8.4 直线与圆（课件）-2024届湖北省中职高考数学总复习

第8章 直线和圆的方程 中职高考数学总复习与同步练 考纲要求 知识单元 考试内容 考核要求                   直线和圆的方程 两点间距离公式及中点公式 掌握 直线的倾斜角与斜率 理解 直线的点斜式和斜截式方程 掌握 直线的一般式方程 理解 两条相交直线的交点及其夹角 掌握 两条直线平行的条件 理解 两条直线垂直的条件 理解 点到直线的距离公式 了解 圆的方程 掌握 直线与圆的位置关系 理解 知识框架 目 录 CONTENTS 考点1 两点间的距离与 中点 公式 考点2 直线方程 考点3 两直线得位置关系 考点4 直线与圆 04 直线与圆 圆的方程 圆的方程有标准方程和一般方程两种形式，如表8-4 所示． 4.1 表8-4 圆的方程形式 圆心 半径 说明 圆的标准方程 (x-a)²+(y-b)²=r² (r>0)   (a,b)     r   圆心为原点、半径为r的圆的标准方程为 x²+y²=r² 圆的一般方程 x²+y²+Dx+Ey+F=0 (D²+E²-4F>0)           ①方程中含x²项的系数与含y²项的系数都是1 ②方程中不含xy项 圆的方程 4.1 （1）圆的一般方程 x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 可化为 . （2） 当 D2 + E2 - 4F < 0 时，方程 x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 无解，它不表示任何图形；当 D2 + E2 - 4F = 0 时，方程 x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 的实数解为 ， ，它仅表示点 敲黑板 点与圆的位置关系及判定方法 4.2 已知平面上一点 P0 (x0 ，y0 ) 和圆 C ：(x - a)2 + ( y - b)2 = r2 ，点 P0 (x0 ，y0 ) 到圆心(a ，b) 的距离为 d ．则点 P0 (x0 ，y0 ) 与圆 C ：(x - a)2 + ( y - b)2 = r2 的位置关系及判定方法如表 8-5 所示． 表 8-5 点P与圆C的位置关系 点 P 在 圆 C 内 点 P 在 圆 C 上 点 P 在 圆 C 外 几何法 d<r d=r d>r 代数法 (x₀-a)²+(y₀-b)²<r² (x₀-a)²+(y₀-b)²=r² (x₀-a)²+(y₀-b)²>r² 点P与圆C的切线数 0 1 2 直线与圆的位置关系及判定方法 4.3 已知直线 l ：Ax + By + C = 0 和圆 C ：(x - a)2 + ( y - b)2 = r2 ． 圆心 (a ，b) 到直线 l 的距离为 d ，由 消去 y 或 x ，得到关于 x 或 y 的一元二次方程，其判别式为 D ． 则直线 l ：Ax + By + C = 0 与圆 C ：(x - a)2 + ( y - b)2 = r2 的位置关系及判定方法如表 8-6 所示． 直线与圆的位置关系及判定方法 4.3 表 8-6 直线1与圆C的位置关系 相交 相切 相离 几何法 d<r d=r d>r 代数法 △>0 △=0 △<0 关于x或y的一元二次方程的 解的情况 两个不相等的实数解 两个相等的实数解 无实数解 α-oP+C-6)= 方程组 的解的情况   有两组解   有一组解   无解 圆的切线方程 4.4 （1）若点 P0 (x0 ，y0 ) 在圆(x - a)2 + ( y - b)2 = r2 上，则以点 P0 为切点的圆的切线方程为 （2）过圆外一点 P0 (x0 ，y0 ) 的圆的切线有两条，利用圆心到切线的距离 d 和半径 r 相等即可求出切线的斜率 k ． 若点 P0 (x0 ，y0 ) 在圆 x2 + y2 = r2 上，则以点 P0 为切点的圆的切线方程为 x0 x + y0 y = r2 ． 敲黑板 典例精讲 例 1 判断直线 24x + 7 y + 7 = 0 与圆(x - 3)2 + ( y - 3)2 = 16 的位置关系． 解析 由圆的方程 (x - 3)2 + ( y - 3)2 = 16 可得，圆心为(3，3) ，圆的半径 r = 4 ．圆心(3，3) 到直线 24x + 7 y + 7 = 0 的距离为 ． 因为 d = r = 4 ，所以直线 24x + 7 y + 7 = 0 与圆 (x - 3)2 + ( y - 3)2 = 16 相切． 【名师点睛】 本题考查直线与圆的位置关系的判定，常用的判定方法为几何法． 典例精讲 变式训练 1 直线 3x + y - 18 = 0 与圆 x2 + y2 - 4x - 6y + 8 = 0 的位置关系为（ ）． A．相切 B．相离 C．相交且过圆心 D．相交但不过圆心 判定直线与圆的位置关系的方法有几何法和代数法： ① 若直线和圆的方程已知或圆心到直线的距离容易计算或表示，则可运用几何法进行判定； ② 若直线或圆的方程中包含参数，或圆心到直线的距离不容易计算或表示，则可运用代数法进行判定． 敲黑板 易错警示 在圆的一般方程中求圆心和半径时，要注意系数 D ，E ，F 前的正负号，准确计算． 典例精讲 例 2 求以 C(2，1) 为圆心，且和直线 2x - y + 2 = 0 相切的圆的方程． 解析 设圆的方程为(x - 2)2 + ( y - 1)2 = r2 ．因为圆与直线相切，所以圆心 C 到直线的距离与圆的半径 r 相等，即 ． 因此，圆的方程为(x - 2)2 + ( y - 1)2 = 5 ． 【名师点睛】 通常情况下，求圆的方程时，直接找出圆心，求出半径即可． 圆的标准方程及一般方程中分别含有 3 个系数 a ，b ，r 或 D ，E ，F ，确定了这 3 个待定系数， 圆的方程也就确定了． 敲黑板 变式训练 2 经过两点 A(3，2) ， B(-1，4) 且以 AB 为直径的圆的标准方程为 ________． 典例精讲 例 3 若方程 x2 + y2 + (2 - m)x + 1 = 0 表示圆，则 m 的取值范围是 ________． 解析 若方程x2 + y2 + (2 - m)x + 1 = 0 表示圆，则D2 + E2 - 4F = (2 - m)2 - 4 > 0 ，即m2 - 4m > 0 ， 解得 m > 4 或 m < 0 ．所以， m 的取值范围是(-∞ ，0)  (4 ，+∞) ． 【名师点睛】 本题考查圆的一般方程的条件，即 D2 + E2 - 4F > 0 ． 变式训练 3 若方程x2 + y2 + 4mx - 2 y + 5m = 0 表示的曲线为圆，则m 的取值范围是 ________． 典例精讲 例 4 若圆经过点 A(0 ，0) ，B(-1，0) ，C(0 ，3) ，则圆的方程为 ________． 【名师点睛】 本题考查已知圆上任意三点的坐标求圆的方程． 变式训练 4 经过点 A(0 ，0) ，B(1，1) ，C(4 ，2) 的圆的标准方程为 ________． 解析 设圆的一般方程为 x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 ，将点 A(0 ，0) ，B(-1，0) ，C(0 ，3) 代入方程可得， 解得 D = 1，E = -3，F = 0 ，所以圆的一般方程为 x2 + y2 + x - 3y = 0． 典例精讲 例 5 求经过平面上两点 A(1，2) ，B(2 ，1) ，且圆心在直线 x + y + 2 = 0 上的圆的标准方程． 解析 （解法一）由已知可得，AB 的中点坐标为 ， ，所以线段 AB 的垂直平分线的斜率为 1，代入直线的点斜式方程中，可得线段的垂直平分线的方程为 x – y = 0． 由 解得 即所求圆的圆心坐标为 (-1，-1) ，则点 A(1 ，2) 到圆心的 距离 ．  因此，圆的标准方程为 (x + 1)2 + (y + 1)2 =13． 典例精讲 （解法二）因为圆心在直线 x + y + 2 = 0 上，所以可设圆心坐标为 ( a， – a – 2 )．设圆的标准方程为 (x - a)2 + (y + a + 2)2 =r2 ，将点 A (1，2) ，B(2，1) 代入圆的方程中，即 解得 所以圆的标准方程为 (x + 1)2 + (y + 1)2 =13 ． 【名师点睛】 求圆的标准方程的关键是确定圆心和半径，解题时应充分利用题目中的条件，寻求简便的计算方法． 典例精讲 变式训练 5 过两点(3，5) ， (1，3) ，且圆心在 x 轴上的圆的方程为 ________． 解题通法 （1）直接法求圆的方程：根据题中条件直接求出圆心坐标和半径，代入圆的标准方程． （2）待定系数法求圆的方程： ① 若题中条件与圆心和半径有关（如给出圆心坐标或圆心所在直线），则设圆的标准方程，若题中仅给出圆上任意三点的坐标，则设圆的一般方程； ② 根据所给条件，列出关于 a ，b ，r 或 D ，E ，F 的方程组； ③ 解方程组，求出 a ，b ，r 或 D ，E ，F 的值，并代入所设方程中． 典例精讲 例 6 过圆(x - 2)2 + y2 = 25 上一点 (5 ，-4) 的切线方程为 ________． 【名师点睛】 本题考查圆的切线和其切点与圆心的连线垂直这一性质． 变式训练 6 求过原点且与圆(x - 1)2 + ( y - 2)2 = 1 相切的直线方程． 解析 因点 (5 ，-4) 在圆(x - 2)2 + y2 = 25 上，所以以点 (5 ，-4) 为切点的圆的切线方程为 ，即 ，整理得 3x - 4y - 31 = 0 ． 解题通法 过 圆 外一点求圆的切线方程：① 若切线的斜率存在，设切线方程为 y - y0 = k (x - x0 ) ，令圆心到切线的距离 d 和半径 r 相等，求出斜率 k ，然后代入切线方程．② 若切线的斜率不存在，即仅求出一个 k ，则需检验圆是否有一条垂直于 x 轴的切线，其方程为 x = x0 ． 典例精讲 例 7 圆 x2 + y2 - 2x + 4y + 4 = 0 上的点到直线 3x - 4 y + 9 = 0 的最大距离为 ________． 【名师点睛】 本题考查圆上的动点到直线的距离的最值． 解析 由已知得圆心坐标为 (1，- 2) ，半径为 r = 1 ，圆心到直线 3x - 4 y + 9 = 0 的距离为 ．因为 d > r ，所以直线 3x - 4 y + 9 = 0 与圆 x2 + y2 - 2x + 4y + 4 = 0 相离．因此，所求最大距离为 d + r = 4 + 1 = 5 ． 典例精讲 若 d 为圆心到某直线的距离， r 为圆的半径，则圆上所有点到直线的距离的最值情况如下． （1）直线与圆相切时，圆上的点到直线的最小距离为 0，最大距离为 2r ． （2）直线与圆相离时，圆上的点到直线的最小距离为 d - r ，最大距离为 d + r ． 敲黑板 变式训练 7 圆 x2 + y2 - 2x + 4y + 4 = 0 上的点到直线 3x - 4y + 9 = 0 的最小距离为 ________． 谢谢观看 Thank you $$