第五章 一元一次方程 训练提升　课件-　 2024-—2025学年人教版数学七年级上册

第五章 一元一次方程 5.1 从算式到方程 5.1.1 方程 1 知识点1 方程的概念 1.下列式子中，是方程的是( ) C A. B. C. D. 2 2.下列式子：；； ； ； .其中是等式的是__________，是 方程的是________（填序号）. ①③④⑤ ③④⑤ 3 知识点2 根据实际问题列方程 3.根据题意列方程. （1）的5倍比 的2倍小12：______________. （2）甲仓库原有货物23吨，乙仓库原有货物16吨，从甲仓库调多少吨 货物到乙仓库，才能使甲仓库的货物与乙仓库的货物相等？若设从甲 仓库调 吨货物到乙仓库，则可列方程为________________. （3）已知A，B两地的路程为 ，甲开车从A地出发驶向B地， 经过，还差到达B地.设甲开车的平均速度为 ，则列 方程为________________. 4 4.（教材P113例1变式）根据下列问题，设未知数并列出方程. （1）公园里有一个边长为 的正方形花坛，现在想扩大花坛的面积. 要使花坛的面积增加 后仍然是正方形，则边长延长多少米？ 解：设边长延长，则扩大后的正方形花坛的边长为 ，列 方程为 . （2）某校的学生中，女生占 ，男生有1 020名，则该校共有多少 名学生？ 解：设该校共有名学生，则女生有名或男生有 名， 列方程为或 . 5 知识点3 方程的解 5.在和中，能使方程 左右两边相等的是 ______，故方程 的解为______. 6 6.【开放性问题】写出一个解为 的方程：____________________ _______. （答案不唯一） 7 7.下列方程中，解是 的是( ) B A. B. C. D. 8 8.（2023·永州）若关于的方程的解为，则 的值 为( ) A A. 3 B. C. 7 D. 9 知识点4 一元一次方程的概念 9.下列方程中，是一元一次方程的是( ) D A. B. C. D. 10 10.如果方程是一个关于的一元一次方程，那么 的 取值范围是( ) B A. B. C. D. 11 11.已知方程是关于的一元一次方程，则常数 的值为 ___. 3 12 易错点 对一元一次方程的概念理解不透致错 12.若是关于的一元一次方程，则 的值为 ( ) D A. B. 4 C. 2 D. 13 13.（1）若关于的一元一次方程的解为 ，则 的值为( ) B A. 9 B. 8 C. 5 D. 4 （2）【整体思想】若是方程的解，则 的 值为( ) D A. B. C. 2 D. 8 （3）若方程是关于的一元一次方程，则 ______. 2或0 14 14.【数学文化】（2023·枣庄改编）《算学启蒙》是我国较早的数学 著作之一，书中记载一道问题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百 五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之？”题意是：快马每天 走240里，慢马每天走150里，慢马先走12天，试问快马几天可以追上 慢马？若设快马 天可以追上慢马，则可列方程为__________________ _________. 15 15.【原创】（教材P118习题 变式）根据下列图形中标出的量及其满 足的关系，列出方程： （1） 解： . 16 （2） 解： . （3） 解： . 17 16.【抽象能力】根据下列问题，设未知数并列出方程. （1）某校组织知识竞赛，共设20道选择题，每道题答对得5分，答错 或不答倒扣2分.已知选手甲得到了72分，那么选手甲答对了几道题？ 解：设选手甲答对了道题，则不答或答错 道题.根据题意列 方程，得 . 18 （2）水上公园某一天共售出门票128张，收入912元，门票价格为成人 每张10元，学生可享受六折优惠.这天售出成人票与学生票各多少张？ 解：设这天售出成人票张，则售出学生票 张.根据题意列方 程，得 . 19 17.【原创】（教材P119习题 变式）一个圆柱体包装盒（厚度忽略不 计）的高是，表面积是 .这个包装盒的底面半径是多 少厘米？ （1）设这个包装盒的底面半径为，请列出关于 的方程. 解：由题意，得 . 整理，得 . 20 （2）在， 中，哪些值是（1）中所列方程的解？ 解：当时，方程的左边 ， 右边 ，方程左、右两边的值不相等， 不是原方程的解. 当时，方程的左边 ， 右边 ，方程左、右两边的值相等， 是原方程的解. 21 $$第五章 一元一次方程 5.1 从算式到方程 5.1.2 等式的性质 1 知识点1 等式的两个基本事实 1.（1）等式两边可以交换.如果，那么 _____. （2）相等关系可以传递.如果，，那么___ ；如果 ，，那么 ___. 5 2 知识点2 等式的性质 2.若等式可以变形得到，则， 应满足的条件是 ( ) C A. 互为相反数 B. 互为倒数 C. 相等 D. ， 3 3.如果 ，那么根据等式的性质，下列变形不正确的是( ) B A. B. C. D. 4 4.【原创】（教材P117练习T1变式）根据等式的性质填空： （1）如果，那么 ___. （2）如果，那么 ___. （3）如果，那么__ . （4）如果，那么____ . 4 1 5 5.填写下列各等式变形的依据及方法： （1）若，则 ，应用的是等式的性质___，变形 的方法是_____________. （2）若,则 ___，应用的是等式的性质___，变形的方法 是________________. （3）若,则 ___，应用的是等式的性质___,变形的 方法是_____________. 1 等式两边减1 3 2 等式两边除以 8 2 等式两边乘4 6 知识点3 利用等式的性质解方程 6.（2023·海南）若代数式的值为7，则 ( ) C A. 9 B. C. 5 D. 7 7.填空： （1）已知等式，两边_____，得 ___. （2）已知等式,两边_____，得 ____. （3）已知等式，两边________，得 ___. 加3 8 乘5 除以 2 8 8.完成下列解方程 的过程. 解：根据_____________，两边_____，得 ____. 于是 ____. 根据_____________，两边______，得_______. 等式的性质1 减4 等式的性质2 乘 9 9.利用等式的性质解方程： （1） . 解：方程两边减8，得 . （2） . 解：方程两边除以，得 . （3） . 解：方程两边加4，得 . 方程两边乘2，得 . 10 易错点 对等式的性质理解不透致错 10.下列运用等式的性质，变形不正确的是( ) D A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11 11.【跨学科·物理】在物理学中，匀速直线运动的物体行驶的路程 、 速度、时间之间的关系为，去分母得 ，那么其变形的依 据是( ) B A. 等式的性质1 B. 等式的性质2 C. 分数的基本性质 D. 不等式的性质2 12 12.整式的值随的取值不同而不同，下表是当 取不同值时对 应的整式的值，则关于的方程 的解为( ) 0 1 2 2 0 C A. B. C. D. 无法计算 13 13.将等式 变形，过程如下： ，（第一步） （第二步）.上 述过程中，第一步的依据是_____________，第二步得出了明显错误的 结论，其原因是_____________________. 等式的性质1 没有考虑的情况 14 14.利用等式的性质解方程 ，并检验. 解：方程两边加3，得 . 化简，得 . 方程两边乘，得 . 检验：将代入 的左边，得 . 方程的等号左右两边相等， 是方程 的解. 15 15.【推理能力】如图，“●”“ ”“ ”分别表示三种不同的物体，前两 架天平保持平衡.如果要使第三架天平也保持平衡，那么第三架天平的 右边应放的物体是( ) D A. B. C. D. 16 利用等式的性质整体求值 【例】 已知 . （1）求 的值. 解：， . （2）求的值 解：， ， 即 . 【方法指导】当式子中单个字母的值不易求出时，可利用等式的 性质对式子整体进行变形，再将变形后的式子整体代入所求式子即可. 17 1.（2023·巴中）若满足，则代数式 的 值为( ) B A. 5 B. 7 C. 10 D. 18 2.已知代数式的值是8，那么代数式 的值是___. 2 19 3.（2023·沈阳）当时，代数式 的值为___. 2 20 4.已知当时，代数式的值为，则当 时， 代数式的值为________. 21 $$第五章 一元一次方程 5.2 解一元一次方程 第1课时 利用合并同类项解一元一次方程 1 知识点1 利用合并同类项解一元一次方程 1.对方程 合并同类项正确的是( ) C A. B. C. D. 2 2.解方程： . 解：合并同类项，得_________. 系数化为1,得 ___. 3 3 3.将方程 的解对应的点表示在数轴上，则是图中数轴上的 点___. 4 4.解下列方程： （1） . 解：合并同类项，得 . 系数化为1，得 . （2） . 解：合并同类项，得 . 系数化为1，得 . 5 （3） . 解：合并同类项，得 . 系数化为1，得 . （4） . 解：合并同类项，得 . 系数化为1，得 . 6 知识点2 根据“各部分量的和=总量”列方程解决问题 5.一条长 的水渠，由甲、乙两队从两头同时施工，甲队每天挖 ，乙队每天挖，挖好水渠需要多少天？设挖好水渠需要 天，根据题意列方程正确是( ) A A. B. C. D. 7 6.【传统文化】《诗经》是我国第一部诗歌总集，分为《风》《雅》 《颂》三部分.其中《颂》和《风》的篇数之和为200篇，且《颂》的 篇数恰好是《风》篇数的 ，则《风》有_____篇. 160 8 7.（教材P120问题1变式）某集团三个季度共销售冰箱2 800台，第一 季度销售量是第二季度销售量的2倍，第三季度销售量是第一季度销售 量的2倍，则该集团第二季度销售冰箱多少台？ 解：设该集团第二季度销售冰箱台，则第一季度销售冰箱 台，第 三季度销售冰箱 台.根据总量等于各部分量的和，得 ，解得 . 答：该集团第二季度销售冰箱400台. 9 8.（教材P121练习T3变式）某种中药含有甲、乙、丙三种草药，它们 的质量比是.若要配制 这种中药，则这三种草药分别需要 多少克？ 解：设甲、乙、丙三种草药分别需要，， .根据题意，得 ， 解得 . 则,, . 答：甲、乙、丙三种草药分别需要，， . 10 9.已知关于的方程的解是，则 的值为( ) A A. 2 B. C. D. 11 10.对于任意四个有理数，，， ，定义新运算： .已知,则 的值为( ) C A. B. 2 C. 3 D. 4 12 11.【易错】若减的差等于，则 _____. 13 12.【数学文化】《增删算法统宗》记载：“有个学生资性好，一部孟 子三日了，每日增添一倍多，问君每日读多少？”其大意是：有个学生 天资聪慧，三天读完一部《孟子》，每天阅读的字数是前一天的两倍. 问他每天各读多少个字？已知《孟子》一书共有34 685个字，设他第 二天读 个字，则可列方程为______________________. 14 13.（教材P121例2变式）有一列数，按一定的规律排列成， ，2， ，8，， .若其中某三个相邻数的和是 ，则这三个数中 第一个数是_____. 15 14.解下列方程： （1） . 解：合并同类项，得 . 系数化为1，得 . （2） . 解：合并同类项，得 . 系数化为1，得 . 16 （3） . 解：合并同类项，得 . 系数化为1，得 . 17 15.【阅读理解题】（教材P132“探究与发现”变式）阅读材料： 将 化为分数的形式： 设 .…………① 则 .…………② . .…………③ ，解得 .…………④ 18 解答下列问题： （1）步骤①到②的依据是_____________. 等式的性质2 19 （2）请你仿照上述方法，把 化为分数的形式. 解：设 ， 则 . . . ， 解得 . 第五章 一元一次方程 5.2 解一元一次方程 第2课时 利用移项解一元一次方程 21 知识点1 利用移项解一元一次方程 1.解方程时，移项的依据是( ) C A. 加法交换律 B. 加法结合律 C. 等式的性质1 D. 等式的性质2 22 2.下列变形属于移项的是( ) B A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 23 3.下列方程移项正确的是( ) D A. 移项，得 B. 移项，得 C. 移项，得 D. 移项，得 24 4.已知，则 的值是___. 7 25 5.解方程： . 解：移项，得________________________. 合并同类项，得__________. 系数化为1，得_________. 26 6.解下列方程： （1） . 解：移项，得 . 合并同类项，得 . 系数化为1，得 . （2） . 解：移项，得 . 合并同类项，得 . 系数化为1，得 . 27 （3） . 解：移项，得 . 合并同类项，得 . 系数化为1，得 . 28 知识点2 根据“表示同一个量的两个不同的式子相等”列方程解 决问题 7.某社区组织志愿者服务小组利用周末时间购买了一些中老年奶粉到 敬老院慰问老人，如果送给每位老人3袋，那么剩余12袋；如果送给每 位老人4袋，那么还差24袋.设敬老院一共有 位老人，则奶粉的总袋数 可表示为__________，也可表示为_________，故可列方程为________ _____________.解方程，得_________.所以敬老院一共有____位老人. 36 29 8.甲仓库有煤，乙仓库有煤.如果甲仓库每天运出 ，乙仓 库每天运进 ，那么____天后两仓库存煤量相等( ) D A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 30 9.（2023·自贡）某校组织七年级学生到江姐故里研学旅行，租用同 型号客车4辆，还剩30人没有座位；租用5辆，还空10个座位.求该客车 的载客量. 解：设该客车的载客量为 人.根据题意，得 ， 解得 . 答：该客车的载客量为40人. 31 易错点 解方程时，移项未变号或误将不移动的项变号 10.小明将方程进行移项变形得到 ， 小红说小明的变形不对，则错误的原因是______________，正确的变 形结果是________________. 移项没有变号 32 11.若代数式的值与的值相等，则 的值为( ) A A. 1 B. 2 C. D. 33 12.如果与是同类项，那么 的值为( ) A A. 2 B. 1 C. D. 0 34 13.某同学解一元一次方程时，把“ ”处的系数看错 了，解得.他把“ ”处的系数看成了( ) C A. 5 B. C. 6 D. 35 14.【数学文化】我国古代著作《九章算术》中记载了这样一个问题： “今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六.问人数几何.”其大 意是：今有人合伙买鸡，每人出9钱，会多出11钱；每人出6钱，又差 16钱.问人数是多少.则共有____人合伙买鸡. 36 15.新定义一种运算“☆”，规定☆若2☆ ☆2，则 的值为___. 2 37 16.解下列方程： （1） . 解：移项，得 . 合并同类项，得 . 系数化为1，得 . 38 （2） . 解：移项，得 . 合并同类项，得 . 系数化为1，得 . 39 17.【应用意识】（教材P124练习T3变式）小华的妈妈在25岁时生了小 华，现在小华妈妈的年龄是小华的年龄的3倍多5岁，求小华现在的年龄. 解：设小华现在的年龄为岁，则小华妈妈现在的年龄为 岁. 根据题意，得 , 解得 . 答：小华现在的年龄为10岁. 40 18.综合与实践： 阅读材料，解答下列问题： 41 幻方历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”中，如图1.把图1 的洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方；如图2，它 的每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等. 42 （1）在图2中，每行、每列、每条对角线上三个数的和都是____. 15 43 （2）设图3所示的三阶幻方中间的数 为（为整数），请用含 的代数式 将图3幻方补充完整. 44 解：补全图3如图. 45 （3）图4是一个三阶幻方，按方格中 已给的信息，求 的值. 解：由题意，得 ， 解得 . 46 第五章 一元一次方程 5.2 解一元一次方程 第3课时 利用去括号解一元一次方程 47 知识点1 利用去括号解一元一次方程 1.解方程 ，去括号正确的是( ) D A. B. C. D. 48 2.解方程： . 解：去括号，得_______________________. 移项，得_______________________. 合并同类项，得________. 系数化为1，得______. 49 3.若的值与互为相反数，则 _____. 50 4.解下列方程： （1） . 解：去括号，得 . 移项，得 . 合并同类项，得 . 系数化为1，得 . 51 （2） . 解：去括号，得 . 移项，得 . 合并同类项，得 . 系数化为1，得 . （3） . 解：去括号，得 . 移项，得 . 合并同类项，得 . 系数化为1，得 . 52 5.若代数式的值比代数式的值大3，求 的值. 解：根据题意，得 . 去括号,得 . 移项、合并同类项，得 . 解得 . 53 知识点2 去括号解一元一次方程的应用 6.小明以的速度从家步行到学校上学，放学时以 的速 度按原路返回，结果发现放学路上比上学路上所花的时间多 ， 求小明上学路上所花的时间.设上学路上所花的时间为 ，根据题意 列方程正确的是( ) A A. B. C. D. 54 7.【情境素材题】（教材P126练习T3变式）湘绣是中国四大名绣之一， 是以湖南长沙为中心的带有鲜明湘楚文化特色的湖南刺绣产品的总称. 某厂家购买80股蚕丝线用于制作甲、乙两种绣品共7件.制作一件甲种 绣品用蚕丝线10股，制作一件乙种绣品用蚕丝线12股，则可制作___件 甲种绣品. 2 55 8.【原创】某公司为奖励在趣味运动会上取得好成绩的员工，计划购 买河南博物院推出的甲、乙两类盲盒共20件作为奖品，其中甲类盲盒 每件90元，乙类盲盒每件70元.如果购买甲、乙两类盲盒共花费了 1 500元，那么甲、乙两类盲盒各购买了多少件？ （1）设甲类盲盒购买了 件，请补全下面的表格： 类型 件数/件 单价/元 金额/元 甲类盲盒 90 乙类盲盒 _______ 70 ___________ 56 （2）列出一元一次方程，解决问题. 解：根据题意，得 ， 解得 . 则 . 答：甲类盲盒购买了5件，乙类盲盒购买了15件. 57 易错点 解方程去括号时，漏乘某些项或弄错符号 9.【运算能力】解方程： . 解：去括号，得 .（第一步） 移项，得 .（第二步） 合并同类项，得 .（第三步） 系数化为1，得 .（第四步） 以上解答过程正确吗？若不正确，请指出错误的步骤，并给出正确的 解答过程. 58 解：不正确，第一步错误.正确的解答过程如下： 去括号，得 . 移项，得 . 合并同类项，得 . 系数化为1，得 . 59 10.如果关于的方程的解为,那么 的值 为( ) A A. B. C. 6 D. 7 60 11.【原创】（教材P126练习T2变式）一个长方形的长增加 ，宽 减少后，面积保持不变，已知这个长方形的宽是 .若设这个 长方形的长为 ，则可列方程为___________________. 61 12.（教材P125例6变式）一架飞机飞行于两座城市之间，顺风飞行需 要5小时30分，逆风飞行需要6小时.已知风速为20千米/时，则飞机的飞 行速度为_____千米/时. 460 62 13.【数学文化】我国古代名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一 斗直粟八斗，醑酒一斗直粟二斗，今持粟两斛，得酒四斗，问清、醑 酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值8斗谷子，一斗醑酒价值2斗谷 子，现在拿20斗谷子，共换了4斗酒，问清酒、醑酒各换了几斗？则清 酒换了___斗. 2 63 14.解下列方程： （1） . 解：去括号，得 . 移项，得 . 合并同类项，得 . 系数化为1，得 . 64 （2） . 解：去括号，得 . 移项，得 . 合并同类项，得 . 系数化为1，得 . 65 15.【应用意识】甲班有45人，乙班有39人.现在需要从甲、乙两班各抽 调一些同学去参加歌咏比赛.如果从甲班抽调的人数比从乙班抽调的人 数多1人，那么甲班剩余人数恰好是乙班剩余人数的2倍.请问从甲、乙 两班各抽调了多少人参加歌咏比赛？ 66 解：设从甲班抽调了人参加歌咏比赛，则从乙班抽调了 人参 加歌咏比赛.由题意，得 . 解得 . 则 . 答：从甲班抽调了35人参加歌咏比赛，从乙班抽调了34人参加歌咏比赛. 67 16.【创新意识】规定：用表示大于 的最小整数，例如 ，，；用表示不大于 的最大整数， 例如，，.如果整数 满足关系式： ，那么 _____. 68 第五章 一元一次方程 5.2 解一元一次方程 第4课时 利用去分母解一元一次方程 69 知识点1 利用去分母解一元一次方程 1.解方程 ，去分母时，方程两边都乘最简公分母( ) B A. 10 B. 12 C. 4 D. 6 70 2.解方程 时，去分母正确的是( ) C A. B. C. D. 71 3.解方程： . 解：两边乘____，得____________________. 去括号，得____ ___. 移项，得_________ ______. 合并同类项，得_________. 系数化为1，得________. 12 9 72 4.解下列方程： （1） . 解：去分母，得 . 去括号，得 . 移项，得 . 合并同类项，得 . 系数化为1，得 . 73 （2） . 解：去分母，得 . 去括号，得 . 移项，得 . 合并同类项，得 . 系数化为1，得 . 74 （3） . 解：去分母，得 . 去括号，得 . 移项，得 . 合并同类项，得 . 系数化为1，得 . 75 知识点2 去分母解一元一次方程的应用 5.（教材P129练习T3变式）一辆客车和卡车同时从A地沿同一公路同 方向行驶，客车的行驶速度是，卡车的行驶速度是 ， 客车比卡车早到达B地.设A，B间的路程是 ，可得方程为 ( ) B A. B. C. D. 76 6.（教材P130习题 变式）（2023·陕西）绿水青山就是金山银山.希 望中学每年都会组织学生进行植树活动.今年该校又买了一批树苗，并 组建了植树小组.如果每组植5棵，就会多出6棵树苗；如果每组植6棵， 就会缺少9棵树苗.求学校这次共买了多少棵树苗. 解：设学校这次共买了 棵树苗.由题意，得 ， 解得 . 答：学校这次共买了81棵树苗. 77 易错点 解方程去分母时，漏乘不含分母的项或忽视分数线的“括 号”作用 7.（2023·衢州）小红在解方程 时，第一步出现了错误： 解：去分母，得 . …… 78 （1）请在上面的方框内用横线划出小红的错误处. 解：如图. 79 （2）写出正确的解答过程. 解：去分母，得 . 去括号，得 . 移项，得 . 合并同类项，得 . 系数化为1，得 . 80 8.若与的值相等，则 的值为( ) C A. B. 3 C. D. 81 9.已知关于的方程与的解互为相反数，则 的值为__. 82 10.【阅读理解题】一般情况下， 不成立，但也有数可以使 得它成立，例如：.我们称能使 成立的一对数 ，为“相伴数对”，记为.若是“相伴数对”，则 的值为 ____. 83 11.【传统文化】孔子博物馆位于山东省曲阜市，北距孔庙 ，是一 座融合了孔庙大成殿和汉唐建筑风格的现代建筑，与“三孔”世界文化 遗产遥相呼应.某日，小刘从家出发，以 的速度沿A路线匀速步 行前往该博物馆，到达博物馆后，花了参观，然后再以 的 速度沿B路线匀速步行回家.已知A路线的路程比B路线的路程多 ， 且小刘从家出发起到回到家止总计用时 ，则B路线的路程是___ . 2 84 12.解下列方程： （1） . 解：去分母，得 . 去括号，得 . 移项、合并同类项，得 . 系数化为1，得 . 85 （2） . 解：去分母，得 . 去括号，得 . 移项，得 . 合并同类项，得 . 系数化为1，得 . 86 13.【推理能力】小明解方程 ，由于粗心大意，在去分母 时，等号左边的1没有乘10，由此求得的解为，试求 的值，并 求出方程的正确解. 解：由题意知，方程的解为 ， ， 解得 . 87 把代入原方程 ，得 . 去分母，得 . 去括号，得 . 移项、合并同类项，得 . 系数化为1，得 . 方程的正确解为 . 88 14.（教材P131习题 变式）王强骑自行车从A地到B地，陈立骑自 行车从B地到A地，两人都沿同一公路匀速前进，到达目的地后立即停 止运动. （1）若A，B两地间的路程为 ，王强的速度比陈立的速度快 ，王强先出发，陈立出发 后两人相遇，求两人的速度各 是多少. 89 解：设陈立的速度是，则王强的速度是 .根据题意， 得 ， 解得 . . 答：陈立的速度是，王强的速度是 . 90 （2）若两人在上午8时同时出发，到上午10时，两人还相距 ， 到中午12时，两人又相距 ，求A，B两地间的路程. 解：设A，B两地间的路程为 .根据题意，得 ， 解得 . 答：A，B两地间的路程为 . 91 $$第五章 一元一次方程 5.3 实际问题与一元一次方程 第1课时 产品配套问题与工程问题 1 知识点1 产品配套问题 等量关系：若一件产品需要A，B两种配件配成，并且A，B两种配件 的数量比是，则等量关系为A种配件总数量 种配件总数量 . 1.某车间有84名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个， 已知1个大齿轮和2个小齿轮配成一套.为使每天加工的大、小齿轮刚好 配套，设每天加工大齿轮的有 人，则下面所列方程正确的是( ) A A. B. C. D. 3 2.（教材P134练习T2变式）学校组织义务劳动，已知在甲处有10人， 在乙处有16人，现调19人去支援，使在乙处的人数是在甲处人数的2倍. 设应调往甲处 人，则可列方程为( ) B A. B. C. D. 4 3.某车间有14人生产校服，每人每天可生产3件上衣或4条裤子，1件上衣 与1条裤子正好配套.为使每天生产的衣服配套，应分配___人生产上衣. 8 5 4.某工厂计划生产一种新型豆浆机，每台豆浆机需要3个甲零件和1个 乙零件，已知车间每天能生产甲零件540个或乙零件120个.现要在10天 中使所生产的甲、乙两种零件全部配套，则应该安排多少天生产甲零 件，多少天生产乙零件？ 解：设应该安排天生产甲零件，则安排 天生产乙零件.根据 题意，得 ，解得 . . 答：应该安排4天生产甲零件，6天生产乙零件. 6 知识点2 工程问题 等量关系：不同对象所完成的工作量之和等于总工作量. 常用公式：工作量 工作效率×工作时间， 工作效率工作量 工作时间， 工作时间工作量 工作效率. 5.一项工作，甲单独做需要完成，乙单独做需要 完成，那么 甲每小时完成总工作量的___，乙每小时完成总工作量的___.若设甲、 乙合作需要完成，则列方程为____________，解得 ___. 6 8 6.已知一个水池有甲、乙两个水龙头，单独开甲水龙头， 可把空水 池灌满；单独开乙水龙头，可把空水池灌满.若要灌满空水池的 ， 则要同时开甲、乙两个水龙头( ) D A. B. C. D. 9 7.某项工程，甲单独做12天可以完成，乙单独做15天可以完成.现在两 人合作，但途中乙因事离开了几天，最后一共花了8天把这项工程做完， 求乙中途离开了多少天. 解：设乙中途离开了 天.根据题意，得 ，解得 . 答：乙中途离开了3天. 10 8.某中学的学生自己动手整修操场，七年级的学生说：“如果让我们单 独工作， 小时能完成.”八年级的学生说：“如果让我们单独工作，5 小时能完成.”现两个年级的学生一起工作1小时，剩下的部分再让七年 级的学生单独完成需 小时，则可列方程为( ) D A. B. C. D. 11 9.某工艺品车间有24名工人，平均每人每天可制作12个大花瓶或10个 小饰品，已知2个大花瓶与5个小饰品配成一套.则要安排___名工人制 作大花瓶，才能使每天制作的大花瓶和小饰品刚好配套. 6 12 10.（教材P133例2变式）整理一批图书，若由一个人单独做需要80小 时完成，假设每个人的工作效率相同.若限定32小时完成，由一个人先 做8小时，则需要再增加多少人帮忙，才能在规定的时间内完成？ 解：设需要再增加 人帮忙，才能在规定的时间内完成.根据题意，得 ， 解得 . 答：需要再增加2人帮忙，才能在规定的时间内完成. 13 11.某工厂现有 木料，准备制作两种不同的方桌.已知一张方桌由 一个桌面和四条桌腿组成.根据所给条件，解答下列问题： （1）若木料可制作50个桌面或300条桌腿，则用___ 木料制作 桌面，用____ 木料制作桌腿才能使做好的桌面和桌腿恰好配套. 9 14 （2）如果 木料可制作20个桌面或320条桌腿，应怎样计划用料才 能制作尽可能多的桌子？ 解：设用木料制作桌面，则用 木料制作桌腿.由题意， 得 ，解得 . 所以 . 答：用木料制作桌面，用 木料制作桌腿才能制作尽可能多 的桌子. 15 12.【情境素材题】在某城市美化工程招标时，有甲、乙两个工程队投 标.经测算，甲队单独完成这项工程需要60天，乙队单独完成这项工程 需要90天. （1）若由甲队先做20天，剩下的工程由甲、乙两队合作完成，则甲、 乙两队合作多少天？ 16 解：设甲、乙两队合作 天.根据题意，得 ，解得 . 答：甲、乙两队合作24天. 17 （2）甲队施工一天需付工程款3.5万元，乙队施工一天需付工程款2万 元.若该工程计划在70天内完成，在不超过计划天数的前提下，是由甲 队或乙队单独完成该工程省钱，还是由甲、乙两队全程合作完成该工 程省钱？ 18 解：设甲、乙两队全程合作完成需 天.根据题意，得 ,解得 . ①甲单独完成需付工程款为 （万元）; ②乙单独完成超过计划天数,不符合题意; ③甲、乙两队全程合作完成需付工程款为 （万元）. ， 在不超过计划天数的前提下，由甲、乙两队全程合作完成该工程省钱. 19 第五章 一元一次方程 5.3 实际问题与一元一次方程 第2课时 销售问题 20 知识点 商品销售问题 等量关系：利润 售价-进价， 利润率. 1.超市店庆促销，某种书包原价为每个 元，第一次降价打八折，第二 次降价每个又减10元.若两次降价后每个书包的售价为90元，则下列方 程正确的是( ) A A. B. C. D. 22 2.一家商店将某种服装按照成本价提高 标价，又以八折优惠出售， 结果每件仍获利15元，则这种服装每件的成本价是多少元？设这种服 装每件的成本价是 元，根据题意列方程正确的是( ) B A. B. C. D. 23 3.一件商品，按标价的七折销售盈利20元，按标价的六折销售亏损10 元，则标价是多少元？小明同学在解此题的时候，设标价是 元，列 出如下方程： .小明同学列此方程的依据是 ( ) C A. 商品的利润不变 B. 商品的售价不变 C. 商品的成本不变 D. 商品的销售量不变 24 4.某商品的进价为每件12元，若按标价打八折售出后，每件可获利4元， 则该商品的标价为每件____元. 20 25 5.小明按标价的八折购买了一双鞋，比按标价购买节省了40元，则这 双鞋的实际售价为______元. 26 6.某种商品每件的进价为120元，标价为180元.为了拓展销路，商店准 备打折销售.若利润率为 ，则商品应打____折. 八 27 7.小华的妈妈为小华买了一件上衣和一条裤子，共用了306元，其中上 衣按标价打七折，裤子按标价打八折.已知上衣的标价为300元，则裤 子的标价为_____元. 120 28 8.一件商品按成本价提高 后标价，又以九折销售，售价为270元， 则此时这件商品的利润为____元. 20 29 9.（教材P136练习T1变式）某商店有两种风扇，每个小风扇比大风扇 的进价少25元，而它们的销售利润相同，其中每个小风扇的利润率为 ，每个大风扇的利润率为 ，求两种风扇的进价. 解：设每个小风扇的进价为元，则每个大风扇的进价为 元. 根据题意，得 ， 解得 . 则 . 答：每个小风扇的进价为50元，每个大风扇的进价为75元. 30 10.某书店购进了A，B两种故事书，进价分别为50元/本和60元/本，其 中购进A种故事书75本，B种故事书90本.已知书店购进后，将A种故事 书按标价60元/本出售，B种故事书按标价的九折出售，全部售出后共 获利2 640元，求B种故事书的标价. 解：设B种故事书的标价是 元/本.根据题意，得 ， 解得 . 答：B种故事书的标价是90元/本 . 31 11.商店元旦促销，某款衣服打八折销售，每件售价比标价少35元，仍 获利15元.下列说法：①每件衣服的标价为175元；②衣服的促销单价 为140元；③每件衣服的进价为125元；④不打折时，每件衣服的利润 为50元.其中正确的有( ) A A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 32 12.（教材P135“探究1”变式）已知某商店有两件进价不同的运动衫都 卖了160元，其中一件盈利，另一件亏损 ，在这次买卖中， 这家商店( ) B A. 不盈不亏 B. 盈利20元 C. 盈利10元 D. 亏损20元 33 13.【情境素材题】某商场销售一款笔记本电脑，按进价提高 标价， 在一次促销活动中，按标价的九折销售，同时顾客在该商场还可领取 50元的购物券，这样每台电脑仍可盈利 .求这款电脑每台的进价. 解：设每台电脑的进价为 元.根据题意，得 ， 解得 . 答：这款电脑每台的进价为2 000元. 34 14.某商店对A，B两种商品在进价的基础上提高 作为标价出售.元 旦期间，该商店对A，B两种商品开展促销活动，活动方案如下： 商品 A B 每件的标价/元 150 225 元旦期间每件商品的售价 按标价降价 按标价降价 （1）A商品每件的进价为_____元，B商品每件的进价为_____元，B商 品降价后每件的售价为_____________元（用含 的代数式表示）. 100 150 35 （2）不考虑其他成本，在元旦期间售出A商品40件、B商品20件，获得 的总利润为2 000元，试求的值［注：利润（售价-进价） 销售量］. 解：由题意，得 ， 解得 . 36 15.【应用意识】某学校为举办期末表 彰大会，派李老师到文体超市购买若干 个文具袋作为奖品，这种文具袋的标价 为12元/个.请认真阅读结账时老板与李 老师的对话图片，解答下面的问题： 37 （1）李老师原计划购买文具袋多少个？ 解：设李老师原计划购买文具袋 个.根 据题意，得 ， 答：李老师原计划购买文具袋11个. 解得 . 38 （2）学校决定再次购买钢笔和签字笔共40支作为补充奖品，其中钢笔 的标价为10元/支，签字笔的标价为8元/支.经过沟通，这次老板给七五 折优惠，合计276元，则李老师购买了钢笔和签字笔各多少支？ 解：设李老师购买了钢笔 支，则购买了签字笔 支.根据题意，得 ， 答：李老师购买了钢笔24支、签字笔16支. 解得 . 则 . 39 第五章 一元一次方程 5.3 实际问题与一元一次方程 第3课时 球赛积分问题 40 知识点 球赛积分问题 等量关系：总场数胜场数负场数 平场数， 总积分胜场积分负场积分 平场积分. 1.甲足球队在30场联赛比赛中除一场输给乙足球队外，其他场次全部 保持不败，取得了67个积分.已知胜一场得3分，平一场得1分，负一场 得0分.设甲足球队一共胜了 场，则可列方程为( ) A A. B. C. D. 42 2.为了增强学生的安全防范意识，某校九年级（3）班班委举行了一次 安全知识抢答赛，抢答题一共有30道，记分规则如下：每答对一道得5 分，每答错或不答一道扣1分.若张丹一共得84分，则张丹答对的题数 为____. 19 43 3.爸爸和小明共下了12局棋（未出现和棋），记分规则如下：爸爸赢 一局记1分，小明赢一局记2分.若爸爸和小明的最终得分相同，则爸爸 赢了___局. 8 44 4.（2023·河北）某磁性飞镖游戏的靶盘如图所示.珍珍玩了两局，每 局投10次飞镖，若投到边界，则不计入次数，需重新投.计分规则如下： 投中位置 A区 B区 脱靶 一次计分/分 3 1 45 在第一局中，珍珍投中A区4次、B区2次，脱靶4次. （1）求珍珍第一局的得分. 解：由题意，得 （分）. 答：珍珍第一局的得分为6分. 46 （2）第二局，珍珍投中A区 次、B区3次，其余全部脱靶.若本局得分 比第一局提高了13分，求 的值. 解：由题意，得 ， 解得 . 47 5.【情境素材题】某足球协会举办了一次足球比赛，其中得分规则及 奖励方案如下表： 规则 胜一场 平一场 负一场 积分/分 3 1 0 人均奖金/元 1 500 700 0 当A队比赛完12场时，共积20分，并且没有负场. 48 （1）A队胜、平各几场？ 解：设A队胜场，则平 场.根据题意，得 ，解得.则 . 答：A队胜4场，平8场. 49 （2）每赛一场，A队每名队员均得出场费500元，那么比赛完12场后， A队的每名队员所得奖金与出场费累计为多少元？ 解： （元）. 答：A队的每名队员所得奖金与出场费累计为17 600元. 50 6.（教材P136“探究2”变式）下表为某篮球比赛部分球队的积分榜 （篮球比赛没有平局）. 51 球队 比赛场次 胜场 负场 积分 A 12 10 2 22 B 12 9 3 21 C 12 7 5 19 D 11 6 5 17 11 … … 13 （1）填空：球队胜一场积____分，负一场积____分. （2）根据积分规则可知， 队已经进行了的11场比赛中，胜____场， 负____场. （3）若此次篮球比赛共16轮（每个球队各有16场比赛），D队希望最 终积分达到28分，你认为有可能实现吗？请说明理由. 解：不可能实现.理由如下： 设接下来的5场比赛D队胜场，则负 场.依题意，得 ，解得 . ，不符合题意， 不可能实现. 53 第五章 一元一次方程 5.3 实际问题与一元一次方程 第4课时 方案决策问题 54 知识点 方案决策问题 1.某服装商店出售一种优惠购物卡，花200元买这种卡后，凭卡可在这 家商店按八折购物，则下列情况买卡购物更合算的是( ) C A. 购900元 B. 购500元 C. 购1 200元 D. 购1 000元 55 2.元旦期间，某超市推出如下优惠方案：一次性购物超过100元但不超 过300元，一律打九折；一次性购物超过300元，一律打八折.若王老师 购物后付款280元，则他所购物品的原价是_____元. 350 56 3.某服装批发商促销一种裤子和 恤，在促销活动期间，裤子每条定价 100元， 恤每件定价50元，并向客户提供两种优惠方案： 方案一：买一条裤子送一件 恤. 方案二：裤子和恤都按定价的 付款. 现某客户要购买裤子30条，恤件 . （1）按方案一购买裤子和恤共需付款 元；按方案二购 买裤子和恤共需付款______________元（用含 的代数式表示）. 57 （2）计算一下，购买多少件 恤时，两种优惠方案付款一样？ 解：根据题意，得 ， 解得 . 答：购买90件 恤时，两种优惠方案付款一样. 58 4.“中国最美的五大沙漠之一”——鸣沙山月牙泉风景名胜区，是国家 级旅游景区，寒假期间拟定门票价格为50元/张，团队票可选择两 种购票优惠方案： 方案一：全体人员打八折. 方案二：有5人可以免票，剩下的人员打九折. 59 （1）若某团队有100人，为节省购票费用，则该团队应该选择哪种购 票方案？ 解：方案一的花费为 （元），方案二的花费 为 （元）. ， 该团队应该选择方案一. 60 （2）若某团队无论选择哪种方案购票，费用恰好一样，则该团队共有 多少人？ 解：设该团队共有 人.根据题意，得 ，解得 . 答：该团队共有45人. 61 5.为了提高环境卫生水平，某市对每个社区提出了两种储存生活垃圾 的方案： 方案一：买分类垃圾桶，需要费用4 000元，以后每月的垃圾处理费为 250元. 方案二：买不分类垃圾桶，需要费用3 000元，以后每月的垃圾处理费 为450元. 62 （1）当垃圾桶的使用时间为多少个月时，两种方案的费用相同？ 解：设当垃圾桶的使用时间为 个月时，两种方案的费用相同.根据题 意，得 ， 解得 . 答：当垃圾桶的使用时间为5个月时，两种方案的费用相同. 63 （2）当垃圾桶的使用时间为12个月时，哪种方案的费用更低?并说明 理由. 解：当 时， 方案一所需费用为 （元）， 方案二所需费用为 （元）. ， 方案一的费用更低. 64 6.（教材P139练习T1变式）某学校准备印刷一批证书，现有两个印刷 厂可供选择： 甲印刷厂收费方式：收制版费1 000元，另外每本收印刷费0.5元. 乙印刷厂收费方式：不超过2 000本时，每本收印刷费1.5元；超过 2 000本时，超过部分每本收印刷费0.25元. 设该校印刷证书 本. （1）当 不超过2 000时，甲印刷厂的收费为_______________元，乙 印刷厂的收费为______元. 65 （2）当 超过2 000时，甲印刷厂的收费为________________元，乙印 刷厂的收费为_________________元. （3）当印刷证书8 000本时，选择哪个印刷厂更节省费用？节省了多少？ 解：当 时， 甲印刷厂的费用为 （元）， 乙印刷厂的费用为 （元）， ,且 （元）， 当印刷证书8 000本时，选择乙印刷厂更节省费用，节省了500元. 66 （4）印刷多少本证书时，甲、乙两印刷厂收费相同？ 解：当 不超过2 000时， 令，解得 . 当 超过2 000时， 令，解得 . 答：印刷1 000本或6 000本证书时，甲、乙两印刷厂收费相同. 67 7.某商店举行促销优惠活动，当天到该商店购买商品有两种优惠方案： 方案一：用168元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商 品，一律按商品价格的八折优惠. 方案二：若不购买会员卡，则购买商店内任何商品，一律按商品价格 的九五折优惠. 已知嘉嘉目前不是该商店的会员. 68 （1）若嘉嘉不购买会员卡，所购买商品的价格为160元，则实际应支 付多少元？ 解： （元）. 答：实际应支付152元. 69 （2）请问所购买商品的价格是多少时，两种方案的优惠情况相同？ 解：设所购买商品的价格是 元. 则按方案一实际应支付 元， 按方案二实际应支付 元. 令，解得 . 答：所购买商品的价格是1 120 元时，两种方案的优惠情况相同. 70 （3）哪种方案更合算（直接写出答案）？ 解：当购买商品的价格低于1 120元时，方案二更合算； 当购买商品的价格等于1 120元时，两种方案一样； 当购买商品的价格高于1 120元时，方案一更合算. 71 8.综合与实践： 【问题情景】“双11”已经发展成了所有电商平台的节日，也是全民购 物的节日.在“双11”期间，各大电商平台刮起购物狂潮. 72 【实践探究】某平台甲、乙、丙三个直播间的促销活动如下表： 直播间 活动方案 甲 全场按标价的六折销售 乙 实行“满100元送100元购物券”（如：购买衣服220元，赠200 元购物券，购物券可直接用于下次购物） 丙 实行“满100元减50元”（如：购买220元的商品，只需付款120 元） 【问题解决】根据以上信息，解决以下问题： 73 （1）甲、乙、丙直播间同时出售一种标价为380元的电饭锅和一种标 价为300多元的电磁炉，若小鹿想买这两样厨房用具，通过计算发现， 在甲直播间同时购买电饭锅和电磁炉与在乙直播间先买电饭锅再买电 磁炉所花费的钱数是相同的，则这种电磁炉的标价是多少元？ 解：设这种电磁炉的标价是 元.依题意，得 ， 解得 . 答：这种电磁炉的标价是370 元. 74 （2）在（1）的条件下，小鹿选择甲、乙、丙哪个直播间购买更合算？ 解：甲直播间购买所需费用： （元）， 乙直播间购买所需费用： （元）. 选择丙直播间购买所需费用： （元）. ， 小鹿选择丙直播间购买更合算. 75 $$第五章 一元一次方程 周测（5.1~5.2） 1 （时间：40分钟 满分：100分） 一、选择题（每小题4分，共32分） 1.下列方程中，属于一元一次方程的是( ) C A. B. C. D. 2 2.若 ，则下列等式不一定成立的是( ) B A. B. C. D. 3 3.解方程 时，去括号正确的是( ) D A. B. C. D. 4 4.下面是解方程 的流程图，其中第①步 和第⑤步变形的依据相同，这两步变形的依据是 ( ) D A. 分配律 B. 分数的性质 C. 等式的性质1 D. 等式的性质2 5 5.将一元一次方程 的解表示在如图所示的数轴上，其 对应点是( ) B A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 6 6.若，，且，则 的值是( ) B A. 0.4 B. 2.5 C. D. 7 7.我国明代数学读本《算法统宗》一书中有这样一道题：“一支竿子一 条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托.”其大意 为：现有一根竹竿和一条绳索，用绳索去量竹竿，绳索比竹竿长5尺； 如果将绳索对折后再去量竹竿，就比竹竿短5尺.设竹竿的长为 尺，则 可列方程为( ) D A. B. C. D. 8 8.若关于的方程有整数解，则满足条件的所有整数 的和为( ) A A. 20 B. 6 C. 4 D. 2 9 二、填空题（每小题4分，共24分） 9.列等式表示“比的3倍大5的数等于 的4倍”为_____________. 10 10.已知关于的方程的解为，则 的值为___. 1 11 11.写出一个满足下列条件的一元一次方程：①未知数的系数是 ；② 方程的解是 ；③求方程的解时，一定要有移项这步运算.则这个 方程可以是______________________________. （答案不唯一） 12 12.在一张普通的月历中，相邻三行里同一列的三个日期数之和为39， 则这三个数中，最大的数是____. 20 13 13.小马在解关于的一元一次方程时，误将看成了 ， 得到的解为.请帮小马算一算，方程正确的解为 ___. 3 14 14.已知关于的一元一次方程的解为 ， 那么关于的一元一次方程的解为 ____. 15 三、解答题（共44分） 15.（15分）解下列方程： （1） . 解：移项，得 . 合并同类项，得 . 系数化为1，得 . 16 （2） . 解：去括号，得 . 移项，得 . 合并同类项，得 . 系数化为1，得 . 17 （3） . 解：去分母，得 . 去括号，得 . 移项、合并同类项，得 . 系数化为1，得 . 18 16.（8分）典典跟随爸爸开车从家到相距100千米的县城，然后又从县 城到老君山游玩.下面分别是这辆车从家出发、到达县城和到达老君山 时的油表示意图.请根据油表发生的变化，算一算，县城到老君山大约 有多少千米？ 19 解：这辆车从家到县城的耗油量为 ，从县城到老君山 的耗油量为 . 设县城到老君山大约有 千米.根据题意，得 ， 解得 . 答：县城到老君山大约有125千米. 20 17.（9分）观察如图所示的程序，若输出的结果为5，求 的值. 21 解：当 大于0时， 根据题意，得，解得 ； 当 不大于0时， 根据题意，得 ， ，解得 . 综上所述，的值为3或 . 22 18.（12分）定义：若关于的一元一次方程的解为 ， 则称该方程为“差解方程”.例如：的解为 ，且 ，则方程 是差解方程. （1）方程 是不是差解方程？请说明理由. 解：方程 不是差解方程.理由： 解，得 . , 方程 不是差解方程. 23 （2）若关于的一元一次方程是差解方程，求 的值. 解：解方程,得 . 是差解方程， , 解得 . 24 $$第五章 一元一次方程 小专题10 利用一元一次方程的解求待定字母的值 1 类型1 利用方程解的定义求待定字母或代数式的值 1.小丽同学在做作业时，不小心将方程 中的一个常 数污染了，在询问老师后，老师告诉她方程的解是 .则这个被污 染的常数 是( ) C A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 2 2.【整体思想】已知是关于的方程 的解，则 _____. 3 类型2 解之间的关系 3.若方程和的解相同，则 的值是___. 7 4 4.若关于的方程和方程 的解互为相 反数，则 的值为____. 5 5.已知关于的方程与方程 的解互为倒 数，则 的值为___. 6 6.当为何值时，关于的方程的解比关于 的方程 的解大2？ 解：解方程，得 . 解方程，得 . 根据题意，得 ， 解得 . 7 类型3 错解问题 7.在解关于的方程 时，小明在去分母的过程中，忘记 将方程右边的“”这一项乘6，求得方程的解为 . （1）求 的值. 解：根据题意，得方程的解为 . 把代入，得 . 解得 . 8 （2）写出正确的求解过程. 解：把代入原方程 ，得 . 去分母，得 . 去括号，得 . 移项，得 . 合并同类项，得 . 系数化为1，得 . 9 类型4 特殊解问题 8.已知关于的一元一次方程，其中 是正整数.若方程有 正整数解，求 的值. 10 解：去分母，得 . 移项、合并同类项，得 . 系数化为1，得 . 是正整数，且方程有正整数解， 是3的正整数倍. 当时， ; 当时， （舍去）; 11 当时， （舍去）； 当时， （舍去）； …… 综上所述， . 类型5 定解问题 9.已知,为定值，关于的方程，无论 为何值，它 的解总是，则 的值为___. 0 13 $$第五章 一元一次方程 小专题11 一元一次方程的实际应用 1 类型1 和差倍分问题 1.某超市销售甲、乙两种商品，两种商品的相关信息如下表： 商品 进价/（元·件 ） 售价/（元·件 ） 利润率 甲 40 60 乙 50 （1）以上表格中， 的值分别为____，______. 75 2 （2）若该超市购进甲种商品的数量比乙种商品数量的2倍少10件，且 在正常销售情况下售完这两种商品共获利3 050元，求购进甲、乙两种 商品各多少件. 解：设购进乙种商品件，则购进甲种商品 件.根据题意，得 ， 解得 . 则 . 答：该超市购进甲种商品90件、乙种商品50件. 3 类型2 古代数学问题 2.【数学文化】唐代大诗人李白喜好饮酒作诗，民间有“李白斗酒诗百 篇”之说.《算法统宗》中记载了一个“李白沽酒”的故事.诗云：今携一 壶酒，游春郊外走.逢朋加一倍，入店饮半斗.相逢三处店，饮尽壶中酒. 试问能算士，如何知原有（注：古代一斗是10升）.大意是：李白在郊 外春游时，做出这样一条约定，遇见朋友，到酒店里先将壶里的酒增 加一倍，再喝掉其中的5升酒.按照这样的约定，在第3个店里正好喝光 了壶中的酒.请问各位，壶中原有多少升酒？ 4 解：设壶中原有 升酒.根据题意，得 ， 解得 . 答：壶中原有 升酒. 5 类型3 储蓄问题 3.一种节能型冰箱，商家计划按进价加价 作为售价，为了促销， 商家现在按原售价的九折出售了40台，降价后每台的新售价是2 430元. （1）按照新售价出售，商家每台冰箱还可赚多少元？ 6 解：设这种节能型冰箱每台的进价是元，则原售价是 元.根据题 意，得 ， 解得 . 则 （元）. 答：商家每台冰箱还可赚180元. 7 （2）售完这批冰箱后，商家将购进40台冰箱的进货款存入银行，存期 一年，不扣利息税，到期可得92 025元，则这项储蓄的年利率是多少？ 解：设这项储蓄的年利率是 .根据题意，得 ， 解得 . 答：这项储蓄的年利率是 . 8 类型4 图形问题 4.【几何直观】（2023·北京）对联是中华传统文 化的瑰宝，对联装裱后，如图所示，上、下空白处 分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边.一般 情况下，天头长与地头长的比是 ，左、右边的 宽相等，均为天头长与地头长的和的 .某人要装裱 一副对联，对联的长为，宽为 .若要求装裱后的长是装裱 后的宽的4倍，求边的宽和天头长. 9 解：设天头长为，地头长为，则左、右边的宽为 .根 据题意，得 ，解得 . 则 . 答：边的宽为，天头长为 . 10 类型5 调配问题 5.某物流公司调用了卡车12辆和6辆分别从甲、乙两地运送物品，其中 10辆卡车到A地，8辆卡车到B地.已知每辆卡车从甲地运送物品到A地 和B地的运费分别为400元和800元，从乙地运送物品到A地和B地的运 费分别为300元和500元.设从甲地去往A地的卡车有 辆. 11 （1）用含 的代数式填表： 目的地 A地 B地 甲地（12辆） 乙地（6辆） ______ 支付运费/元 ______________ 12 （2）若该公司共支付运费9 800元，则是如何安排车辆的运输方案的？ 解：根据题意，得 ， 解得 . 则，， . 答：从甲地去往A地、B地的卡车分别有4辆、8辆，从乙地去往A地、 B地的卡车分别有6辆、0辆. 13 类型6 行程问题 6.“悟空顺风探妖踪，千里只用五分钟；归时五分行六百，试问风速是 多少？”大意如下：孙悟空追寻妖精的行踪，去时顺风， 里只用 了5分钟；回来时逆风，5分钟只走了600里.则风速是_____里/分. 14 7.【问题引入】 一列火车匀速行驶，经过一条长400米的隧道需要30秒的时间，隧道的 顶上有一盏灯，垂直向下发光，灯光照在火车上的时间是15秒，你能 求出这列火车的长度吗？ 【情境分析】 设这列火车的长度是 米. （1）从车头经过灯下到车尾经过灯下，火车所行驶的路程是___米， 这段时间内火车的平均速度是___米/秒. 15 （2）从车头进入隧道到车尾离开隧道，火车所行驶的路程是________ ___________________________________________________________米， 这段时间内火车的平均速度是______米/秒. （3）火车经过灯下和火车通过隧道的平均速度的关系是______. 相等 16 【问题解决】 （4）请列出方程，并求出这列火车的长度. 解：根据题意，得 ， 解得 . 答：这列火车的长度是400米. 17 类型7 分段计费问题 8.某市近期公布的居民用天然气阶梯价格方案如下： 第一档 天然气用量 第二档 天然气用量 第三档 天然气用量 天然气年用量在 及以下的 部分，价格为2.53 元/ 天然气年用量在 以 上，且不超过 时， 超过 的部分价格为 2.78元/ 天然气年用量在 以上时，超过 的部分价格为 3.54元/ 18 依此方案，请解答下列问题： （1）若小禾家今年使用天然气 ，则需缴纳天然气费多少元？ 解： 天然气处于第二档天然气用量， 需缴纳天然气费： （元）. 19 （2）若某户今年缴纳天然气费2 286元，则该户今年使用天然气多少 立方米？ 解：， ， 该户今年使用天然气超过 . 设该户今年使用天然气 .根据题意，得 ， 解得 . 答：该户今年使用天然气 . 20 $$类型1 解一元一次方程 1.解下列方程： （1） . 解：移项，得 . 合并同类项，得 . 系数化为1，得 . 1 （2） . 解：去括号，得 . 移项，得 . 合并同类项，得 . 系数化为1，得 . 2 （3） . 解：去分母，得 . 去括号，得 . 移项、合并同类项，得 . 系数化为1，得 . 3 （4） . 解：（方法一）去括号，得 . 移项，得 . 合并同类项，得 . 系数化为1，得 . （方法二）移项，得 . 合并同类项，得 . 去括号，得 . 移项、合并同类项，得 . 系数化为1，得 . 4 （5） . 解：去分母，得 . 去括号，得 . 移项、合并同类项，得 . 系数化为1，得 . 5 （6） . 解：去分母，得 . 移项，得 . 合并同类项，得 . 系数化为1，得 . 6 （7） . 解：去分母，得 . 去括号，得 . 移项、合并同类项，得 . 系数化为1，得 . 7 （8） . 解：去括号，得 . 移项，得 . 合并同类项，得 . 系数化为1，得 . 8 （9） . 解：去分母，得 . 去括号，得 . 移项，得 . 合并同类项，得 . 系数化为1，得 . 9 （10） . 解：方程可化为 ， 即 . 去括号，得 . 移项，得 . 合并同类项，得 . 系数化为1，得 . 10 （11） . 解：去分母，得 . 去括号，得 . 移项，得 . 合并同类项，得 . 系数化为1，得 . 11 （12） . 解：去分母，得 . 去括号，得 . 移项，得 . 合并同类项，得 . 系数化为1，得 . 12 类型2 解含绝对值符号的一元一次方程 解含绝对值符号的方程，要去掉绝对值符号，必须讨论绝对值符 号内式子的正负. 2.解方程： . 解： ， 或 . 当 时， 移项、合并同类项，得 . 系数化为1，得 ； 当 时， 移项、合并同类项，得 . 系数化为1，得 . 方程的解为或 . 14 3.解方程： . 解：当时， . 移项、合并同类项，得 . 系数化为1，得 . 此时 ，符合题意； 当时， . 去括号，得 . 移项、合并同类项，得 . 15 系数化为1，得 . 此时 ，不符合题意，舍去. 方程的解为 . 【拓展】 方程 的解为______. 17 类型3 利用换元法解一元一次方程 4.【运算能力】方程 可以有多 种不同的解法，观察此方程，设 . （1）原方程可变形为关于的方程：_________________，通过先求 的值，从而可得 ___. 2 18 （2）利用上述方法解方程： . 19 解：设，则原方程可变形为关于 的方程： . 去括号，得 . 移项，得 . 合并同类项，得 . 系数化为1，得 . . 解得 . 20 $$第五章 一元一次方程 章末复习（五） 一元一次方程 1 01 考点针对练 考点1 一元一次方程及其解 1.（2023·临沂兰陵县期末）下列方程：； ； ；； ，其中一元一次方程的个数为( ) A A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 2 2.（2023·东营广饶县期末）若是方程 的解，则 的值是( ) C A. 2 B. 3 C. 7 D. 8 3 3.【开放性问题】请任意写一个同时满足“①未知数项的系数为负数； ②方程左边只有两项且右边等于0”的一元一次方程：_______________ ______________. （答案不唯一） 4 考点2 等式的性质 4.（2023·临沂兰陵县期末）下列变形中，不正确的是( ) D A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5 5.张萌的手中有若干个相同大小的铁球、正方体和圆柱，她将它们放 在天平上，使天平保持平衡，如图所示，则3个铁球的质量等于____个 正方体的质量. 6 考点3 解一元一次方程 6.（2022·长沙青竹湖湘一外国语期末）下列方程的变形正确的是 ( ) D A. 由移项，得 B. 由去括号，得 C. 由系数化为1，得 D. 由去分母，得 7 7.【创新意识】我们规定，对于两个不相等的有理数， ，符号 ，表示，两数中较小的数，例如：， .则方 程， 的解为( ) A A. B. C. 或 D. 或 8 8.解方程： （1） . 解：去括号，得 . 移项，得 . 合并同类项，得 . 系数化为1，得 . 9 （2） . 解：去分母，得 . 去括号，得 . 移项，得 . 合并同类项，得 . 系数化为1，得 . 10 （3） . 解：去括号，得 . 移项，得 . 合并同类项，得 . 系数化为1，得 . 11 9.【运算能力】已知关于的方程 的解比方程 的解大1. （1）求方程②的解. 解：去括号，得 . 移项，得 . 合并同类项，得 . 系数化为1，得 . 12 （2）求 的值. 解： 方程①比方程②的解大1， 方程①的解为 . 把代入方程①，得 ， 解得 . 13 考点4 一元一次方程的应用 10.一个两位数，十位上的数字是个位数字的2倍，将个位数字与十位 数字调换，得到一个新的两位数，这两个两位数的和是132.设原两位 数的个位数字为 ，可列方程为________________________________. 14 11.【抽象能力】某检查团从单位出发，去A处检查，在A处检查 后， 又绕路去B处检查，在B处停留后返回单位，去时的速度是 ， 返回时的速度是，来回共用了 .如果回来时因为绕道关系， 路程比去时多 ，那么去时的路程为_______. 15 12.（2023·临沂）大学生小敏参加暑期实习活动，与公司约定一个月 （30天）的报酬是 型平板电脑一台和1 500元现金.当她工作满20天后 因故结束实习，结算工资时公司给了她一台 型平板电脑和300元现金. （1）这台 型平板电脑价值多少元？ 解：设这台型平板电脑价值 元.根据题意，得 ， 解得 . 答：这台 型平板电脑价值2 100元. 16 （2）若小敏工作 天，将上述工资支付标准折算为现金，则她应获得 多少报酬（用含 的代数式表示）？ 解：由（1）可知，一台 型平板电脑价值2 100元， 工作一个月，她应获得的报酬为 （元）. 若工作天，她应获得的报酬为 （元）. 17 02 新课标·新情境·新题型 13.【跨学科·物理】华氏温度与摄氏温度 之间的转换关系是 下列温度中，与华氏温度 接近的是( ) A A. 水沸腾的温度 B. 人体的温度 C. 舒适的室温 D. 水结冰时的温度 18 14.【数学文化】（2023·丽水）中国古代的数学专著《九章算术》中有 一题：“今有生丝三十斤，干之，耗三斤十二两.今有干丝一十二斤，问 生丝几何？”意思是：“今有生丝30斤，干燥后耗损3斤12两（中国古代1 斤等于16两）.今有干丝12斤，问原有生丝多少斤？”则原有生丝___斤. 19 15.【阅读理解题】（2023·东营市东营区期末）定义：如果两个一元 一次方程的解之和为1，那么就称这两个方程为“美好方程”.例如：方 程和 为“美好方程”. 20 （1）方程与方程 是“美好方程”吗？请说 明理由. 解：方程与方程 是“美好方程”.理由如下： 解方程，得 . 解方程，得 . ， 方程与方程 是“美好方程”. 21 （2）若关于的方程与方程 是“美好方程”， 求 的值. 解：解方程，得 . 解方程，得 . 方程与方程 是“美好方程”， ，解得 . 22 $$