14 三函数的定义&同角三角函数&诱导公式及恒等变换-遇见最美的数学系列——基础题型思维导图

【三角函数的定义】 定义8 角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个 位置旋转到另一个位置所成的国形 角 旋转方向。正角-逆时针旋转、负角-一顺时针旋转、零角 分类 终边位置9象限角、轴线角 设凡x,是角终边上异于顶点的任一点，其到原点O的距离为r 定义 sin a-,cos a=,tan a(x0) 终边相 所有与角终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合 同的角 S=(BlB=a+2krt kez). 终边相同的角不一定相等，但相等的角其终边一定相同 角及三角函数定义 一全正、二正弦、三正切、四余弦 三角函数值正负判断 第一象限全部正，第二象限正弦正 第三象限正切正，第四象限余弦正 其余都是负值 1.0 A(1,0 三角函数线 (1,0 三角函数线可以看作是三角函数的几何表示· 正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点 正切线的起点都是(1,0).如图中有向线段MP,OM, AT分别叫做角的正弦线、余弦线和正切线 【同角三角函数】 sin'a+cos2a=1 公式 tana=sina a≠r+k,ke) cosa 知sina求cosa m公减sin2a+cos2a=1 知cosa求sina 题型一 sin'a+cos'a-1 知tana求si血a、cosa联立公 sin c cosa 同角三角函数 特征日 分式或等式，弦的次数相同 题型二 弦的 分式：分子分母同时除以cos'a 齐次 解法 等式：式子左右同时除以cos'u 型 注意：平方无分试，数字变弦→n'a+cos'a=1 ()sina+cosa平5→1t2 sin acosa=1±sin2a sin a cosa= sin a= (2) 联立方程) >tana sin a-cosa= cosa= 题型三 (3)A sin a±Bcosa=k 上左右同时平方 ->tana 除1-n2ac3g 趾分子分母同除esa 注意：(sina±cosa)2=sin2a+cos2a±2 sinacosa =1土2 sin acosa 【诱导公式及恒等变换】 口诀奇变偶不变，符号看象限 大角变小角，超过 $$3 6 0 ^ { \circ }$$ °或2π 使用范围 $$\frac { \pi } { 2 }$$ $$9 0 ^ { \circ }$$ 的倍数即 $$\frac { k \pi } { 2 } ， k \in Z$$ 奇变偶不变，符号看象限解释如下 诱导公式 奇变 $$： \frac { \pi } { 2 }$$ 的奇数倍，三角函数要变名称 偶不变 $$： \frac { \pi } { 2 }$$ 的偶数倍，三角函数要不变名称 符号看象限：三角函数名称前面是否加 看原函数在角所在象限的正负 sin(α+\right. β) =sina cos+cosas in p sin(α-\right. B) =sina cosβ·cosas in p cos(α+β)=cosαcosα-sinαsinβ 诱 两角和差 cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ $$\tan \left( \alpha + \beta \right) = \frac { \tan \alpha + \tan \beta } { 1 - \tan \alpha \tan \beta }$$ -tan at anβ $$\tan \left( \alpha - \beta \right) = \frac { \tan \alpha - \tan \beta } { 1 + \tan \alpha \tan \beta }$$ 恒等 sin2a= 2sinacosax 变化 化 os2a=cos’a-sin’a=2eos’a-1=1-2sin'a 二倍角 $$\tan 2 \alpha = \frac { 2 \tan \alpha } { 1 - \tan 2 \alpha }$$ tana+tan=tan(a+) (1-tan at amp) tanα-tanβ=tan(α-β)(1+tanαtanβ) 公式变形 $$\textcircled 2 \cos ^ { 2 } \frac { \alpha } { 2 } = 1 + \cos \alpha \le { \cos ^ { 3 } } \alpha = \frac { 1 + \cos 2 \alpha } { 2 }$$ $$2 \sin ^ { 2 } \frac { \alpha } { 2 } = 1 - \cos \alpha < \sin ^ { 2 } \alpha = \frac { 1 - \cos 2 \alpha } { 2 }$$ 诱导公式 (1)我特殊角： 二倍角关系 α网倍角 角的 $$\frac { \frac { \frac { x _ { 4 } } { x _ { 3 } } } { \frac { x _ { 2 } } { x _ { 3 } } } { x _ { 2 } } } + x _ { 1 } + x _ { 1 }$$ $$B . \left\{ \begin{array}{l} \frac { k x } { 2 } > 1 \\ a \frac { k \pi } { 2 } ， \end{array} \right.$$ 角和差 拼凑 (2)角的关系：题日求的角=特殊角与条件的角相加减 (3)给三角名：题日本什么给什么 (4)公式化简：利用恒等变化化简