2.2有理数的乘法与除法讲义2024-2025学年人教版数学 七年级上册

人教版七年级上册数学第二章2.2有理数的乘法与除法 2.1.1、有理数的乘法 ★【知识点梳理】 1.有理数乘法法则： ①两数相乘，同号得正，异号得负，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积。 ②任何数与0相乘，都得0。 【例1】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 2.倒数 乘积是1的两个数互为倒数。 注意：①0没有倒数； ②求假分数或真分数的倒数，只要把这个分数的分子、分母点颠倒位置即可；求带分数的倒数时，先把带分数化为假分数，再把分子、分母颠倒位置； ③正数的倒数是正数，负数的倒数是负数。（求一个数的倒数，不改变这个数的性质）； ④倒数等于它本身的数是1或-1,不包括0。 【例2】．写出下列各数的倒数： ，，，，，，． 【例3】．的倒数是（　　） A． B．2025 C． D． 【例4】．若互为倒数，且满足，则的值为（    ） A． B． C．2 D．4 3.有理数乘法运算律 ①乘法交换律 两个数相乘，交换乘数的位置，积不变。ab=ba。 ②乘法结合律 三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。(ab)c=a(bc) ③乘法分配律 一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与两个数相乘，再把积相加。a(b+c)=ab+ac 4.有理数相乘如何确定积的符号 几个不为0的数相乘，负的乘数的个数是偶数时，积为正数；负的乘数的个数是奇数时，积为负数。 【例5】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【例6】．（1）计算：； （2）计算：． 【例7】．计算题：． 【例8】．（1） （2） 【例9】．用简便方法计算： (1)； (2)． 【例10】． 【例11】．计算：． 【例12】．对于有理数、，定义运算：． (1)计算的值； (2)计算． 【例13】．（1）用简便方法计算 （2）已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，x为最大负整数，求值． 【综合练习题】 1．的倒数是（    ） A．3 B．1 C． D． 2．下列说法中正确的个数是（    ） （1）0的绝对值是0；（2）0的相反数是0；（3）0没有倒数；（4）倒数等于它本身的数有且只有 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．如果一个数的倒数等于它本身，那么这个数一定是（    ） A．0 B．1 C． D．1或 4．的绝对值的倒数是（    ） A．2025 B． C． D． 5．定义新运算“⨂”，规定：⨂．如：⨂，则⨂的值是（    ） A．8 B． C．4 D． 6．简化计算，应该运用（    ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．乘法对加法的分配律 D．乘法结合律 7．已知两个有理数，，如果且，那么（    ） A．， B．， C．，同号 D．，异号，且正数的绝对值较大 8．计算： (1)； (2)． 9．用简便方法计算下列各题： (1)； (2)． 10．计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 11．计算： (1)； (2)． 12．计算： 13．计算：． 14．计算下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 15．计算： ． 16．的相反数的倒数是 ． 17．小明与小刚规定了一种新运算“”：若，是有理数，则，小明计算出，请帮小刚计算 ． 18．巧算． (1) (2) 19．计算． 20．现有一批橘子共6筐，以每筐为标准，超过或不足的质量分别用正、负数来表示，统计如下（单位：）： 第1筐 第2筐 第3筐 第4筐 第5筐 第6筐 (1)这批橘子中，最重的一筐比最轻的一筐重______； (2)已知橘子每千克售价9元，求售完该批橘子的总金额． 试卷第2页，共2页 1 学科网（北京）股份有限公司 2.2.2有理数的除法 ★【知识点梳理】 1.有理数的除法法则： 除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。 2.从有理数除法法则，容易得出： 两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商。0除以任何一个不等于0的数，都得0. 3.乘除混合运算 乘除混合运算往往先将除法转化为乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。 4.有理数的加减乘除混合运算，如无括号指出先做什么运算，则与小学所学的混合运算一样，按照“先乘除，后加减”的顺序进行。 【例1】．计算的结果是（    ） A． B． C．2 D．8 【例2】．计算：（    ） A． B． C． D． 【例3】．下列说法：①若数a的绝对值等于a，则a是正数；②若，则a、b、c互为相反数；③若两个数的和为正数，则这两个数中至少有一个是正数；④若两个数的商为，则这两个数互为相反数；⑤除以一个数等于乘这个数的倒数；⑥几个数相乘，积的符号由负因数的个数决定．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例4】．小明做了以下4道计算题：①；②；③；④．请你帮他检查一下，他一共做对了（    ） A．4题 B．3题 C．2题 D．1题 【例5】．小明家原来平均每天用电5千瓦时，改用节能灯以后，平均每天用电3.5千瓦时，那么原来7天的用电量现在可以用（   ）天 A．8 B．10 C．15 D．20 【例6】．化简下列分数． (1)； (2)； (3)； (4)． 【例7】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【例8】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【例9】．阅读下面的解题过程： 计算：． 解：原式    （第一步）         （第二步）         （第三步） 回答： (1)上面解题过程中有两处错误，第一处是第二步，错误的原因是______，第二处是第三步，错误的原因是______． (2)把正确的解题过程写出来． 【例10】．计算： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 【例11】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【例12】．下面是佳佳同学一道题的计算过程： (1)佳佳同学开始出现错误的步骤是___________． (2)请给出正确的计算过程． (2)在正确的解法中，你认为解法______比较简便．（填序号） （1）请你进行简便计算：． （2）用适当的方法计算：． 【例13】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【例14】．若，则的值可能是（    ） A．1和3 B．和3 C．1和 D．和 【例15】．的倒数与的相反数的商是 ． 【例16】．若规定，则 ． 【例17】．规定，例如，则 ． 【例18】．定义新运算：当时，；当时，（其中）．则 ． 【例19】．观察下列等式（式子中的“！”是一种数学运算符号），，，，…，那么计算的值是 ． 【例20】．登山队攀登一座山峰，每登高100米气温下降，某队员在这座山上海拔为500米的地方测得气温是． (1)求该队员在这座山上海拔为1500米的地方，测得的气温是多少摄氏度？ (2)若该队员在山上某一位置测得气温为，则他所在位置的海拔为多少米？ 【综合练习题】 1．计算得（　　） A． B．8 C． D． 2．一个数与的乘积等于，这个数是（    ） A． B． C． D． 3．下列说法（1）两个数比较大小，绝对值大的反而小；（2）符号相反的数互为相反数；（3）非零的两数相除，同号得正，异号得负；（4）如果一个数的绝对值等于这个数本身，那么这个数是正数．其中正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．下列结论正确的有（   ） ①两个有理数相加，和一定大于每一个加数． ②几个有理数相乘，积的符号由负因数的个数确定． ③数轴上的点都表示有理数．    ④两个正数相加，和为正数． ⑤两个数相除得正，这两个数都是正数． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 5．下列说法： ①2018个有理数相乘，其中负数有2005个，那么所得的积为负数 ②若m满足，则 ③若三个有理数a，b，c满足，则． 其中正确的是有（    ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 6．若，则的值为（    ） A． B． C． D．以上结论都不对 7．化简下列分数： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 8．计算： (1)； (2)； (3)． (4)； (5)． 9．计算：． 10．用简便方法计算： 11． 12．计算：． 13．计算下列各题： (1) (2) (3) (4) 14．用简便方法计算： ． 15．阅读以下材料，完成相关的填空和计算． (1)根据倒数的定义我们知道，若，则__________； (2)计算：； (3)根据以上信息可知＝________． 16．计算： (1)． (2)． 17．计算： (1)； (2)； (3)． 18．计算： （1）；     （2）； （3）； （4）． 19．计算：． 20．计算：． 21．计算：． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 22．有理数，在数轴上对应的位置如图所示，那么代数式的值是 ． 23．在数学中，为了简便计算记，，，，．则 ． 24．某地连续五天每天最高气温与最低气温记录如下表所示： 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 最高气温（） 5 6 8 11 最低气温（） 2 (1)第几天的温差（最高气温与最低气温的差）最大？第几天的温差最小？ (2)这五天的最低气温平均是多少摄氏度？ 25．计算：． 26．若a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值为2． (1)写出，，m的值； (2)求的值． 27．表示两个有理数，定义一种新运算“”，规定：，如． (1)求的值； (2)求的值． 28．类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．阅读感知：在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如：，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．类似地，对于可以用裂项的方法变形为：类比上述方法，解决以下问题． 【类比探究】（1）猜想并写出：______； 【理解运用】（2）类比裂项的方法，计算：； 【迁移应用】（3）探究并计算：． 试卷第2页，共2页 7 学科网（北京）股份有限公司 $$