4.1 实数指数幂和幂函数（课件）-2024届湖北省中职高考数学总复习

第4章 指数函数与对数函数 中职高考数学总复习与同步练 考纲要求 知识单元 考试内容 考核要求                 指数函数与对数函数 有理数指数幂 理解 实数指数幂及其运算法则 掌握 指数函数与对数函数的实际应用 了解 指数函数的图象和性质 理解 对数的概念(含常用对数、自然对数) 理解 积、商、幂的对数 了解 对数函数的图象和性质 理解 知识框架 指数函数与对数函数 实数指数幂 与幂函数 指数函数 对数 对数函数 n次根式 实数指数幂 幂函数 概念 图象和性质 指数方程 概念 运算性质 常用对数与自然对数 图象和性质 对数方程 函数图象的变换 概念 目 录 CONTENTS 考点1 实数指数幂和幂函数 考点2 指数函数 考点3 对数 考点4 对数函数 01 实数指数幂和幂函数 1.1 n次方根 一般地，如果 xn = a （ n ∈ N* 且 n > 1 ）， 那么 x 叫作 a 的 n 次方根． xn = a 解的情况及性质如表 4-1 所示． 表 4-1 1.1 n次方根 形如 （ n ∈ N* 且 n > 1 ）的式子叫作 a 的 n 次根式，其中 n 叫作根指数， a 叫作被开方数． 敲黑板 1.1 实数指数幂 实数指数幂分为有理数指数幂和无理数指数幂，有理数指数幂又可分为整数指数幂和分数指数幂． 1）整数指数幂 整数指数幂的几种类型如表4-2 所示． 表4-2 整数指数幂的分类 公式 正整数指数幂 a"=a ·a ·a…-a(n个a相乘)(n∈N*) 零指数幂 a⁰=1(a≠0)   负整数指数幂 1.2 实数指数幂 2）分数指数幂 设 m ， n ∈ N* 且 n > 1 ， m ， n 不可约，当 有意义时，各类分数指数幂的情况如表 4-3 所示． 表4-3 分数指数幂的分类 公式 说明   正分数指数幂     ①当n为奇数时，a∈R;当n为偶数时，a≥0 ②0的正分数指数幂等于0   负分数指数幂         0的负分数指数幂无意义 1.2 实数指数幂 3）实数指数幂的运算法则 设 p ，q ∈ Q ，a > 0 且 b > 0 ，有理数指数幂有如下运算法则． ① ap × aq = ap+q ；② ap /aq = ap-q ；③ (ap)q = apq ；④ (ab) p = apbp ． 上述运算法则成立的条件是出现的每个有理数指数幂都有意义，且这些运算法则可推广到实数指数幂． 敲黑板 实数指数幂的运算法则 1.3 幂函数 1）定义 一般地，形如 y = xa (a ∈ R) 的函数称为幂函数．其中 a 为常数， x 为自变量，定义域是使得 xa 有意义的一切实数． 2）常见幂函数的图象和性质 常见幂函数的图象和性质如表 4-4 所示． 表 4-4 函数   定义域 值域 单调性 奇偶性 对称性               {x|x≠0}     {y|y≠0}   (-0,0)内单调递减； (0,+0)内单调递减     奇函数     关于原点对称 1.3 幂函数 表 4-4（续） 函数 图象 定义域 值域 单调性 奇偶性 对称性       y=x       R     R           奇函数     关于原点对称     y=x²       R             偶函数     关于y轴对称 1.3 幂函数 表 4-4（续） 1.3 幂函数 表 4-4（续） 典例精讲 【名师点睛】 （1）指数幂为小数的，可将其化为分数后，再进行计算． （2）不含字母的指数幂运算应先将底数化成最简的幂的形式，再进行指数运算． 例1 计算以下各式． （1） （2） （3） （4） 解析 （1） ； （2） ；  （3） ； （4） ；  典例精讲 变式训练 2 　= ________. 易错警示 ① 负数没有偶次方根；② 0 的任何次方根都是0． 典例精讲 【名师点睛】 本题考查实数指数幂的运算法则． 例2 设a > 0，化简： = ________． 解析 原式 . 变式训练2 　计算： = ________ ． 典例精讲 【名师点睛】 本题考查常见幂函数的图象和性质． 例 3 函数 在区间[-2，2] 内是（ ）． A．增函数且是奇函数 B．增函数且是偶函数 C．减函数且是奇函数 D．减函数且是偶函数 解析 根据表 4 - 4 可得，函数 在(-∞ ，+∞) 内单调递增，图象关于原点对称，为奇函数，故选 A． 变式训练 3 函数 和 的图象都经过点 ，在 (0，+∞ ) 内是增函数的为________，是减函数的为 ________． 典例精讲 解题通法  根 据 几种常见幂函数的图象和性质可以得出以下结论． （1）当 a > 0 时， y = xa 的函数图象都经过点(0 ，0) 和 (1，1) ．在(0 ，+∞) 内，函数值随 x 的增大而增大，函数是增函数． （2）当 a < 0 时，y = xa 的函数图象都经过点 (1，1) ．在 (0 ，+∞) 内，函数值随 x 的增大而减小，函数是减函数． 典例精讲 例4 下列命题中正确的是（　　）． ① ； ② ； ③ ； ④ ． A．②③④ B．①③④ C．①②③ D．①②④ 解析 设函数 y = x-3 ，因为-3 < 0 ，所以 y = x-3 在(0 ，+∞) 内是减函数，又因为 0.2 < 0.3 ，所以 0.2-3 > 0.3-3 ，①正确；设函数 y = x0.2 ，因为 0.2 > 0 ，所以 y = x0.2 在(0 ，+∞) 内是增函数，又 因为0.2 < 0.3 ，所以 0.20.2 < 0.30.2 ，②正确；设函数 ，因为 > 0 ，所以 在(0 ，+ ∞) 内是增函数，又因为 3 < 4 ，所以 ，③错误；设函数 ，因为 < 0 ，所以 在(0 ，+∞) 内是减函数，又因为 3 < 4 ，所以 ，④正确，故选 D． 典例精讲 【名师点睛】 本题主要利用幂函数的单调性来比较式子的大小． 变式训练4 　试比较下列各组值的大小． （1） ； （2） ； （3） ； 典例精讲 例 5 函数 f (x) = (m2 - m - 1)xm 是幂函数，当 x∈ (0 ，+∞) 时， f (x) 是增函数，求 f (x) 的解析式． 解析 根据幂函数定义得 m2 - m - 1 = 1 ，解得 m = 2 或 m = -1 ． （1）当 m = 2 时， f (x) = x2 在(0 ，+∞) 内是增函数，符合题意． （2）当 m = -1 时， f (x) = x-1 在(0 ，+∞) 内是减函数，不符合题意． 综上所述， m = 2 ， f (x) = x2 ． 【名师点睛】 本题可根据幂函数的定义列方程求出 m，再由题中的单调性条件确定 m 的值，即根据单调性验根，以免增根． 典例精讲 幂函数的形式为 y = xa (a∈ R) ，其本质特征是以幂的底 x 为自变量，指数 a 是常数（也可以为 0），这是判断一个函数是否为幂函数的重要依据和唯一标准． 敲黑板 变式训练 5 已知 是幂函数，求 m ， n 的值． 谢谢观看 Thank you $$