5.5诱导公式（课件）-2024届湖北省中职高考数学总复习

第5章 三角函数 中职高考数学总复习与同步练 考纲要求 知识单元 考试内容 考核要求                 三角函数 角的概念推广(终边相同角、象限角和界限角等) 了解 弧度制，角度与弧度的互化 理解 任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数的概念 理解 各象限角的三角函数值的正负号，特殊角(含界限角)的三角函数值 理解 同角三角函数的基本关系式：   理解 诱导公式：2kπ+α(k∈Z),-a,π±α的正弦、余弦及正切公式 了解 正弦函数的图象和性质 理解 余弦函数的图象和性质 了解 已知三角函数值求指定范围内的特殊角 了解   知识框架 三角函数 角的概念推广与弧度制 任意角的三角函数 同角三角函数的基本 关系式 诱导公式 三角函数的图象和性质 已知三角函数值求指定 范围内的特殊角 角的概念 角的分类 角的度量 任意角的三角函数的概念 三角函数值在各象限的正负号 特殊角的三角函数值 单位圆 同角三角函数的平方关系式 和商数关系式 α+2kπ的诱导公式 -α的诱导公式 π±α的诱导公式 正弦函数和余弦函数的图象 正弦函数和余弦函数的性质 考点1 角的概念推广与弧度制 考点2 任意角的三角函数 考点3 同角三角函数的基本关系式 考点4 诱导公式 考点5 三角函数的图象和性质 考点6 已知三角函数值求指定范围内的特殊角 05 诱导公式 α + 2kπ 的诱导公式 终边相同角的同名三角函数值相同．即当 k ∈ Z 时，角 α 和角 α + 2kπ 的三角函数之间的关系如表 5-6 所示． 5.1 表 5-6 利用 α + 2kπ 的诱导公式，可以将任意角的三角函数转化为[0 ，2π] 内角的三角函数． 敲黑板 -α 的诱导公式 角 α 和角- α 的三角函数之间的关系式为 sin(- α ) = -sin α ； cos(- α ) = cos α ； tan(- α ) = - tan α ． 5.2 利用 −α 的诱导公式，可以将负角的三角函数转化为正角的三角函数． 敲黑板 π ± α 的诱导公式 角 α 和角 π ± α 的三角函数之间的关系如表 5-7 所示． 5.3 表 5-7 π ± α 的诱导公式 三角函数的诱导公式可以结合如图5-7 所示的图形进行记忆． 5.3 图 5-7 用诱导函数化简三角函数式 利用 π ± α 的诱导公式，可以将求任意角的三角函数值转化为求 内角的三角函数值． 敲黑板 典例精讲 【名师点睛】 本题考查三角函数的诱导公式． 例 1 下列等式中，正确的是（ ）． A． sin(3π+ α ) = sin α B． cos(2π+ α ) = -cos α C． tan(6π - α ) = tan α D． sin(2π- α ) = -sin α 解析 因为 sin(3π+ α ) = sin[2π+ (π+ α )] = sin(π+ α ) = -sin α ，所以 A 选项错 误； 因为cos(2π+ α ) = cos α ，所以 B 选项错误； 因为tan(6π - α ) = tan(- α ) = - tan α ，所以 C 选项错误； 因为sin(2π- α ) = sin(- α ) = -sin α ，所以 D 选项正确．故选 D． 典例精讲 用诱导公式进行化简时，若出现的 2π 整数倍，可直接去掉． 敲黑板 变式训练 1 下列等式中，正确的有（ ）． ① cos 650°= cos 290° ；② sin(-120°) = sin 300° ；③ cos 480°= cos 300° ；④ tan150°= - tan 30° ． A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 典例精讲 解析 cos(π − α ) = -cos α ．因为sin α = 1 > 0 ，所以角 α 的终边在第一或第二象限． 例 2 已知 ，则 cos(π − α ) =________． （1）当角 α 为第一象限角时， ，所以 ． （2）当角 α 为第二象限角时， ，所以 ． 因此， . 典例精讲 【名师点睛】 本题考查三角函数基本关系式和诱导公式的结合使用． 变式训练2 已知 α 是第一象限角，且 ，求 解题通法 运 用 诱导公式化简三角函数式时，可以将角 α 看作锐角，将角 α + 2kπ ， π - α ， π + α 以及- α 分别看作第一、第二、第三和第四象限的角，再结合三角函数值在各象限的正负号规律来辅助记忆． 典例精讲 例 3 计算下列各式的值． （1） cos(-660°) ；（2） cos(-960°) ；（3） ；（4） ． 解析 （1） ． （2） ． （3） ． （4） ． 典例精讲 【名师点睛】 将题中所给的角通过诱导公式转化为特殊角，即可求得其三角函数值． 变式训练 3 计算下列各式的值． （1） sin2 (-150°) + cos2 135° + cos2 210° ； （2） sin 495° cos(-675°) ． 解题通法 运 用 诱导公式求三角函数值的步骤： （1）“负化正”：运用- α 的诱导公式将负角转化为正角． （2）“大化小”：运用 α + 2kπ 的诱导公式，将任意角转化为 0° ～ 360° 范围内的角． （3）“小化锐”：运用π ± α 的诱导公式，将大于 90° 的角转化为锐角． （4）“锐求值”：最终得出相应的三角函数值． 典例精讲 例 4 化简 ． 解析 因为sin 470° = sin(110° + 360°) = sin110° ， sin 70° = sin(180° - 110°) = sin110° ， cos(-110°) = cos110° ，所以 典例精讲 【名师点睛】 先利用诱导公式将异角三角函数化为同角三角函数，然后利用平方关系式 sin2 α + cos2 α = 1 进行等量代换，再进行化简． 变式训练 4 化简 ． 06 三角函数的图象和性质 正弦函数和余弦函数的图象 正弦函数 y = sin x 和余弦函数 y = cos x 在 [0 ，2π] 上的图象中分别有 5 个关键点，如表 5-8 所示． 6.1 表 5-8 x   0 π — 2   π     2π y=sinx 0 1 0 -1 0 y=COsx 1 0 -1 0 1 正弦函数和余弦函数的图象 在直角坐标系中分别描出这五个点，然后用光滑的曲线把它们连接起来，就得到正弦函数y = sin x和余弦函数y = cos x 在[0 ，2π] 上的图象，如图 5-8、图 5-9 所示．这种作图方法叫作“五点法”． 6.1 图 5-8 图 5-9 正弦函数和余弦函数的性质 正弦函数和余弦函数的性质如表5-9 所示． 6.2 表 5-9 正弦函数和余弦函数的性质 6.2 表 5-9（续） 典例精讲 例 1 求函数 的定义域． 解析 要使函数 有意义，应满足 ，即 ，解得 ．因此，该函数的定义域为 ． 【名师点睛】 先根据题意列出三角函数不等式，再结合正弦函数的图象求出解集． 典例精讲 解三角函数不等式的步骤： （1）在一个周期的三角函数图象上找出符合条件的角或角的范围； （2）根据三角函数的类型写出不等式的解集．如果是正弦或余弦函数，则将找出的角或角的范围加上 2kπ (k ∈ Z) ． 敲黑板 变式训练1 求下列函数的定义域． （1） （2） 典例精讲 例 1 求下列函数的值域． （1） （2） 解析 （1）由函数 y = sin x 在 上的图象可知，当 时，y 取得最小值 ；当 时，y 取得最大值1．所以，该函数的值域是 ． （2） y = 3sin2 x - 4 cos x + 1 = 3(1 - cos2 x) - 4 cos x + 1 = -3cos2 x - 4 cos x + 5.令cos x = t ,t ∈ [-1，1]，则 y = -3t2 - 4t + 4 ，该一元二次函数的对称轴为 ．因为 ，所以当 t = - 2 时， y 取得最大值 ；当 t = 1 时， y 取得最小值-3 ．所以，该函数的值域为 ． 典例精讲  求与三角函数有关的函数的值域： （1）求形如 y = a sin x + b 或 y = a cos x + b 的函数值域时，可借助正弦或余弦函数的值域进行求解． （2）求形如 y = a sin2 x + b sin x + c 或 y = a cos2 x + b cos x + c 的函数值域时，可利用换元法，即令sin x = t 或cos x = t ， t ∈ [-1，1] ．将原函数化为一元二次函数，再根据一元二次函数的性质求出函数的值域． 敲黑板 【名师点睛】 本题考查与三角函数有关的函数值域的求解．（1）题求函数的值域不能忽略自变量的取值范围．（2）题可通过换元法将问题转换为一元二次函数在指定区间求最值． 变式训练2 求下列函数的定义域． （1） （2） 典例精讲 解析 由正弦函数的值域可得， -1�≤ sin x �≤ �1 ，即 ，解得-1 ≤� a �≤ 5 ，所以 a 的取值范围是[-1，5] ． 例3 已知 ，则 a 的取值范围是___________． 【名师点睛】 根据正弦函数的值域列出不等式，求解出的取值范围． a 典例精讲 例3 已知 ，则 a 的取值范围是___________． 解析 由正弦函数的值域可得， -1�≤ sin x �≤ �1 ，即 ，解得-1 ≤� a �≤ 5 ，所以 a 的取值范围是[-1，5] ． 【名师点睛】 根据正弦函数的值域列出不等式，求解出的取值范围． a 变式训练 3 已知 ，则 a 的取值范围是___________． 典例精讲 【名师点睛】 本题考查形如 y = a sin x + b 的函数值域． 例 4 已知函数 y = a – bsinx (b>0) 的最大值是 ，最小值是 ，求 a，b 的值． 解析 因为 b > 0，所以当 sin x = -1 时，y 有最大值 ，当 sin x = 1 时，y 有最小值 ．列出方程组 解得 ． 变式训练 4 已知函数 y = a - b sin x 的最大值是 ，最小值是 ，求 a ，b 的值． 典例精讲 【名师点睛】 本题考查正弦函数的单调性． 例 5 比较大小： ． 解析 因为 ，且 y = sin x 在 内是增函数，所以 ． 变式训练5 比较下列各组中两个式子的大小． （1） （2） 典例精讲 比较三角函数值大小的基本原则：① 若函数名称相同，则可通过三角函数的诱导公式使两角在同一单调区间内，然后利用函数单调性比较大小；② 若函数名称不同，则需利用同角三角函数的基本关系将其转化为同名函数，再进行比较． 敲黑板 解题通法 求 三 角函数的单调区间（以正弦函数为例）： （1）对于形如 y = a sin x + b 的函数，若 a > 0 ，则它的单调区间与函数 y = sin x 的单调区间相同；若 a < 0 ，它的单调区间与函数 y = sin x 的单调区间相反． （2）对于带有绝对值的三角函数，可画出函数的大致图象，通过观察直接得出函数的单调区间． 谢 谢 $$