3.1函数的概念及表示法（课件）-2024届湖北省中职高考数学总复习

第3章 函数 中职高考数学总复习与同步练 考纲要求 知识单元 考试内容 考核要求           函数 函数的概念(定义域、值域等) 理解   函数的三种表示法(解析法、列表法、图象法) 理解   函数的单调性 理解   函数的奇偶性 理解   分段函数 了解   函数的实际应用 了解 知识框架 函数的概念 及表示法 函数的性质 一元二次函数 函数 函数的实际应用 定义域 值域 表示法 单调性 对称性 奇偶性 定义及解析式 图像及性质 一元二次函数的实际应用 分段函数的实际应用 目 录 CONTENTS 考点1 函数的概念及表示法 考点2 一元二次函数及函数的实际应用 考点3 函数的性质 01 函数的概念及表示法 1.1 函数的概念 函数的概念和各要素的具体内容如表3-1 所示． 表3-1 定义域与对应法则是函数定义中的两个要素，它们一旦确定，函数的值域也就随之确定了． 敲黑板 函数的概念和要素 具体内容     概念 在某一个变化过程中有两个变量x和y,设变量x的取值范围为数集D,如果对于 D内的每一个x值，按照某个对应法则f,y都有唯一确定的值与它对应，那么,我 们将x称为自变量，y称为x的函数，记作y=f(x) 定义域 变量x的取值范围即数集D称为函数的定义域 值域 函数值的集合{yly=f(x),x∈D}称为函数的值域 函数值 当x=x₀ 时，函数y=f(x)对应的值y。称为函数在点x₀处的函数值，记作y。=f(x₀) 1.1 函数的概念 常用函数的值域如表3-2 所示． 表3-2 1.2 函数的表示法 函数的表示法有3 种，包括解析法、列表法和图象法，如表3-3 所示． 表3-3 函数的3 种表示法在表示函数时各有特点，在实际应用中要根据具体情况合理选用．其中， 在运用解析法表示函数时，还必须注明函数的定义域． 敲黑板 函数的表示法 定义 解析法 利用等式表示函数的方法 列表法 利用表格表示函数的方法 图象法 利用图象表示函数的方法 典例精讲 【名师点睛】 求函数的定义域，就是将函数解析式中自变量 x 需要满足的所有条件转化为相应的不等式（组），这个不等式（组）的解集即为函数的定义域． 例1 求下列函数的定义域： （1） ； （2） ． 解析 （1）要使函数解析式有意义，应满足 解得 故函数的定义域为 ．  （2）函数 ，要使函数 f (x) 有意义，则 解得 且x ≠ 1， 所以该函数的定义域为 ． 典例精讲 函数定义域的常用求法：① 分式的分母不等于 0；② 偶次方根的被开方数大于或等于 0；③ 0 的 0 次方无意义；④ 对数的真数大于 0；⑤ 指数函数和对数函数的底数大于 0 且不等于 1； ⑥ 正切函数 y = tan x 中 ；⑦ 如果函数是由实际意义确定的解析式，应依据自变量的实际意义确定其取值范围． 敲黑板 变式训练 1 设函数 f (x) 的定义域是[0，1] ，则 f (2x) 的定义域是（ ）． A． [0，1] B． C． [0，2] D． 10 典例精讲 解题通法 ①  若 函数f (x) 的定义域为[a ，b] ，则其复合函数f [g(x)] 的定义域由a �≤ g(x) � �≤ b 解出；② 若函数 f [g(x)] 的定义域为[a ，b] ，则函数 f (x) 的定义域为 g(x) 在 x∈[a ，b] 内的值域；③ 若函数 f (x)为分段函数，则其定义域是自变量的各个不同取值范围的并集． 11 典例精讲 【名师点睛】 若两个函数的定义域、对应法则和值域均一致，则它们为同一函数，与表示函数所运用的字母无关． 例2 下列各组函数中表示同一函数的是（　　）． A． B． C． D． 解析 A 选项中， f (x) = x 的定义域是 R， 的定义域是{x | x ≠ 0} ，两者定义域不同B 选项中， f (x) = 1 的定义域是 R， g(x) = x0 的定义域是{x | x ≠ 0} ，两者定义域不同；C 选项中， 两个函数的三要素完全相同；D 选项中， 的定义域是 {x | x ≥ 0} ， 的定义域是 R，两者定义域不同．因此，正确选项为 C． 典例精讲 易错警示 对应法则可化为相同的形式也不一定为同一函数，一定要全面考虑函数的三要素是否完全相同． 变式训练2 下列四组函数中，表示同一函数的是（　　）． A． B． C． D． 典例精讲 例 3 求下列函数的值域． （1） y = x2 + x ，x ∈{1，2 ，3} ； （2） y = 2x + 1 ， x ∈[-1，1] ； （3） y = -x2 + 4x - 2 ； （4） y = -x2 + 4x - 2 ，x ∈[0 ，3] ． 解析 （1）函数的值域为 { 2，6，12 } ． （2）函数的值域为[- 1，3] ． （3） y = -x2 + 4x - 2 = -(x - 2)2 + 2 ，故函数的值域为(-∞ ，2] ． （4） y = -x2 + 4x - 2 = -(x - 2)2 + 2 ，因为 x ∈[0 ，3] ，所以函数的值域为[-2 ，2] ． 【名师点睛】 求函数的值域应注意自变量的取值范围；对一元二次函数求值域可用配方法，要注意对称轴与所给取值范围的位置关系． 典例精讲 求函数值域的方法有直接法、配方法、反解法、判别式法、不等式法，还有换元法和图象法． 敲黑板 变式训练3 求下列函数的值域． （1） ； （2） ． 典例精讲 【名师点睛】 对简单的复合函数可从内到外分层求解． 例 4 　已知 ，则 =（　　）． A．2 B． C．4 D．8 解析 因为 ，故选B． 变式训练4 设函数 ． 典例精讲 【名师点睛】 应用数学的整体化思想，将 x - 1 看作一个整体，换元即可求得函数解析式． 例 5 已知 f (x - 1) = x2 - 2x + 3 ，则 f (x) = ． 解析 （解法一）因为 f (x - 1) = x2 - 2x + 3 = (x - 1)2 + 2 ，所以 f (x) = x2 + 2 ． 变式训练 5 已知 f (x + 1) = x2 - x + 1 ，则 f (x) = ． （解法二）令 x - 1 = t ，则 x = t + 1 ，代入函数得 f (t) = (t + 1)2 - 2(t + 1) + 3 = t2 + 2 ， 故 f (x) = x2 + 2 ． 解题通法 已 知函数 f [g(x)] 的解析式，求 f (x) 的解析式，常用的方法有配方法和换元法．其中较常使用的是换元法． 典例精讲 【名师点睛】 求解一次函数解析式可运用待定系数法． 例 6 已知一次函数图象过点(0 ，2) 和(-1，1) ，求它的解析式． 变式训练 6 已知一次函数图象过点(-1，4) 和(2 ，1) ，求它的解析式． 解析 设 f (x) = kx + b ，因为图象过点(0 ，2) 和(-1，1) ，将这两点代入函数得 ， 解得 k = 1，b = 2 ．因此，该一次函数的解析式为 f (x) = x + 2 ． 02 一元二次函数及函数的实际应用 一元二次函数的定义 一般地，如果 y = ax2 + bx + c （ a ，b ，c 是常数且 a ≠ 0 ），那么 y 称为 x 的一元二次函数，它的定义域为 R ． 2.1 一元二次函数常用解析式的形式 一元二次函数常用解析式的形式有3 种，包括一般式、顶点式和截距式，其解析式如表3-7 所示． 2.2 表3-7 一元二次函数的图象和性质 一元二次函数 y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) 的图象和性质如表 3-8 所示． 2.3 表 3-8 一元二次函数的图象和性质 2.3 表 3-8（续） 一元二次函数的图象和性质 2.3 表 3-8（续） 两种特殊函数 2.4 1）分段函数 在定义域中，对于自变量x 的不同取值范围，对应法则不同，这样的函数称为分段函数． 求分段函数值 f (x0 ) 时，首先应判断 x0 所属的取值范围，然后再把 x0 代入相应的解析式进行计算．作分段函数的图象时，要在同一个坐标系中，分别在自变量的各个不同取值范围内，根据相应的解析式作出相应部分的图象． 分段函数是一个函数，只是需要分段表示． 敲黑板 2）常值函数 无论自变量 x 取什么值，函数值总等于同一个数，这样的函数称为常值函数． 身边的分段函数 典例精讲 【名师点睛】 求分段函数的函数值时，通常有几个“ f ”就需要进行几次代入计算． 例 1 已知函数 则 = ____________． 解析 　． 因此， ． 变式训练 1 设 则 = ____________． 26 典例精讲 【名师点睛】 题中可运用待定系数法求解函数解析式，即如果已知一元二次函数的顶点坐标(h ，k ) ，则可设函数解析式为 f (x) = a(x - h)2 + k (a ≠ 0) ，再根据其他条件列出关于 a 的方程，求出系数 a ． 例 2 已知一元二次函数的顶点坐标为 (3，- 2) ，且其图象过点(0，7) ，则一元二次函数的解析式为_______． 解析 因为顶点坐标为 (3，- 2) ，所以设一元二次函数的解析式为 f (x) = a(x - 3)2 - 2 ．又因为图象过点 (0 ，7) ，代入函数解析式得 a x (0 - 3)2 - 2 = 7 ，解得 a = 1 ，故所求解析式为 f (x) = (x - 3)2 - 2 = x2 - 6x + 7 ． 27 典例精讲 解题通法 待 定 系数法求解一元二次函数解析式： （1）如果已知抛物线与 x 轴的两个交点坐标为(x1 ，0) ， (x2 ，0) ，则可设函数解析式为 y =a(x - x1 )(x - x2 ) (a ≠ 0) ，再根据其他条件求出系数 a ． （2）如果已知函数图象上的三点坐标，则可设函数解析式为 f (x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0) ，然后根据已知条件列出包含 a ，b ，c 三个待定系数的方程组，进而求出 a ，b ，c 的值． 变式训练 2 已知一元二次函数与 x 轴的交点为(-3，0) ， (2 ，0) ，且函数图象过点 (1，- 8) ，求函数的解析式． 28 典例精讲 【名师点睛】 一元二次函数中比较函数值大小的一般步骤如下． （1）确定开口方向和对称轴． （2）根据函数图象开口方向及各点到对称轴的距离大小得出结论：① 当一元二次函数图象开口向上时，点到对称轴的距离越大，点越在上方，函数值越大；② 当一元二次函数图象开口向下时， 点到对称轴的距离越大，点越在下方，函数值越小． 例 3 如果函数 f (x) = x2 + bx + c 对于任意实数 t 都有 f (1 + t) = f (1 - t) ，那么（）． A． f (1) < f (0) < f (3) C． f (1) < f (3) < f (0) B． f (0) < f (1) < f (3) D． f (3) < f (1) < f (0) 解析 因为 f (1 + t) = f (1 - t) 对于一切的 t ∈ R 均成立，所以 f (x) 的图象关于直线 x = 1 对称． 因为 a > 0 ，抛物线开口向 上，所以 f (1) 是 f (x) 的最小值．因为 | 0 - 1| < | 3 - 1| ，所以 f (0) < f (3) ，故 f (1) < f (0) < f (3) ，正确选项为 A． 29 典例精讲 “函数 y = f (x) 的图象关于直线 x = t 对称”的充要条件为“ f (t - x) = f (t + x) ”． 敲黑板 变式训练 3 已知函数 f (x) = (m - 1)x2 + 2mx + 6 是偶函数，试比较 f (-1) ， ， f (2) 的大小． 30 典例精讲 【名师点睛】 求一元二次函数在指定区间内的最小值和最大值的步骤： 配方→确定图象（可能是一部分）→找出图象的最低点和最高点→确定相应的最小值和最大值． 例 4 一元二次函数 y = -x2 + 2x + 8 ， x ∈ [-2，2] 的值域是________． 解析 函数 y = -x2 + 2x + 8 = -(x - 1)2 + 9 ，可得其对称轴为 x = 1 ，与 x 轴的交点坐标分别为(-2 ，0) ， (4 ，0) ，与 y 轴的交点坐标为(0 ，8) ，进而画出该函数的图象，如图 3-2 所示． 由图 3-2 可得，在区间[-2 ，2] 内， f (1) = 9 是 f (x) 的最大值， f (-2) = 0 是f (x) 的最小值，故在该区间内函数的值域为[0 ，9] ． 图 3-2 31 典例精讲 此外，还可通过以下步骤求解一元二次函数 f (x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0) ， x ∈ [m ，n] 的值域． （1）求出抛物线的对称轴 ． （2）若 ，则分别计算 f (m) ， ， f (n) 并比较大小，最大的为函数的最大值，最小的为函数的最小值；若 ，则只需计算 f (m) ， f (n) 再比较大小即可． 敲黑板 变式训练 4 求函数 的值域． 32 典例精讲 【名师点睛】 此类题目应从一元二次函数的对称轴入手，结合函数图象观察对称轴与给定区间的位置关系，然后列出包含参数的不等式，进而求解． 例 5 若函数 y = 2x2 + (a - 1)x + 6 在(-∞ ，1) 内是减函数，则 a 的取值范围是 ________． 解析 函数 y = 2x2 + (a - 1)x + 6 的对称轴为 ，与 y 轴的交点坐标为(0 ，6)，图象开口向上，则函数的大致图象如图3-3 所示 由图 3-3 可得，要满足函数 y 在 (-∞，1) 内是减函数，则 ，解得 a ≤ -3，即 a 的取值范围是 (-∞，-3]． 变式训练 5 若函数 f (x) = -x2 + 2(a - 1)x + 1 在(6，+∞) 内是减函数，则 a 的取值范围是___． 33 典例精讲 例6 如果某商人将进价为8 元的商品，按每件10 元出售，每天可销售100 件．现在他采用提高售价、减少进货的办法来增加利润．已知商品的售价每提高1 元，销售量就减少10 件，当每件商品的售价定为多少时，每天的利润最大？最大的利润是多少？ 解析 （解法一）设每件商品的售价为 x 元，利润为 y 元，则 y = (x - 8)[100 - 10(x - 10)] = -10x2 + 280x - 1 600 = -10(x - 14)2 + 360 ． 因此，当售价为 14 元时，每天的利润达到最大值，最大值为 360 元． （解法二）设每件商品的售价提高 x 元，利润为 y 元，则 y = (10 + x - 8)(100 - 10x) = -10x2 + 80x + 200 = -10(x - 4)2 + 360 ． 因此，每件商品的售价提高4 元，即售价为14 元时，每天的利润达到最大值，最大值为360 元． 34 典例精讲 【名师点睛】 本题考查一元二次函数的实际应用．根据已知条件列出相应的一元二次函数解析式后，再根据一元二次函数的最值性质进行求解． 解题通法 解函数应用题的一般步骤为：① 弄清题意，设出未知数；② 根据题意，求出未知数的取值范围；③ 由已知条件列出函数解析式；④ 求出符合题意的结果． 变式训练6 某人计划靠墙围成一块矩形养鸡场，如图3-4 所示．他已备足了可以围成20 m 长的竹篱笆，问矩形的长和宽都是多少时，场地的面积最大，最大面积是多少？ 图3-4 35 谢 谢 $$