第13章 立体几何初步单元测试卷-2023-2024学年高一下学期数学苏教版（2019）必修第二册

第13章 立体几何初步 一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1．设l,m是不同的直线,,是不同的平面,则下列命题正确的是( ) A.若,,,则 B.若,,,则 C.若,,,则 D.若,,,则 2．已知m,n是两条不同的直线,,是两个不同的平面,则下列结论一定正确的是( ) A.若,,则 B.若,则 C.若,,则 D.若,.则 3．如图,已知正三棱柱,,M为的中点,则与所成角的余弦值为( ) A.1 B. C. D. 4．已知三个不同的平面α，β，γ和两条不重合的直线m，n，则下列四个命题中正确的是( ) A.若，，则 B.若，，则 C.若，，则 D.若，，，则 5．如图所示，矩形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，则原图形OABC的面积是( )cm2. A.12 B. C.6 D. 6．水平放置的的直观图如图所示,是中边的中点,且平行于轴,则,,对应于原中的线段AB,AD,AC,对于这三条线段,正确的判断是( ) A.最短的是AD B.最短的是AC C. D. 7．某圆锥的轴截面是斜边长为2的等腰直角三角形,则该圆锥的侧面积为( ) A. B. C. D. 8．在正方体中,P为线段的中点,Q为线段上的动点,则与平面所成角的正弦值的最小值为( ) A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9．设直线l不在平面内，直线m在平面内，则下列说法不正确的是( ) A.直线l与直线m没有公共点 B.直线l与直线m异面 C.直线l与直线m至多一个公共点 D.直线l与直线m不垂直 10．设a，b为两条不重合的直线，为一个平面，则下列说法正确的是( ) A.若，，则 B.若，，则 C.若，，则 D.若，，则 11．如图所示，在正方体中，M，N分别为棱，的中点，则下列四个结论正确的是（） A.直线与是相交直线 B.直线与是平行直线 C.直线与是异面直线 D.直线与是异面直线 三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12．已知圆锥的轴截面是边长为的等边三角形，则此圆锥的表面积为________. 13．《九章算术》中将圆台称为“圆亭”.已知某圆亭的高为3，上底面半径为1，下底面半径为5，则此圆亭的表面积等于______. 14．烽火台是我国古代用于防御与通讯的军事建筑.如图为一类正四棱台状的烽火台，已知该烽火台底部边长为10米，顶部边长为8米，高为12米，忽略烽火台凹陷部分，则该烽火台的体积为立方米________. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．如图，OA与平面斜交，点O为斜足，为OA在内的射影，OB为平面内过点O的任一条直线.在OA上取一点C，它在平面上的射影为，作于D，连接CD.求证：. 16．如图,在四棱锥中,底面为平行四边形,分别为的中点. （1）证明:平面; （2）在线段上是否存在一点,使得平面?若存在,指出点位置,并证明你的结论;若不存在,说明理由. 17．如图,在三棱锥中,为等边三角形,且,O,M,D分别为AB,AV,BC的中点,BM,VO交于点F. （1）证明:平面VOC; （2）在线段BM上是否存在一点E,使平面VOC?若存在,请指出点的位置;若不存在,请说明理由. 18．如图所示,从底面半径为,高为的圆柱中,挖去一个底面半径为a且与圆柱等高的圆柱,求原圆柱的表面积与挖去圆柱后的几何体的表面积的比值. 19．用一个过圆锥的轴的平面去截圆锥,所得的截面三角形称为圆锥的轴截面,也称为圆锥的子午三角形.如图,圆锥底面圆的半径是4,轴截面的面积是4. （1）求圆锥的母线长; （2）过圆锥的两条母线,作一个截面,求截面面积的最大值. 参考答案 1．答案：B 解析：对于A,若,,,此时l与m可能相交,如下图所示： 对于C与D,若,,,则与均可能发生,如下图所示： 对于B,若,,则, 又因为,故. 故选：B. 2．答案：D 解析：若,,则或,故A错误. 若,,则或,相交,故B错误. 若,,则或或,故C错误. 若,,则,故D正确. 3．答案：B 解析：如图,取的中点E,取的中点F,取中点P,连接,, 所以直线与所成角就是直线与直线所成的角, 由题意可知三棱柱的所有棱长都相等, 可设三棱柱的棱长都为2,则, 则在中,由余弦定理可得：, 即直线与所成角的余弦值为. 故选：B. 4．答案：B 解析：对于A，，，则，错误，原因是不一定是经过直线m的平面；故A错误； 对于B，因为，，由面面垂直的判定定理得：，故B正确. 对于C，若，，不一定得到，例如长方体中，同一顶点出发的三个平面，故C错误， 对于D，若，，，则错误，如下图所示，原因是由题设条件无法推出一个平面经过另一个平面的垂线，故无法判定是否与一定垂直，故D错误； 故选：B 5．答案：D 6．答案：A 解析:因为平行于轴,所以在中,, 又因为是中边的中点,所以D是BC的中点, 所以. 故选:A 7．答案：B 解析：由题可知该圆锥的底面半径为1,母线长为,所以侧面积为,选B. 8．答案：A 解析：取的中点H,连接,,设正方体的棱长为, 则在中,P为线段的中点,H为的中点, 所以为的中位线,所以. 又因为平面,所以平面, 则与平面所成的角为,则. 由,得, 所以要使与平面所成角的正弦值最小,则最小, 可知当Q与点B重合时,最大,此时,, 所以. 故选：A. 9．答案：ABD 解析：对于选项A，直线l不在平面内，直线m在平面内，但是，直线l与m可以相交，故A错误； 对于选项B，直线l不在平面内，直线m在平面内，但是，直线l与m可以相交也可以平行，故B错误； 对于选项C，直线l不在平面内，直线m在平面内，则直线l与直线m只可以平行或者相交，不可能重合，所以，直线l与直线m至多一个公共点，故C正确； 对于选项D，直线l不在平面内，直线m在平面内，则当直线l垂直于平面时，直线l与直线m垂直，故D错误. 10．答案：BD 解析：对于A，直线a可能在平面内，可能与平面相交，也可能平面平行，故A错误. 对于B，设直线l为平面内的任意一条直线，因为，，所以，又，所以，即b与内任意直线垂直，所以，故B正确. 对于C，若，，则直线a与直线b可能平行，也可能异面，故C错误. 对于D，过直线a作平面，使得平面与平面相交，设， 因为，，，所以，又，，所以，则，故D正确. 故选:BD 11．答案：CD 解析：对于A，因为点A在平面外，点M在平面内，直线在平面内，不过点M，所以与是异面直线，故A错误； 对于B，若直线与平行，则MN与AB共面，又平面，所以直线与不平行，故B错误； 对于C，因为与都在平面内，M在平面外，不过点B，N，所以与是异面直线，故C正确； 对于D，因为M与都在平面内，A在平面外，不过点M，所以与是异面直线，故D正确. 故选：CD. 12．答案： 解析：圆锥轴截面是边长为2的等边三角形，圆锥底面半径，圆锥母线长， 圆锥的表面积. 故答案为：. 13．答案： 解析：由题意，可作该圆亭的轴截面，如图所示： 则圆亭的高，上底面半径，下底面半径，则，母线， 所以圆台的表面积.故答案为： 14．答案：976 解析：因为题目中的单位只涉及米、平方米、立方米，故我们可以在计算中忽略单位. 由于该烽火台是正四棱台，故上下底面都是正方形. 从而该烽火台的上底面面积，下底面面积，高. 故其体积. 故答案为：976. 15．答案：证明见解析 解析：由题可知，， ， 又，,,平面，平面， 平面，平面， ， ,，， 所以， 即. 16．答案：（1）见解析 （2）见解析 解析：（1）证明:连BD交AC于O,因为E为PD中点,所以EO是中位线, 所以,又因为平面AEC,平面AEC,所以平面AEC; （2）点G为线段PC的中点, 连接FG,EG,由于E,G为PD,PC中点,则,即,四边形AEGF为平行四边形, 因此,平面AEC,平面AEC,则平面AEC. 17．答案：（1）见解析 （2）见解析 解析：（1）证明:在三棱锥中,为等边三角形,且,O,M,D分别为AB,AV,BC的中点, ,O是AB的中点, , 又是等边三角形,O是AB的中点, , 又,OC,平面VOC, 平面VOC; （2）假设线段BM上存在一点E使平面VOC,连接CF, 平面BMC,平面平面, , 是BC的中点, 是BF的中点, 又是等边三角形VAB的重心, ,, 点E是线段BM上靠近B的三等分点. 18．答案： 解析：由题意,知原圆柱的表面积, 挖去圆柱后所得几何体的表面积, 所以. 19．答案：（1） （2） 解析：（1）轴截面的面积为,所以, 所以圆锥的母线长; （2）在轴截面中,,, ,, 的面积, 当时,截面面积有最大值,最大值为. 学科网（北京）股份有限公司 $$