专题12解直角三角形及应用（4考点）-【好题汇编】5年（2020-2024）中考1年模拟数学真题分类汇编（广东专用）

专题12 解直角三角形及应用 考点 五年考情（2020-2024） 命题趋势 考点1 特殊角三角形函数应用 2023·深圳卷：30°余弦值、坡角问题 2023·广州卷：30°正切值、方位角问题 在中考几何题中，经常会涉及到线段长度的有关计算，我们的处理方法一般是利用勾股定理、相似性质及三角函数关系解直角三角形，近年中考偏向于解决实际问题：仰角俯角问题、方位角问题、坡度坡比问题及其他类型。 考点2 用三角函数值表示线段长 2021·深圳卷：三角形的外角、等腰三角形的性质、解直角三角形 2020·深圳卷：直角三角形的应用-方向角问题 考点3 三角函数在几何计算中的应用 2021·广州卷：角的三角形函数值，掌握三角形函数的概念并利用勾股定理及旋转的性质求 2020·深圳卷：相似三角形、三角函数定义、勾股定理 2021·广东卷：线段垂直平分线的性质、三角函数的定义、勾股定理 考点4 解直角三角形的实际应用 2024·广东卷：矩形的性质、解直角三角形的实际应用 2024·广州卷：解直角三角形的应用—仰俯角问题 2023·广东卷：等腰三角的性质、解直角三角形的应用 2022·广州卷：相似三角形的性质、解直角三角形、近似运算 考点1 特殊角三角形函数应用 1. （2023·广东深圳·中考真题）爬坡时坡角与水平面夹角为，则每爬1m耗能，若某人爬了1000m，该坡角为30°，则他耗能（参考数据：，）（    ）    A．58J B．159J C．1025J D．1732J 【答案】B 【分析】根据特殊角三角函数值计算求解． 【详解】 故选：B． 【点睛】本题考查特殊角三角函数值，掌握特殊角三角函数值是解题的关键． 2. （2023·广东广州·中考真题） 如图，海中有一小岛A，在B点测得小岛A在北偏东30°方向上，渔船从B点出发由西向东航行10到达C点，在C点测得小岛A恰好在正北方向上，此时渔船与小岛A的距离为（ ） A. B. C. 20 D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，此题易得，，再利用三角函数定义计算即可． 【详解】解：连接， 由已知得：， ∴ 在中，（）， 故选：D 考点2 用三角函数值表示线段长 3. （2021·广东深圳·中考真题）如图，在点F处，看建筑物顶端D的仰角为32°，向前走了15米到达点E即米，在点E处看点D的仰角为64°，则的长用三角函数表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据题目条件，利用外角的性质，得出△DEF是等腰三角形，在Rt△DEC中，利用∠DEC的正弦即可表示出CD的长度． 【详解】∵∠F=32°，∠DEC=64°， ∴∠DEF=, ∴, 由题可知，△DCE为直角三角形， 在Rt△DEC中， 即： , ∴, 故选：C 【点睛】本题考查三角形的外角，等腰三角形的性质，解直角三角形的运算，解题关键是利用三角形的外角得出等腰三角形． 4. （2020·广东深圳·中考真题）如图，为了测量一条河流的宽度，一测量员在河岸边相距200米的P、Q两点分别测定对岸一棵树T的位置，T在P的正北方向，且T在Q的北偏西70°方向，则河宽（PT的长）可以表示为（   ） A．200tan70°米 B．米 C．200sin70°米 D． 米 【答案】B 【分析】在直角三角形PQT中，利用PQ的长，以及∠PQT的度数，进而得到∠PTQ的度数，根据三角函数即可求得PT的长． 【详解】解：在Rt△PQT中， ∵∠QPT=90°，∠PQT=90°-70°=20°， ∴∠PTQ=70°， ∴， ∴， 即河宽米， 故选：B． 【点睛】此题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，掌握方向角与正切函数的定义是解题的关键． 考点3 三角函数在几何计算中的应用 5. （2021·广东广州·中考真题）如图，在中，，，，将绕点A逆时针旋转得到，使点落在AB边上，连结，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由勾股定理求出，并利用旋转性质得出，，，则可求得，再根据勾股定理求出，最后由三角形函数的定义即可求得结果． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得：． ∵绕点A逆时针旋转得到， ∴，，． ∴． ∴在中，由勾股定理得． ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了求角的三角形函数值，掌握三角形函数的概念并利用勾股定理及旋转的性质求解是解题的关键． 6. （2020·广东深圳·中考真题）如图，已知四边形ABCD，AC与BD相交于点O，∠ABC=∠DAC=90°，，则= ． 【答案】 【分析】过B点作BE//AD交AC于点E，证明，得到再证明利用设利用三角形的面积公式可得答案． 【详解】解：过B点作BE//AD交AC于点E， BE⊥AD， ， ∴ ∴ 由， ∴ 设 则 故答案为： 7. （2021·广东·中考真题）如图，在中，，作的垂直平分线交于点D，延长至点E，使． （1）若，求的周长； （2）若，求的值． 【答案】（1）1；（2） 【分析】(1)作出BC的垂直平分线，连接BD，由垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等得到DB=DC，由此即可求出△ABD的周长； (2)设，，进而求出，在Rt△ABD中使用勾股定理求得，由此即可求出的值． 【详解】解：(1)如图，连接，设垂直平分线交于点F， ∵为垂直平分线， ∴， ∵， ∴． (2)设，∴， 又∵，∴， 在中，． ∴． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角函数的定义及勾股定理等知识，熟练掌握垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等是解决本题的关键． 考点4 解直角三角形的实际应用 8. （2024·广东·中考真题）中国新能源汽车为全球应对气候变化和绿色低碳转型作出了巨大贡献．为满足新能源汽车的充电需求，某小区增设了充电站，如图是矩形充电站的平面示意图，矩形是其中一个停车位．经测量，，，，，是另一个车位的宽，所有车位的长宽相同，按图示并列划定．    根据以上信息回答下列问题：（结果精确到，参考数据） (1)求的长； (2)该充电站有20个停车位，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了矩形的性质，解直角三角形的实际应用： （1）先由矩形的性质得到，再解得到，接着解直角三角形得到，进而求出，据此可得答案； （2）解得到，解得到，再根据有20个停车位计算出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， 在中，，， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴    （2）解：在中，， 在中，， ∵该充电站有20个停车位， ∴， ∵四边形是矩形， ∴． 9. （2024·广东广州·中考真题）2024年6月2日，嫦娥六号着陆器和上升器组合体（简称为“着上组合体”）成功着陆在月球背面．某校综合实践小组制作了一个“着上组合体”的模拟装置，在一次试验中，如图，该模拟装置在缓速下降阶段从点垂直下降到点，再垂直下降到着陆点，从点测得地面点的俯角为，米，米． (1)求的长； (2)若模拟装置从点以每秒2米的速度匀速下降到点，求模拟装置从点下降到点的时间．（参考数据：，，） 【答案】(1)的长约为8米； (2)模拟装置从点下降到点的时间为秒． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用——仰俯角问题，灵活运用锐角三角函数求边长是解题关键． （1）过点作交于点，根据余弦值求出的长即可； （2）先由勾股定理，求出的长，再利用正弦值求出的长，进而得到的长，然后除以速度，即可求出下降时间． 【详解】（1）解：如图，过点作交于点， 由题意可知，， ， 在中，，米， ， 米， 即的长约为8米； （2）解：米，米， 米， 在中，，米， ， 米， 米， 模拟装置从点以每秒2米的速度匀速下降到点， 模拟装置从点下降到点的时间为秒， 即模拟装置从点下降到点的时间为秒． 10. （2023·广东·中考真题）2023年5月30日，神舟十六号载人飞船发射取得圆满成功，3名航天员顺利进驻中国空间站，如图中的照片展示了中国空间站上机械臂的一种工作状态，当两臂，两臂夹角时，求A，B两点间的距离．(结果精确到，参考数据，，)    【答案】 【分析】连接，作作于D，由等腰三角形“三线合一”性质可知，，，在中利用求出，继而求出即可． 【详解】解：连接，作于D，    ∵，， ∴是边边上的中线，也是的角平分线， ∴，， 在中，，， ∴， ∴ ∴ 答：A，B两点间的距离为． 【点睛】本题考查等腰三角的性质，解直角三角形的应用等知识，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 11. （2022·广东广州·中考真题）某数学活动小组利用太阳光线下物体的影子和标杆测量旗杆的高度．如图，在某一时刻，旗杆的AB的影子为BC，与此同时在C处立一根标杆CD，标杆CD的影子为CE， CD = 1.6m，BC =5CD． (1)求BC的长； (2)从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知， 求旗杆AB的高度． 条件①：CE = 1.0m； 条件②：从D处看旗杆顶部A的仰角为54.46°． 注：如果选择条件①和条件②分别作答，按第一个解答计分．参考数据：sin54.46°≈0.81， cos54.46°≈0.58， tan54.46°≈1.40 ． 【答案】(1)； (2)①；②旗杆AB高度约． 【分析】（1）根据BC =5CD，求解即可； （2）①CE=1.0m时，连接DE，则有△DEC∽△ACB，根据相似的性质求解即可；②当时，作点D到AB的垂线段DF，在Rt△ADF中，，求出，进一步可求出AB=AF+FB≈11.20m+1.6m≈12.8m． 【详解】（1）解：． （2）解：①CE=1.0m时，连接DE，则有△DEC∽△ACB， ∴， ∴， ②当时，作点D到AB的垂线段DF， 则四边形BCDF是矩形，FB=DC=1.6m，FD=BC=8.0m， Rt△ADF中，， ∴． ∴AB=AF+FB≈11.20m+1.6m≈12.8m． ∴旗杆AB高度约12.8m． 【点睛】本题考查相似三角形的性质，解直角三角形，近似运算．解题的关键是掌握相似三角形的性质，解直角三角形． 12. （2024·广东佛山·三模）如图， 网格中的点A、B、C、D都在小正方形顶点上，连接、交于点P，则的正切值是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正切函数，勾股定理，正方形的性质等，连接、，，由平行线的性质得，由勾股定理求出、的长，由正切函数求出的值；掌握正切函数的定义，作出辅助线使得，构建直角三角形求解是解题的关键． 【详解】解：如图，连接、， 由正方形的性质得： ， ，， ， ， ， ， ； 故选：A． 13. （2024·广东深圳·三模）无人机在实际生活中的应用越来越广泛．如图所示，某人利用无人机测量某大楼的高度，无人机在空中点P处，测得地面点A处的俯角为，且点P到点A的距离为米，同时测得楼顶点C处的俯角为．已知点A与大楼的距离为70米（点A，B，C，P在同一平面内），则大楼的高度为（    ） A．51米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，过作，延长交的延长线于，由三角函数得 ，，，即可求解；掌握解直角三角形的解法是解题的关键． 【详解】解：如图，过作，延长交的延长线于， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， (米)， 故选：C． 14. （2024·广东佛山·三模）下表是小亮填写的实践活动报告的部分内容：设树顶到地面的高度米，根据以上条件，可以列出求树高的方程为（    ） 题目 测量树顶到地面的距离 测量目标示意图       相关数据 米，， A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，先表示出，，再根据即可列等式，问题随之得解． 【详解】在中，， 即， 在中，， 即， ∵米，，， ∴， 即：， 则有：， 故选：B． 15. （2024·广东河源·二模）我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形面积为136，小正方形面积为16，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正方形性质，锐角三角函数，勾股定理．根据题意先求得大正方形边长的平方为136，再求得小正方形边长为4，再利用三角函数正切值等于该角的对边与邻边的比值即可得到本题答案． 【详解】解：∵大正方形面积为136，小正方形面积为16， ∴大正方形边长的平方为136，小正方形边长为4， ∴设一个直角三角形短直角边为x，则长直角边为， ∴在一个直角三角形中应用勾股定理：， 解得或（舍去） ∴长直角长为10，短直角边长为6， ∴， 故选：A． 16. （2024·广东深圳·三模）如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是米的旗杆，从办公楼顶端测得旗杆顶端的俯角是，旗杆底端到大楼前梯坎底边的距离是米，梯坎坡长是米，梯坎坡度，则大楼的高度约为（  ）（精确到米，参考数据：，，） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，仰角俯角问题，过点作于，则，，米，，由梯坎坡度可得，解直角三角形可得米，米，进而得米，米，即得米，据此即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点作于，则，，米， ∴， 在中，∵梯坎坡度， ∴， ∴， ∴米，米， ∴米，米， ∴米， ∴米， 故选：． 17. （2024·广东深圳·模拟预测）如图是跳台滑雪比赛的某段赛道的示意图，某运动员从离水平地面高的A点出发（），沿俯角为的方向先滑行一定距离到达D点，然后再沿俯角为的方向滑行到地面的C处．若，则该运动员滑行的水平距离为（    ）米？ A．120 B． C．140 D． 【答案】B 【分析】过点D作于点E，于点F，证明四边形是矩形，再计算，，结合，结合，解答即可． 本题考查了俯角的计算，构造辅助线，选择适当的三角函数是解题的关键． 【详解】过点D作于点E，于点F， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选B． 18. （2024·广东广州·三模）如图，，分别表示的是一个湖泊的南、北两端和正东方向的两个村庄，村庄位于村庄的北偏东方向上．若，则该湖泊南北两端的距离为 （结果保留根号）．    【答案】 【分析】此题考查了解直角三角形的应用——方向角问题，矩形的判定与性质，过作于，根据题意及三角函数可求得的长，从而得到的长，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形，再运用三角函数定义求解． 【详解】如图，过作于，    ∴四边形是矩形， ∴， 在中，，， 则， ∴， 故答案为：． 19. （2024·广东广州·三模）如图，中，，，点P为边上一点，则线段长的范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查解直角三角形、勾股定理和等腰三角形的性质，过点A作交于点D，则有，，求得和，过点B作交于点E，利用余弦求得，利用勾股定理求得,结合线段长最短为点B到的距离，最长为即可得到答案． 【详解】解：过点A作交于点D，如图， ∵，， ∴，，， ∴，， 过点B作交于点E， 则，解得， 在中， ∵线段长最短为点B到的距离，最长为， ∴， 故答案为：． 20. （2024·广东东莞·模拟预测）某校“数学”小组的同学想要测量校园内文化长廊（如图1）的最高点到地面的高度．如图2是其测量示意图，点A，B，C，D，E在同一竖直平面内，垂直平分，垂足为F，垂直平分，与交于点G．经测量，可知，，，，则文化长廊的最高点到地面的高度约为 m．（结果保留一位小数．参考数据：，，，） 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、矩形的判定与性质、线段垂直平分线的性质，过点作于点，证明四边形为矩形，得出，，求出，得到，求出，再解直角三角形得出的长，再由计算即可得出答案． 【详解】解：过点作于点，如解图所示． ∵垂直平分，垂足为，垂直平分，与交于点．， ∴，， ∴四边形为矩形， ∴，． ∴． ∵ ∴． ∴是等腰直角三角形 ∴． ∵， ∴． 在中，， ∴． ∴． 即文化长廊的最高点离地面的高度约为． 故答案为． 21. （2024·广东·三模）人民公园是当地人民喜欢的休闲景区之一，里面的秋千深受孩子们的喜爱．如图所示，秋千静止时，秋千链子与支柱重合，秋千链子，将座板推至点处，此时秋千链子与支柱夹角为，松开后座板摆动至点处，此时秋千链子与支柱夹角为，则座板从点处摆动至点处的水平距离为 ．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题关键．分别过点，作的垂线，垂足分别为，，利用三角函数分别求得的长度，即可求得答案． 【详解】解：如图，分别过点，作的垂线，垂足分别为，， 由题意，得，，， ∴，， ∴座板从处摆动至处的水平距离为． 故答案为：． 22. （2024·广东河源·二模）如图，均为等边三角形，点O、A、B、C在同一条直线上，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，解直角三角形，过点B作于H，先求出，再由等边三角形的性质得到，解直角三角形得到，则，证明，则，可得；同理可得，则． 【详解】解：如图所示，过点B作于H， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴； ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴； 同理可得， ∴， 故答案为：． 23. （2024·广东广州·二模）某校数学实践小组利用所学数学知识测量某塔的高度．下面是两个方案及测量数据： 方案一：借助太阳光线，测量：标杆长，影长，塔影长． 方案二：测量：距离，仰角，仰角． 请你选择一个方案，求出塔的高度．（参考数据：，，，，，） 【答案】塔的高度为52米 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用和解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握三角形函数定义和相似三角形的判定方法． 按照方案一，证明，得出，代入数据求出结果即可； 按照方案二，根据三角函数定义得出，，根据，得出，求出即可． 【详解】（方案一）解：如图， 由题意可知，， ， ， ， 即， 解得， 答：塔的高度为52米； （方案二）解：如图， 在中，， ， 在中，， ， ， ， 即． 米 答：塔的高度为52.5米． 24. （2024·广东河源·一模）无人机在实际生活中的应用越来越广泛．如图所示，某人利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中点处，测得点距地面上点米，同时测得点距楼顶点米，点A处的俯角为，楼顶点处的俯角为．求大楼的高度（结果保留根号）． 【答案】米 【分析】本题主要考查矩形的判定及性质和锐角三角函数，过点作于点，过点作于点，证明四边形是矩形，得到，利用锐角三角函数得到，的数值，即可求得答案． 【详解】如图所示： 过点作于点，过点作于点． ∵， ∴四边形是矩形． ∴． ∵米，米，，， ∴米，米 ． ∴米． 25. （2024·广东东莞·三模）【综合与实践】 要测量学校旗杆的高度，三个数学研究小组设计了不同的方案，测量方案与数据如表： 课题 测量学校旗杆的高度 测量工具 测量角度的仪器，皮尺，小镜子，直角三角形纸板等 测量小组 第一小组 第二小组 第三小组 测量方案示意图                                                    说明 利用镜子反射测量旗杆的高度，点O为镜子，眼睛B看到镜子中的旗杆顶端C． 先测量观测台的高，再在观测点E处测得旗杆顶端C点的仰角，旗杆底端D点的俯角．（其中于F） 利用直角三角形纸板的直角边保持水平，并且边与点M在同一直线上，直角三角板的斜边与旗杆顶端C在同一直线上． 测量数据 ，． ，，． ，，． (1)根据测量数据，无法计算学校旗杆的高度的小组有第________小组和第_______小组； (2)请选择其中一个可计算的方案及运用其数据求学校旗杆的高度． 【答案】(1)一；三 (2)选择方案二，旗杆的高度为 【分析】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，相似三角形的应用，解决本题的关键是熟练掌握仰角俯角定义． （1）根据相似三角形的性质和解直角三角形的知识，可作出判断； （2）对方案二，先求出，进而求出，即可求出． 【详解】（1）解：第一，第三小组的数据无法算出大楼高度， 理由：第一小组是利用进行计算的，即利用求，但只测量了，，没有测量长度，所以第一小组的数据无法算出大楼高度， 第三小组利用进行计算的，即利用求，再加，但只测量了，，．没有测量线段或的长度，所以第三小组的数据无法算出大楼高度， 故答案为：一，三； （2）解：选择第二小组的方案， 在中，，，， ∴， 在中，，， ， ∴， 答：学校旗杆的高度为． 26. （2024·广东惠州·三模）在学习《解直角三角形》一章时，小明同学对互为倍数的两个锐角正切三角比产生了浓厚的兴趣，进行了一些研究． (1)初步尝试：我们知道： ， 发现结论： ； （选填“”或“”） (2)实践探究： 如图1， 在中，，，，求的值：小明想构造包含 的直角三角形： 延长至点，使得，连接，所以得到，即转化为求的正切值．请按小明的思路求解 ． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了三角函数，勾股定理，等腰三角形的性质，三角形外角性质，正确作出辅助线是解题的关键． （）根据特殊角的三角函数值即可求解； （）利用勾股定理求出，延长至，使得，连接，如图所示，可得，，进而得，，根据即可求解． 【详解】（1）解：， 又∵， ∴， 即有， 故答案为：，； （2）解：在中，，，， ∴， 延长至，使得，连接，如图所示， ∴，， ∴，， ∴． 27. （2024·广东佛山·三模）如图，为测量佛山电视塔的高度，某兴趣小组在电视塔附近一建筑物楼顶D处测得塔尖处的仰角为，塔底B处的俯角为，若建筑物的高为68米，求电视塔的高度．（结果精确到1米， ）    【答案】238米 【分析】此题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，过点D作于点E，根据题意可得四边形是矩形，根据矩形的性质得到，再根据锐角三角函数可得的长，进而可得的值． 【详解】解：如图，过点D作于点E，    根据题意可得四边形是矩形， ， 在中，， ， 在中，， ， ， 即电视塔的高度约为238米． 28. （2024·广东佛山·三模）综合与实践 泉州开元寺的东西石塔是泉州古城的标志性建筑之一，是中国古代石构建筑瑰宝．在五一假期，某“综合与实践”小组相约到开元寺开展测量石塔高度的实践活动，他们选择测量东塔镇国塔的高度，并制订了测量方案，在镇国塔底部所在的平地前，选取两个不同测点，分别测量了该塔顶端的伸角以及这两个测点之间的距离．为了减小测量误差，小组在测量仰角的度数以及两个测点之间的距离时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果，测量数据如下表（不完整）． 课题 测量镇国塔的高度 测量工具 测量角度的仪器，皮尺等 测量示意图 说明：线段GH表示镇国塔，测量角度的仪器的高度，测点A，B与点H在同一条水平直线上，点A，B之间的距离可以直接测得，且点G，H，A，B，C，D都在同一竖直平面内．点C，D，E在同一条直线上，点E在GH上 测量数据 测量项目 第一次 第二次 平均值 的度数 的度数 点A，B之间的距离 任务一：两次测量点A，B之间的距离的平均值是________m． 任务二：根据以上测量结果，请你帮助该“综合与实践”小组求出镇国塔的高度．（参考数据：，，，，，） 【答案】任务一：15；任务二：镇国塔的高度． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题等知识，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 任务一：由两次测量结果直接求平均值即可； 任务二：设，解直角三角形即可得到结论． 【详解】解：任务一：， 两次测量、之间距离的平均值是， 故答案为：15； 任务二：由题意得：，，， 设，则， 在中，， ， 在中，， ， ， 解得：， ， ， 答：镇国塔的高度． 29. （2024·广东汕头·三模）甲、乙两人去登山，甲从小山西边山脚处出发，已知西面山坡的坡角为．同时，乙从东边山脚处出发，东面山坡的坡度，坡面米．求甲、乙两人出发时的水平距离． 【答案】米 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用−坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 过点A作，设，则，利用勾股定理可得、，再根据坡度角计算出，最后根据线段的和差即可解得． 【详解】解：如图:过点A作， 由题意得：， 设，则， ，解得：， ，， ， ，解得：， 米． 答：甲、乙两人出发时的水平距离米． 30. （2024·广东佛山·二模）综合与实践 素材一：某款遮阳棚（图1），图2、图3是它的侧面示意图，点为墙壁上的固定点，摇臂绕点旋转过程中长度保持不变，遮阳棚可自由伸缩，棚面始终保持平整．米．    素材二：该地区某天不同时刻太阳光线与地面的夹角的正切值： 时刻（时） 12 13 14 15 角的正切值 5 2.5 1.25 1 【问题解决】 (1)如图2，当时，这天12时在点位置摆放的绿萝刚好不被阳光照射到，求绿萝摆放位置与墙壁的距离； (2)如图3，旋转摇臂，使得点离墙壁距离为1.2米，为使绿萝在这天12时时都不被阳光照射到，则绿萝摆放位置与墙壁的最远距离是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、解直角三角形的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）过作于，则四边形是正方形，得出，解直角三角形得出，再由计算即可得解； （2）过作于，过作于，则四边形为矩形，得出，求出，解直角三角形得出，再由计算即可得解． 【详解】（1）解：如图1，过作于，   ， 则， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， 在中，，即， ， ， 答：绿萝摆放位置与墙壁的距离为． （2）解：过作于，过作于，   ， 则， 四边形为矩形， ， ， ， 由表格可知，在12时时，角的正切值逐渐减小，即逐渐较小， 当14时，点最靠近墙角，此时DE的长度就是绿萝摆放位置与墙壁的最大距离， 在中，， 即， ， ， 答：绿萝摆放位置与墙壁的最大距离为． 31. （2024·广东东莞·三模）如图1，是一电动门，当它水平下落时，可以抽象成如图2所示的矩形ABCD，其中，，此时它与出入口OM等宽，与地面的距离；当它抬起时，变为平行四边形，如图3所示，此时，与水平方向的夹角为． (1)求图3中点到地面的距离； (2)在电动门抬起的过程中，求点C所经过的路径长； (3)图4中，一辆宽，高的汽车从该入口进入时，汽车需要与BC保持的安全距离，此时，汽车能否安全通过﹖若能，请通过计算说明；若不能，请说明理由． （参考数据：，，所有结果精确到） 【答案】(1)点到地面的距离约为 (2)点C所经过的路径约为 (3)汽车能安全通过，理由见解析 【分析】本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造直角三角形解决问题． （1）过点作于点，交于点，根据解直角三角形、锐角三角函数进行解答即可． （2）根据弧长公式解答即可； （3）根据解直角三角形、锐角三角函数进行解答即可． 【详解】（1）解：如图1，过点作于点N，交AB于点E， 依题意得：，，， 在中， 答：点到地面的距离约为； （2）解：点是点C绕点D旋转得到的， 点C经过的路径长为． 答：点C所经过的路径约为． （3）汽车能安全通过． 解：在OM上取，，作于点F，交AB于点H，交于点G， 即汽车与BC保持安全距离，汽车的宽， ， 依题意得：，，四边形AOFH是矩形， ，， 在中， 汽车高度为，， 汽车能安全通过 32. （2024·广东阳江·二模）阳江市北山石塔，如图1，建于南宋宝佑年间（1253-1258年），是阁楼花岗岩结构，为广东省内唯一无灰砌石塔．某数学兴趣小组用无人机测量北山石塔的高度，测量方案为：如图2，先将无人机垂直上升至距离石塔底端水平面的点，测得北山石塔顶端的俯角为；再将无人机沿北山石塔的方向水平飞行到达点，测得北山石塔底端的俯角为，求北山石塔的高度．（结果精确到；参考数据：，，） 【答案】北山石塔的高度约为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题．延长交于点，根据题意可得：，，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：延长交于点， 由题意得：，，， 在中，， ， ， 在中，， ， ， 北山石塔的高度约为． 33. （2024·广东深圳·三模）钓鱼伞设计：户外钓鱼是一项独特的休闲娱乐活动，已经吸引了越来越多的人． 图解：图1是某钓鱼俱乐部设计了一款新型钓伞，伞面可近似看成弧线．图2是其侧面示意图．已知遮阳伞由伞面弧、支架和支架组成，D为两个支架的连接点，其中支架垂直于且可在D处任意旋转，C为中点，支架垂直于地面且可以适当调整长度．传统的钓伞在连接点D处需要手动旋转支架，使弦与光线垂直以达到最大遮阳目的．新型遮阳伞在D处设置了光线传感器，自动旋转支架以保持始终与光线垂直．图3-5为在不同太阳高度下的情况，其中为光线方向，为在地面形成的影子．仅考虑光线由右上到左下的情况． 定义变量：设米，米，米，太阳高度角定义为光线与地面夹角（为锐角）． 问题一：如图4，若，当伞面端点的影子刚好与点重合时，求影子的长度． 问题二：根据图3-图5，为了最大程度利用遮阳伞，假设钓鱼人坐在点，面朝阳光方向，设的距离为米，请利用相关变量表示． 问题三：在图5中，该俱乐部的某场钓鱼比赛定在上午九点，此时太阳光线与地面夹角为，俱乐部选择，型号的钓伞．假设点刚好在岸边，座椅在处，为了满足最大舒适性，选手距离岸边距离（在点左侧）不超过米，且为了满足视野不影响比赛，要求点离地面的垂直距离不小于米，根据此要求，该俱乐部应如何设置的高度以满足比赛，求的取值范围．（精确到0.1米，参考数据：） 【答案】问题一：影长米；问题二：；问题三： 【分析】问题一：过点D作，交于点F，过点N作，交于点H，则可得四边形为矩形，则有；在中，由勾股定理求得，则可求得的值，在在中，利用正弦函数关系则可求得； 问题二：延长交于点，由平行线分线段成比例定理得G点是中点；及中，利用三角函数分别求出，分点N在点E右侧、点N在点E左侧、点N与点E重合三种情况，即可求解； 问题三：过点F作，交于P，过点B作交延长线于Q，交延长线于R，利用解直角三角形知识分别求出，由，即可求得h的范围． 【详解】问题一 解：当点E和点N重合时，过点D作，交于点F，过点N作，交于点H， ， ， 四边形为矩形，米， ， ， 由题可知，米，米， 在中，由勾股定理得米， 则， 在中，， 解得米，即影长为米， 问题二 解： 延长交于点， ， ，即， 中，，则， ， 在中，， ，则， 当点N在点E右侧时，， 则， 当点N在点E左侧时，， 则， 当点N与点E重合时，，即， 综上所述，； 问题三 解：过点F作，交于P，过点B作交延长线于Q，交延长线于R， 当时，都为等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， 由题可知：， ， 当时，解得： ， 即． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的判定，构造适当辅助线得到直角三角形是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12 解直角三角形及应用 考点 五年考情（2020-2024） 命题趋势 考点1 特殊角三角形函数应用 2023·深圳卷：30°余弦值、坡角问题 2023·广州卷：30°正切值、方位角问题 在中考几何题中，经常会涉及到线段长度的有关计算，我们的处理方法一般是利用勾股定理、相似性质及三角函数关系解直角三角形，近年中考偏向于解决实际问题：仰角俯角问题、方位角问题、坡度坡比问题及其他类型。 考点2 用三角函数值表示线段长 2021·深圳卷：三角形的外角、等腰三角形的性质、解直角三角形 2020·深圳卷：直角三角形的应用-方向角问题 考点3 三角函数在几何计算中的应用 2021·广州卷：角的三角形函数值，掌握三角形函数的概念并利用勾股定理及旋转的性质求 2020·深圳卷：相似三角形、三角函数定义、勾股定理 2021·广东卷：线段垂直平分线的性质、三角函数的定义、勾股定理 考点4 解直角三角形的实际应用 2024·广东卷：矩形的性质、解直角三角形的实际应用 2024·广州卷：解直角三角形的应用—仰俯角问题 2023·广东卷：等腰三角的性质、解直角三角形的应用 2022·广州卷：相似三角形的性质、解直角三角形、近似运算 考点1 特殊角三角形函数应用 1. （2023·广东深圳·中考真题）爬坡时坡角与水平面夹角为，则每爬1m耗能，若某人爬了1000m，该坡角为30°，则他耗能（参考数据：，）（    ）    A．58J B．159J C．1025J D．1732J 2. （2023·广东广州·中考真题） 如图，海中有一小岛A，在B点测得小岛A在北偏东30°方向上，渔船从B点出发由西向东航行10到达C点，在C点测得小岛A恰好在正北方向上，此时渔船与小岛A的距离为（ ） A. B. C. 20 D. 考点2 用三角函数值表示线段长 3. （2021·广东深圳·中考真题）如图，在点F处，看建筑物顶端D的仰角为32°，向前走了15米到达点E即米，在点E处看点D的仰角为64°，则的长用三角函数表示为（    ） A． B． C． D． 4. （2020·广东深圳·中考真题）如图，为了测量一条河流的宽度，一测量员在河岸边相距200米的P、Q两点分别测定对岸一棵树T的位置，T在P的正北方向，且T在Q的北偏西70°方向，则河宽（PT的长）可以表示为（   ） A．200tan70°米 B．米 C．200sin70°米 D． 米 考点3 三角函数在几何计算中的应用 5. （2021·广东广州·中考真题）如图，在中，，，，将绕点A逆时针旋转得到，使点落在AB边上，连结，则的值为（    ） A． B． C． D． 6. （2020·广东深圳·中考真题）如图，已知四边形ABCD，AC与BD相交于点O，∠ABC=∠DAC=90°，，则= ． 7. （2021·广东·中考真题）如图，在中，，作的垂直平分线交于点D，延长至点E，使． （1）若，求的周长； （2）若，求的值． 考点4 解直角三角形的实际应用 8. （2024·广东·中考真题）中国新能源汽车为全球应对气候变化和绿色低碳转型作出了巨大贡献．为满足新能源汽车的充电需求，某小区增设了充电站，如图是矩形充电站的平面示意图，矩形是其中一个停车位．经测量，，，，，是另一个车位的宽，所有车位的长宽相同，按图示并列划定．    根据以上信息回答下列问题：（结果精确到，参考数据） (1)求的长； (2)该充电站有20个停车位，求的长． 9. （2024·广东广州·中考真题）2024年6月2日，嫦娥六号着陆器和上升器组合体（简称为“着上组合体”）成功着陆在月球背面．某校综合实践小组制作了一个“着上组合体”的模拟装置，在一次试验中，如图，该模拟装置在缓速下降阶段从点垂直下降到点，再垂直下降到着陆点，从点测得地面点的俯角为，米，米． (1)求的长； (2)若模拟装置从点以每秒2米的速度匀速下降到点，求模拟装置从点下降到点的时间．（参考数据：，，） 10. （2023·广东·中考真题）2023年5月30日，神舟十六号载人飞船发射取得圆满成功，3名航天员顺利进驻中国空间站，如图中的照片展示了中国空间站上机械臂的一种工作状态，当两臂，两臂夹角时，求A，B两点间的距离．(结果精确到，参考数据，，)    11. （2022·广东广州·中考真题）某数学活动小组利用太阳光线下物体的影子和标杆测量旗杆的高度．如图，在某一时刻，旗杆的AB的影子为BC，与此同时在C处立一根标杆CD，标杆CD的影子为CE， CD = 1.6m，BC =5CD． (1)求BC的长； (2)从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知， 求旗杆AB的高度． 条件①：CE = 1.0m； 条件②：从D处看旗杆顶部A的仰角为54.46°． 注：如果选择条件①和条件②分别作答，按第一个解答计分．参考数据：sin54.46°≈0.81， cos54.46°≈0.58， tan54.46°≈1.40 ． 12. （2024·广东佛山·三模）如图， 网格中的点A、B、C、D都在小正方形顶点上，连接、交于点P，则的正切值是（    ） A．2 B． C． D． 13. （2024·广东深圳·三模）无人机在实际生活中的应用越来越广泛．如图所示，某人利用无人机测量某大楼的高度，无人机在空中点P处，测得地面点A处的俯角为，且点P到点A的距离为米，同时测得楼顶点C处的俯角为．已知点A与大楼的距离为70米（点A，B，C，P在同一平面内），则大楼的高度为（    ） A．51米 B．米 C．米 D．米 14. （2024·广东佛山·三模）下表是小亮填写的实践活动报告的部分内容：设树顶到地面的高度米，根据以上条件，可以列出求树高的方程为（    ） 题目 测量树顶到地面的距离 测量目标示意图       相关数据 米，， A． B． C． D． 15. （2024·广东河源·二模）我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形面积为136，小正方形面积为16，则的值为（    ） A． B． C． D． 16. （2024·广东深圳·三模）如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是米的旗杆，从办公楼顶端测得旗杆顶端的俯角是，旗杆底端到大楼前梯坎底边的距离是米，梯坎坡长是米，梯坎坡度，则大楼的高度约为（  ）（精确到米，参考数据：，，） A． B． C． D． 17. （2024·广东深圳·模拟预测）如图是跳台滑雪比赛的某段赛道的示意图，某运动员从离水平地面高的A点出发（），沿俯角为的方向先滑行一定距离到达D点，然后再沿俯角为的方向滑行到地面的C处．若，则该运动员滑行的水平距离为（    ）米？ A．120 B． C．140 D． 18. （2024·广东广州·三模）如图，，分别表示的是一个湖泊的南、北两端和正东方向的两个村庄，村庄位于村庄的北偏东方向上．若，则该湖泊南北两端的距离为 （结果保留根号）．    19. （2024·广东广州·三模）如图，中，，，点P为边上一点，则线段长的范围是 ． 20. （2024·广东东莞·模拟预测）某校“数学”小组的同学想要测量校园内文化长廊（如图1）的最高点到地面的高度．如图2是其测量示意图，点A，B，C，D，E在同一竖直平面内，垂直平分，垂足为F，垂直平分，与交于点G．经测量，可知，，，，则文化长廊的最高点到地面的高度约为 m．（结果保留一位小数．参考数据：，，，） 21. （2024·广东·三模）人民公园是当地人民喜欢的休闲景区之一，里面的秋千深受孩子们的喜爱．如图所示，秋千静止时，秋千链子与支柱重合，秋千链子，将座板推至点处，此时秋千链子与支柱夹角为，松开后座板摆动至点处，此时秋千链子与支柱夹角为，则座板从点处摆动至点处的水平距离为 ．（结果保留根号） 22. （2024·广东河源·二模）如图，均为等边三角形，点O、A、B、C在同一条直线上，，则的值为 ． 23. （2024·广东广州·二模）某校数学实践小组利用所学数学知识测量某塔的高度．下面是两个方案及测量数据： 方案一：借助太阳光线，测量：标杆长，影长，塔影长． 方案二：测量：距离，仰角，仰角． 请你选择一个方案，求出塔的高度．（参考数据：，，，，，） 24. （2024·广东河源·一模）无人机在实际生活中的应用越来越广泛．如图所示，某人利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中点处，测得点距地面上点米，同时测得点距楼顶点米，点A处的俯角为，楼顶点处的俯角为．求大楼的高度（结果保留根号）． 25. （2024·广东东莞·三模）【综合与实践】 要测量学校旗杆的高度，三个数学研究小组设计了不同的方案，测量方案与数据如表： 课题 测量学校旗杆的高度 测量工具 测量角度的仪器，皮尺，小镜子，直角三角形纸板等 测量小组 第一小组 第二小组 第三小组 测量方案示意图                                                    说明 利用镜子反射测量旗杆的高度，点O为镜子，眼睛B看到镜子中的旗杆顶端C． 先测量观测台的高，再在观测点E处测得旗杆顶端C点的仰角，旗杆底端D点的俯角．（其中于F） 利用直角三角形纸板的直角边保持水平，并且边与点M在同一直线上，直角三角板的斜边与旗杆顶端C在同一直线上． 测量数据 ，． ，，． ，，． (1)根据测量数据，无法计算学校旗杆的高度的小组有第________小组和第_______小组； (2)请选择其中一个可计算的方案及运用其数据求学校旗杆的高度． 26. （2024·广东惠州·三模）在学习《解直角三角形》一章时，小明同学对互为倍数的两个锐角正切三角比产生了浓厚的兴趣，进行了一些研究． (1)初步尝试：我们知道： ， 发现结论： ； （选填“”或“”） (2)实践探究： 如图1， 在中，，，，求的值：小明想构造包含 的直角三角形： 延长至点，使得，连接，所以得到，即转化为求的正切值．请按小明的思路求解 ． 27. （2024·广东佛山·三模）如图，为测量佛山电视塔的高度，某兴趣小组在电视塔附近一建筑物楼顶D处测得塔尖处的仰角为，塔底B处的俯角为，若建筑物的高为68米，求电视塔的高度．（结果精确到1米， ）    28. （2024·广东佛山·三模）综合与实践 泉州开元寺的东西石塔是泉州古城的标志性建筑之一，是中国古代石构建筑瑰宝．在五一假期，某“综合与实践”小组相约到开元寺开展测量石塔高度的实践活动，他们选择测量东塔镇国塔的高度，并制订了测量方案，在镇国塔底部所在的平地前，选取两个不同测点，分别测量了该塔顶端的伸角以及这两个测点之间的距离．为了减小测量误差，小组在测量仰角的度数以及两个测点之间的距离时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果，测量数据如下表（不完整）． 课题 测量镇国塔的高度 测量工具 测量角度的仪器，皮尺等 测量示意图 说明：线段GH表示镇国塔，测量角度的仪器的高度，测点A，B与点H在同一条水平直线上，点A，B之间的距离可以直接测得，且点G，H，A，B，C，D都在同一竖直平面内．点C，D，E在同一条直线上，点E在GH上 测量数据 测量项目 第一次 第二次 平均值 的度数 的度数 点A，B之间的距离 任务一：两次测量点A，B之间的距离的平均值是________m． 任务二：根据以上测量结果，请你帮助该“综合与实践”小组求出镇国塔的高度．（参考数据：，，，，，） 29. （2024·广东汕头·三模）甲、乙两人去登山，甲从小山西边山脚处出发，已知西面山坡的坡角为．同时，乙从东边山脚处出发，东面山坡的坡度，坡面米．求甲、乙两人出发时的水平距离． 30. （2024·广东佛山·二模）综合与实践 素材一：某款遮阳棚（图1），图2、图3是它的侧面示意图，点为墙壁上的固定点，摇臂绕点旋转过程中长度保持不变，遮阳棚可自由伸缩，棚面始终保持平整．米．    素材二：该地区某天不同时刻太阳光线与地面的夹角的正切值： 时刻（时） 12 13 14 15 角的正切值 5 2.5 1.25 1 【问题解决】 (1)如图2，当时，这天12时在点位置摆放的绿萝刚好不被阳光照射到，求绿萝摆放位置与墙壁的距离； (2)如图3，旋转摇臂，使得点离墙壁距离为1.2米，为使绿萝在这天12时时都不被阳光照射到，则绿萝摆放位置与墙壁的最远距离是多少？ 31. （2024·广东东莞·三模）如图1，是一电动门，当它水平下落时，可以抽象成如图2所示的矩形ABCD，其中，，此时它与出入口OM等宽，与地面的距离；当它抬起时，变为平行四边形，如图3所示，此时，与水平方向的夹角为． (1)求图3中点到地面的距离； (2)在电动门抬起的过程中，求点C所经过的路径长； (3)图4中，一辆宽，高的汽车从该入口进入时，汽车需要与BC保持的安全距离，此时，汽车能否安全通过﹖若能，请通过计算说明；若不能，请说明理由． （参考数据：，，所有结果精确到） 32. （2024·广东阳江·二模）阳江市北山石塔，如图1，建于南宋宝佑年间（1253-1258年），是阁楼花岗岩结构，为广东省内唯一无灰砌石塔．某数学兴趣小组用无人机测量北山石塔的高度，测量方案为：如图2，先将无人机垂直上升至距离石塔底端水平面的点，测得北山石塔顶端的俯角为；再将无人机沿北山石塔的方向水平飞行到达点，测得北山石塔底端的俯角为，求北山石塔的高度．（结果精确到；参考数据：，，） 33. （2024·广东深圳·三模）钓鱼伞设计：户外钓鱼是一项独特的休闲娱乐活动，已经吸引了越来越多的人． 图解：图1是某钓鱼俱乐部设计了一款新型钓伞，伞面可近似看成弧线．图2是其侧面示意图．已知遮阳伞由伞面弧、支架和支架组成，D为两个支架的连接点，其中支架垂直于且可在D处任意旋转，C为中点，支架垂直于地面且可以适当调整长度．传统的钓伞在连接点D处需要手动旋转支架，使弦与光线垂直以达到最大遮阳目的．新型遮阳伞在D处设置了光线传感器，自动旋转支架以保持始终与光线垂直．图3-5为在不同太阳高度下的情况，其中为光线方向，为在地面形成的影子．仅考虑光线由右上到左下的情况． 定义变量：设米，米，米，太阳高度角定义为光线与地面夹角（为锐角）． 问题一：如图4，若，当伞面端点的影子刚好与点重合时，求影子的长度． 问题二：根据图3-图5，为了最大程度利用遮阳伞，假设钓鱼人坐在点，面朝阳光方向，设的距离为米，请利用相关变量表示． 问题三：在图5中，该俱乐部的某场钓鱼比赛定在上午九点，此时太阳光线与地面夹角为，俱乐部选择，型号的钓伞．假设点刚好在岸边，座椅在处，为了满足最大舒适性，选手距离岸边距离（在点左侧）不超过米，且为了满足视野不影响比赛，要求点离地面的垂直距离不小于米，根据此要求，该俱乐部应如何设置的高度以满足比赛，求的取值范围．（精确到0.1米，参考数据：） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$