4.2指数函数（课件）-2024届湖北省中职高考数学总复习

第4章 指数函数与对数函数 中职高考数学总复习与同步练 考纲要求 知识单元 考试内容 考核要求                 指数函数与对数函数 有理数指数幂 理解 实数指数幂及其运算法则 掌握 指数函数与对数函数的实际应用 了解 指数函数的图象和性质 理解 对数的概念(含常用对数、自然对数) 理解 积、商、幂的对数 了解 对数函数的图象和性质 理解 知识框架 指数函数与对数函数 实数指数幂 与幂函数 指数函数 对数 对数函数 n次根式 实数指数幂 幂函数 概念 图象和性质 指数方程 概念 运算性质 常用对数与自然对数 图象和性质 对数方程 函数图象的变换 概念 目 录 CONTENTS 考点1 实数指数幂和幂函数 考点2 指数函数 考点3 对数 考点4 对数函数 02 指数函数 指数函数的概念 一般地，形如 y = ax 的函数叫作指数函数，其中底 a （ a > 0 且 a≠1 ）为常量． 2.1 易错警示 指数函数与幂函数不同，要正确区分．幂函数的底数是自变量，指数是常量；指数函数的指数是自变量，底数是常量． 指数函数的图像和性质 1）图象和性质 指数函数 y = ax （ a > 0 且 a≠1 ）的图象和性质如表 4-5所示． 2.2 表 4-5 指数函数的图像和性质 2.2 表 4-5（续） （1）形如 y=a-x 的函数可化为 ，且其图象与函数的图象关于y轴对称． （2）利用指数函数的单调性可以比较两个幂值的大小，还可以解一些简单的指数不等式． 敲黑板 指数函数的图像和性质 2）图象与底数间的关系 指数函数的图象与其底数之间的关系如表4-6 所示． 2.2 表 4-6 指数方程 指数方程的定义和解法如表4-7 所示． 2.3 表 4-7 典例精讲 解析 （1）因为底数 a = 1.7 > 1 ，所以函数 y = 1.7x 在( -∞ ，+∞) 内是增函数． 例 1 判断下列指数函数在( -∞ ，+∞) 内的单调性． （1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （2）因为 ，底数 ，所以函数 y = 5-x 在(-∞ ，+∞) 内是减函数． （3）因为底数 ，所以函数 在(-∞ ，+∞) 内是减函数． （4）因为 ，底数 ，所以函数在 内是增函数． 典例精讲 【名师点睛】 通过判断指数函数的底数与1 的大小关系，可得其单调性． 变式训练 1 设 ，x ∈ R，那么 f (x) 是（　　）． A．奇函数且在(0 ，+∞) 内是增函数 B．偶函数且在(0 ，+∞) 内是增函数 C．奇函数且在(0 ，+∞) 内是减函数 D．偶函数且在(0 ，+∞) 内是减函数 典例精讲 解析 （1）这两个式子属于“同底异指”的情况，可利用指数函数单调性比较大小．设 f (x) = 0.7x ，因为 0 < 0.7 < 1 ，所以函数 f (x) = 0.7x 是减函数．又因为 -0.9 > -1.2 ，所以 0.7-0.9 < 0.7-1.2 ． 例2 比较下列各组中两个数的大小． （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． （2）1 = 20 ，故这两个式子属于“同底异指”的情况，可利用指数函数单调性比较大小．设f (x) = 2x ， f (x) 是增函数．因为 ，所以 ，即 ． 典例精讲 （3）这两个式子属于“异底异指”的情况，可通过调整底数将其化成同指数的幂的形式： ， ．设 ， ，在第一象限内 的图象恒在 的图象下方，所以 ，即 ，故 ． （4）这两个式子属于“异底异指”的情况，可通过取中间值来比较大小．设函数 y = 0.5x ，因为0 < 0.5 < 1 ，所以函数 y 在 R 上为减函数，又因为 0.5 < 0.6 ，所以 0.50.5 > 0.50.6 ．函数 f (x) = x0.5 在 R 上为增函数，且 0.5 < 0.6 ，所以 0.50.5 < 0.60.5 ，即 0.50.6 < 0.60.5 ． 【名师点睛】 比较两个指数式的大小要充分利用指数函数的各种性质． 典例精讲 解题通法 比较两个实数指数幂大小的方法有： （1）“同底异指”：转化为比较同一个指数函数的两个函数值，利用指数函数的单调性得到大小关系； （2）“同指异底”：转化为比较同一个幂函数的两个函数值，利用幂函数的单调性得到大小关系； （3）“异底异指”：可化为“同指异底”的情况进行比较，也可通过取中间值进行比较． 变式训练2 　比较下列各组中两个数的大小． （1） ； （2） ； （3） ． 典例精讲 例 3 已知指数函数 f (x) = ax 的图象经过点 ，求 f (-1) 的值． 解析 将点 代入 f (x) = ax ，即 ，解得 ．因为 a > 0 且 a ≠ 1 ，所以 ， 则 ，可得 ． 【名师点睛】 本题考查指数函数解析式及函数值的求解，需注意指数函数的底数 a 需满足 a > 0且 a ≠ 1 ． 变式训练 3 已知指数函数 f ( x) = ax 的图象经过点 ，求 f (- 2) 和 f (1.5) 的值． 典例精讲 【名师点睛】 本题考查指数函数定义域和值域的求解． 例 4 函数 的定义域为 __________，值域为 __________． 解析 要使函数 有意义，则1 - 2x �≥ 0 ，变形得2x ≤�1 ，即2x ≤� 20 ．因为函数 f (x) = 2x在 R 上为增函数，所以 x ≤� 0 ，即函数 的定义域为(-∞ ，0] ，值域为[0 ，1) ． 变式训练 3 函数 的定义域为 __________，值域为 __________． 解题通法 求解析式中含有指数幂的函数的定义域时，首先利用求定义域的法则转化为求含有指数幂的不等式，然后将其转化为底数相同的幂，最后利用指数函数的单调性求出定义域． 典例精讲 解析 原不等式可化为 ex2 + x > e-( x-3) ，即 ex2 + x > e- x+3 ．因为 e > 1 ，所以函数 y = ex 在 R 上为增函数，可得 x2 + x > -x + 3 ，整理得 x2 + 2x - 3 > 0 ，解得 x > 1 或 x < -3 ．所以原不等式的解集为(-∞ ，- 3)  (1，+∞) ． 例 5 不等式 的解集为 __________． 【名师点睛】 （1）指数不等式 （2）若指数不等式中底数不相同时，需利用指数的运算性质，使两边底数相同再比较． 变式训练5 请将正确结果填入以下空格中． （1）不等式 的解集为___________； （2）若 ，则 a 的取值范围是___________． 典例精讲 【名师点睛】 本题考查指数方程的求解． 例 6 方程 的解集为 __________． 解析 原方程可化为 ，即 ，故 4 - x2 = -3x ，移项得 x2 - 3x - 4 = 0 ，解得 x = -1 或 x = 4 ． 变式训练6 解下列方程． （1） ； （2） ． 采用换元法求解形如 f (ax ) = 0 （ a > 0 且 a ≠ 1 ）的方程时，要注意换元之后新元的取值范围． 敲黑板 典例精讲 【名师点睛】 本题考查指数函数的实际应用． 例7 某库存商品的价值是10 万元，每年的折旧率是10%，请问5 年后它剩余的价值是多少？（结果精确到 0.01 万元） 解析 设 x 年后库存商品剩余的价值是 y ( 万元 )，根据题意得 y = 10 (1 - 10%)x = 10 х 0.9x ． 当 x = 5 时， y = 10 х 0.95 ≈ 5.90 ．因此，5 年后该商品剩余的价值约为 5.90 万元． 变式训练 7 某工厂 2018 年的产值是 512 万元，计划到 2023 年的产值达到 1 024 万元，请问该工厂计划的年产值平均增长率为多少？（结果精确到 0.1%）（参考数据： ≈ 1.149 ） 复利、人口增长、折旧、衰变等问题，通常需要用到指数函数模型来解决，常用的模型为y = cax ，其中 c 为大于 0 的常数．当 a > 1 时，该模型叫作指数增长模型；当 0 < a < 1 时，该模型叫作指数衰减模型． 敲黑板 谢谢观看 Thank you $$