7.1 平面向量的概念及线性运算（课件）-2024届湖北省中职高考数学总复习

第7章 平面向量 中职高考数学总复习与同步练 考纲要求 知识单元 考试内容 考核要求         平面向量 平面向量的概念(向量的模、单位向量、相等向量等) 了解   平面向量的加、减、数乘运算 理解   平面向量的坐标表示 了解   平面向量的内积 理解   平面向量共线、垂直的条件 理解 知识框架 平面向量 平面向量的概念 及线性运算 平面向量的坐标 表示 平面向量的内积 向量的相关概念 共线向量与相等向量 平面向量的线性运算 平面向量的坐标 向量坐标与其起点、终点 坐标的关系 向量的坐标运算 两个非零向量的夹角 向量的内积 向量内积的运算律和应用 目 录 CONTENTS 考点1 平面向量的概念 及线性运算 考点2 平面向量的坐标 表示 考点3 平面向量的内积 01 平面向量的概念及线性运算 1.1 向量的相关概念 向量的相关概念如表7-1 所示． 表 7-1 1.1 向量的相关概念 （1）向量可以用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向，有向线段的起点叫作向量的起点，有向线段的终点叫作向量的终点． （2）区分零向量 0 和实数 0 ．零向量是有方向的，它的方向不确定；零向量的负向量仍为零向量． （3）向量的单位向量 可表示为 ． 敲黑板 平面向量的概念 1.2 共线向量与相等向量 共线向量和相等向量的定义及两者的关系如表7-2 所示． 表 7-2 零向量与任意向量都共线．因此，两个向量共线的充分必要条件是这两个向量的方向相同或相反，或者其中有一个是零向量． 敲黑板 共线向量与相等向量 定义或关系 记法 共线向量 方向相同或相反的两个向量 a //b 相等向量 大小相等且方向相同的两个向量 a=b 共线向量与相等向量的关系 相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等向量 1.3 平面向量的线性运算 平面向量的线性运算包括平面向量的加法、减法和数乘运算．各类线性运算的定义或运算法则、向量表示及运算律如表7-3 所示． 表 7-3 向量的线性运算 1.3 平面向量的线性运算 表 7-3（续） 1.3 平面向量的线性运算 （1）如果 ，当 λ > 0 时， 与 的方向相同；当 λ < 0 时， 与 的方向相反．且 ， ． （2）对于非零向量 ， ， ； A , B , C 三点共线 ． （3）当两个向量共线时，向量加法的三角形法则适用，而平行四边形法则不再适用． 敲黑板 典例精讲 【名师点睛】 向量具有大小和方向两个要素，相等向量的大小和方向完全相同． 例 1 “ ”是“四边形 ABB′A′ 为平行四边形”的（ ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析 因为向量 的充分必要条件是 且 与 同向．所以“ ”是 “四边形 ABB′A′为平行四边形”的充分必要条件．故选C． 变式训练1 “ ”是“ ”的（ ）． A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 典例精讲 例 2 下列命题中正确的是（ ）． ① 若 ，则 ； ② 若 A，B，C，D 是不共线的四点，则“ ”是“四边形为平行四边形”的充分必要条件； ③ 若 ， ，则 ； ④ “ ”的充分必要条件是“ 且 ”； ⑤ 若 ， ，则 ． 典例精讲 解析 ，但若 与 方向不同，则 ， ①错误；“ ”是“四边形为平行四边形”的充分必要条件， ②正确；向量相等具有传递性， ③正确； 不一定 满足 与 方向相同，所以“ 且 ”不是“ ”的充分必要条件， ④错误；若 为 ，则不能推出 ， ⑤错误．故选 C． 【名师点睛】 本题考查向量的概念、共线及相等． 典例精讲 易错警示 （1）向量相等具有传递性，即 ， ，则 ． （2）向量共线不具有传递性，若 ，则 ， 不一定推出 ； 若 ，则 ， 就能够推出 ． 变式训练2 如图 7-4 所示，菱形ABCD中，下列各对向量是相等向量的是（ ）． A． 与 B． 与 C． 与 D． 与 图 7-4 典例精讲 例 3 在四边形ABCD中，若 ，且 ，则四边形ABCD的形状为___________． 解析 因为 ，所以 BA∥CD 且 ，所以四边形ABCD为平行四边形．又因为 ，所以四边形ABCD为菱形． 【名师点睛】 本题考查相等向量的定义及应用． 变式训练 3 在四边形ABCD中，若 且 ，则四边形ABCD的形状为 ___________． 典例精讲 例 4 设A，B，C，D，O是平面上的任意五点，试化简： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 解析 （1） （2） （3） （4） 【名师点睛】 本题考查向量的加法、减法运算及其几何意义，可通过画草图去理解． 典例精讲 （1）向量的等式运算中，合并同类项、去括号、移项等法则仍然适用． （2）向量的线性运算要满足三角形法则和平行四边形法则，做题时要注意三角形法则与平行四边形法则的使用条件． 敲黑板 变式训练4 化简下列各式． （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 典例精讲 易错警示 首尾相连的多个向量之和为零向量．即两个相同的向量相减等于零向量，但不等于实数0， 即 ． 解题通法 向量的加、减法运算一般运用以下两种方法： （1）几何法：在平面上画出向量，然后运用平行四边形法则或三角形法则求解，或者借助几何图形及相等向量进行转化求解. （2）代数法：利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向量首尾相连，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序( 将首尾相连的向量合在一起)，有时可将一个向量拆分成两个或多个向量. 典例精讲 例5 设非零向量 的模为3，对于 ，下列说法正确的是（ ）． A．它表示与 反向的单位向量 B．它表示与 同向的单位向量 C．它表示实数1 D．它表示方向不确定的单位向量 【名师点睛】 本题考查向量数乘运算的定义． 解析 实数 与向量 的乘积 是一个向量，且与 的方向相同，故选B． 变式训练5 与非零向量 共线的单位向量可以表示为___________． 典例精讲 例 6 计算下列各式． （1） 3(a + b) - 2(a - b) - a ； （2） 2(a - b - c) + (4a - b + c) ． 【名师点睛】 熟练掌握向量线性运算的运算律． 解析 （1） 3(a + b) - 2(a - b) - a = 3a + 3b - 2a + 2b - a = 5b ． （2） 2(a - b - c) + (4a - b + c) = 2a - 2b - 2c + 4a - b + c = 6a - 3b - c ． 典例精讲 易错警示 向量的线性运算应注意：① 当 λ = 0 时， ，当 时，也有 ； ② 实数和向量可以求积，但不能求和、求差；③ 向量的加法、减法、数乘运算都是向量的线性运算，实质都是向量的变换，因此，运算结果仍是向量． 变式训练 6 计算下列各式． （1） 3(-4a + 5b) ； （2） 3a - 2(3a - 4b) + 3(a - b) ； （3） 4(a + b) - 3(a - 2b) - (a - c) ； （4） 典例精讲 【名师点睛】 本题考查用两个非零不共线向量表示其他向量，解题的关键是利用向量加法的三角形法则和平行四边形法则． 例 7 如图 7-5 所示，平行四边形ABCD的对角线AC和BD交于点O，且 ， ，试 用 a 和 b 表示向量 ， ， ， ． 解析 因为在平行四边形ABCD中，向量 与 的模相等， 方向相反；向量 与 的模相等，方向相反，所以 ， ．根据向量减法的三角形法则，可得 ．又因为向量 与 a+b 的模相等，方向相反，所以 ． 图 7-5 典例精讲 用线段表示向量时，向量与有向线段起点的位置没有关系，同向且等长的有向线段都表示同一向量． 敲黑板 变式训练 7 已知在平行四边形ABCD中，其对角线的交点为 O，若 ， ，用 ， 表示 ，则___________． 解题通法 用两个及以上的非零不共线向量表示某个向量的步骤：① 观察各向量的位置和方向，寻找相应的三角形或多边形；② 运用三角形法则或平行四边形法则确定各向量间的关系；③ 表示出所需向量并化简，得出结果． 谢谢观看 25 $$