06 函数的奇偶性&函数的周期性&函数的对称性-遇见最美的数学系列——基础题型思维导图

【函数的奇偶性) 偶函数。 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个×.都有f(-x)=f(x) 奇函数e如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x) 定义域是否关干原点对称 (左右端点同时(不)取到且成相反数) [否:非奇非偶函数 定义法。 [f(-x)--f(x)奇函数 #7# 是f(-x)-f(x)偶函数 f(-x),f(x),-f(x)非奇非偶 (1)定义域关于原点对称 图像法e(2)奇函数:图像关于原点对称同时满足 偶函数:图像关于y轴对称 如果一个奇函数f(x)在原点处有定义. 即f(0)有意义,那么一定有f(0)=0 奇函数在两个关于原点对称的区间上具有相同的单调性 偶函数在两个关于原点对称的区间上具有相反的单调性 同性加减得同性,弄性麻珍为哥,同性麻除乃偶 偶函数+偶函数=偶函数、奇函数+奇函数=偶函数 偶函数x偶函数=偶函数、奇函数x奇函数=偶函数 回期 奇函数x偶函数=奇函数、偶函数:偶函数=偶函数 奇函数:奇函数=偶函数、奇函数:偶函数=奇函数 论 常见奇、偶函数(前提定义域关于原点对称) (1)y=ax+b奇函数 (2)y-x& [a奇数一奇函数 l偶数→偶函数 (3)y=a-a“奇函数 y=a+a*偶函数 1_奇函数 (5)y=log.(1+x*+x)奇函数 奇偶性的判断 利用奇偶性求解析式 题型 利用奇偶性求参数 奇偶性与单调性的综合 【函数的周期性) 对干函数y三f(x).如果存在一个非零常数T 使得当x取定义域内的任何值时.都有f(x+T)=f(x) 概念 那么就称函数y=f(x)为周期函数,称T为这个函数的周期 最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个 最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期 若fx+a)=-fx×,则7=2a ).则7=2a 常见 形式 若fx+)=- ()·则7=2。 口诀:同性两距离,异性四距离 性:单指对称性,对称性包括对称轴和对称中心 同性:周期为两对称轴(或两对称中心)的距离的2倍 异性:周期为一对称轴和一对称中心距离的4倍 【函数的对称性) 概 如果一个函数的图像沿着一条直线对折,直线两侧的圈像能 A 够完全重合,则称函数具备对称性中的轴对称,该直线称为 函数的对称轴 (1)f(x+a)-f(b-x)y=f(x)圈像关于直线x-a+b对称 自身 ($2) f(a+x)=f(a-x)>f(x)=f(2a-x) 回糕副 对称 f(-x)=f(2a+x)函数y=f(x)的图象关于x=a对称 对称轴是两个横坐标的中点 两函 (1)函数y=f(a+x)与y=f(b-x)的图象关于直线x=2(b-a)对称 数间 (由a+x=b-x得对称轴方程 &妄出 (2)函数y=f(x)与y=f(2a-x)的图象关于直线x=a对称 如果一个函数的周像沿一个点旋转180度,所得的周像能与原 念 函数图像完全重合,则称该函数具备对称性中的中心对称, 该点称为该函数的对称中心 (1)f(a+x)+f(a-x)=0e>f(x)+f(2a-x)= &母。 f-x)+f(2a+x)-0>函数y=f(x)的图象关于(a.0)对称 自身 (2)f(a+x)+f(a-x)=2bef(x)+f(2a-x)=2b B糕副 对称 一函数y=f(x)的图象关于点(a,b)成中心对称 对称中心为函数对称两点的中点,可以利用中点坐标 两函 (1)函数y=f(x)与y=2b-f(-x)的图象关于点(0.b)对称 数间 (2)函数y=f(x)与y=2b-f(2a-x)的图象关于点(a,b)对称