5.3同角三角函数的基本关系式（课件）-2024届湖北省中职高考数学总复习

第5章 三角函数 中职高考数学总复习与同步练 考纲要求 知识单元 考试内容 考核要求                 三角函数 角的概念推广(终边相同角、象限角和界限角等) 了解 弧度制，角度与弧度的互化 理解 任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数的概念 理解 各象限角的三角函数值的正负号，特殊角(含界限角)的三角函数值 理解 同角三角函数的基本关系式：   理解 诱导公式：2kπ+α(k∈Z),-a,π±α的正弦、余弦及正切公式 了解 正弦函数的图象和性质 理解 余弦函数的图象和性质 了解 已知三角函数值求指定范围内的特殊角 了解   知识框架 三角函数 角的概念推广与弧度制 任意角的三角函数 同角三角函数的基本 关系式 诱导公式 三角函数的图象和性质 已知三角函数值求指定 范围内的特殊角 角的概念 角的分类 角的度量 任意角的三角函数的概念 三角函数值在各象限的正负号 特殊角的三角函数值 单位圆 同角三角函数的平方关系式 和商数关系式 α+2kπ的诱导公式 -α的诱导公式 π±α的诱导公式 正弦函数和余弦函数的图象 正弦函数和余弦函数的性质 考点1 角的概念推广与弧度制 考点2 任意角的三角函数 考点3 同角三角函数的基本关系式 考点4 诱导公式 考点5 三角函数的图象和性质 考点6 已知三角函数值求指定范围内的特殊角 03 同角三角函数的基本关系式 单位圆 3.1 在直角坐标系中，以原点为圆心、单位长度为半径的圆称为单位圆． 设角 α 的终边与单位圆的交点为点 P(x ，y) ，如图5-5 所示．那么 sin α = y/1 = y ，cos α = x/1 = x ．因此，角 α 的正弦值等于它的终边与单位圆交点 P 的纵坐标，角 α 的余弦值等于它的终边与单位圆交点 P 的横坐标，即角 α 的终边与单位圆交点 P 的坐标为 (cos α ，sin α ) ． 图 5-5 同角三角函数的平方关系式和商数关系式 3.2 观察如图 5-6 所示的单位圆，由于角 α 的终边与单位圆的交点为 P(cos α ，sin α ) ，由勾股定理及正切的定义可得，同角三角函数的基本关系式如下： 平方关系： sin2 α + cos2 α = 1 ； 商数关系： ． 图 5-6 同角三角函数的平方关系式和商数关系式 3.2 同角三角函数的基本关系式反映了同一个角的不同三角函数之间的关系，是同角三角函数变换的纽带．因此，在这两个关系式中，对角的形式没有限制．例如， ， 也成立． 敲黑板 典例精讲 【名师点睛】 本题考查同角三角函数基本关系式的应用． 例 1 已知 ， α 是第二象限角，求 tan α ． 变式训练1 已知 α 为第三象限角， ，则 tan α = ___________． 同角三角函数基本关系式的重要应用：① 已知角 α 的一个三角函数值，求其他三角函数值或其他代数式的值；② 化简三角函数式；③ 证明三角恒等式． 敲黑板 解析 由sin2 α + cos2 α = 1 得 ．因为 α 是第二象限角，所以 ，进一步可得 ． 典例精讲 【名师点睛】 题中 α 所在的象限不确定，进行开方运算求cos α 时需分情况讨论． 例 2 已知 ， 求 cos α ． 解析 因为 ，所以 α 是第一或第二象限角． （1）当 α 是第一象限角时， ． （2）当 α 是第二象限角时， . 典例精讲 利 用 同角三角函数的平方关系进行开方运算时，若角 α 的范围确定，就可以根据其所在的象限，判断三角函数值的正负号；若角 α 的范围不确定，则需根据三角函数值在各象限的正负号情况对角 α 所在象限分情况讨论． 敲黑板 变式训练1 已知 ，则 tan α = ___________． 典例精讲 【名师点睛】 本题考查同角三角函数两个基本关系式的结合应用． 例3 已知角 α 是第四象限角， ，则 sin α = ___________． 解析 （ 解法一） 由 得 ， 又因角 α 是第四象限角， 所以 ． （解法二）因为角 α 是第四象限角，可以在角 α 终边上取一点 P(2，-1) ，则 ，所以 ． 典例精讲 解题通法 已知角的正切值求正弦或余弦值的步骤： ① 根据角的正切值写出同角三角函数的商数关系式； ② 与平方关系式联立方程组，得出正弦或余弦值的平方； ③ 根据角所在象限判断正弦或余弦值的正负，得出所求正弦或余弦值． 变式训练1 已知 ，且 ，则 sin α = ___________， cos α = ___________ . 典例精讲 【名师点睛】 （1）题是关于sin α 和cos α 的齐次表达式，即分子、分母中各项次数皆为 1，可以将分子、分母同时除以cos α ，然后“弦化切”求值． （2）题中各项次数皆为 2，我们通常将分母看成“1”，然后“弦化切”求值． 例3 已知 ，求以下式子的值． （1） ； （2） . 解析 （1） ． （2） ． 典例精讲 解题通法  三 角 函数式的化简过程中常用的方法： （1）化弦为切，即把正弦、余弦函数都化成正切函数，从而减少函数名称，达到化简的目的． （2）对于含有根号的，通常把根号下的式子借助关系式 1 ± 2sin α cos α = (sin α ± cos α )2 化成完全平方式，然后去根号，达到化简的目的． （3）化简含高次幂的三角函数式时，往往借助因式分解或构造sin2 α + cos2 α = 1 ，以降低函数的次数，达到化简的目的． （4）此外，还可利用“切化弦”“异名化同名”“分式通分”“异角化同角”等方法进行化简． 典例精讲 变式训练1 已知 ，求以下式子的值 . （1） （2） 04 已知三角函数值求指定范围内的特殊角 知识盘点 已知正弦或余弦三角函数值，求指定范围内的特殊角的具体步骤如下． （1）若函数值为正数，先求出对应锐角 β ；若函数值为负数，先求出与其绝对值对应的锐角 β ． （2）根据所给三角函数值的正负号，判断所求角 α 的象限，求出 [0 ， 2π] 内的角 α ．角 α 所在象限与 β 锐角的关系如表5-10 所示． （3）将以上得到的角 α 加上 2kπ(k∈Z)，即用终边相同的角的表达式写出所有满足条件的角，然后给 k 赋值，得出所需范围内的角． 表 5-10 典例精讲 例1 已知 ，且 α ∈[0 ， 2π] ，则 α 的值为 __________． 【名师点睛】 题中所给三角函数值为负数，需先求出其绝对值，再得出对应的锐角 β． 变式训练1 已知 ，且 α ∈[0 ， 2π] ，则 α 的值为 __________． 解析 因为 ，所对应的锐角为 ．又因为 sin α <0 且 α∈[0 ， 2π] ，所以 α 在第三或 第四象限，故 α 的值为 或 ． 典例精讲 【名师点睛】 题中所给三角函数值为负数，需先求出其绝对值，再得出对应的锐角 β ． 例2 已知 ，且 α ∈[0 ， 2π] ，则 α 的值为 __________． 解析 因为 ，所对应的锐角为 ．又因为 sin α < 0 且 α ∈[0 ，2π] ，所以 α 在第三或第四象限，故 α 的值为 或 ． 变式训练1 已知 ，且 α ∈[0 ， 2π] ，则 α 的值为 __________． 典例精讲 【名师点睛】 当 0 < sin a < 1 时， a ∈ (-π ，π) 和 a ∈ [0 ，2π] 这两种条件下 a 的取值一样． 例3 已知 ，且 α ∈(-π， π) ，则 α 的值为 __________． 解析 因为 且 α ∈(-π， π) ，所以 α 是第一或第二象限角，故 α 的值为 或 ． 变式训练3 若 ， a ∈ (-π ，π) ，则 α 的值为 __________． 典例精讲 【名师点睛】 掌握各象限内特殊角的余弦值及其正负号情况． 例4 若 ，且 α ∈[-π， π]，则 α 的值为 __________． 解析 因为 ， α ∈[-π， π] ，所以 α 的值为 或 ． 变式训练4 若 ， ，则 α = __________． 典例精讲 【名师点睛】 掌握各象限内特殊角的正弦值及其正负号情况． 变式训练5 若 ， ，则 α = __________． 例5 若 ，且 ，则 α = __________． 解析 因为 ，所以 ．又因为 ，所以 ． 谢谢观看 24 $$