精品解析：山东省春季高考研究联合体2022—2023学年高三第一次调研数学试题

2022-2023学年山东省春季高考研究联合体第一次调研考试数学试题 2022-09 1．本试卷分卷一（选择题）和卷二（非选择题）两部分，满分120分，考试时间120分钟.考生请在答题卡上答题，考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回. 2．本次考试允许使用函数型计算器，凡使用计算器的题目，除题目有具体要求外，最后结果精确到0.01. 卷一（选择题共60分） 一、选择题（本大题20个小题，每小题3分，共60分．在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将符合题目要求的选项字母代号选出，并填涂在答题卡上） 1. 已知全集，集合，集合，则等于（ ） A. B. C. D. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 下列不等关系正确是（ ） A. B. C. D. 4. 已知命题：，；命题：，；下列命题为真命题的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知为偶函数，则与的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法比较 6. 在同一坐标系中，当时，函数与的图像可能是（ ） A. B. C. D. 7. 直线过点且与直线垂直，则的方程是（ ） A. B. C. D. 8. 已知点在第四象限，则角是（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 9. 2022年，在中国北京和张家口成功举办了第24届冬奥会，已知冬奥会每4年举办一次，则第28届冬奥会举办的时间为（ ） A. 2030年 B. 2034年 C. 2038年 D. 2042年 10. 下图所示是一个物体的三视图，则此三视图所描述的几何体可能是（ ） A. B. C. D. 11 已知，则等于（ ） A. B. C. D. 12. 已知是边长为2的等边三角形，则（ ） A. B. C. D. 2 13. 若圆与直线相切，则的值是（ ） A. B. C. 3或13 D. 或 14. 袋中装有3个红球，2个白球，一次取出2个球，恰好红白球各一个的概率是（ ） A. B. C. D. 15. 函数的最大值和最小正周期分别是（ ） A. 5，π B. 12，2π C. 13，π D. 13，2π 16. 已知拋物线上一点到焦点的距离是6，则点的横坐标是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 17. 已知x，y满足则最大值（ ） A. 8 B. 4 C. 10 D. 12 18. 已知平面α外的直线l与平面α内的两条直线都垂直，则l与平面的位置关系为（ ） A. 垂直 B. 平行 C. 斜交 D. 垂直、斜交或平行 19. （人教版）某射击选手在相同条件下共射击5次，命中环数分别为7，9，9，8，7．该样本的方差为（ ） A. 0.64 B. 0.80 C. 0.89 D. 1 20. 双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 卷二（非选择题共60分） 二、填空题（本大题5个小题，每小题4分，共20分，请将答案填写在答题卡相应题号的横线上） 21. 在等比数列中，，若，则______． 22. 在中，，，，那么连上的中线的长为______． 23. 某职业学校高三年级的财经、机电、护理三个专业的人数之比是．若采用分层抽样的方式抽取120个学生去参加一项活动，则应该在财经专业抽取的人数是______． 24. 若一个底面半径为的圆锥，轴截面顶角为，则此圆锥的母线长为______． 25. 二项式的展开式中，所有项的系数之和是______． 三、解答题（本大题5个小题，共40分．请将解答过程填写在答题卡相应题号的位置上） 26. 已知二次函数的部分对应值如下表． 0 1 6 （1）求函数解析式； （2）判断并证明的单调性． 27. 已知数列是等差数列，为其前项和，若，． （1）求数列的通项公式； （2）若等比数列满足，，求数列前项和． 28. 已知函数，该函数的部分图像如图所示. （1）求此函数的最小正周期及的值： （2）将函数的图像向左平移个单位得到的图像对应的函数为，求的最大值及此时的取值集合. 29. 如图所示，四棱锥的底面是矩形．底面，为的中点．，． （1）求证；平面； （2）求直线PB与底面所成的角. 30. 设椭圆的左焦点为，右顶点为．离心率为，已知是抛物线的焦点，到抛物线的准线的距离为2． （1）求椭圆的方程和抛物线的方程： （2）过点作直线与抛物线相切，求直线的方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2022-2023学年山东省春季高考研究联合体第一次调研考试数学试题 2022-09 1．本试卷分卷一（选择题）和卷二（非选择题）两部分，满分120分，考试时间120分钟.考生请在答题卡上答题，考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回. 2．本次考试允许使用函数型计算器，凡使用计算器的题目，除题目有具体要求外，最后结果精确到0.01. 卷一（选择题共60分） 一、选择题（本大题20个小题，每小题3分，共60分．在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将符合题目要求的选项字母代号选出，并填涂在答题卡上） 1. 已知全集，集合，集合，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据补集和交集的定义求解. 【详解】∵，， ∴. 而，即． 故选：C. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据等式条件判断充分必要性即可求解. 【详解】若，则，所以充分性具备， 若，则，所以必要性不具备， 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 3. 下列不等关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】举反例排除ACD，利用不等式的性质判断B，从而得解. 【详解】对于A，取，则，故A错误； 对于B，因为，所以，故B正确； 对于C，取，则，故C错误； 对于D，当时，无意义，故D错误. 故选：B. 4. 已知命题：，；命题：，；下列命题为真命题的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先判断命题与的真假性，再判断复合命题的真假性，从而得解. 【详解】对于命题：，，当时，不成立，即为假命题； 对于命题：，，当时，成立，即为真命题； 所以为假命题，为真命题，为假命题，为假命题， 故ACD错误；B正确. 故选：B. 5. 已知为偶函数，则与的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法比较 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数是偶函数，进而确定对称轴，再由开口方向，确定单独区间，进而判断即可. 【详解】因为为偶函数，所以对称轴为轴. 又因为函数图像开口向上，所以函数在上增函数. 因为，所以. 故选：C. 6. 在同一坐标系中，当时，函数与的图像可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数与对数函数的图像形状进行识别即可. 【详解】当时，指数函数过点是增函数， 对数函数过点是减函数. 故选：B. 7. 直线过点且与直线垂直，则的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由两直线垂直，斜率相乘得，可求得斜率，利用点斜式求解即可. 【详解】直线的斜率为，则直线的斜率为， 因此，直线的方程为，即. 故选：. 8. 已知点在第四象限，则角是（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 【答案】B 【解析】 【分析】通过角的正余弦值正负情况判断角所在象限即可. 【详解】因为点在第四象限， 所以且，则角是第二象限角. 故选：B. 9. 2022年，在中国北京和张家口成功举办了第24届冬奥会，已知冬奥会每4年举办一次，则第28届冬奥会举办的时间为（ ） A. 2030年 B. 2034年 C. 2038年 D. 2042年 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式即可求解. 【详解】由题意知举办冬奥会的年份为等差数列，公差，， 则. 故选：C 10. 下图所示是一个物体的三视图，则此三视图所描述的几何体可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三视图还原几何体即可. 【详解】因为主视图和左视图相同，说明组合体上面是锥体，下面是正四棱柱或圆柱. 又由俯视图可知下面是圆柱. 故选：D. 11. 已知，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由同角三角函数的基本关系求出和，再利用诱导公式和二倍角的正切公式即可求解. 【详解】由可得， 故， 则． 故选：A. 12. 已知是边长为2的等边三角形，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据内积的定义求解即可. 【详解】由题意知与的夹角为， 所以． 故选：C. 13. 若圆与直线相切，则的值是（ ） A. B. C. 3或13 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得圆心到直线的距离等于半径1，利用点到直线的距离公式列出方程，求得的值. 【详解】由直线与圆相切得，圆心到直线的距离为1， 即，解得或. 故选：D. 14. 袋中装有3个红球，2个白球，一次取出2个球，恰好红白球各一个的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先分别求出一次取出2个球和恰好红白各一球的方法数，再由古典概型的概率公式代入求解即可. 【详解】一次取出2个球的方法数为种， 恰好红、白球各1个的方法数为种， 所以恰好红白各一球的概率． 故选：C. 15. 函数的最大值和最小正周期分别是（ ） A. 5，π B. 12，2π C. 13，π D. 13，2π 【答案】C 【解析】 【分析】将函数变形再根据正弦型函数最值和最小正周期公式即可解得. 【详解】由题用正弦函数和角公式可变形为: ， 又， 故最大值为， 最小正周期， 故最小正周期为. 故选：C. 16. 已知拋物线上一点到焦点的距离是6，则点的横坐标是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线的定义，利用焦半径公式即可求得点的横坐标. 【详解】因抛物线方程为，所以，得， 如果点到焦点的距离是6，则点到准线的距离也为6， 所以点的横坐标为. 故选：D 17. 已知x，y满足则的最大值（ ） A. 8 B. 4 C. 10 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】利用线性规划的内容作出不等式组对应的平面区域，然后由得，根据平移直线确定目标函数的最大值. 【详解】作出不等式组对应平面区域如图：由得， 平移直线，观察图像可知，当直线经过点B时，直线的 纵截距最大，此时z最大. 由可得B点坐标为， 代入，即z的最大值为8. 故选：A. 18. 已知平面α外的直线l与平面α内的两条直线都垂直，则l与平面的位置关系为（ ） A. 垂直 B. 平行 C. 斜交 D. 垂直、斜交或平行 【答案】D 【解析】 【分析】以正方体为例，分别将、、作为直线，平面作为平面，可判断结论. 【详解】 如图，在正方体中， ①当直线为所在的直线时，它与平面（平面）内的两条直线都垂直，此时； ②当线为所在的直线时，它与平面（平面）内的两条直线都垂直，此时，； ③当线为所在的直线时，它与平面（平面）内的两条直线都垂直，此时，直线与平面斜交； 综上所述，l与平面的位置关系为垂直、斜交或平行. 故选：D 19. （人教版）某射击选手在相同条件下共射击5次，命中的环数分别为7，9，9，8，7．该样本的方差为（ ） A. 0.64 B. 0.80 C. 0.89 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据方差的公式即可求解. 【详解】由题意得，平均数为. 解法一：（对应人教版） . 故选：B. 解法二：（对应高教版） . 故选：D. 20. 双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将双曲线方程化为标准方程，进而求解即可. 【详解】将双曲线方程化成标准方程为， 所以双曲线焦点在轴，且. 所以. 所以其渐近线方程为. 故选：D. 卷二（非选择题共60分） 二、填空题（本大题5个小题，每小题4分，共20分，请将答案填写在答题卡相应题号的横线上） 21. 在等比数列中，，若，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】由等比中项可求解的值，再由对数运算即可求解. 【详解】由题意得， 因为，所以， 故． 故答案为：1. 22. 在中，，，，那么连上的中线的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据余弦定理，即可求解. 【详解】因为， D为BC中点，所以， ， 所以. 故答案为：. 23. 某职业学校高三年级的财经、机电、护理三个专业的人数之比是．若采用分层抽样的方式抽取120个学生去参加一项活动，则应该在财经专业抽取的人数是______． 【答案】60 【解析】 【分析】根据分层抽样计算即可. 【详解】因为高三年级的财经、机电、护理三个专业的人数之比是. 所以按照分层抽样的方式抽取120个学生去参加一项活动， 则应该在财经专业抽取的人数是人. 故答案为：60. 24. 若一个底面半径为的圆锥，轴截面顶角为，则此圆锥的母线长为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可知圆锥的轴截面为等边三角形，由此求出母线长即可. 【详解】因为轴截面顶角为， 所以轴截面为等边三角形，即母线长为底面圆直径， 故圆锥的母线长为. 故答案为：. 25. 二项式的展开式中，所有项的系数之和是______． 【答案】64 【解析】 【分析】根据二项式系数的性质求解. 【详解】令，代入，得到. 所以二项式的展开式中，所有项的系数之和为． 故答案为：64. 三、解答题（本大题5个小题，共40分．请将解答过程填写在答题卡相应题号的位置上） 26. 已知二次函数的部分对应值如下表． 0 1 6 （1）求函数解析式； （2）判断并证明的单调性． 【答案】（1） （2）增函数，证明见解析 【解析】 【分析】（1）将表格里对应的值代入中，联立方程组，即可求出，写出函数解析式. （2）将（1）中解析式代入中，利用单调性的定义证明函数的单调性. 【小问1详解】 将表格中对应值代入中， 可得 解得，，， 故函数解析式为． 【小问2详解】 由（1）可知， 所以，定义域为， 设是任意的两个不相等的实数， 则，， ， 故为增函数． 27. 已知数列是等差数列，为其前项和，若，． （1）求数列的通项公式； （2）若等比数列满足，，求数列的前项和． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的性质，以及，，求得首项和公差，即可求解. （2）根据等比数列的性质和题设条件，求得首项和公比，再结合等比数列求和公式，即可求解. 【小问1详解】 ∵数列是等差数列，故， 且，而 ∴，即，. ∵，， ∴，. 所以数列的通项公式为． 【小问2详解】 ∵为等比数列，且为数列的前项和， 而，， ∴公比， ∴． 28. 已知函数，该函数的部分图像如图所示. （1）求此函数的最小正周期及的值： （2）将函数的图像向左平移个单位得到的图像对应的函数为，求的最大值及此时的取值集合. 【答案】（1）； （2）2， 【解析】 【分析】（1）根据即可求得正弦函数的周期，由函数图象的点代入解析式即可求出的值； （2）由（1）求得函数的解析式，再由函数的图像向左平移个单位得到函数的解析式，最后利用正弦函数的性质即可求解. 【小问1详解】 函数的最小正周期； 因图像过点，所以，即， 又因为，所以． 【小问2详解】 由（1）知函数的解析式为， 则图象向左平移个单位得到的解析式为， 故的最大值为2， 此时，，解得，， 因此取最大值时的取值集合为. 29. 如图所示，四棱锥的底面是矩形．底面，为的中点．，． （1）求证；平面； （2）求直线PB与底面所成的角. 【答案】（1）证明见解析 （2）30°． 【解析】 【分析】（1）据线面垂直的性质与线面垂直判定定理即可证明. （2）根据线面角的正切值确定角的大小即可. 【小问1详解】 ∵底面，底面， ∴， 在四边形中， ∵， ∴， ∴，， ∴， 又∵平面， ∴平面. 【小问2详解】 ∵底面， ∴为在底面上的射影， ∴与底面所成的角为， ∵底面是矩形， ∴，，∴， ∵底面，平面 ∴， ∴为直角三角形，， ∴， 即与底面所成的角为30°. 30. 设椭圆的左焦点为，右顶点为．离心率为，已知是抛物线的焦点，到抛物线的准线的距离为2． （1）求椭圆的方程和抛物线的方程： （2）过点作直线与抛物线相切，求直线的方程． 【答案】（1）， （2）或． 【解析】 【分析】（1） 根据题意求出椭圆的进而得到椭圆方程.由焦半径公式求解抛物线即可. （2）根据直线与抛物线相切，联立方程组，求出斜率，进而得到直线方程. 【小问1详解】 有题意得解得，， ∵，∴， 故椭圆的方程为， 抛物线的方程为． 【小问2详解】 由题意可知直线的斜率一定存在， 所以设直线的斜率为，则直线的方程为， 联立得化简得， ，解得， 故直线的方程为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$