精品解析：湖南省江华瑶族自治县职业中专学校2022-2023学年高三上学期第一次月考数学试题

2022年下期中专对口三年级月考考试 数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的） 1. 设全集，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据交集与补集的定义，计算即可 【详解】全集，集合，， 所以， 所以． 故选：A． 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据互推关系以及充分条件和必要条件的定义判断即可. 【详解】可以推出，故“”是“”的充分条件； 可以推出，故“”是“”的必要条件； 综上，“”是“”的充要条件. 故选：C. 3. 绝对值不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据含绝对值不等式得解法即可求解. 详解】由得， 解得， 所以不等式的解集是. 故选：C 4. 若直线与直线平行，则（ ） A. B. 2 C. －1或2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两直线平行的条件即可求解. 【详解】易知， 将直线转换成斜截式为， 所以该直线的斜率为，y轴上的截距为， 将直线转换成斜截式为， 所以该直线的斜率为，y轴上的截距为， 因为两直线平行，所以且， 解得. 故选：A. 5. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分母不为零和对数真数大于零列式求解即可. 【详解】由可得：， 故，即， 由可得：， 综上，且. 则函数定义域为：. 故选：D. 6. 设，且，则锐角等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量平行的坐标表示，即可求解. 【详解】解：向量，且， 所以，即， 又因为角为锐角， ． 故选：B. 7. 下列函数在上是单调减少的奇函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正弦函数，余弦函数，指数函数以及幂函数的性质逐项判断即可. 【详解】对于A，是正弦函数，在上有增有减，不符合题意； 对于B，是余弦型函数，在上有增有减，不符合题意； 对于C，是指数函数，在上单调递增，不符合题意； 对于D，是幂函数，在上单调递增，且是奇函数； 则在上单调递减，且是奇函数，符合题意. 故选：D. 8. 设等差数列的前和为，若，则（ ） A. 18 B. 36 C. 45 D. 60 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列通项公式及前前和公式将条件等式及所求化成和，再进行整体代换求值即可. 【详解】设等差数列公差为， 则由可得：， 整理得：，即， 则. 故选：C. 9. 从3名女生中任选1人，从4名男生中任选2人，去完成3项不同的工作，每人完成1项，不同的安排方法有（ ） A. 18种 B. 54种 C. 72种 D. 108种 【答案】D 【解析】 【分析】由分步计数原理结合排列、组合的知识即可得解. 【详解】从3名女生中任选1人，有种方法，从4名男生中任选2人，有种方法， 最后每人完成一项工作，有种方法， 由分步计数原理得不同的安排方法有种. 故选：D 10. 在正项递增等比数列中，，，则数列的公比为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据，求解的值，再根据等比数列的通项公式即可求出公比的值. 【详解】已知，， 根据等比数列的性质可知， 则有，因为为正项递增等比数列， 所以解得， 所以. 故选：B. 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 11. 已知角的终边经过点，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据任意角的三角函数公式即可求解. 【详解】由题可知：， 所以， 则. 故答案：. 12. 经过点且与直线垂直的直线的方程是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据直线垂直先设出直线方程，再由经过的点即可求解直线方程. 【详解】因为与直线垂直，所以设直线方程为， 因为经过点，所以有，解得， 所以直线方程为. 故答案为：. 13. 已知向量，，若，则实数________． 【答案】 【解析】 【分析】由向量垂直的坐标表示列方程求解即可. 【详解】因为，， 所以， 解得. 故答案为：. 14. 二项式的展开式中的常数项是第_______项. 【答案】9 【解析】 【分析】先求出二项展开式通项，令求解k的值即可. 【详解】的展开式的通项为， 令，解得， 所以展开式中的常数项是第9项. 故答案为:9. 15. 已知是圆上的动点，到直线：的距离记为，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】求出圆心到直线的距离，进而可求出的范围. 【详解】由已知得圆的圆心C为，半径， 则圆心到直线：的距离，直线与圆相离， 所以圆上动点P到直线的距离的最大值与最小值分别为， 故的取值范围是. 故答案为：. 三、解答题（本大题共6小题，每小题10分，满分60分．解答应写出文字说明或演算步骤） 16. 已知函数（且）的图像经过点． （1）求函数的解析式； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）代点求出参数即可得到函数解析式. （2）根据指数函数单调性解指数幂不等式即可. 【小问1详解】 代点可得：， 整理得，则（舍去）， 函数的解析式为. 【小问2详解】 若，则由可得： ，即，且在上单调递增， 则有，即. 故实数的取值范围为. 17. 已知同一个平面内的四点. （1）若，求实数m的值； （2）若四边形为平行四边形，求实数n的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知，将用坐标表示出来，再根据向量垂直的坐标表示可求解； （2）由题可得，根据向量相等及向量的坐标表示，列方程组可求解. 【小问1详解】 因为， 又因为， 所以， 解得； 【小问2详解】 由题意可知. 因为， 所以，解得 因此的值为. 18. 已知数列满足， （1）求数列的通项公式； （2）当为何值时，数列的前项和最小，并求最小值． 【答案】（1） （2）当时，有最小值. 【解析】 【分析】（1）根据递推公式得到数列为等差数列和公差，代等差数列通项公式求解即可. （2）求出数列的前项和，将其看做关于的二次函数，根据图象开口方向及对称轴，结合的取值范围，即可求出最小值及对应的值. 【小问1详解】 由可得， 则数列为等差数列，且公差， 则. 数列的通项公式为. 小问2详解】 由（1）可知，数列的前项和为：， 可看做关于的二次函数，且图象开口向上， 则当时，有最小值， 又因为，所以当取到与最接近的整数时，有最小值， 最小值为：. 故当时，有最小值. 19. 已知箱子中装有4个白球和5个黑球，且规定取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分．现在从该箱子中任取（无放回且每个球取得的机会均等）3个球，记随机变量为取出的3个球所得分数之和． （1）求随机变量的分布列； （2）求随机变量的数学期望． 【答案】（1）分布列见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）随机变量的可能取值有：3，4，5，6，求出相应的概率可得所求随机变量的分布列； （2）利用离散型随机变量的数学期望公式，即可求解． 【小问1详解】 由题意得随机变量的可能取值有：3，4，5，6， ； ； ； . 所以随机变量得分布列如下： 【小问2详解】随机变量的数学期望为：. 20. 双曲线：的右焦点与抛物线的焦点重合，且双曲线的渐近线方程为. （1）求双曲线方程； （2）倾斜角为的直线过点，且与双曲线交于，两点，为坐标原点，求面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出抛物线的焦点，再根据双曲线的渐近线结合的关系，即可求出双曲线的方程. （2）根据直线与双曲线相交，联立方程组结合韦达定理解决问题即可. 【小问1详解】 已知抛物线的焦点为， 所以双曲线中， 又有双曲线的渐近线方程为， ， 解得， 所以的方程为. 【小问2详解】 由题意可知的斜率，且过点 所以的方程为， 所以 消并整理得：， 显然，设， 则， 所以 又点到的距离 ∴ （选做题：请考生在第21、22题中选择一题作答，如果两题都做，则按所做的第21题计分．作答时请写清题号） 21. 在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且. （1）求的值； （2）已知，求b的大小. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角形的内角和定理及降幂公式，可得，两边平方后，根据同角三角函数的基本关系可求解； （2）由已知，根据余弦定理可求解. 【小问1详解】 因为， 所以. 又因为， 所以. 两边平方，得， 从而，有， 即. 解得或（舍去）. 因此； 【小问2详解】 由已知，根据余弦定理，得 ， 所以. 22. 炎炎夏日某饮品店配制两种饮品，甲种饮品每杯含奶粉克，咖啡4克，自制添加剂克，乙种饮品每杯含奶粉克，咖啡克，自制添加剂克，如果甲种饮品每杯利润元，乙种饮品每杯利润元.每天原料限额为奶粉克，咖啡克，自制添加剂克，所配制的饮品都能完成销售，应如何安排生产，才能使获得的利润最大？ 【答案】每天配制甲种饮品杯乙种饮品杯可获利最大 【解析】 【分析】列出约束性条件以及目标函数，求满足题设的最优解即可. 【详解】设每天配制甲种饮品杯，配制乙种饮品杯可获得最大利润元， 则有且，如图所示， 目标函数为，作直线， 把直线向右上方平移至经过点的位置时， 即直线经过可行域上的点且与原点距离最大，此时取最大值， 解方程，点坐标， 所以每天配制甲种饮品杯乙种饮品杯可获利最大. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2022年下期中专对口三年级月考考试 数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的） 1. 设全集，，，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 绝对值不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 4 若直线与直线平行，则（ ） A. B. 2 C. －1或2 D. 5. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 6. 设，且，则锐角等于（ ） A. B. C. D. 7. 下列函数在上是单调减少的奇函数的是（ ） A. B. C. D. 8. 设等差数列的前和为，若，则（ ） A. 18 B. 36 C. 45 D. 60 9. 从3名女生中任选1人，从4名男生中任选2人，去完成3项不同的工作，每人完成1项，不同的安排方法有（ ） A. 18种 B. 54种 C. 72种 D. 108种 10. 在正项递增等比数列中，，，则数列的公比为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 11. 已知角终边经过点，则________． 12. 经过点且与直线垂直的直线的方程是________． 13 已知向量，，若，则实数________． 14. 二项式的展开式中的常数项是第_______项. 15. 已知是圆上的动点，到直线：的距离记为，则的取值范围是________． 三、解答题（本大题共6小题，每小题10分，满分60分．解答应写出文字说明或演算步骤） 16. 已知函数（且）的图像经过点． （1）求函数的解析式； （2）若，求实数的取值范围． 17. 已知同一个平面内的四点. （1）若，求实数m的值； （2）若四边形为平行四边形，求实数n的值. 18. 已知数列满足， （1）求数列的通项公式； （2）当为何值时，数列的前项和最小，并求最小值． 19. 已知箱子中装有4个白球和5个黑球，且规定取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分．现在从该箱子中任取（无放回且每个球取得的机会均等）3个球，记随机变量为取出的3个球所得分数之和． （1）求随机变量的分布列； （2）求随机变量的数学期望． 20. 双曲线：的右焦点与抛物线的焦点重合，且双曲线的渐近线方程为. （1）求双曲线的方程； （2）倾斜角为的直线过点，且与双曲线交于，两点，为坐标原点，求面积. （选做题：请考生在第21、22题中选择一题作答，如果两题都做，则按所做的第21题计分．作答时请写清题号） 21. 在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且. （1）求值； （2）已知，求b的大小. 22. 炎炎夏日某饮品店配制两种饮品，甲种饮品每杯含奶粉克，咖啡4克，自制添加剂克，乙种饮品每杯含奶粉克，咖啡克，自制添加剂克，如果甲种饮品每杯利润元，乙种饮品每杯利润元.每天原料限额为奶粉克，咖啡克，自制添加剂克，所配制饮品都能完成销售，应如何安排生产，才能使获得的利润最大？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$