高一入学摸底考试（新高考结构19题）-2024-2025学年高一数学考点剖析及分层精练（人教A版2019必修第一册）

2024-2025学年高一数学考点剖析及分层精练（人教A版2019必修第一册） 高一入学摸底考试 （范围：初中知识 考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．如果 ，，．则a，b，c三数的大小关系是（    ） A． B． C． D． 2．在四边形中，，，，，，则四边形周长为（    ） A． B． C． D． 3．如果2是方程的一个根，则常数k的值为（    ） A．2 B．1 C． D． 4．如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点D落在点处，则重叠部分的面积为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 5．关于的方程的两个根，满足，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上，那么的值为（　　）​ A． B． C． D． 7．如图， 在矩形和正方形中， 点在轴正半轴上，点、均在轴正半轴上，点在边上，，， 若反比例函数 的图像过，两点， 则的值为（     ） A．9 B．12 C．18 D．24 8．如图，在中，于点，以点为圆心，为半径的圆与相切于点，连接交于点．若，以下结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9．已知实数，满足，，则（    ） A． B． C． D． 10．如图，已知抛物线 (a，b，c为常数，)的顶点为，抛物线与x轴交于点，则下列结论正确的是（   ） A．当时，y随x增大而增大 B．关于x的不等式的解集是 C．关于x的方程有两个不相等的实数根 D． 11．如图，在矩形中，，先以点为圆心，的长为半径画弧交于点；再以点为圆心，的长为半径画弧交于点；然后以点为圆心，的长为半径画弧交于点；最后以为直径作半圆．则下列说法正确的是（    ） A．四边形为直角梯形 B．因为，所以 C．不论边长和的长度如何，始终成立 D．当点为的中点时，图中由四条圆弧构成的图形的周长为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．若，则的值是 ． 13．矩形纸片，，，如果点E在边上，将纸片沿折叠，使点C落在点F处，连接，当是直角三角形时，那么的长为 ． 14．抛物线（）的图像如图所示，抛物线经过点，则下列结论：①；②；③；④（为一切实数）；⑤．正确的是 （填写序号）．    四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）如图， 在中，的平分线交于点D，，． (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，且， 直接写出四边形的面积． 16．（15分）如图，已知经过上的点，连接分别交于点D，E，并且，延长交于点F，连接并延长交于点G． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 17．（15分）小华在走读淮河文化园游玩，发现公园的草地自动浇水装置喷洒出的水流呈抛物线型，小华通过多次测量数据，在平面直角坐标系中绘制了水流喷出的高度与距离浇水装置的水平距离之间的函数图象，如图所示，已知点，抛物线顶点坐标为点． (1)求水流所形成的抛物线的表达式． (2)小华通过观察发现距离喷水装置处的一棵古树未被浇到水，请通过计算说明这个自动浇水装置不能浇到古树的原因． (3)通过与园区工作人员交谈，小华发现这个喷水装置还可以上下移动，且移动之后水流的形状、大小保持不变，若想让（2）中的古树能被此浇水装置浇到，则此喷水装置需要向上移动的最小距离是多少？请直接写出答案． 18．（17分）【问题情境】在某次数学课上，老师给出这样一个问题：点在直线的上方，于点，于，，与相交于点． 【问题探究】 （1）如图1，老师用几何画板软件作出图形并连接，在将沿直线平移的过程中，小明同学发现是一个特殊三角形，请你判断是什么特殊三角形，并说明理由； 【问题解决】 （2）将沿直线平移，并以为一边在直线的上方作等边． ①如图2，当点与在同一直线上时，连接．若，求的值； ②如图3，当时，连接并延长交直线于点，求证：． 19．（17分）在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角边长为n（n为正整数，且），点A在x轴正半轴上，点B在y轴正半轴上．若点在等腰直角三角形边上，且x，y均为整数，定义点M为等腰直角三角形的“整点”．若某函数的图像与等腰直角三角形只有两个交点且交点均是等腰直角三角形的“整点”，定义该函数为等腰直角三角形的“整点函数”．    (1)如图1，当时，一次函数是等腰直角三角形的“整点函数”，则符合题意的一次函数的表达式为______（写出一个即可）； (2)如图2，当时，函数的图像经过，判断该函数是否为“整点函数”，并说明理由； (3)当时，二次函数经过的中点，若该函数是“整点函数”，求的取值范围； (4)在（3）的条件下，是二次函数图象上两点，若点、之间的图象（包括点、）的最高点与最低点纵坐标的差为，求的值 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年高一数学考点剖析及分层精练（人教A版2019必修第一册） 高一入学摸底考试 （范围：初中知识 考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．如果 ，，．则a，b，c三数的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵，，， 且， ∴． 故选：A． 2．在四边形中，，，，，，则四边形周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：过点A、点D分别作的垂线，垂足分别为点E、点F， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形周长， 故选：A． 3．如果2是方程的一个根，则常数k的值为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【详解】解：是方程的一个根， ， ， 解得 ； 故选：A． 4．如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点D落在点处，则重叠部分的面积为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【详解】解：由折叠和矩形的性质可知，，， 又∵， ∴（）， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理，得： ， 解得：， ∴； 故选：C． 5．关于的方程的两个根，满足，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：方程的两个根，， ，， ， ，， ，， ， 解得：，， ， ， 解得：，故， 故选：C. 6．在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上，那么的值为（　　）​ A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：过点作的垂线，垂足为，设小正方形的边长为， ∵在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上， ∴，，， ∴， ∵， ∴点是的中点， ∴， 在中，， ∴， ∴的值为． 故选：C． 7．如图， 在矩形和正方形中， 点在轴正半轴上，点、均在轴正半轴上，点在边上，，， 若反比例函数 的图像过，两点， 则的值为（     ） A．9 B．12 C．18 D．24 【答案】C 【详解】解：根据题题意，四边形为矩形，四边形为正方形，且，， ∴，，，， 设， 则，， ∴，， ∵反比例函数 的图像过，两点， ∴， 解得， ∴． 故选：C． 8．如图，在中，于点，以点为圆心，为半径的圆与相切于点，连接交于点．若，以下结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：如下图所示，连接，    ∵圆与相切于点， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故①正确； ∵， ∴， ∴， 故③正确， ∴， 故②错误， ∵， ∴， 故④错误， 故选：B． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9．已知实数，满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】解：A、∵，， ∴，故该选项是正确的； B、，故该选项是错误的； C、，则，故该选项是错误的； D、∵，且， ∴， ∵，， ∴原式，故该选项是正确的； 故答案为：AD 10．如图，已知抛物线 (a，b，c为常数，)的顶点为，抛物线与x轴交于点，则下列结论正确的是（   ） A．当时，y随x增大而增大 B．关于x的不等式的解集是 C．关于x的方程有两个不相等的实数根 D． 【答案】BD 【详解】解：由题意得：对称轴为， ∵抛物线的开口方向向上， ∴当时，y随x增大而增大，当时，y随x增大而减小，故A选项错误； ∵对称轴为直线，抛物线与x轴交于点， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， ∵抛物线开口向上， ∴当时，，故B选项正确； ∵抛物线为常数，的顶点为， ∴二次函数有最小值n． ∴抛物线与直线没有公共点． ∴方程无解．即方程没有实数根．故C选项错误； ∵抛物线为常数，的顶点为，   ∴， ∵对称轴为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故D选项正确． 故选：BD． 11．如图，在矩形中，，先以点为圆心，的长为半径画弧交于点；再以点为圆心，的长为半径画弧交于点；然后以点为圆心，的长为半径画弧交于点；最后以为直径作半圆．则下列说法正确的是（    ） A．四边形为直角梯形 B．因为，所以 C．不论边长和的长度如何，始终成立 D．当点为的中点时，图中由四条圆弧构成的图形的周长为 【答案】AC 【详解】解： 四边形矩形， ∴， ∵，， 由作图可知：，， ，， ，， ，，， 而与不平行， ∴四边形为直角梯形，故A符合题意； ∵， ，，， ∴，故B不符合题意； ∵， ， ，故C符合题意； ∵点F为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴四条圆弧构成的图形的周长为； 故D不符合题意； 故选：AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．若，则的值是 ． 【答案】4 【详解】解：因为， 所以， 故答案为：4． 13．矩形纸片，，，如果点E在边上，将纸片沿折叠，使点C落在点F处，连接，当是直角三角形时，那么的长为 ． 【答案】3或6 【详解】解：如图，当时，而， ∴三点共线， ∵矩形纸片，，， ∴，，， 由对折可得：， ∴，， 设，则， ∴， 解得：，即， 当，则四边形，四边形为矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， 综上：当是直角三角形时，那么的长为或； 故答案为：或 【点睛】本题考查了矩形与翻折问题，涉及了勾股定理，正方形的判定与性质，掌握翻折的性质是解题关键． 14．抛物线（）的图像如图所示，抛物线经过点，则下列结论：①；②；③；④（为一切实数）；⑤．正确的是 （填写序号）．    【答案】①⑤/⑤① 【详解】解：∵该抛物线开口向下， ∴， ∵该抛物线对称轴为， ∴， ∴异号， ∴， 又∵抛物线与轴交于正半轴， ∴， ∴，故结论①正确； ∵，， ∴，故结论②错误； ∵抛物线经过点，且对称轴为， ∴抛物线经过点， ∴， 将代入，可得，故结论③错误； ∵该抛物线在时取最大值， ∴， ∴，故结论④错误； ∵抛物线与轴有两个交点， ∴， ∴，故结论⑤正确． 故答案为：①⑤． 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）如图， 在中，的平分线交于点D，，． (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，且， 直接写出四边形的面积． 【答案】(1)四边形是菱形，理由见解析 (2)2 【详解】（1）解：四边形是菱形，理由如下： ，， 四边形是平行四边形， 平分， ， ， ， ， ， 平行四边形是菱形． （2）解：， 四边形是正方形， ， ， 四边形的面积为：． 16．（15分）如图，已知经过上的点，连接分别交于点D，E，并且，延长交于点F，连接并延长交于点G． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：如图，连接， ， ． 又∵为半径， 是的切线． （2）解：设半径为R， 在中，， ∴， 即， 解得：， ． 又， ， 又， ． ． ，． ． ． 解得． ． ． 【点睛】此题重点考查等腰三角形的“三线合一”、切线的判定定理、勾股定理、相似三角形的性质和判定等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 17．（15分）小华在走读淮河文化园游玩，发现公园的草地自动浇水装置喷洒出的水流呈抛物线型，小华通过多次测量数据，在平面直角坐标系中绘制了水流喷出的高度与距离浇水装置的水平距离之间的函数图象，如图所示，已知点，抛物线顶点坐标为点． (1)求水流所形成的抛物线的表达式． (2)小华通过观察发现距离喷水装置处的一棵古树未被浇到水，请通过计算说明这个自动浇水装置不能浇到古树的原因． (3)通过与园区工作人员交谈，小华发现这个喷水装置还可以上下移动，且移动之后水流的形状、大小保持不变，若想让（2）中的古树能被此浇水装置浇到，则此喷水装置需要向上移动的最小距离是多少？请直接写出答案． 【答案】(1) (2)此浇水装置不能浇到古树，见解析 (3) 【详解】（1）解：设水流所形成的抛物线的表达式为． 把点代入，得， 解得， 水流所形成的抛物线的表达式为； （2）解：令，则， 解得（负值已舍去）， ， 此浇水装置不能浇到古树； （3）解：喷水装置移动之后水流的形状、大小保持不变， 设此浇水装置需向上平移 ，则平移后的解析式为， 把，代入解析式得，， 解得， 此喷水装置需要向上移动的最小距离是． 18．（17分）【问题情境】在某次数学课上，老师给出这样一个问题：点在直线的上方，于点，于，，与相交于点． 【问题探究】 （1）如图1，老师用几何画板软件作出图形并连接，在将沿直线平移的过程中，小明同学发现是一个特殊三角形，请你判断是什么特殊三角形，并说明理由； 【问题解决】 （2）将沿直线平移，并以为一边在直线的上方作等边． ①如图2，当点与在同一直线上时，连接．若，求的值； ②如图3，当时，连接并延长交直线于点，求证：． 【答案】（1）等腰三角形，见解析；（2）①；②见解析 【详解】解：（1）为等腰三角形， 理由：过点作于， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴，且， ∴为等腰三角形． （2）①过点作于点， ∵垂直于， ∴， ∵是等边三角形，且与重合， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 故的值为． ②∵， ∴， ∵为等腰三角形， ∴为等边三角形， ∵为等边三角形， ∴绕点顺时针旋转后与重合， ∴， ∴． 19．（17分）在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角边长为n（n为正整数，且），点A在x轴正半轴上，点B在y轴正半轴上．若点在等腰直角三角形边上，且x，y均为整数，定义点M为等腰直角三角形的“整点”．若某函数的图像与等腰直角三角形只有两个交点且交点均是等腰直角三角形的“整点”，定义该函数为等腰直角三角形的“整点函数”．    (1)如图1，当时，一次函数是等腰直角三角形的“整点函数”，则符合题意的一次函数的表达式为______（写出一个即可）； (2)如图2，当时，函数的图像经过，判断该函数是否为“整点函数”，并说明理由； (3)当时，二次函数经过的中点，若该函数是“整点函数”，求的取值范围； (4)在（3）的条件下，是二次函数图象上两点，若点、之间的图象（包括点、）的最高点与最低点纵坐标的差为，求的值 【答案】(1)（答案不唯一） (2)函数是“整点函数”，理由见解析 (3)或 (4) 【详解】（1）解：由题意得，， 当直线恰好经过A、B时符合题意， ∴， ∴， ∴， 故答案为：（答案不唯一）； （2）解：把代入中得， ∴反比例函数解析式为， 由题意得，，， 直线的解析式为． 联立，解得或， 与线段有两个交点，分别为和，且都是整点； 函数是“整点函数”； （3）解：当时，，， ∴中点坐标， 过， ， ， ， ∴抛物线的对称轴为直线， 由题意，抛物线一定经过点， 当时，抛物线是“整点函数”，且顶点坐标为， ， ， ； 当时，则抛物线与轴正半轴的交点在点右侧，即当时，，， ∴， ． 综上，的取值范围是或． （4）解：由（3）可知抛物线的对称轴为直线． ①当时，则顶点为最高点，为最低点， ， 整理得，，（舍）， ②当时，， 抛物线开口向上，在对称轴右侧，随的增大而增大， 最高点为点，最低点为点． ． 解得（舍），． 综上所述，的值为1． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$