1.2 矩形的性质与判定 同步练习卷2024-2025学年北师大版数学九年级上册

北师大版九年级上册数学同步练习卷 1.2 矩形的性质与判定 一、单选题 1．如图，在矩形中， 将其折叠使落在对角线上，得到折痕那么的长度为（  ）    A． B． C． D． 2．依据图所标数据，则四边形一定是（    ）    A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．四个角均不为的平行四边形 3．如图，在中，，为边上的高，为边上的中线，，，则（    ） A．6 B．5 C．4 D．2 4．矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（　　） A．对边平行且相等 B．对角线相等 C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直 5．对角线互相垂直平分的四边形是（ ） A．矩形 B．菱形 C．平行四边形 D．无法确定 6．如图，把一张长方形的纸沿对角线BD折叠，使点C落到点的位置，若平分，则的度数是(    ) A．15° B．30° C．45° D．60° 7．如图，四边形中，，是边的中点，如果平分，那么下列结论中不一定成立的是（    ） A．平分 B． C． D． 8．如图，在平行四边行ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论中一定成立的是（    ） ①；②EF=CF；③S△BEC=2S△CEF；④． A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④ 二、填空题 9．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，E，F分别是线段CD和线段BA延长线上的动点，沿直线EF折叠使点D的对应点D′落在BC上，连接AD′，DD′，当△ADD′是以DD′为腰的等腰三角形时，DE的长为 ． 10．广场上布置矩形花坛，计划用盆花摆成两条对角线，如图形状。具体做法是先摆好一条对角线后，再到花房运盆花摆放第二条对角线。如果第一条对角线用了21盆花，还需要运来 盆花摆另一条对角线；如果第一条对角线用了24盆花，还需要运来 盆花摆另一条对角线． 11．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于点A、B，点M在坐标轴上，点N在坐标平面内，若以A、B、M、N为顶点的四边形为矩形，则点N的坐标为 ． 12．如图，在矩形ABCD中，点E是AD的中点，将△ABE沿直线BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于点F，若AB=6，BC=4,则FD= . 13．在中，，，，为上一动点，连接，过作于点，连接，则的最小值是 ． 14．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝4，点E是AD的中点，点F是AB上一动点将AEF沿直线EF折叠，点A落在点A′处在EF上任取一点G，连接GC，，，则的周长的最小值为 ． 三、解答题 15．【课本呈现】下图是人教版八年级下册数学课本53页部分内容： 思考 如图18．2-3，矩形的对角线，相交于点．我们观察，在中是斜边上的中线，与有什么关系？ 根据矩形的性质，我们得到结论：． （1）由此我们得到直角三角形的一个性质，请用文字语言阐述为： 【结论再探】 （2）数学兴趣小组的小亮在证明该结论时，有不同的证明思路．以下是他不完整的证明过程，请补充完整． 已知：如图1，中，，是斜边上的中线． 求证：． 证明：延长到点，使，连接． 又为的中点， （依据是 ）． ， 垂直平分． ． ． 【结论应用】 （3）如图2，在四边形中，，，，．在四边形内存在一点，其到四边形四个顶点的距离均为，求的值．    16．如图①为放置在水平桌面上的台灯，当人在此台灯下看书时，将其侧面抽象成如图②的几何图形，灯臂AO长为50cm，与水平桌面所形成的夹角为.由光源O射出的边缘光线OC、OB与水平桌面所形成的夹角、分别为和. （1）若书EF与光线OB平行放置且书底端点F离光线OB端点B的距离为63cm，求书EF的长度（结果精确到0.1cm）； （2）若该书与水平桌面的夹角为，当眼睛所在位置点P在EF的垂直平分线上，且到EF距离约为34cm时，称点P为“最佳视点”.请通过计算说明最佳视点P是否在灯光照射范围内？（参考数据：，，.） 17．在线上教学中，教师和学生都学习到了新知识，掌握了许多新技能．例如，教材八年级下册的数学活动——折纸，就引起了许多同学的兴趣．在经历图形变换的过程中，进一步发展了同学们的空间观念，积累了数学活动经验． 实践发现： 对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；再一次折叠纸片，使点A落在EF上的点N处，并使折痕经过点B，得到折痕BM，把纸片展平，连接AN，如图①． (1)①计算出______°； ②继续折叠纸片，使点A落在BC边上的点H处，并使折痕经过点B，得到折痕BG，把纸片展平，如图②，则______°； (2)拓展延伸：如图③，折叠矩形纸片ABCD，使点A落在BC边上的点处，并且折痕交BC边于点T，交AD边于点S，把纸片展平，连接交ST于点O，连接AT． 求证：四边形是菱形； (3)解决问题；如图④，矩形纸片ABCD中，，，折叠纸片，使点A落在BC边上的点处，并且折痕交AB边于点T，交AD边于点S，把纸片展平．同学们小组讨论后，得出线段AT的长度有4，5，7，9．请写出以上4个数值中你认为正确的数值______． 18．如图，在中，的延长线于E，的延长线于F，M为BC的中点，分别连接、、． (1)若，，求的周长； (2)若，，求的度数． 19．如图，C为线段BD上一动点，分别过点B，D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC，EC．已知AB＝4，DE＝2，BD＝8，设CD＝x． （1）用含x的代数式表示AC+CE的长． （2）观察图形，请问在什么情况下，AC+CE的值最小？最小值多少？写出计算过程． （3）求代数式的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 北师大版九年级上册数学同步练习卷 1.2 矩形的性质与判定 一、单选题 1．如图，在矩形中， 将其折叠使落在对角线上，得到折痕那么的长度为（  ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：在矩形中，， ∴∠B=90°， ∴， 由折叠的性质，得AF=AB=3，BE=EF， ∴CF=53=2， 在Rt△CEF中，设BE=EF=x，则CE=， 由勾股定理，得：， 解得：； ∴． 2．依据图所标数据，则四边形一定是（    ）    A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．四个角均不为的平行四边形 【答案】B 【详解】解： ∵线段、相等且平分， ∴四边形为矩形． 3．如图，在中，，为边上的高，为边上的中线，，，则（    ） A．6 B．5 C．4 D．2 【答案】A 【详解】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CE为AB边上的中线，CE=10， ∴AE=CE=10， ∵AD=2， ∴DE=8， ∵CD为AB边上的高， 在Rt△CDE中， CD=， 4．矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（　　） A．对边平行且相等 B．对角线相等 C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直 【答案】B 【详解】解：A、矩形、平行四边形的对边都是平行相等的，故本选项不符合题意； B、矩形的对角线相等，平行四边形的对角线不一定相等，故本选项符合； C. 矩形、平行四边形的对角线都是互相平分的．，故本选项不符合； D、矩形、平行四边形的对角线对角线不一定互相垂直．，故本选项不符合； 5．对角线互相垂直平分的四边形是（ ） A．矩形 B．菱形 C．平行四边形 D．无法确定 【答案】B 【详解】解：对角线互相垂直平分的四边形是菱形. 6．如图，把一张长方形的纸沿对角线BD折叠，使点C落到点的位置，若平分，则的度数是(    ) A．15° B．30° C．45° D．60° 【答案】B 【详解】解：∵把一张长方形纸片ABCD沿BD折叠 ∴ ∵平分 ∴ ∴=∠ABC=30° 7．如图，四边形中，，是边的中点，如果平分，那么下列结论中不一定成立的是（    ） A．平分 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：延长交延长线于， ∵， ， ， ， ， 为中点， ， ， ， ，， ， ，， ；平分；   ∴， 故A，B选项正确， 取中点，连接， ，分别是，的中点， 是梯形是中位线 ， ， ， ，故D选项正确， 当时，，故C选项不一定成立 8．如图，在平行四边行ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论中一定成立的是（    ） ①；②EF=CF；③S△BEC=2S△CEF；④． A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④ 【答案】D 【详解】①∵F是AD的中点， ∴AF=FD， ∵在平行四边形ABCD中，AD=2AB， ∴AF=FD=CD， ∴ ∠DFC=∠DCF， ∵ADBC， ∴∠DFC=∠FCB， ∴∠DCF=∠BCF， ∴∠DCF=∠BCD，故结论①正确， 延长EF，交CD的延长线于M， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ABCD， ∴ ∠A=∠MDF， ∵F为AD中点， ∴AF=FD， 在△AEF和△DFM中 ∴， ∴FE=FM，∠AEF=∠M， ∴CE⊥AB， ∴∠AEC=90°， ∴∠AEC=∠ECD=90°， ∵FM=EF, ∠ECD=90°， ∴EF=CF，故②正确， ③∵EF=FM, ∴S△EFC=S△CFM， ∵MC>BE， ∴S△ECM>S△BEC， ∵S△ECM =S△EFC +S△CFM ，S△EFC=S△CFM， ∴S△BEC<2S△EFC 故③错误 ④设∠FEC=x,则∠FCE=x ∴∠DCF=∠DFC=90°- x ∴∠EFC=180°-2x ∴∠EFD=90°- x +180°-2 x =270°-3 x ∵∠AEF=90°- x ∴∠DFE=3∠AEF，故结论④正确 综上可知，一定成立的是①②④ 二、填空题 9．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，E，F分别是线段CD和线段BA延长线上的动点，沿直线EF折叠使点D的对应点D′落在BC上，连接AD′，DD′，当△ADD′是以DD′为腰的等腰三角形时，DE的长为 ． 【答案】或． 【详解】设DE＝x，则CE＝4﹣x， 由折叠的性质得：D'E＝DE＝x， ∵四边形ABCD是矩形， ∴CD＝AB＝4，AD＝BC＝5，∠C＝90°， 分两种情况： ①当DD'＝AD＝5时， 由勾股定理得：CD'＝＝＝3， 在Rt△CD'E再，由勾股定理得：32+（4﹣x）2＝x2， 解得：x＝， 即DE＝； ②当DD'＝AD'时，作D'G⊥AD于G，如图所示： 则CD'＝DG＝AG＝AD＝， 在Rt△CD'E再，由勾股定理得：（）2+（4﹣x）2＝x2， 解得：x＝，即DE＝； 综上所述，当△ADD′是以DD′为腰的等腰三角形时，DE的长为 或； 10．广场上布置矩形花坛，计划用盆花摆成两条对角线，如图形状。具体做法是先摆好一条对角线后，再到花房运盆花摆放第二条对角线。如果第一条对角线用了21盆花，还需要运来 盆花摆另一条对角线；如果第一条对角线用了24盆花，还需要运来 盆花摆另一条对角线． 【答案】 【详解】解：第一条对角线用了21盆花，还需要运来盆花， 第一条对角线用了21盆花，中间一盆为对角线交点， 故还需要盆； 如果第一条对角线用了24盆花，还需要运来24盆花； 第一条对角线用了24盆花，矩形的对角线互相平分且相等， 故还需要运来24盆花． 11．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于点A、B，点M在坐标轴上，点N在坐标平面内，若以A、B、M、N为顶点的四边形为矩形，则点N的坐标为 ． 【答案】 【详解】解：在中，令得， 令，则，得， ，， ，， ， 当与重合时，，如图： 此时的坐标为； 当在轴上时，如图： 设，则，， ∴由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴ ∴向右平移3个单位，再向下平移个单位可得， ∴由平移性质可得， 当在轴上时，，如图： 设，则，， ∴由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴由点B向左平移3个单位，向下平移得点A， ∴由平移的性质得到 综上所述，的坐标为， 12．如图，在矩形ABCD中，点E是AD的中点，将△ABE沿直线BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于点F，若AB=6，BC=4,则FD= . 【答案】4 【详解】∵E是AD的中点， ∴AE=DE， ∵△ABE沿BE折叠后得到△GBE， ∴AE=EG，AB=BG， ∴ED=EG， ∵在矩形ABCD中， ∴∠A=∠D=90°， ∴∠EGF=90°， 在Rt△EDF和Rt△EGF中， ， ∴Rt△EDF≌Rt△EGF（HL）， ∴DF=FG， 设DF=x，则BF=6+x，CF=6-x， 在Rt△BCF中，（4）2+（6-x）2=（6+x）2， 解得x=4． 13．在中，，，，为上一动点，连接，过作于点，连接，则的最小值是 ． 【答案】5 【详解】解：作于H，连接，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴为的斜边上的中线， ∴， ∵（当且仅当B、E、H共线时取等号）， 即， ∴BE的最小值为5． 14．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝4，点E是AD的中点，点F是AB上一动点将AEF沿直线EF折叠，点A落在点A′处在EF上任取一点G，连接GC，，，则的周长的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，连接AC交EF于G，连接A′G，连接EC，由折叠的性质可知A′G＝GA， 此时△A′GC的周长最小，最小值＝A′G+GC+CA′＝GA+GC+CA′＝AC+CA′． ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠D＝90°，AD＝BC＝4，CD＝AB＝6， ∴AC2， ∴△A′CG的周长的最小值+CA′， 当CA′最小时，△CGA′的周长最小， ∵AE＝DE＝EA′＝2， ∴CE2， ∵CA′≥EC﹣EA′， ∴CA′≥2-2， ∴CA′的最小值为2-2， ∴△CGA′的周长的最小值为2-2， 三、解答题 15．【课本呈现】下图是人教版八年级下册数学课本53页部分内容： 思考 如图18．2-3，矩形的对角线，相交于点．我们观察，在中是斜边上的中线，与有什么关系？ 根据矩形的性质，我们得到结论：． （1）由此我们得到直角三角形的一个性质，请用文字语言阐述为： 【结论再探】 （2）数学兴趣小组的小亮在证明该结论时，有不同的证明思路．以下是他不完整的证明过程，请补充完整． 已知：如图1，中，，是斜边上的中线． 求证：． 证明：延长到点，使，连接． 又为的中点， （依据是 ）． ， 垂直平分． ． ． 【结论应用】 （3）如图2，在四边形中，，，，．在四边形内存在一点，其到四边形四个顶点的距离均为，求的值．    【答案】（1）直角三角形斜边的中线等于斜边的一半；（2）；三角形的中位线定理；（3） 【详解】（1）直角三角形斜边的中线等于斜边的一半； 故答案为：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半； （2）证明：延长到点，使，连接． 又为的中点， （依据是三角形的中位线定理）． ， 垂直平分． ． ． 故答案为：；三角形的中位线定理；； （3）连接，，，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴点A、P、C三点共线， 设，则， ∴由勾股定理可得：,， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴． 16．如图①为放置在水平桌面上的台灯，当人在此台灯下看书时，将其侧面抽象成如图②的几何图形，灯臂AO长为50cm，与水平桌面所形成的夹角为.由光源O射出的边缘光线OC、OB与水平桌面所形成的夹角、分别为和. （1）若书EF与光线OB平行放置且书底端点F离光线OB端点B的距离为63cm，求书EF的长度（结果精确到0.1cm）； （2）若该书与水平桌面的夹角为，当眼睛所在位置点P在EF的垂直平分线上，且到EF距离约为34cm时，称点P为“最佳视点”.请通过计算说明最佳视点P是否在灯光照射范围内？（参考数据：，，.） 【答案】（1）24.4cm；（2）最佳视点P在灯光照射范围内，理由见解析. 【详解】（1）在中， 在中， 点F离光线OB端点B的距离为63cm，即 答：书EF的长度约为； （2）如图，设D为EF的中点，于点D，过点P作于点H，延长HP交OB于点N，过点D作于点G，作于点Q，则四边形DGHQ为矩形 由（1）及题意知， ，， 又 ，即 最佳视点P在灯光照射范围内. 17．在线上教学中，教师和学生都学习到了新知识，掌握了许多新技能．例如，教材八年级下册的数学活动——折纸，就引起了许多同学的兴趣．在经历图形变换的过程中，进一步发展了同学们的空间观念，积累了数学活动经验． 实践发现： 对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；再一次折叠纸片，使点A落在EF上的点N处，并使折痕经过点B，得到折痕BM，把纸片展平，连接AN，如图①． (1)①计算出______°； ②继续折叠纸片，使点A落在BC边上的点H处，并使折痕经过点B，得到折痕BG，把纸片展平，如图②，则______°； (2)拓展延伸：如图③，折叠矩形纸片ABCD，使点A落在BC边上的点处，并且折痕交BC边于点T，交AD边于点S，把纸片展平，连接交ST于点O，连接AT． 求证：四边形是菱形； (3)解决问题；如图④，矩形纸片ABCD中，，，折叠纸片，使点A落在BC边上的点处，并且折痕交AB边于点T，交AD边于点S，把纸片展平．同学们小组讨论后，得出线段AT的长度有4，5，7，9．请写出以上4个数值中你认为正确的数值______． 【答案】(1)①60；②15 (2)见解析 (3)7，9 【详解】（1）解：①∵对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合， ∴EF垂直平分AB， ∴AN=BN，AE=BE，∠NEA=90°， ∵再一次折叠纸片，使点A落在EF上的点N处， ∴BM垂直平分AN，∠BAM=∠BNM=90°， ∴AB=BN， ∴AB=AN=BN， ∴△ABN是等边三角形， ∴∠EBN=60°， ∴∠ENB=30°， ∴∠MNE=60°， 故答案为：60； ②∵折叠纸片，使点A落在BC边上的点H处， ∴∠ABG=∠HBG=45°， ∴∠GBN=∠ABN-∠ABG=15°， 故答案为：15； （2）证明：∵折叠矩形纸片ABCD，使点A落在BC边上的点A'处， ∴ST垂直平分AA'， ∴AO=A'O，AA'⊥ST， ∵AD∥BC， ∴∠SAO=∠TA'O，∠ASO=∠A'TO， ∴△ASO≌△A'TO（AAS）， ∴SO=TO， ∴四边形ASA'T是平行四边形， 又∵AA'⊥ST， ∴四边形SATA'是菱形； （3）解：∵折叠纸片，使点A落在BC边上的点A'处， ∴AT=A'T， 在Rt△A'TB中，A'T＞BT， ∴AT＞10-AT， ∴AT＞5， ∵点T在AB上， ∴当点T与点B重合时，AT有最大值为10， ∴5＜AT≤10， ∴正确的数值为7，9， 18．如图，在中，的延长线于E，的延长线于F，M为BC的中点，分别连接、、． (1)若，，求的周长； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)11 (2) 【详解】（1）解：∵ ∴， ∵M为的中点，， ∴，， ∵， ∴的周长， ∴的周长为11； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∵，M为BC的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为． 19．如图，C为线段BD上一动点，分别过点B，D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC，EC．已知AB＝4，DE＝2，BD＝8，设CD＝x． （1）用含x的代数式表示AC+CE的长． （2）观察图形，请问在什么情况下，AC+CE的值最小？最小值多少？写出计算过程． （3）求代数式的最小值． 【答案】（1）；（2）当A、C、E三点共线时，AC+CE的值最小，最小为10，过程见解析；（3）5 【详解】解：（1）∵AB⊥BD，ED⊥BD， ∴∠B=∠BDF=90°， 在Rt△ABC中，BC=8-x，AB=4， 由勾股定理得：AC=， 同理可得：CE=， ∴AC+CE＝； （2）由两点之间线段最短可知，当A、C、E三点共线时，AC+CE的值最小， 过A点作AF平行于BD交ED的延长线于点F， 则∠F=∠BDF=90°，又∠B=90°， ∴四边形ABDF是矩形， ∴DF＝AB＝4，AF＝BD＝8，EF＝ED+DF＝2+4＝6， ∴由勾股定理得：， ∴AC+CE的最小值为10； （3）构造图形作BD＝4，分别过点B，D作AB⊥BD，ED⊥BD，AB＝2，DE＝1， C为线段BD上一动点，设BC＝x， 当A、C、E三点共线时，AE的长即为代数式的最小值． 过A点作AF平行于BD交ED的延长线于点F，得矩形ABDF． 则DF＝AB＝2，AF＝BD＝4，EF＝ED+DF＝1+2＝3， ∴由勾股定理得：， 则AC+CE的最小值为5． 学科网（北京）股份有限公司 $$