6.1 数列的概念（课件）-2024届湖北省中职高考数学总复习

第6章 数列 中职高考数学总复习与同步练 考纲要求 知识单元 考试内容 考核要求       数列 数列的概念 了解   等差数列的定义，通项公式，前n项和公式 理解   等比数列的定义，通项公式，前n项和公式 理解   数列的实际应用 了解 知识框架 数列 数列的概念 等差数列 等比数列 数列的基本概念 数列的分类 数列的前n项和Sn 定义 公式及性质 定义 公式及性质 目 录 CONTENTS 考点1 数列的概念 考点2 等差数列 考点3 等比数列 01 数列的概念 1.1 数列的基本概念 数列的定义、表示方法、通项公式及递推公式如表6-1 所示． 表6-1 数列的概念 具体内容   定义 按照一定的次序排成的一列数称为数列.数列中的每一个数称为这个数列的项，各项 依次称为这个数列的第1项(或首项),第2项，第3项，-,第n项， ,其中反 映各项在数列中位置的数字1,2,3,-,n,-(n∈)分别叫作对应的项的项数 表示方法 数列的一般形式可以写成a₁,a₂,a₃,---，， ----，(n∈),此数列简记为{,},其中a 是数列的第n项 通项公式 关于项数n(n∈)且能够表示一个数列的第n项 的式子 递推公式 能够表示一个数列相邻两项或多项之间关系的式子(包含递推关系和初始条件两部分)   1.1 数列的基本概念 （1）数列具有有序性，即判断两个数列是否相同，不仅要看构成数列的数是否相同，还要看这些数的顺序是否相同． （2）数列的通项公式是一个以 N* 或它的有限子集 {1，2 ，3，…，n} 为定义域的函数表达式，即 an = f (n) ． 敲黑板 1.2 数列的分类 数列有不同的分类方法，如表6-2 所示． 表6-2 分类标准 数列的名称 特点 举例   数列的项数 有穷数列 项数有限的数列 1,2,3,-,100   无穷数列 项数无限的数列 1,2,3,---         数列前后两项的 大小 递增数列 从第二项起，前一项小于后一项的数列 1,3,4,6,   递减数列 从第二项起，前一项大于后一项的数列 1,-1,-3,-8,---     摆动数列 从第二项起，有些项小于它的前一项，有些项又 大于它的前一项的数列   1,2,-1,4,   常数列 各项均为常数的数列 1,1,1,---,1 1.3 数列的前 n 项和 Sn （1）数列 {an} 的前 n 项和，常用 Sn 来表示，即 Sn = a1 + a2 +… + an． （2）数列 {an} 的通项公式 an 与前 n 项和 Sn 之间的关系是 典例精讲 【名师点睛】 本题主要考查学生通过观察特征规律进行归纳的能力．找出正负交替的规律是解决本题的关键，奇数项为负，偶数项为正，可用 (− 1) n 表示． 例 1 数列 的一个通项公式是 ________． 解析 观察题中所给数列，可得数列的前4 项存在正负号交替的规律，先在通项公式前加上 (− 1) n．又因为数列的前 4 项中除去正负号的部分与其序号间的关系为 ，所以该数列的通项公式为 ． 典例精讲 解题通法 给出数列的前几项求通项公式时，需要注意观察所给数列的前几项中，哪些部分是变化的， 哪些部分是不变的，找出各项中变化部分与其序号间的关系，主要从以下几方面入手： （1）分式形式的数列，分子、分母分别求通项，较复杂的还要考虑分子、分母的关系； （2）若第 n 项和第 n + 1 项正负交替，则在通项公式前加上 (-1)n， (-1)n+1或(-1)n -1； （3）对于较复杂数列的通项公式，若各项的值与其序号间的关系不易得出，就需要将数列中各项的结构形式进行变形，可使用添项、通分、分割等方法，将数列的各项分解成若干个常见数列对应的“和”“差”“积”“商”后再进行归纳，最终得出数列的通项公式． 典例精讲 变式训练1 根据下列数列的前4 项，写出各数列的一个通项公式． （1）1，-1，1，-1，… （2）2，6，12，20， … （3）0，3，8，15， … （4） 易错警示 （1）已知数列的若干项，不能唯一地确定它的通项公式，即同一个数列的通项公式的形式不唯一． （2）并不是所有数列都有通项公式． （3）一个数列，如果只知道它的前几项，而没有指出它的变化规律，是不能确定这个数列的． 典例精讲 【名师点睛】 判断任意数是否为已知数列的项，就是让数列的通项公式等于这个数，解出 n 的值，其中所得的正整数值即为任意数在已知数列中的项数． 例 2 已知数列{an } 的通项公式是 an = n2 - 5n + 6 ，试解决以下问题． （1）求这个数列的第 6 项； （2）240 是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？ 解析 （1）因为 an = n2 - 5n + 6 ，所以 a6 = 62 - 5 × 6 + 6 = 12 ，即第 6 项为 12． （2）令 n2 - 5n + 6 = 240 ，解得 n = -13 （舍去）或 n = 18 ，所以 240 是数列{an } 中的项，并且是第 18 项． 通项公式对应着唯一的序列，因此知道数列的通项公式后，可写出数列的任何一项． 敲黑板 变式训练2 已知数列{an } 的通项公式是 an = log3 (2n + 1) - 7 ，那么 -5 是这个数列的第_项． 典例精讲 【名师点睛】 本题考查用数列的递推公式求数列的指定项． 例 3 已知数列 {an} 的递推公式为 ， 首项 a1 = 0， 则这个数列的第4 项为 （ ）． A. 1 B. 0 C. D. 解析 a1 = 0，由递推公式 可得 ， ， . 故选C. 典例精讲 通项公式和递推公式的异同点： （1）相同点：都可确定一个数列，也都可以求出数列的任意一项． （2）不同点：① 通项公式是 an 和 n 之间的函数关系式，已知通项公式，就可将任意项的项数 n 直接代入，求出 an ；② 递推公式是数列若干项之间的关系式，已知递推公式和首项（或前几项） 的值，通过一次（或多次）赋值，就可以依次求出数列的各项，直至求出所需的 an ，也可以通过变形转化，直接求出 an ． 敲黑板 变式训练 3 已知数列{an } 满足条件 a1 = 21 ， an+1 = 2an ，则这个数列的第 5 项为（ ）． A．42 B．84 C．168 D．336 典例精讲 例 4 已知数列{an } 的前 n 项和公式 Sn = n2 - 7n - 8 ，试解决以下问题． （1）求数列的通项公式 an ； （2）求 a6 + a7 + a8 + a9 + a10 的值． 解析 （1）当 n = 1 时， a1 = S1 = -14 ； 当 n ≥ 2 时， an = Sn - Sn-1 = n2 - 7n - 8 -[(n - 1)2 - 7(n - 1) - 8] = 2n - 8 ． 又因为 a1 ≠ 2 × 1 − 8 = − 6 ，所以， （2） a6 + a7 + a8 + a9 + a10 = S10 - S5 = 40 ． 【名师点睛】 数列的前 n 项和是各项相加得到的，已知数列的前 n 项和求通项，要利用数列前 n 项和与通项的关系式： 典例精讲 变式训练 4 若数列{an } 的前 n 项和公式 Sn = n2 - 10n ，求此数列的通项公式 an ． 易错警示 利用数列{an } 的通项公式 an 与前 n 项和 Sn 之间的关系式求出 an 后，一定要检验 a1 是否符合 n ≥ 2 时的通项公式 an ，若符合，要将两个通项公式合并起来；若不符合，则需将 n = 1 和n ≥ 2 时的通项公式 an 分开表示． 谢谢观看 Thank you $$