ； （2） cos100° ； （3） ； （4） ． 谢谢观看 18 $$