专题11相似三角形（3考点）-【好题汇编】5年（2020-2024）中考1年模拟数学真题分类汇编（广东专用）

专题11 相似三角形 考点 五年考情（2020-2024） 命题趋势 考点1相似三角形的判定 2024·广州卷：正方形的性质、相似三角形的判定 相似三角形这一部分在中考命题中单独以相似三角形的判定及性质出题较少，多以压轴题型考察，综合型较强，难度系数偏高，常会与三角形、特殊四边形、常见几何变换、解直角三角形、甚至是圆或是函数相结合，故考生复习时，需注重相似在解题时的综合应用，善于利用题目已知条件，寻找或构造相似三角形来解决问题。 考点2 相似三角形的性质 2023·广东卷：正方形的性质、相似三角形的性质 考点3 相似三角形综合运用 2020·广州卷：矩形的性质和相似三角形的判定与性质 2022·深圳卷：等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质 2021·广州卷：正方形的综合问题、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质 2020·广州卷：正方形的性质、旋转的性质、相似三角形的判定及性质 2021·广东卷：三角形全等的判定及性质、三角形相似的判定及性质、正方形的性质 考点1相似三角形的判定 1. （2024·广东广州·中考真题）如图，点，分别在正方形的边，上，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题关键．根据正方形的性质，得出，，进而得出，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似即可证明． 【详解】解：，， ， 四边形是正方形， ，， ，， 又， ． 考点2 相似三角形的性质 2. （2023·广东·中考真题）边长分别为10，6，4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上（如图），则图中阴影部分的面积为 ．    【答案】15 【分析】根据正方形的性质及相似三角形的性质可进行求解． 【详解】解：如图，    由题意可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为15． 【点睛】本题主要考查正方形的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握正方形的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键． 考点3 相似三角形综合运用 3. （2020·广东广州·中考真题）如图，矩形的对角线，交于点，，，过点作，交于点，过点作，垂足为，则的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据勾股定理求出AC=BD=10，由矩形的性质得出AO=5，证明得到OE的长，再证明可得到EF的长，从而可得到结论． 【详解】∵四边形ABCD是矩形， ， ， ， ，， ， ， ， 又， ， ， ， ，， ， 同理可证，， ， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质和相似三角形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解答此题的关键． 4. （2022·广东深圳·中考真题）已知是直角三角形，连接以为底作直角三角形且是边上的一点，连接和且则长为 ．    【答案】 【分析】将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，HE，利用证明，得，，则，即可解决问题． 【详解】解：将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，HE，   是等腰直角三角形， ∴∠HBD=45° ∵∠FBD=45° ∴点B、F、H共线 又是等腰直角三角形， ，，， ， ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是作辅助线构造全等三角形． 5. （2021·广东广州·中考真题）如图，正方形ABCD的边长为4，点E是边BC上一点，且，以点A为圆心，3为半径的圆分别交AB、AD于点F、G，DF与AE交于点H．并与交于点K，连结HG、CH．给出下列四个结论．（1）H是FK的中点；（2）；（3）；（4），其中正确的结论有 （填写所有正确结论的序号）． 【答案】（1）（3）（4）． 【分析】由正方形的性质可证明，则可推出，利用垂径定理即可证明结论（1）正确；过点H作交BC于N，交AD于M，由三角形面积计算公式求出，再利用矩形的判定与性质证得，并根据相似三角形的判定与性质分别求出，，则最后利用锐角三角函数证明，即可证明结论（2）错误；根据（2）中结论并利用相似三角形的性质求得，即可证明结论（3）正确；利用（1）所得结论并由勾股定理求出FH，再求得DK，即可证明结论（4）正确． 【详解】解：（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴，． 又∵， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即H是FK的中点；故结论（1）正确； （2）过点H作交BC于N，交AD于M， 由（1）得，则． ∵， ∴． ∵四边形ABCD是正方形，， ∴． ∴四边形ABNM是矩形． ∴，． ∵， ∴． 即． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 即． 解得． 则． ∵，． ∵，， ∴． ∴． ∴． ∴与不全等，故结论（2）错误； （3）∵， ∴． 即． 解得． 由（2）得，． ∴；故结论（3）正确； （4）由（1）得，H是FK的中点， ∴． 由勾股定理得． ∴；故结论（4）正确． 故答案为：（1）（3）（4）． 【点睛】本题考查了正方形的综合问题，掌握特殊四边形、相似三角形的判定与性质及等腰三角形的性质是解题的关键． 6. （2020·广东广州·中考真题）如图，正方形中，绕点逆时针旋转到，，分别交对角线于点，若，则的值为 ． 【答案】16 【分析】根据正方形及旋转的性质可以证明，利用相似的性质即可得出答案． 【详解】解：在正方形中，， ∵绕点逆时针旋转到， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：16． 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定及性质，掌握正方形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定及性质是解题的关键． 7. （2021·广东·中考真题）如图，边长为1的正方形中，点E为的中点．连接，将沿折叠得到交于点G，求的长． 【答案】 【分析】根据题意，延长交于H连，通过证明、得到，再由得到，进而即可求得的长． 【详解】解：延长交于H连， ∵由沿折叠得到， ∴，， ∵E为中点，正方形边长为1， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定及性质、三角形相似的判定及性质以及正方形的性质，熟练掌握相关几何知识是解决本题的关键． 8. （2024·广东深圳·三模）如图是小孔成像原理的示意图，蜡烛在暗盒中所成的像的长是，则像到小孔O的距离为（    ） A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键在于理解小孔成像原理给我们带来的已知条件，会用相似三角形对应边成比例． 【详解】解：设像到小孔O的距离为 由题意得, ∴，, ∴ ∴， 解得, 故选C． 9. （2024·广东深圳·模拟预测）如图，直线，分别交直线m，n于点A，B，C，D，E，F．若，，则的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．10 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，利用平行线分线段成比例定理列出比例式解答即可． 【详解】解：， ， ∵， ∴ ， ， ． 故选：C． 10. （2024·广东中山·二模）如图，在小提琴的设计中，蕴含着数学知识，，各部分长度的比满足，这体现了数学中的（ ） A．黄金分割数 B．平移 C．平均数 D．轴对称 【答案】A 【分析】本题考查了黄金分割，根据黄金分割的定义可得点为的黄金分割点，即可求解，掌握黄金分割的定义是解题的关键． 【详解】解：∵，各部分长度的比满足 ， ∴点为的黄金分割点， 故选：． 11. （2024·广东梅州·一模）如图所示，在中，为中点．为上一点，，和相交于点，则（    ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查平行线分线段成比例，解题的关键是熟练运用平行线分线段成比例的性质，构造平行线进行求解．过点D作，可得，根据相似三角形的性质可得，从而证明，即可求解． 【详解】过点D作，交于M， 则 ∴ ∵为中点 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 故选：C． 12. （2024·广东东莞·三模）如图，和都是等腰三角形，且，点B，C，D在同一条直线上，和的面积分别为16和25，则图中阴影部分的面积为（    ） A．18 B．20 C． D．22 【答案】B 【分析】根据题意可判定，，从而得到的比，再由边上的高和边上的高相等，得到的比，即可计算的面积． 【详解】和是等腰三角形，且 ， 又， 边上的高和边上的高相等 ， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，相似三角形的面积比等于对应边的比的平方，平行线之间的距离处处相等，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 13. （2024·广东广州·二模）如图，在三角形中，D 、F 是边上的点，E 是 边上的点， ， ，则下列式子中不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，通过证明以及平行线分线段成比例可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故只有C选项不正确 故选：C． 14. （2024·广东佛山·二模）《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆”．度方知圆，感悟数学之美．如图，以面积为1的正方形的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的面积为（    ） A．9 B．6 C．4 D．3 【答案】C 【分析】本题考查的是位似图形的性质，由位似图形的性质可得正方形的面积正方形的面积，再进一步可得答案． 【详解】解：∵正方形的面积为1，，正方形与正方形是位似图形， ∴正方形的面积正方形的面积； ∴四边形的面积为； 故选C． 15. （2024·广东深圳·二模）如图，在菱形中，，E是对角线上一点，连接，作交边于点F，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，由菱形的性质推出，，判定，是等边三角形，得到，，求出，而，得到，即可证明，推出，令，则，得出，得到，即可求出答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴，是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴令，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 16. （2024·广东深圳·三模）如图，在等腰中，，，为的中点，为上一点，且，是上两动点，且，则的最小值为（    ） A．8 B． C． D．10 【答案】B 【分析】过点作于点，过点作交于，连接，首先解得，，结合，可得，根据平行线分线段成比例定理，可解得，进而证明四边形为平行四边形，可得；作点关于直线的对称点，连接，过点作于点，由对称的性质可得，故当点在同一直线上时，取最小值，最小值等于的长度，结合三角函数和勾股定理分别解得，，，的值，由轴对称的性质可得的值，证明，由相似三角形的性质解得，进而可得，理由勾股定理分别解得，的值，即可获得答案． 【详解】解：如下图，过点作于点，过点作交于，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， 作点关于直线的对称点，连接，过点作于点，如图， 由对称的性质可得， ∴， ∴当点在同一直线上时，取最小值，最小值等于的长度， ∵为的中点， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴在中，， ∴， 由轴对称的性质可得， ∵，， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∴在和中， ，， ∴ ∴的最小值为． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形、相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、轴对称的性质、两点之间线段最短等知识，正确作出辅助线，综合运用相关知识是解题关键． 17. （2024·广东深圳·三模）如图，中，，， ，点P是上一动点，于D，于E，在点P的运动过程中，线段的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据可以确定A，D，P，E四点共圆，根据三角形内角和定理确定，进而确定当时，线段取得最小值，根据三角形内角和定理和圆周角定理的推论确定，根据相似三角形的判定定理和性质可，设，根据等角对等边和勾股定理表示出和，根据所对的直角边是斜边的一半，圆周角定理和勾股定理表示出，最后代入比例式中计算即可． 【详解】解：∵于D，于E， ∴， ∴， ∴A、D、P、E四点共圆，且直径为， ∵，是定值，所以直径最小时，所对的弦最小，此时， 在中， ∴是等腰直角三角形，， ∴也是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，， 则， ∵， ∴， 过D作于M， ∴，， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴， 则线段的最小值为 故选：D． 【点睛】本题考查确定圆的条件，圆周角定理及其推论，勾股定理，相似三角形的判定定理和性质，含的直角三角形，正确确定何时取得最小值是解题关键． 18. （2024·广东广州·二模）如图，在矩形中，，，是矩形的对角线，将绕点A逆时针旋转得到，使点E在线段上，交于点G，交于点H，则的值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了矩形的性质、正切的定义、旋转的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关性质和定理成为解题的关键． 根据矩形的性质和勾股定理可得、，再结合旋转的性质可得，易证，运用相似三角形的性质列比例式可得，最后根据正切的定义即可解答． 【详解】解：∵在矩形中，，， ∴，， ∴，， ∵将绕点A逆时针旋转得到，使点E在线段上， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即，解得：， ∴ 故选B． 19. （2024·广东·二模）如图，美术素描课堂上有很多关于黄金分割比的元素，比如脸部素描就需要考虑黄金分割比的问题，按照如下要求作出的人脸图像比较美观：（1）眉头、眼头、鼻翼在一条竖直直线上；（2）眉头和眉峰的水平距离（图中直线①和直线②的距离）和眼长大致相等（设此长度为a），眉头和眉尾的水平距离（图中直线①和直线③的距离）设为b，a与b的比例为黄金分割比；（3）眉尾、眼梢、鼻翼在同一直线上．某同学按照以上要求进行素描，已知他的素描作品中眼梢到眉尾的距离为，则眼梢到鼻翼的距离为 ．（，结果保留两位小数） 【答案】3.24 【分析】本题考查的是黄金分割的含义，平行线分线段成比例的含义，先画出图形，可得，再建立方程求解即可． 【详解】解：如图， 由题意可得：，，， ∴，而，， ∴， ∴， 经检验符合题意； ∴眼梢到鼻翼的距离约为， 故答案为 20. （2024·广东广州·二模）如图，与是位似图形，点O为位似中心，．若的周长为4，则的周长为 ． 【答案】8 【分析】本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，熟记相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键． 根据位似图形的概念得到，，进而得到，则，根据相似三角形的性质即可解答． 【详解】解：∵与是位似图形， ∴，， ∴， ∵， ∴的周长：的周长， ∵的周长为4， ∴的周长为8， 故答案为：8． 21. （2024·广东佛山·三模）如图，平行于的直线把分成面积相等的两部分，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质，由平行得，由相似三角形的性质得，即可求解；掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． 【详解】解：设， ， ， ， ， ， 故答案：． 22. （2024·广东·二模）如图，在矩形中，，，为边上一点，将沿翻折，若点刚好落在边上的点处，则 ． 【答案】/0.6 【分析】本题考查了折叠变换，矩形的性质，勾股定理和相似三角形的判定与性质，由四边形是矩形得，，，由翻折性质可知，，，再通过定理求得，然后证明，根据相似三角形的性质即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， 由翻折性质可知，，，， 在中，由勾股定理得， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 23. （2024·广东广州·三模）如图，在中，，点D是边上一动点（不与B、C重合），，交线段于点E，且． （1）若，则的长度是 ；（2）线段的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，二次函数的性质，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用． （1）作于，如图，根据等腰三角形的性质得，再利用余弦的定义计算出，则，设，则，证明，利用相似比可表示出，将代入即可； （2）利用二次函数的性质求的取值范围． 【详解】解：（1）作于，如图， ， ， ， ， ， ， 设，则， ，即， ， 而， ， ，即， ， 当时，； （2）， 故当时，最大，最大值为6.4， 当时，， 点D是边上一动点（不与B、C重合）， ． 故答案为：，． 24. （2024·广东广州·二模）如图，在矩形中，，，点M在直线上，连接，    （1）当，则 （2）当最大时， 【答案】 3 【分析】①根据矩形的性质和勾股定理即可求解； ②作，过点A作于点E，则连接，取中点O，连接，，先证明，继而，因此，故的最大值转化为的最大值，由，知点E在以点O为圆心，为半径的圆上运动，由，故当三点共线时，取得最大值为18，故． 【详解】解：①∵，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴由勾股定理得：，， ∴， 故答案为：； ②作，过点A作于点E，则连接，取中点O，连接，，      ∵四边形是矩形， ∴， ∵点O为中点， ∴， ∴由勾股定理得， ∵， ∴ ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴， ∴， ∴， ∴的最大值转化为的最大值， ∵， ∴点E在以点O为圆心，为半径的圆上运动， ∵， ∴当三点共线时，取得最大值为18， ∴． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，三角形三边关系，构造相似三角形是解决本题的关键． 25. （2024·广东惠州·二模）如图，在菱形中，对角线与相交于点O，过点D作于点F，交于点E．已知，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握菱形的性质和相似三角形的判定是解题的关键．根据菱形的性质得出，，，，即可求出，再证，即可得出答案． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 26. （2024·广东·三模）如图，在正方形中，，点E，F在边上，G，H分别是，的中点，和交于点M，若，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查正方形的性质，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 连接，过点M作于点N，延长交于点Q，证明四边形是矩形，根据矩形的性质证，根据相似三角形的性质，结合三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图，连接，过点M作于点N，延长交于点Q， ∵在正方形中，点G，H分别是，的中点， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，， ∴． 27. （2024·广东深圳·二模）如图，在等腰直角中，，D为上一点，E为延长线上一点，且，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，添加辅助线，构造相似三角形是解题的关键．过点E作，交的延长线于点H，先证明，得到，，同时计算，因此得到，再证明，即可得到答案． 【详解】过点E作，交的延长线于点H， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ． 故答案为：． 28. （2024·广东深圳·模拟预测）如图，在中，，边的垂直平分线交于点D，交于点E，于点F，连接交于点G．若，，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 证明，得出，，求出，的长，证明，得出，则可得出答案． 【详解】解：， ， 是的垂直平分线， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 设， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ． 故答案为：． 29. （2024·广东深圳·二模）如图，在中，是边上的中点，连接，把沿翻折，得到，与交于点，若，，，则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了翻折变换，相似三角形的判定与性质．过作于，由，可得是等腰直角三角形，即得，根据是边上的中点，，可得，由把沿翻折，得到，可得，，即知，对应边成比例求出，进而利用三角形的面积即可解决问题． 【详解】解：过作于，如图： ， 是等腰直角三角形， ， ， 是边上的中点，， ， ， 把沿翻折，得到， ， ， ∴， ， ， 即， ， ， ， ， 故答案为：． 30. （2024·广东深圳·一模）如图，在中，，点是边的中点，过点作边的垂线，交于点，连接，若，，则 ．    【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，合理的作出辅助线是解决问题的关键．连接，作于点，证得，可得，，，进而可得，同理可得，求得，，根据勾股定理可得结果． 【详解】解：连接，作于点，   ，点是边的中点，过点作边的垂线， ，， ， ，， ， ， ，， ， ，， ， 同理可得， ， ， ， ． 故答案为：． 31. （2023·广东深圳·二模）如图，矩形的对角线和交于点，，．将沿着折叠，使点落在点处，连接交于点，交于点，则 ．    【答案】 【分析】连接，设交于点，勾股定理得出，等面积法求得，然后求得，根据中位线的性质得出，证明，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，设交于点，    ∵矩形中，，． ∴， ∵矩形的对角线和交于点，将沿着折叠，使点落在点处 ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， 即， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的折叠问题，勾股定理，相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 32. （2024·广东东莞·一模）如图1是一张折叠型方桌子，图是其侧面结构示意图，支架与交于点，测得，． (1)若，求的长； (2)将桌子放平后，两条桌腿叉开角度，求距离地面的高．结果保留整数参考数值， 【答案】(1)AB的长为cm (2)AB距离地面的高为48cm 【分析】此题考查了相似三角形的判定及性质、解直角三角形的应用， （1）先证明，再由相似三角形的性质求出的长即可； （2）过点作于点，于点，在中，，在中，，，进而作答即可． 【详解】（1）解：，， 与是等腰三角形， ， ， ， 即的长为； （2）过点作于点，于点，如图， ∵， ∴E、O、F三点共线， ，与是等腰三角形， ， 在中， ， 在中， ， ， 距离地面的高为． 33. （2024·广东河源·一模）如图，在中，点D、E分别在、上，连接，若，，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．根据变形得出，易证，再根据相似三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 故答案为：． 34. （2024·广东惠州·二模）如图，四边形是某学校的一块种植实验基地，其中是水果园，是蔬菜园．已知． (1)求证：； (2)若蔬菜园的面积为80，求水果园的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键 （1）由，可得，由，，即，可证． （2）由（1）知，则，即，计算求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴． （2）解：由（1）知， ∴，即， 解得，， 答：水果园的面积为． 35. （2024·广东肇庆·二模）如图，在矩形中，，点在边上，，垂足为． (1)求证：； (2)若，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，矩形的性质； （1）根据矩形的性质得出，根据，即可求解； （2）根据勾股定理求得，进而根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）证明：四边形为矩形， ， ， ， （2）解：在中， 即 解得 36. （2024·广东东莞·三模）如图，在等腰中，．点D是边上的动点，连接，将绕点A旋转至，使点C与点B重合，连结交于点F．作交于点G，连结，交于点H． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定、平行线的判定： （1）根据两直线平行，内错角相等，得到，再根据等边对等角得到，最后根据旋转的性质得到结果； （2）根据等角对等边得到，一组对边平行且相等可得到四边形是平行四边形，即，两直线平行，同位角相等，可得到两个三角形三个角对应相等，则两个三角形相似； 掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， 由旋转的性质得到：， ∴； （2）证明：∵， ∴， 由旋转的性质得到：， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∴． 37. （2024·广东惠州·一模）综合与实践 主题：某数学实践小组以标准对数视力表为例，探索视力表中的数学知识 操作：步骤一：用硬纸板复制视力表中视力为0.1，0.2所对应的“E”，并依次编号为①，②，垂直放在水平桌面上，开口的底部与桌面的接触点为，； 步骤二：如1图所示，将②号“E”沿水平桌面向右移动，直至从观测点O看去，对应顶点，与点O在一条直线上为止． 结论：这时我们说，在处用①号“E”测得的视力与在处用②号“E”测得的视力相同． 探究：（1）①如1图，与之间存在什么关系？请说明理由； ②由标准视力表中的，，可计算出时，___________mm； 运用：（2）如果将视力表中的两个“E”放在如2图所示的平面直角坐标系中，两个“E”字是位似图形，位似中心为点O，①号“E”与②号“E”的相似比为，点P与点Q为一组对应点．若点Q的坐标为，则点P的坐标为___________． 【答案】（1）①相等，见解析；②43.2；（2） 【分析】本题考查了相似三角形的的应用，位似的性质． （1）①根据题意证明，从而得到，即可得到；②把，，，代入即可求解． （2）根据位似比为，代入数据计算即可． 【详解】解：（1）①． 由题意得， ∴， ∴， ， ； ②，，，， ． ． 故答案为：． （2）①号“E”与②号“E”的相似比为，点P与点Q为一组对应点．若点Q的坐标为， 点P的坐标为，即， 故答案为：． 38. （2024·广东深圳·一模）如图，等腰中，，，点为边上一点，于点，延长交于点． (1)求证：； (2)当平分时，求的值； (3)当点为的三等分点时，请直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题关键是熟练运用相似三角形的判定进行推理证明； （1）证明，列出比例证明即可； （2）作交延长线于W，证，再利用三角函数求解即可； （3）作交于P，然后分类讨论，根据相似求出比值即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴； （2）解：作交延长线于W， ∴， ， ∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ， ∴． （3）解：作交于P， 当时， ∴，， ， ， ∴，， ∴， ∴， ∴． 当时， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 综上所述，当点D为的三等分点时，的值为或6． 39. （2024·广东肇庆·二模）如图，已知在矩形中，，点为边上一点（不与点、点重合），将矩形沿折叠，使点落在点处，交于点．    (1)写出图1中一个与相似的三角形； (2)如图2，当与的交点恰好是的中点时，求阴影部分的面积； (3)如图3，当点的对应点落在边的垂直平分线上时，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查相似三角形综合应用，矩形的折叠问题； （1）由，，可得，故，从而； （2）由点是的中点，得，，故，证明，可得，，根据三角形面积公式得阴影部分的面积是； （3）设的中点为，的中点为，直线为矩形的对称轴，当在上时，求出，，设，则，证明，可得，即可解得 【详解】（1）解：四边形是矩形， ， 将矩形沿折叠，使点落在点处，交于点， ， ， ， ， ， 故答案为：或（写出一个即可）； （2）解：点是的中点， ， ， ， ，， ， ，即， ， ， 阴影部分的面积是； （3）解：设的中点为，的中点为，直线为矩形的对称轴，当在上时，如图所示：   ，，， ， ， 设，则， ， ， ， ， ，即， 解得； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11 相似三角形 考点 五年考情（2020-2024） 命题趋势 考点1相似三角形的判定 2024·广州卷：正方形的性质、相似三角形的判定 相似三角形这一部分在中考命题中单独以相似三角形的判定及性质出题较少，多以压轴题型考察，综合型较强，难度系数偏高，常会与三角形、特殊四边形、常见几何变换、解直角三角形、甚至是圆或是函数相结合，故考生复习时，需注重相似在解题时的综合应用，善于利用题目已知条件，寻找或构造相似三角形来解决问题。 考点2 相似三角形的性质 2023·广东卷：正方形的性质、相似三角形的性质 考点3 相似三角形综合运用 2020·广州卷：矩形的性质和相似三角形的判定与性质 2022·深圳卷：等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质 2021·广州卷：正方形的综合问题、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质 2020·广州卷：正方形的性质、旋转的性质、相似三角形的判定及性质 2021·广东卷：三角形全等的判定及性质、三角形相似的判定及性质、正方形的性质 考点1相似三角形的判定 1. （2024·广东广州·中考真题）如图，点，分别在正方形的边，上，，，．求证：． 考点2 相似三角形的性质 2. （2023·广东·中考真题）边长分别为10，6，4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上（如图），则图中阴影部分的面积为 ．    考点3 相似三角形综合运用 3. （2020·广东广州·中考真题）如图，矩形的对角线，交于点，，，过点作，交于点，过点作，垂足为，则的值为（  ） A． B． C． D． 4. （2022·广东深圳·中考真题）已知是直角三角形，连接以为底作直角三角形且是边上的一点，连接和且则长为 ．    5. （2021·广东广州·中考真题）如图，正方形ABCD的边长为4，点E是边BC上一点，且，以点A为圆心，3为半径的圆分别交AB、AD于点F、G，DF与AE交于点H．并与交于点K，连结HG、CH．给出下列四个结论．（1）H是FK的中点；（2）；（3）；（4），其中正确的结论有 （填写所有正确结论的序号）． 6. （2020·广东广州·中考真题）如图，正方形中，绕点逆时针旋转到，，分别交对角线于点，若，则的值为 ． 7. （2021·广东·中考真题）如图，边长为1的正方形中，点E为的中点．连接，将沿折叠得到交于点G，求的长． 8. （2024·广东深圳·三模）如图是小孔成像原理的示意图，蜡烛在暗盒中所成的像的长是，则像到小孔O的距离为（    ） A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm 9. （2024·广东深圳·模拟预测）如图，直线，分别交直线m，n于点A，B，C，D，E，F．若，，则的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．10 10. （2024·广东中山·二模）如图，在小提琴的设计中，蕴含着数学知识，，各部分长度的比满足，这体现了数学中的（ ） A．黄金分割数 B．平移 C．平均数 D．轴对称 11. （2024·广东梅州·一模）如图所示，在中，为中点．为上一点，，和相交于点，则（    ） A． B．2 C．3 D．4 12. （2024·广东东莞·三模）如图，和都是等腰三角形，且，点B，C，D在同一条直线上，和的面积分别为16和25，则图中阴影部分的面积为（    ） A．18 B．20 C． D．22 13. （2024·广东广州·二模）如图，在三角形中，D 、F 是边上的点，E 是 边上的点， ， ，则下列式子中不正确的是（   ） A． B． C． D． 14. （2024·广东佛山·二模）《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆”．度方知圆，感悟数学之美．如图，以面积为1的正方形的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的面积为（    ） A．9 B．6 C．4 D．3 15. （2024·广东深圳·二模）如图，在菱形中，，E是对角线上一点，连接，作交边于点F，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 16. （2024·广东深圳·三模）如图，在等腰中，，，为的中点，为上一点，且，是上两动点，且，则的最小值为（    ） A．8 B． C． D．10 17. （2024·广东深圳·三模）如图，中，，， ，点P是上一动点，于D，于E，在点P的运动过程中，线段的最小值为（　　） A． B． C． D． 18. （2024·广东广州·二模）如图，在矩形中，，，是矩形的对角线，将绕点A逆时针旋转得到，使点E在线段上，交于点G，交于点H，则的值为（    ）． A． B． C． D． 19. （2024·广东·二模）如图，美术素描课堂上有很多关于黄金分割比的元素，比如脸部素描就需要考虑黄金分割比的问题，按照如下要求作出的人脸图像比较美观：（1）眉头、眼头、鼻翼在一条竖直直线上；（2）眉头和眉峰的水平距离（图中直线①和直线②的距离）和眼长大致相等（设此长度为a），眉头和眉尾的水平距离（图中直线①和直线③的距离）设为b，a与b的比例为黄金分割比；（3）眉尾、眼梢、鼻翼在同一直线上．某同学按照以上要求进行素描，已知他的素描作品中眼梢到眉尾的距离为，则眼梢到鼻翼的距离为 ．（，结果保留两位小数） 20. （2024·广东广州·二模）如图，与是位似图形，点O为位似中心，．若的周长为4，则的周长为 ． 21. （2024·广东佛山·三模）如图，平行于的直线把分成面积相等的两部分，则 ． 22. （2024·广东·二模）如图，在矩形中，，，为边上一点，将沿翻折，若点刚好落在边上的点处，则 ． 23. （2024·广东广州·三模）如图，在中，，点D是边上一动点（不与B、C重合），，交线段于点E，且． （1）若，则的长度是 ；（2）线段的取值范围是 ． 24. （2024·广东广州·二模）如图，在矩形中，，，点M在直线上，连接，    （1）当，则 （2）当最大时， 25. （2024·广东惠州·二模）如图，在菱形中，对角线与相交于点O，过点D作于点F，交于点E．已知，，则的长为 ． 26. （2024·广东·三模）如图，在正方形中，，点E，F在边上，G，H分别是，的中点，和交于点M，若，则图中阴影部分的面积为 ． 27. （2024·广东深圳·二模）如图，在等腰直角中，，D为上一点，E为延长线上一点，且，，则 ． 28. （2024·广东深圳·模拟预测）如图，在中，，边的垂直平分线交于点D，交于点E，于点F，连接交于点G．若，，则的长为 ． 29. （2024·广东深圳·二模）如图，在中，是边上的中点，连接，把沿翻折，得到，与交于点，若，，，则的面积是 ． 30. （2024·广东深圳·一模）如图，在中，，点是边的中点，过点作边的垂线，交于点，连接，若，，则 ．    31. （2023·广东深圳·二模）如图，矩形的对角线和交于点，，．将沿着折叠，使点落在点处，连接交于点，交于点，则 ．    32. （2024·广东东莞·一模）如图1是一张折叠型方桌子，图是其侧面结构示意图，支架与交于点，测得，． (1)若，求的长； (2)将桌子放平后，两条桌腿叉开角度，求距离地面的高．结果保留整数参考数值， 33. （2024·广东河源·一模）如图，在中，点D、E分别在、上，连接，若，，，求的长． 34. （2024·广东惠州·二模）如图，四边形是某学校的一块种植实验基地，其中是水果园，是蔬菜园．已知． (1)求证：； (2)若蔬菜园的面积为80，求水果园的面积． 35. （2024·广东肇庆·二模）如图，在矩形中，，点在边上，，垂足为． (1)求证：； (2)若，求线段的长． 36. （2024·广东东莞·三模）如图，在等腰中，．点D是边上的动点，连接，将绕点A旋转至，使点C与点B重合，连结交于点F．作交于点G，连结，交于点H． (1)求证：； (2)求证：． 37. （2024·广东惠州·一模）综合与实践 主题：某数学实践小组以标准对数视力表为例，探索视力表中的数学知识 操作：步骤一：用硬纸板复制视力表中视力为0.1，0.2所对应的“E”，并依次编号为①，②，垂直放在水平桌面上，开口的底部与桌面的接触点为，； 步骤二：如1图所示，将②号“E”沿水平桌面向右移动，直至从观测点O看去，对应顶点，与点O在一条直线上为止． 结论：这时我们说，在处用①号“E”测得的视力与在处用②号“E”测得的视力相同． 探究：（1）①如1图，与之间存在什么关系？请说明理由； ②由标准视力表中的，，可计算出时，___________mm； 运用：（2）如果将视力表中的两个“E”放在如2图所示的平面直角坐标系中，两个“E”字是位似图形，位似中心为点O，①号“E”与②号“E”的相似比为，点P与点Q为一组对应点．若点Q的坐标为，则点P的坐标为___________． 38. （2024·广东深圳·一模）如图，等腰中，，，点为边上一点，于点，延长交于点． (1)求证：； (2)当平分时，求的值； (3)当点为的三等分点时，请直接写出的值． 39. （2024·广东肇庆·二模）如图，已知在矩形中，，点为边上一点（不与点、点重合），将矩形沿折叠，使点落在点处，交于点．    (1)写出图1中一个与相似的三角形； (2)如图2，当与的交点恰好是的中点时，求阴影部分的面积； (3)如图3，当点的对应点落在边的垂直平分线上时，求的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$