专题08三角形及全等三角形（3考点）-【好题汇编】5年（2020-2024）中考1年模拟数学真题分类汇编（广东专用）

专题08 三角形及全等三角形 考点 五年考情（2020-2024） 命题趋势 考点1三角形基础 （5年5考） 2022·广东卷：三角形中位线 2023·广州卷：角平分定理，勾股定理 2021·广州卷：线段垂直平分线的性质，直角三角形30度角的性质 2021·深圳卷：角平分线的性质、直角三角形的性质、垂直平分线的性质 2023·广东卷：勾股定理及其逆定理的应用和等腰三角形的性质 三角形是基础几何图形之一，中考命题点侧重于对基础概念、命题的理解和运用，包括三角形内角和、三角形三边关系、三角形中重要线段、三角形面积、特殊三角形、勾股定理、尺规作图、全等三角形的判定和性质等。中考复习需注重对几何定义、定理的理解与运用。 考点2 三角形与折叠变换 （5年5考） 2023·深圳卷：解直角三角形，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理等知识 2021·深圳卷：折叠的性质，三角形外角的性质，平行线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质 2021·广州卷：轴对称、等腰三角形及平行线的性质、全等三角形的判定与性质 考点3 全等三角形的判定和性质 （5年3考） 2024·广州卷：等腰直角三角形的性质，三角形全等的性质与判定 2023·广州卷：全等三角形的判定与性质 2022·广州卷：三角形全等的判定，等腰三角形的判定 2021·广州卷：全等三角形的判定与性质 2020·广州卷：三角形的内角和定理，全等三角形的判定及性质 2022·广东卷：三角形全等的判定 2020·广东卷：等腰三角形的判定，解题的关键是熟知全等三角形的判定与性质 考点1三角形基础 1. （2022·广东·中考真题）如图，在中，，点D，E分别为，的中点，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】利用中位线的性质：平行三角形的第三边且等于第三边的一半即可求解． 【详解】∵D、E分别为AB、AC的中点， ∴DE为△ABC的中位线， ∴， ∵BC=4， ∴DE=2， 故选：D． 【点睛】本题考查了中位线的判定与性质，掌握中位线的判定与性质是解答本题的关键． 2. （2023·广东广州·中考真题）如图，已知是的角平分线，，分别是和的高，，，则点E到直线的距离为____________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质可得点D到的距离等于点D到的距离的长度，然后根据勾股定理求出，最后根据等面积法求解即可． 【详解】解：∵是的角平分线，，分别是和的高，， ∴， 又， ∴， 设点E到直线的距离为x， ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分定理，勾股定理等知识，掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 3. （2021·广东广州·中考真题）如图，在中，，，线段AB的垂直平分线分别交AC、AB于点D、E，连结BD．若，则AD的长为 ． 【答案】2 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到AD=BD，∠ABD=，求得，即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴∠A+∠ABC=， ∵线段AB的垂直平分线分别交AC、AB于点D、E， ∴AD=BD， ∴∠ABD=， ∴， ∵， ∴AD=BD=2CD=2， 故答案为：2． 【点睛】此题考查线段垂直平分线的性质，直角三角形30度角的性质，熟记线段垂直平分线的性质是解题的关键． 4. （2021·广东深圳·中考真题）如图，已知，是角平分线且，作的垂直平分线交于点F，作，则周长为 ． 【答案】 【分析】知道和是角平分线，就可以求出，的垂直平分线交于点F可以得到AF=FD，在直角三角形中30°所对的边等于斜边的一半，再求出DE，得到． 【详解】解： 的垂直平分线交于点F， （垂直平分线上的点到线段两端点距离相等） ∴ ∵，是角平分线 ∴ ∵ ∴， ∴ 【点睛】此题考查角平分线的性质、直角三角形的性质、垂直平分线的性质的综合题，掌握运用三者的性质是解题的关键． 5. （2023·广东·中考真题）综合与实践 主题：制作无盖正方体形纸盒 素材：一张正方形纸板． 步骤1：如图1，将正方形纸板的边长三等分，画出九个相同的小正方形，并剪去四个角上的小正方形； 步骤2：如图2，把剪好的纸板折成无盖正方体形纸盒． 猜想与证明：    (1)直接写出纸板上与纸盒上的大小关系； (2)证明（1）中你发现的结论． 【答案】(1) (2)证明见解析. 【分析】（1）和均是等腰直角三角形，； （2）证明是等腰直角三角形即可. 【详解】（1）解： （2）证明：连接，    设小正方形边长为1，则，， ， 为等腰直角三角形， ∵， ∴为等腰直角三角形， ， 故 【点睛】此题考查了勾股定理及其逆定理的应用和等腰三角形的性质，熟练掌握其性质是解答此题的关键． 考点2 三角形与折叠变换 6. （2023·广东深圳·中考真题）如图，在中，，，点D为上一动点，连接，将沿翻折得到，交于点G，，且，则 ．    【答案】 【分析】于点M，于点N，则，过点G作于点P，设，根据得出，继而求得，，，再利用，求得，利用勾股定理求得，，故， 【详解】由折叠的性质可知，是的角平分线，，用证明，从而得到，设，则，，利用勾股定理得到即，化简得，从而得出，利用三角形的面积公式得到：． 作于点M，于点N，则， 过点G作于点P，    ∵于点M， ∴， 设，则，， 又∵，， ∴，，， ∵，即， ∴，， 在中，，， 设，则 ∴ ∴， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， ∴， 设，则，， 在中，，即， 化简得：， ∴， ∴ 故答案是：． 【点睛】本题考查解直角三角形，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理等知识，正确作出辅助线并利用勾股定理列出方程是解题的关键． 7. （2021·广东深圳·中考真题）如图，在中，D，E分别为，上的点，将沿折叠，得到，连接，，，若，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】延长，交于点G，由折叠，可知，可得，延长，，交于点M，结合，可得，，进而即可求解． 【详解】解：如图，延长，交于点G， 设 由折叠，可知， ∵， ∴， ∴， 延长，，交于点M， ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴． 【点睛】本题主要考查折叠的性质，三角形外角的性质，平行线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，添加合适的辅助线，构造等腰三角形，是解题的关键． 8. （2021·广东广州·中考真题）如图，在中，，，点D是边AB上一点，点B关于直线CD的对称点为，当时，则的度数为 ． 【答案】 【分析】如图，连接，根据轴对称的性质及全等三角形的判定与性质可得，，并由平行线的性质可推出，最后由等腰三角形的性质及三角形内角和定理即可求得结果． 【详解】解：如图，连接 ∵点B关于直线CD的对称点为， ∴，． ∵， ∴． ∴，． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵． ∴． ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称、等腰三角形及平行线的性质等知识，熟练掌握轴对称、等腰三角形的性质及全等三角形的判定与性质是解题的关键． 考点3 全等三角形的判定和性质 9. （2024·广东广州·中考真题）如图，在中，，，为边的中点，点，分别在边，上，，则四边形的面积为（    ） A．18 B． C．9 D． 【答案】C 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质以及三角形全等的性质与判定，掌握相关的线段与角度的转化是解题关键．连接，根据等腰直角三角形的性质以及得出，将四边形的面积转化为三角形的面积再进行求解． 【详解】解：连接，如图： ∵，，点D是中点， ∴ ∴， ∴ 又∵ ∴ 故选：C 10. （2023·广东广州·中考真题）如图，B是的中点，，.求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据已知条件证得，，然后证明，应用全等三角形的性质得到． 【详解】证明：∵B是的中点， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 11. （2022·广东广州·中考真题）如图，点D，E在△ABC的边BC上，∠B = ∠C，BD = CE，求证：△ABD≌△ACE 【答案】证明见解析 【分析】由等腰三角形的判定得出AC=AB，再利用SAS定理即可得出结论． 【详解】证明：∵∠B=∠C， ∴AC=AB， 在△ABD和△ACE中， ∵AB=AC，∠B=∠C，BD=CE， ∴△ABD≌△ACE（SAS） 【点睛】本题考查三角形全等的判定，等腰三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 12. （2021·广东广州·中考真题）如图，点E、F在线段BC上，，，，证明：． 【答案】见解析 【分析】利用AAS证明△ABE≌△DCF，即可得到结论． 【详解】证明：∵， ∴∠B=∠C， ∵，， ∴△ABE≌△DCF（AAS）， ∴． 【点睛】此题考查全等三角形的判定及性质，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键． 13. （2020·广东广州·中考真题）如图，，，．求的度数． 【答案】75°. 【分析】由三角形的内角和定理求出∠DCA=75°，再证明△ABC≌△ADC，即可得到答案. 【详解】∵,, ∴∠DCA=75°, ∵,,AC=AC， ∴△ABC≌△ADC， ∴∠BCA=∠DCA=75°. 【点睛】此题考查三角形的内角和定理，全等三角形的判定及性质，这是一道比较基础的三角形题. 14. （2022·广东·中考真题）如图，已知，点P在上，，，垂足分别为D，E．求证：． 【答案】见解析 【分析】根据题意，用AAS证明． 【详解】证明：∵， ∴为的角平分线， 又∵点P在上，，， ∴ 又∵（公共边）， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定，利用合适的条件证明三角形全等是本题的关键． 15. （2020·广东·中考真题）如图，在中，点，分别是、边上的点，，，与相交于点，求证：是等腰三角形．    【答案】见解析 【分析】先证明，得到，，进而得到，故可求解． 【详解】证明：在和中 ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴ 即 ∴是等腰三角形． 【点睛】此题主要考查等腰三角形的判定，解题的关键是熟知全等三角形的判定与性质． 16. （2024·广东揭阳·一模）如图，在中，点O是内一点，且点O到三边的距离相等，，则（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形内角和定理的应用．由题意可知点O为的三条角平分线的交点，可得，，根据三角形内角和定理求出，可得的度数，再根据三角形内角和定理求出的度数即可． 【详解】解：∵点O到三边距离相等， ∴点O为的三条角平分线的交点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 17. （2024·广东梅州·模拟预测）如图，在中，为中点，且交于点E，，则的长为（    ） A． B． C．6 D． 【答案】B 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，勾股定理等，熟记线段垂直平分线的性质是解题的关键． 连接，根据三角形内角和定理求出，根据线段垂直平分线的判定与性质求出，根据等腰三角形的性质及三角形外角性质求出，根据三角形内角和定理求出，解直角三角形求出，，再根据线段的和差求解即可． 【详解】解：如图，连接， ，， ， 为中点，且交于点， 垂直平分， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 18. （2024·广东汕头·二模）如图，在等腰三角形中， ，，将绕点C顺时针旋转得到，连接，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、求锐角三角函数值、旋转的性质等知识过点D作交的延长线于点E，过点A作于点F，由旋转的性质可知，由等腰三角形三线合一得到，求出，证明，则即可得到，即可求出. 【详解】解：过点D作交的延长线于点E，过点A作于点F， 由旋转的性质可知，， ∵，， ∴， ∴， ∵, ∴， ∵， ∴， ∵ ∵ ∴， ∴ ∴ ∴， 故选：D 19. （2024·广东深圳·二模）数学活动课上，小亮同学用四根相同的火柴棒，，，在桌面上摆成如图所示的图形，其中点A，C，E在同一直线上，，若，则点B，D到直线的距离之和为（    ） A．5 B． C． D．10 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，点到直线的距离，作于M，于N，由等腰三角形的性质推出，，由余角的性质推出，由证明，得到，，于是得到． 【详解】解：作于M，于N， ∵， ∴， 同理：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴点B，D到直线的距离之和为5． 故选：A． 20. （2024·广东东莞·三模）如图，将以O为中心点的量角器与含角的直角三角板紧靠着放在同一平面内，此时点D，C，B在同一条直线上，且．过点A作量角器圆弧所在圆的切线，切点为E，则点E在量角器上所对应的锐角度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了切线的性质、全等三角形的判定与性质以及垂直平分线的性质．此题难度适中，解题的关键是掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．设半圆的圆心为O，连接，由题意易得是线段的垂直平分线，即可求得，又由是切线，证明，继而求得的度数，则可求得答案． 【详解】解：设半圆的圆心为O，连接， ∵， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是切线， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即点E在量角器上所对应的锐角度数是． 故选：D． 21. （2024·广东深圳·模拟预测）如图，在中，，，点是边上任意一点，连接，将沿着翻折得，且且交于点，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，全等三角形的判定与性质，三角函数，解题的关键是掌握相关的知识．作于点，则，根据三角函数值可设设，则，得到，求出，，，证明，得到，最后根据三角函数即可求解． 【详解】解：如图，作于点，则， ， 设，则， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 22. （2024·广东深圳·模拟预测）如图，三角形中，，点D在上，，点E在的延长线上，且，若，则的长为 ． 【答案】11 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识， 过点A作于点G，交于点H，过点A作于点F，交于点T，过点H作于点K．设，得到，得到，证明，进一步得到，则得到，证明，则，由得到，则，得到，由等积法求出，得到，在中，由勾股定理得到，进一步得到，由勾股定理得到，得到，在中，由勾股定理得到，即可得到答案． 【详解】解：如图，过点A作于点G，交于点H，过点A作于点F，交于点T，过点H作于点K． 设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，则有， 解得，或， ∵， ∴， ∴不符合题意舍去， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，则有， ∴， ∴， ∴， 故答案为：11． 23. （2024·广东广州·二模）如图，在中，，是的平分线，若，，则的面积为 ． 【答案】 【分析】此题考查角平分线的性质定理，等腰三角形三线合一，直角三角形的性质以及勾股定理．直角三角形30度角所对直角边长度是斜边的一半，角平分线上的点到角两边的距离相等，综合运用以上知识是解题的关键． 先过D点作于E，再利用角平分线的性质定理得，然后根据等腰三角形的性质得到，计算得出，得到的长，再由勾股定理得到的长，即可求解． 【详解】解：过D点作于E，如图所示， ， ， 又，是的角平分线，， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ； 故答案为：． 24. （2024·广东广州·二模）如图，在等腰中，，延长边到点D，延长边到点E，连接，若，则 ． 【答案】/100度 【分析】过点作，，易得四边形为平行四边形，进而得到，证明，推出为等边三角形，设，根据等边对等角，表示出，根据，列出方程进行求解即可． 【详解】解：过点作，，连接， 则：四边形为平行四边形， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 设，则：，， ∴， ∴， 解得：， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识点，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形和特殊图形． 25. （2024·广东广州·一模）如图，已知是的角平分线，，分别是和的高，四边形的面积为60，，则中边上的高为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查角平分线性质定理以及三角形面积公式，根据角平分线性质定理得出，证明，得出，由面积公式求出，再根据勾股定理得出，最后再根据面积公式求出中边上的高． 【详解】解：∵是的角平分线，且，分别是和的高， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， 即， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得，， 设中边上的高为，则有：， 解得，， 即中边上的高为， 故答案为：． 26. （2024·广东珠海·一模）如图，将绕点C顺时针旋转，使点B落在边上的点D处，点A落在点E处，与相交于点F，若，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，勾股定理，通过题意构造辅助线是解题的关键． 如图，过点作于点，证明，得到，，再证明，得到，由及旋转可得到，由勾股定理得到，即可求出长． 【详解】解：如图，过点作于点， 由旋转可知：，，， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 27. （2024·广东广州·二模）如图：小文在一个周长为的中，截出了一个周长为的，发现点D刚好落在的垂直平分线上，请问的长是 cm． 【答案】8 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、三角形的周长等知识点，掌握线段垂直平分线的性质成为解题的关键． 根据线段垂直平分线的性质可得，再根据三角形周长公式可得、、即，然后将整体代入即可解答． 【详解】解：∵点D刚好落在的垂直平分线上， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴的周长为， ∴，即， ∴，即 ∴． 故答案为：8． 28. （2024·广东东莞·一模）毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”，是由毕达哥拉斯根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的树形图形．欧几里得在《几何原本》中曾对该图做了深入研究，如图，在中，，分别以的三条边为边向外作正方形，连接BF，CD，过点C作于点M，若，，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，三角形全等的判定定理和性质定理，含30度角直角三角形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 先由已知条件利用的三角形全等的判定定理证出，然后得到，，进而得到，，然后利用勾股定理求出，最后利用三角形面积公式求解即可． 【详解】解：∵四边形和四边形是正方形 ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ， ，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积． 故答案为：． 29. （2024·广东广州·三模）如图，点在直线上，，且，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，由可得，由可得，即可由证明，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】证明：∵点在直线上，， ∴， 即， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 30. （2024·广东河源·一模）如图，在中，，，，试猜想与的位置关系，并说明理由．    【答案】，理由见解析． 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质．证明，推出，可得结论． 【详解】解：结论：， 理由：连接．    在与中， ， ， ， ，即． 31. （2024·广东广州·二模）如图，A、D、B、F在一条直线上，．求证：． 【答案】见详解 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，先根据两直线平行得出内错角相等，再结合线段和的关系得出，即可证明． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴． 32. （2024·广东东莞·一模）如图，在中，，，证明：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，等角对等边，先证明，再根据“”进行证明即可． 【详解】证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴． 33. （2024·广东广州·二模）如图，B、C、E三点在同一直线上，，，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的性质，也考查了三角形内角和定理．根据平行的性质可得,再根据三角形内角和定理可以得到，即可证明，故得证． 【详解】证明：∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴． 34. （2024·广东广州·二模）古人诗云：“草长莺飞二月天，拂堤杨柳醉春烟．儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢．”纸鸢，又称风筝，其制作技艺是我国民间的传统工艺，某班数学兴趣小组根据风筝的形状画出图形（如图所示），已知，，求证：．    【答案】证明见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键．根据，，，利用即可证明，从而得到． 【详解】解： ， ， ． 35. （2024·广东广州·二模）如图，点D在上． 点E在上，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，证明，即可得出结论． 【详解】证明：在和中： ， ∴， ∴． 36. （2024·广东广州·一模）如图， 点在线段上， ，， ． 求证：． 【答案】证明见解析． 【分析】本题考查了平行线的性质和全等三角形的判定与性质知识，根据平行线的性质可得，进而根据证明，再由全等三角形的性质即可求证，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质． 【详解】∵， ∴， 在和中 ∴， ∴． 37. （2024·广东广州·一模）已知：如图，在中，，过点作，垂足为．在射线上截取，过点作，交的延长线于点．求证：． 【答案】见详解 【分析】本题考查全等三角形的判定．根据题意，先得出，再用两角夹边判定即可． 【详解】证明： 在和中 ． 38. （2024·广东湛江·二模）如图，为线段上的一点，都是等边三角形，连接．若，求的长． 【答案】4 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，先证明得到，再由线段之间的关系求出即可得到答案． 【详解】解：都是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ． 39. （2024·广东潮州·一模）如图所示，和都是等腰直角三角形，是的中点，．    (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质 根据，可以得到，又由是的中点,所以，即可证得； 由和可以得到，于是可求得，即可求得答案. 【详解】（1）解：证明：和都是等腰直角三角形，， ． ． 又是的中点， ． ． ． （2）解：，见答图，    ． ， ． ，， ． ． 在中，是的中点， ． 40. （2024·广东阳江·一模）问题情境：在数学探究活动中，老师给出了如图所示的图形及下面三个等式：①，②，③，若以其中两个等式作为已知条件，能否得到余下一个等式成立？ 解决方案：探究与全等． 问题解决： (1)当选择①②作为已知条件时，与全等吗？ _________（填“全等”或“不全等”），依据是_________； (2)当选择_________两个等式作为已知条件时，不能说明，但补充一个条件例如_________也可以证明，请写出过程． 【答案】(1)全等； (2)当选择②③作为已知条件时，不能说明，补充条件，证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定： （1）利用即可证明； （2）当选择①③作为已知条件时，可以利用证明；当选择②③作已知条件时，不能说明，据此根据全等三角形的判定定理补充条件证明即可． 【详解】（1）解：当选择①②作为已知条件时， 在和中， ， ∴， 故答案为：全等；； （2）解；当选择①③作为已知条件时，可以利用证明；当选择②③作为已知条件时，不能说明，补充条件，证明如下： 在和中， ， ∴； 41. （2024·广东惠州·二模）【综合实践】某综合实践小组设计了一个简易发射器，如图1所示，发射杆 始终平分同一平面内两条固定轴所成的， 其中，， 发射中心能沿着发射杆滑动，， 为橡皮筋．       (1)证明： ； (2)当 由图2中的等边变成直角的过程中，求发射中心 向下滑动的距离的长度． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质； （1）本题考查了全等三角形的性质与判定； （2）根据题意得出为直角三角形，进而根据含30度角的直角三角形的性质得出，进而根据即可求解． 【详解】（1）解： 平分， ， ， ， ， ． （2）， ， 为等边三角形， 为直角三角形， 答：发射中心向下滑动的距离是． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 三角形及全等三角形 考点 五年考情（2020-2024） 命题趋势 考点1三角形基础 （5年5考） 2022·广东卷：三角形中位线 2023·广州卷：角平分定理，勾股定理 2021·广州卷：线段垂直平分线的性质，直角三角形30度角的性质 2021·深圳卷：角平分线的性质、直角三角形的性质、垂直平分线的性质 2023·广东卷：勾股定理及其逆定理的应用和等腰三角形的性质 三角形是基础几何图形之一，中考命题点侧重于对基础概念、命题的理解和运用，包括三角形内角和、三角形三边关系、三角形中重要线段、三角形面积、特殊三角形、勾股定理、尺规作图、全等三角形的判定和性质等。中考复习需注重对几何定义、定理的理解与运用。 考点2 三角形与折叠变换 （5年5考） 2023·深圳卷：解直角三角形，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理等知识 2021·深圳卷：折叠的性质，三角形外角的性质，平行线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质 2021·广州卷：轴对称、等腰三角形及平行线的性质、全等三角形的判定与性质 考点3 全等三角形的判定和性质 （5年3考） 2024·广州卷：等腰直角三角形的性质，三角形全等的性质与判定 2023·广州卷：全等三角形的判定与性质 2022·广州卷：三角形全等的判定，等腰三角形的判定 2021·广州卷：全等三角形的判定与性质 2020·广州卷：三角形的内角和定理，全等三角形的判定及性质 2022·广东卷：三角形全等的判定 2020·广东卷：等腰三角形的判定，解题的关键是熟知全等三角形的判定与性质 考点1三角形基础 1. （2022·广东·中考真题）如图，在中，，点D，E分别为，的中点，则（    ） A． B． C．1 D．2 2. （2023·广东广州·中考真题）如图，已知是的角平分线，，分别是和的高，，，则点E到直线的距离为____________． 3. （2021·广东广州·中考真题）如图，在中，，，线段AB的垂直平分线分别交AC、AB于点D、E，连结BD．若，则AD的长为 ． 4. （2021·广东深圳·中考真题）如图，已知，是角平分线且，作的垂直平分线交于点F，作，则周长为 ． 5. （2023·广东·中考真题）综合与实践 主题：制作无盖正方体形纸盒 素材：一张正方形纸板． 步骤1：如图1，将正方形纸板的边长三等分，画出九个相同的小正方形，并剪去四个角上的小正方形； 步骤2：如图2，把剪好的纸板折成无盖正方体形纸盒． 猜想与证明：    (1)直接写出纸板上与纸盒上的大小关系； (2)证明（1）中你发现的结论． 考点2 三角形与折叠变换 6. （2023·广东深圳·中考真题）如图，在中，，，点D为上一动点，连接，将沿翻折得到，交于点G，，且，则 ．    7. （2021·广东深圳·中考真题）如图，在中，D，E分别为，上的点，将沿折叠，得到，连接，，，若，，，则的长为 ． 8. （2021·广东广州·中考真题）如图，在中，，，点D是边AB上一点，点B关于直线CD的对称点为，当时，则的度数为 ． 考点3 全等三角形的判定和性质 9. （2024·广东广州·中考真题）如图，在中，，，为边的中点，点，分别在边，上，，则四边形的面积为（    ） A．18 B． C．9 D． 10. （2023·广东广州·中考真题）如图，B是的中点，，.求证：． 11. （2022·广东广州·中考真题）如图，点D，E在△ABC的边BC上，∠B = ∠C，BD = CE，求证：△ABD≌△ACE 12. （2021·广东广州·中考真题）如图，点E、F在线段BC上，，，，证明：． 13. （2020·广东广州·中考真题）如图，，，．求的度数． 14. （2022·广东·中考真题）如图，已知，点P在上，，，垂足分别为D，E．求证：． 15. （2020·广东·中考真题）如图，在中，点，分别是、边上的点，，，与相交于点，求证：是等腰三角形．    16. （2024·广东揭阳·一模）如图，在中，点O是内一点，且点O到三边的距离相等，，则（　　）    A． B． C． D． 17. （2024·广东梅州·模拟预测）如图，在中，为中点，且交于点E，，则的长为（    ） A． B． C．6 D． 18. （2024·广东汕头·二模）如图，在等腰三角形中， ，，将绕点C顺时针旋转得到，连接，则的值为（   ） A． B． C． D． 19. （2024·广东深圳·二模）数学活动课上，小亮同学用四根相同的火柴棒，，，在桌面上摆成如图所示的图形，其中点A，C，E在同一直线上，，若，则点B，D到直线的距离之和为（    ） A．5 B． C． D．10 20. （2024·广东东莞·三模）如图，将以O为中心点的量角器与含角的直角三角板紧靠着放在同一平面内，此时点D，C，B在同一条直线上，且．过点A作量角器圆弧所在圆的切线，切点为E，则点E在量角器上所对应的锐角度数是（    ） A． B． C． D． 21. （2024·广东深圳·模拟预测）如图，在中，，，点是边上任意一点，连接，将沿着翻折得，且且交于点，则 ． 22. （2024·广东深圳·模拟预测）如图，三角形中，，点D在上，，点E在的延长线上，且，若，则的长为 ． 23. （2024·广东广州·二模）如图，在中，，是的平分线，若，，则的面积为 ． 24. （2024·广东广州·二模）如图，在等腰中，，延长边到点D，延长边到点E，连接，若，则 ． 25. （2024·广东广州·一模）如图，已知是的角平分线，，分别是和的高，四边形的面积为60，，则中边上的高为 ． 26. （2024·广东珠海·一模）如图，将绕点C顺时针旋转，使点B落在边上的点D处，点A落在点E处，与相交于点F，若，，，则的长为 ． 27. （2024·广东广州·二模）如图：小文在一个周长为的中，截出了一个周长为的，发现点D刚好落在的垂直平分线上，请问的长是 cm． 28. （2024·广东东莞·一模）毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”，是由毕达哥拉斯根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的树形图形．欧几里得在《几何原本》中曾对该图做了深入研究，如图，在中，，分别以的三条边为边向外作正方形，连接BF，CD，过点C作于点M，若，，则的面积为 ． 29. （2024·广东广州·三模）如图，点在直线上，，且，求证：． 30. （2024·广东河源·一模）如图，在中，，，，试猜想与的位置关系，并说明理由．    31. （2024·广东广州·二模）如图，A、D、B、F在一条直线上，．求证：． 32. （2024·广东东莞·一模）如图，在中，，，证明：． 33. （2024·广东广州·二模）如图，B、C、E三点在同一直线上，，，．求证：． 34. （2024·广东广州·二模）古人诗云：“草长莺飞二月天，拂堤杨柳醉春烟．儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢．”纸鸢，又称风筝，其制作技艺是我国民间的传统工艺，某班数学兴趣小组根据风筝的形状画出图形（如图所示），已知，，求证：．    35. （2024·广东广州·二模）如图，点D在上． 点E在上，．求证：． 36. （2024·广东广州·一模）如图， 点在线段上， ，， ． 求证：． 37. （2024·广东广州·一模）已知：如图，在中，，过点作，垂足为．在射线上截取，过点作，交的延长线于点．求证：． 38. （2024·广东湛江·二模）如图，为线段上的一点，都是等边三角形，连接．若，求的长． 39. （2024·广东潮州·一模）如图所示，和都是等腰直角三角形，是的中点，．    (1)求证：； (2)求的长． 40. （2024·广东阳江·一模）问题情境：在数学探究活动中，老师给出了如图所示的图形及下面三个等式：①，②，③，若以其中两个等式作为已知条件，能否得到余下一个等式成立？ 解决方案：探究与全等． 问题解决： (1)当选择①②作为已知条件时，与全等吗？ _________（填“全等”或“不全等”），依据是_________； (2) 当选择_________两个等式作为已知条件时，不能说明，但补充一个条件例如_________也可以证明，请写出过程． 41. （2024·广东惠州·二模）【综合实践】某综合实践小组设计了一个简易发射器，如图1所示，发射杆 始终平分同一平面内两条固定轴所成的， 其中，， 发射中心能沿着发射杆滑动，， 为橡皮筋．       (1)证明： ； (2)当 由图2中的等边变成直角的过程中，求发射中心 向下滑动的距离的长度． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$