精品解析： 浙江省湖州市长兴县职业高中2022-2023学年高三上学期期中考试数学试题

2022浙江省湖州市长兴县职业高中上学期高三期中考试试卷 本试卷共三大题.全卷共4页.满分150分，考试时间120分钟. 考生注意： 1.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸上. 2.答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试卷上的作答一律无效. 一、单项选择题（本大题共20小题，1—10小题每小题2分，11—20小题每小题3分，共50分）在每小题列出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的.错涂、多涂或未涂均无分. 1. 设集合，，则集合等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合的交集运算求解即可. 【详解】因为集合. 所以. 故选：A. 2. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对数函数真数大于0，即可求解. 【详解】由题意得， 解得或. 所以函数定义域为. 故选：C. 3. 化简：等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数的运算，根式与指数幂的互化求解即可. 【详解】. 故选：A. 4. 下列函数的定义域都是，则最大值为3的函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用一次函数、二次函数与正弦函数的性质即可得解. 【详解】对于A，的值域为，无最大值，故A错误； 对于B，有最小值3，无最大值，故B错误； 对于C，因为，所以有最大值5，故C错误； 对于D，因为，所以有最大值3，故D正确. 故选：D. 5. 若从黑桃1，2，3，4，5五张扑克牌中一次抽取2张牌，则“点数之和为6”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合组合数及古典概型求概率公式计算即可. 【详解】从五张扑克牌中一次抽取2张牌，抽取总数为， “点数之和为6”只有“1，5”和“2，4”两种可能， ∴. 故选：B. 6. 将“趣味数学”“竞技体育”“国文选读”“职业规划”四门选修课，安排在星期一上午四节课.若第一节课不排“竞技体育”，则不同排课方法有（ ） A. 9种 B. 18种 C. 12种 D. 24种 【答案】B 【解析】 【分析】由排列的意义与公式进行计算即可. 【详解】因为第一节课不排“竞技体育”， 则不同排课方法有（种）. 故选：B. 7. 在等差数列中，若，，则数列的公差为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列的性质即可求解. 【详解】因为， 所以. 又因为， 所以. 则. 故选：B. 8. 若直线经过点，倾斜角为30°，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据倾斜角和所过点，计算直线的方程即可. 【详解】斜率， 由斜截式方程得. 故选：A. 9. 化简：等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据诱导公式可求. 【详解】. 故选：D. 10. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件与必要条件的定义判断即可. 【详解】解：（1）若，则， ∴“”是“”的充分条件； （2）若，则，得不出， ∴“”不是“”的必要条件， ∴“”是“”的充分非必要条件. 故选：A. 【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，是基础题. 11. 下列不等式表达正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数，对数函数和三角函数的性质进行分析即可. 【详解】在上是减函数，，故A正确； 在上是增函数，，故B错误； 在上是增函数，，故C错误； 在上是增函数，，故D错误. 故选：A. 12. 在平行四边形中，等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设交于点，根据向量线性运算的性质求解即可. 【详解】 在平行四边形中，设交于点， 则. 故选：C 13. 若某商品的销售价格第1年上涨10%，第2年上涨20%，则此商品价格两年上涨（ ） A. 15% B. 30% C. 32% D. 33% 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知逐年计算增长率即可解得 【详解】由题可知， . 故选：C. 14. 在内，与10弧度终边相同的角是（ ） A. B. C. D. 10° 【答案】B 【解析】 【分析】由终边相同的角的表示即可解得. 【详解】与10弧度终边相同的角为：， 取，，又知， 故在内，与10弧度终边相同的角是. 故选：B. 15. 下列函数中，与的最小正周期相同的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合倍角公式逐一求得各项的函数的最小正周期即可求解. 【详解】的最小正周期为； 对A，， 则最小正周期为. 所以A错误. 对B，的最小正周期为. 所以B错误. 对C，， 则其最小正周期为. 所以C错误. 对D，的最小正周期为. 所以D正确. 故选：D. 16. 下列说法正确的是（ ） A. 两个半径为5的球的体积之和等于一个半径为10的球的体积 B. 两个半径为5的球的表面积之和等于一个半径为10的球的表面积 C. 两个半径为5的圆的面积之和等于一个半径为10的圆的面积 D. 两个半径为5的圆的周长之和等于一个半径为10的圆的周长 【答案】D 【解析】 【分析】根据球的表面积和体积公式、圆的面积和周长公式求解即可判断. 【详解】，，，故A错误； ，，，故B错误； ，，，故C错误； ，，，故D正确. 故选：D. 17. 若圆经过，，三点，则此圆的圆心坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设出圆的一般方程，将点代入方程得到圆的方程，进而得到圆心坐标即可. 【详解】设圆的方程为. 因为圆过点. 所以解得. 所以圆的方程为 所以圆心坐标为. 故选：C. 18. 若，两点关于直线对称，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据线段的中点坐标公式结合两直线垂直斜率乘积为即可求解. 【详解】由题意得， 线段的中点坐标为， 即直线过点. 因为，两点关于直线对称， 所以，所在直线与直线垂直. 因为， 所以. 所以直线的方程为， 即. 故选：A. 19. 若直线在轴上的截距为2，在轴上的截距为3，则直线的斜率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意结合已知两点求斜率即可求解. 【详解】因为直线在轴上的截距为2， 在轴上的截距为3， 所以直线与，轴的交点分别为，. 则. 故选：C. 20. 关于双曲线，下列结论正确的是（ ） A. 实轴长为1 B. 两条渐近线互相垂直 C. 离心率为2 D. 焦距为2 【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线的标准方程和性质即可解得. 【详解】由题，双曲线， 则，，， 选项A：实轴长，错误， 选项B：渐近线相互垂直，正确， 选项C：离心率，错误， 选项D：焦距，错误. 故选：B. 二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分） 21. 二项式的展开式中的常数项为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据二项式展开式的通项公式，令x的指数为0，从而得解. 【详解】由， 令得，所以展开式的常数项 为第4项，即. 故答案为：. 22. 若函数则______. 【答案】1 【解析】 【分析】将第一次求得的的函数值当做自变量代入分段函数即可解得. 【详解】由题，， 则， 故答案为：. 23. 在等比数列中，若前项和，前项和，则它的前项和______. 【答案】 【解析】 【分析】利用等比数列通项公式求出，然后求出，最后求 【详解】由题意得， ， ， ， . 故答案为：. 24. 在中，若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】由诱导公式及二倍角余弦公式即可求解. 【详解】. 故答案为： 25. 若实数，满足，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据积商幂的对数与基本不等式可求. 【详解】由题意得，， 当且仅当时取等号； 故答案为：. 26. 若正三棱锥的侧棱长和底面边长都为3，则此三棱锥的高为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据所给正三棱锥的侧棱长和底面边长计算高即可. 【详解】在正三棱锥中， ∵是底面的中心，底面， ，， ∴高. 故答案为：. 27. 若经过抛物线的焦点的直线交抛物线于，两点，且，则线段的中点的横坐标为______. 【答案】3 【解析】 【分析】利用抛物线的定义求解即可. 【详解】如图所示，设是抛物线的焦点，是的中点， 准线，，，. 由抛物线的定义得，， ∴， ∴， ∴点的横坐标为. 三、解答题（本大题共8小题，共72分）解答应写出文字说明及演算步骤. 28. 求值：. 【答案】 【解析】 【分析】根据组合数、阶乘、指数幂、对数的运算和特殊值三角函数值求解即可. 【详解】 . 29. 如图所示，在梯形中，已知，，，，，求： （1）对角线长； （2）的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理即可求解. （2）先求出梯形的高，再由三角形面积求解即可. 【小问1详解】 由余弦定理得， 所以. 【小问2详解】 ∵梯形的高为， ∴. 30. 已知直线，圆，是直线上的动点，经过点作圆的切线，切点为. （1）如图所示，若点运动到轴上，求点的坐标和； （2）当点在直线上运动时，求的最小值. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由已知求得圆心坐标与半径再求出圆心到直线的距离，利用勾股定理即可解得. （2）为定值，则最小时最小，可用点到直线的距离公式先求出最小值，再用勾股定理求出最小值即可解得. 【详解】解：（1）圆心，半径，当时，， 则， 在直角三角形中， （2）当最短时最小，即过点作于点，此时切线长最小， ∵ ∴在直角三角形中， 31. 已知函数. （1）将化成的形式； （2）求的最小正周期和最大值，并指出为何值时取最大值. 【答案】（1） （2）， ，最大值. 【解析】 【分析】（1）利用两角和差正弦余弦公式即可解得. （2）根据正弦型函数的单调区间和周期计算公式即可求得最值和最小正周期. 【详解】（1）由题意得， （2）最小正周期 当，即时， 有最大值 32. 如图所示，已知等腰直角三角形的直角顶点为，平面，，，求： （1）二面角的正切值； （2）三棱锥体积； （3）点到平面的距离. 【答案】（1） （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）先由线线垂直找到二面角的平面角，再由边的的关系即可求解角的正切值. （2）由三棱柱的体积公式代入求解即可. （3）由体积相等转化求解点到面的距离即可. 【小问1详解】 取的中点，连接，，则，且. ∵平面，是在平面内的射影，∴， ∴为二面角的平面角， ∵在直角三角形中，， ∴二面角的正切值为. 【小问2详解】 ∵， ∴. 【小问3详解】 ∵， ∴， ∵，即， ∴，即点到平面的距离为. 33. 两同学玩沙盘游戏，沙盘上有共16个方格，甲同学在第1格内放1枚弹珠，第2格内放3枚弹珠，以后每个方格比前一格多放2枚，放满16格为止.乙同学也在另一个相同的沙盘第1格放1枚，以后每个方格比前一格多放3枚，放满为止.设每个方格内弹珠不论放多少枚，都能放得下. 1 3 1 4 （1）问：甲、乙分别在第16格各放了多少枚弹珠？谁的沙盘内弹珠总数多？多几枚弹珠？ （2）若把两个沙盘内的弹珠倒在同一个沙盘上，两人一起重新摆放弹珠：第1格放1枚，第2格放2枚，第3格放4枚，依次每个方格的弹珠比前一格多一倍，则放到第几格时弹珠数量不足？还差多少枚才能放满这一格？ 【答案】（1）256（枚），376（枚），120（枚）. （2）放到第10格时弹珠数量不足，还差391（枚）. 【解析】 【分析】（1）分析甲乙放弹珠构成等差数列，由等差数列的通项公式和前n项和公式求解即可. （2）分析再次放弹珠构成等比数列，由等比数列的前n项和公式判断求解即可. 【小问1详解】 甲所放弹珠数：，，是一个等差数列，公差， 甲第16格放了（枚）， 甲16格内共放了（枚）， 乙所放弹珠数：，，是一个等差数列，公差， 乙第16格放了（枚）， 乙16格内共放了（枚）， ∴乙的沙盘内弹珠总数多，多（枚）. 【小问2详解】 重新摆放弹珠数依次为，，，是一个等比数列，公比， ∴，它的前项和， ∴，∴， 当时，；当时，， ∴放到第10格时弹珠数量不足，还差（枚）. 34. 某水产基地有一个长方形鱼池，长，宽，在长方形每条边上安装滑动轨道，每两个相邻滑动支点间用直钢管连接，在水面上形成网箱四边形（如图所示）.滑动点，从A出发；，从出发，等距离地滑动.设滑动距离. （1）求网箱四边形的面积关于的函数关系式； （2）当滑动距离为多少米时，网箱面积最大？最大面积是多少？ 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1） 根据题意结合三角形，正方形的面积公式即可列出函数关系式. （2）根据二次函数的性质即可求解. 【小问1详解】 ，则，， 所以， ， 所以网箱四边形的面积 ， 即. 【小问2详解】 由（1）得， 所以当时， 网箱面积最大，最大面积为： . 35. 如图所示，已知椭圆的左焦点为，经过上顶点作，交椭圆于，求： （1）上顶点、左焦点的坐标和椭圆的离心率； （2）的面积. 【答案】（1）， （2）. 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的标准方程求焦点和离心率； （2）根据两点坐标求直线斜率根据两直线垂直求另一直线斜率，再用点斜式求直线方程，与椭圆方程联立求交点，根据两点距离公式求直角边，然后根据三角形面积公式可求. 【小问1详解】 ，，，，， 上顶点，左焦点， 离心率. 【小问2详解】 易得，，，直线的方程为 ； 联立 消去得， 解得或，即点的坐标为， ， . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2022浙江省湖州市长兴县职业高中上学期高三期中考试试卷 本试卷共三大题.全卷共4页.满分150分，考试时间120分钟. 考生注意： 1.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸上. 2.答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试卷上的作答一律无效. 一、单项选择题（本大题共20小题，1—10小题每小题2分，11—20小题每小题3分，共50分）在每小题列出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的.错涂、多涂或未涂均无分. 1. 设集合，，则集合等于（ ） A. B. C. D. 2. 函数定义域是（ ） A. B. C. D. 3. 化简：等于（ ） A. B. C. D. 4. 下列函数的定义域都是，则最大值为3的函数是（ ） A. B. C. D. 5. 若从黑桃1，2，3，4，5五张扑克牌中一次抽取2张牌，则“点数之和为6”的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 将“趣味数学”“竞技体育”“国文选读”“职业规划”四门选修课，安排在星期一上午四节课.若第一节课不排“竞技体育”，则不同排课方法有（ ） A. 9种 B. 18种 C. 12种 D. 24种 7. 在等差数列中，若，，则数列的公差为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 若直线经过点，倾斜角为30°，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 9. 化简：等于（ ） A. B. C. D. 10. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 11. 下列不等式表达正确的是（ ） A. B. C. D. 12. 在平行四边形中，等于（ ） A. B. C. D. 13. 若某商品的销售价格第1年上涨10%，第2年上涨20%，则此商品价格两年上涨（ ） A. 15% B. 30% C. 32% D. 33% 14. 在内，与10弧度终边相同的角是（ ） A. B. C. D. 10° 15. 下列函数中，与的最小正周期相同的是（ ） A. B. C. D. 16. 下列说法正确的是（ ） A. 两个半径为5的球的体积之和等于一个半径为10的球的体积 B. 两个半径为5的球的表面积之和等于一个半径为10的球的表面积 C. 两个半径为5圆的面积之和等于一个半径为10的圆的面积 D. 两个半径为5的圆的周长之和等于一个半径为10的圆的周长 17. 若圆经过，，三点，则此圆圆心坐标是（ ） A. B. C. D. 18. 若，两点关于直线对称，则直线的方程为（ ） A B. C. D. 19. 若直线在轴上的截距为2，在轴上的截距为3，则直线的斜率是（ ） A. B. C. D. 20. 关于双曲线，下列结论正确的是（ ） A. 实轴长为1 B. 两条渐近线互相垂直 C. 离心率为2 D. 焦距为2 二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分） 21. 二项式的展开式中的常数项为______. 22. 若函数则______. 23. 在等比数列中，若前项和，前项和，则它的前项和______. 24. 在中，若，则______. 25. 若实数，满足，则的最小值为______. 26. 若正三棱锥侧棱长和底面边长都为3，则此三棱锥的高为______. 27. 若经过抛物线的焦点的直线交抛物线于，两点，且，则线段的中点的横坐标为______. 三、解答题（本大题共8小题，共72分）解答应写出文字说明及演算步骤. 28. 求值：. 29. 如图所示，在梯形中，已知，，，，，求： （1）对角线的长； （2）的面积. 30. 已知直线，圆，是直线上的动点，经过点作圆的切线，切点为. （1）如图所示，若点运动到轴上，求点的坐标和； （2）当点在直线上运动时，求的最小值. 31. 已知函数. （1）将化成的形式； （2）求的最小正周期和最大值，并指出为何值时取最大值. 32. 如图所示，已知等腰直角三角形的直角顶点为，平面，，，求： （1）二面角的正切值； （2）三棱锥的体积； （3）点到平面的距离. 33. 两同学玩沙盘游戏，沙盘上有共16个方格，甲同学在第1格内放1枚弹珠，第2格内放3枚弹珠，以后每个方格比前一格多放2枚，放满16格为止.乙同学也在另一个相同的沙盘第1格放1枚，以后每个方格比前一格多放3枚，放满为止.设每个方格内弹珠不论放多少枚，都能放得下. 1 3 1 4 （1）问：甲、乙分别在第16格各放了多少枚弹珠？谁的沙盘内弹珠总数多？多几枚弹珠？ （2）若把两个沙盘内的弹珠倒在同一个沙盘上，两人一起重新摆放弹珠：第1格放1枚，第2格放2枚，第3格放4枚，依次每个方格的弹珠比前一格多一倍，则放到第几格时弹珠数量不足？还差多少枚才能放满这一格？ 34. 某水产基地有一个长方形鱼池，长，宽，在长方形每条边上安装滑动轨道，每两个相邻滑动支点间用直钢管连接，在水面上形成网箱四边形（如图所示）.滑动点，从A出发；，从出发，等距离地滑动.设滑动距离. （1）求网箱四边形的面积关于的函数关系式； （2）当滑动距离为多少米时，网箱面积最大？最大面积是多少？ 35. 如图所示，已知椭圆的左焦点为，经过上顶点作，交椭圆于，求： （1）上顶点、左焦点的坐标和椭圆的离心率； （2）的面积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$