1.1集合与元素（课件）-2024届湖北省中职高考数学总复习

第1章 集合 中职高考数学总复习与同步练 考纲要求 知识单元 考试内容 考核要求           集合 集合、元素及其关系 理解   常用数集，空集，全集 理解   集合的表示法(列举法、描述法) 掌握   集合之间的关系(子集、真子集、相等) 掌握   集合的运算(交、并、补) 理解   充分条件，必要条件，充要条件 了解 知识框架 目 录 CONTENTS 考点1 集合与元素 考点2 集合之间的关系 考点3 集合的运算 考点4 充分必要条件 01 集合与元素 1.1 集合的概念 1）集合 集合是由某些确定的对象组成的整体，简称集．集合常用大写英文字母表示，如A，B ，C ，∙∙∙ ． 2）元素 组成集合的对象称为这个集合的元素，常用小写英文字母表示，如a，b，c， ∙∙∙． 集合中元素的特征有：① 确定性；② 互异性；③ 无序性．  3）元素与集合的关系 如果a 是集合A 的元素，就称 a属于A ，记作 a ∈ A；如果 a不是集合A 的元素，就称a 不属于A ，记作a ∉ A ． 身边的集合 1.1 集合的概念 4）集合的分类 按所含元素个数的不同，可将集合分为有限集、无限集和空集，如表 1-1 所示． 表 1-1 ① Æ ¹ {0} ；② 区分{0} 和 0，{0} 表示集合，0 表示元素． 易错警示 集合的分类 定义 举例 有限集 含有有限个元素的集合 {x|x<7且x∈N*} 无限集 含有无限个元素的集合 {x|x>7} 空集 不含任何元素的集合，记作× {方程x²+1=0的实数解}   1.1 集合的概念 5）常用数集及其记法 常用的数集主要包括自然数集、整数集、正整数集、有理数集和实数集，如表 1-2 所示． 表 1-2 数集 自然数集(非负整数集) 整数集 正整数集 有理数集 实数集 记法 N Z N_ 或N Q R 1.2 集合的表示方法 集合的表示法主要有两种，分别为列举法和描述法，两种方法的定义和使用注意事项如表1-3 所示． 表 1-3 集合的表示方法 集合的 表示法 定义 举例 注意事项   列举法 把集合的所有元素一一列举出来，中间 用逗号隔开，并用花括号“{}”把它们括 起来   {1,2,3} ①各个元素之间用“,”隔开；②注 意元素的互异性；③不能遗漏元素       描述法   利用元素的特征性质来表示集合，即在花 括号“{}”中画一条竖线，竖线的左侧是 集合的代表元素，竖线的右侧是元素所具有 的特征性质       {x|x≤5} ①如果代表元素是数，一般用字母x 表示；②如果代表元素是点的坐标或 二元一次方程的解，一般用有序实数 对(x,y)表示；③在实数集中取值时， x∈R可以省略不写 典例精讲 例1 　下列对象能否组成一个集合？ （1）所有短发的女生； （2）1 ～ 10 以内的所有奇数； （3）非常大的数； （4）方程 x2 − 2 = 0 的所有实数根； （5）不等式 x − 7 > 0 的所有解． 解析 （1）由于“短发”没有具体的标准，表述的对象是不确定的，所以不能构成一个集合． （2）由于1 ～ 10 以内的所有奇数包括1，3，5，7，9 五个数，它们是确定的对象，因此可以构成一个集合． （3）由于“非常大的数”没有具体的标准，表述的对象是不确定的，所以不能构成一个集合． （5）解不等式， x − 7 > 0 可得 x > 7， 它们是确定的对象，因此可以构成一个集合． （4）方程 x2 − 2 = 0 的所有实数根为 - 和 ， 它们是确定的对象，因此可以构成一个集合． 【名师点睛】 　本题考查集合的概念． 典例精讲 变式训练1 　以下对象能构成集合的是_________． （1）某校2022 年招收的高个子学生； （2）著名的数学家； （3）与0 接近的全体实数； （4）在直角坐标平面内，第一象限内的所有点． 典例精讲 例 2 　设集合 ， a = 4 ，则下列表述中正确的是（　　）． A． a ∈ A B． a ⊆ A C．a ∉ A D．{a} ∈ A 解析 　元素 a 与集合 A 的关系应是属于与不属于，因为 a = 4 < ，所以 a ∈ A ，故选 A． 变式训练 2 　设集合 M = { x | x ≤ 3 } ，a = π ，则（　　）．  A．a ⊆ M B．a ∈ M C．{a} ∈ M D．a ∉ M 【名师点睛】 　本题考查元素与集合的关系及其符号表示． 典例精讲 例 3 　若 ，求实数2∈{−1，0 ，a2 − a}的值a． 解析 　因为2∈ {−1，0 ，a2 − a}，所以 a2−a =2，解得a1=2，a2=−1．故实数a的值为2或−1 ． 变式训练 3 　集合A ={0，3，a2+a−5，− 1}，若1∈ A，求实数 a 的值． 【名师点睛】 　本题考查根据元素与集合之间的关系计算集合中的未知数a，但应注意要将计算结果代入集合中进行检验，观察是否满足集合中元素的互异性特征，即集合中的任何两个元素必不相同． 典例精讲 例4 　用列举法表示下列集合． （1）英文单词good中的字母组成的集合； （2）方程的解集； x2 − 6x + 8 = 0 （3）大于且 −7 小于 7 的偶数组成的集合． 解析 　（1） {g，o ， d} ； （2） {4，2} ； （3）{− 6，− 4，− 2，0，2，4，6} ． 变式训练4 　用列举法表示下列集合． （1） {x | (x2 − 3x + 2) (x + 1) =0} ； （2）{x | − 4 < x < 2 ， x ∈ Z} ； （3） {(x，y) | x + 2y = 3，x∈N ，y∈N} ． 【名师点睛】 　本题考查集合列举法的运用，用列举法表示集合时，需先确定元素，同时需注意元素的互异性特征． 典例精讲 例5 　用描述法表示大于3 的所有奇数组成的集合． 解析 　该集合中元素的共同属性可以描述为 x > 3且 x = 2k +1(k∈ Z)，所以这个集合可以表示为 {x | x > 3 且 x = 2k +1，k∈ Z} ． 【名师点睛】 　本题考查集合描述法的运用． 运用描述法表示集合时，应注意以下几点： （1）用于描述元素特征性质的语句要力求简明、准确，不产生歧义；多特征描述时，应当准确使用“且”“或”等关联词． （2）所有描述的内容都要写在花括号内． （3）在不引起混淆的情况下，还可用描述法的简略形式表示集合，如等． {} 正整数{}实数 敲黑板 典例精讲 变式训练5 　用描述法表示下列集合． （1）不超过6 的整数构成的集合； （2）不等式组的解集 ； （3）不小于2 的全体实数． 解题通法 若集合中的元素较少，通常可用列举法表示；若集合中的元素较多或无限，则通常用描述法表示，但如果这些元素存在一定的规律，在不发生误解的情况下，也可以用列举法表示． 02 集合之间的关系 知识盘点 集合之间的关系主要包括子集、真子集、相等3 种，各类关系的定义和性质如表1-4 所示． 表1-4 集合之间的 关系   定义   性质         子集 对于两个集合A 和B,如果集合B 的每一个元素都是集合A中的元素， 那么集合B称为集合A的子集，记 作 B c A ( 读 作 “ B 包 含 于 A ” ) 或 A 2 B ( 读 作 “ 包含B”) ①任何一个集合都是它本身的子集，即AcA ②空集是任何集合的子集，即OcA ③含有n个元素的集合，它的子集个数为2”,非空 子集的个数为2n-1 ④子集具有传递性，若AcB,BcC,则AcC 知识盘点 表1-4 （续） 集合之间的 关系 定义 性质       真子集   如果集合B是集合A的子集，并且 集合A中至少有一个元素不属于集合 B,那么集合B称为集合A的真子集， ①空集是任何非空集合的真子集，即OSA ②任何一个集合都不是它本身的真子集 ③真子集具有传递性，若ASB, , 则 A C C ④含有n个元素的集合，它的真子集的个数为2”-1, 非空真子集的个数为2”-2   记作BSA或A 1     相等   如果两个集合的元素完全相同，那 么这两个集合相等，记作A=B ① 若 A c B , 则 A S B 或 A = B ② 若 A c B 且 B c A , 则 A = B ; 若 A = B , 则 A c B 且BcA 典例精讲 例 1　 设集合 A = {a ，b ，c} ，试写出集合 A 的子集、真子集和非空真子集． 解析 由集合 A 可得其子集为 Ø ，{a}，{b}，{c}，{a ，b}，{a ，c}，{b ，c}，{a ，b ，c} ；真子集为 Ø ，{a}，{b}，{c}，{a ，b}，{a ，c}，{b ，c} ；非空真子集为 {a}，{b}，{c}，{a ，b}，{a ，c}，{b ，c} ． 变式训练 1 一个集合的非空子集有 63 个，则这个集合的非空真子集的个数为_______． 【名师点睛】 集合 A 含有 3 个元素，所以该集合的子集有 23 = 8 个，真子集有 23 - 1 = 7 个，非 空真子集有 23 - 2 = 6 个． 典例精讲 解析 集合 M 应是集合 A 与集合 C = {3，4 ，5，∙∙∙ ，9 ，10} 的非空子集的并集，所以求集合 M 的个数即为求集合 C = {3，4 ，5，∙∙∙ ，9 ，10} 的非空子集的个数．因为集合 C 的元素个数为 8，所以它的非空子集个数为 28 - 1 = 255 ，故选 B． 例 2 已知集合 A = {1，2} ， B = {1，2 ，3，∙∙∙，9 ，10} ，集合 M 满足 ．这样的集合 M 共有（ ）． A．7 个 B．255 个 C．256 个 D．254 个 变式训练 2 满足 的集合 A 的个数为（ ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【名师点睛】 根据子集和真子集的定义，可得集合 M 的个数即为集合 的非空子集的个数． 典例精讲 解析 A 选项中 π ≠ 3.141592 6 ，集合 A 和 B 不相等；B 选项中集合 A 和 B 的元素个数不同， 故两集合不相等；D 选项中，集合 A 和 B 中的元素不同，即两个坐标点不同，故两集合不相等 C 选项中集合 A 和 B 的元素完全相同，两集合相等，故选 C． 【名师点睛】 判断两个集合是否相同，就看它们的元素是否相同，与元素排列顺序无关． 例 3 以下选项中， A 和 B 表示同一个集合的是（ ）． A． A = {π} ， B = {3.141 592 6} B． A = {1，0} ， B = {(1，0)} C． A = {-1，0 ，- 2 ，3} ， B = {-2 ，- 1，0 ，3} D． A = {(2 ，6)} ， B = {(6 ，2)} 典例精讲 变式训练 3 判断下列各组集合之间的关系． （1） P = {x |1 < x < 4 ，x ∈ N} ， Q = {x | x2 - 5x + 6 = 0} ； （2） P = {x | x 是矩形} ， Q = {x | x 是平行四边形} ； （3） P = {x | 2 < x ≤ 8} ， Q = {x | 3 < x < 4} ； （4） P = {x | x = 5m ，m ∈ N} ， Q = {x | x = 10n ，n ∈ N} ． 典例精讲 【名师点睛】 　注意要分类讨论；空集是任何集合的子集． 例 4 若集合 A = {x | 2x2 - x - 6 = 0} ， B = {x | mx + 1 = 0} ， B ⊆ A ，求 m 的值． 解析 由已知得 ． （1）当 m ≠ 0 时， ．由 得 或 ，解得 或 ． （2）当 m = 0 时， B = ∅ ，此时 B ⊆ A ，符合题意． 综上所述， m = 0 或 或 ． 变式训练4 设集合 A = {x | x2 - x - 6 = 0} ，B = {x | x2 + 3x - a = 0} ，B ⊆ A ，求实数 a 的取值范围． 典例精讲 【名师点睛】 　如图1-1 所示，可利用数轴比较两个集合的端点，列出不等式，进而求解未知数的取值范围． 例 5 已知 A = {x | -1 < x < 2} ， B = {x | a - 1 < x < a + 1} ，若 B ⊆ A ，求 a 的取值范围． 解析 因为 a + 1 > a - 1 ，所以 B 不是空集．因为 B ⊆ A ，所以有 ， 解得 0 ≤ a ≤ �1 ． 图1-1 典例精讲 解题通法    对 于 此类和实数有关的不等式问题，可借助数轴，将集合语言转化为图形语言，观察图形进而求解实数的值或取值范围． 变式训练 5 已知 A = {x | 1 < x < 5} ， B = {x | 2 - a < x < 3a + 1} ，若 B ⊆ A ，求实数 a 的取值范围． 谢 谢 $$