3.2函数的性质（课件）-2024届湖北省中职高考数学总复习

第3章 函数 中职高考数学总复习与同步练 考纲要求 知识单元 考试内容 考核要求           函数 函数的概念(定义域、值域等) 理解   函数的三种表示法(解析法、列表法、图象法) 理解   函数的单调性 理解   函数的奇偶性 理解   分段函数 了解   函数的实际应用 了解 知识框架 函数的概念 及表示法 函数的性质 一元二次函数 函数 函数的实际应用 定义域 值域 表示法 单调性 对称性 奇偶性 定义及解析式 图像及性质 一元二次函数的实际应用 分段函数的实际应用 目 录 CONTENTS 考点1 函数的概念及表示法 考点2 函数的性质 考点3 一元二次函数及函数的实际应用 02 函数的性质 函数的单调性 1）函数单调性的定义 设函数 y = f (x) 在区间(a ，b) 内有意义，则函数单调性的定义如表 3-4 所示． 2.1 表 3–4 函数的单调性 2.1 如果函数 f (x) 在区间(a ，b) 内是增函数（或减函数），那么称函数 f (x) 在区间(a ，b) 内具有单调性，区间(a ，b) 叫作函数 f (x) 的单调区间． 敲黑板 2）判断函数单调性的常用方法 （1）定义法：其步骤如下． ① 取值：取指定区间内的任意两个值 x1 ，x2 ，使 x1 < x2 ． ② 作差变形：计算 f (x1 ) - f (x2 ) ，然后通过因式分解、通分、配方、分母有理化等方法进行化简变形． ③ 定号：判断差值的正负． ④ 得出结论． （2）图象法：画出函数图象，通过观察图象判断函数的单调性． 对称性 一般地，设点 P(a ，b) 为平面内的任意一点，则可以得出如图 3-1 所示的结论． 2.2 图 3-1 奇偶性 设函数 f (x) 的定义域为数集 D ，则函数奇偶性的定义、图象特征和性质如表 3-5所示． 2.3 函数的奇偶性 表 3-5 奇偶性 2.3 （1）如果函数图象上的任意一点 P 关于 y 轴的对称点 仍然在函数图象上，那么称函数图象关于 y 轴对称，并把 y 轴叫作这个函数图象的对称轴． （2）如果函数图象上的任意一点 P 关于原点的对称点 仍然在函数图象上，那么称函数图象关于原点中心对称，并把原点叫作这个函数图象的对称中心． 敲黑板 基本函数的单调性和奇偶性 常见基本函数的图象、单调性和奇偶性如表3-6 所示． 2.4 表 3-6 基本函数的单调性和奇偶性 2.4 表 3-6（续） 基本函数的单调性和奇偶性 2.4 表 3-6（续） 典例精讲 【名师点睛】 本题考查基本函数的单调性． 解析 A 选项中，一次函数 y = 3x + 5 中 k = 3 > 0 ，函数在 R 上是增函数；B 选项中，一元二次函数 y = x2 + 2x + 7 的图象开口向上，函数在(-∞ ，- 1] 内是减函数，在[-1，+∞) 内是增函数；C 选项中，反比例函数 y = 2 中 k = 2 > 0 ，函数在(-∞ ，0) 内是减函数；D 选项中，一元二次函数 y = -x2 的图象开口向下且关于 y 轴对称，函数在(-∞ ，0] 内是增函数．因此，正确选项为 C． 例 1 下列函数在区间 (−∞ ，0) 内是减函数的是（　　）． A． y = 3x + 5 B． y = x2 + 2x + 7 C． D ． y = -x2 变式训练1 下列函数既是奇函数又是增函数的是（　　）． A．y = 3x B． y = 3x2 C． D．y = sin x + 2 典例精讲 【名师点睛】 根据常见基本函数的图象特征、单调性和奇偶性等性质进行判断． 解析 由已知可得 b = 0 ，则一元二次函数为 y = ax2 + c (a ≠ 0) ，此函数为偶函数，故其图象关于 y 轴对称，正确选项为 B． 例 2 已知一次函数 y = kx + b 的图象关于原点对称，则一元二次函数 y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) 的图象（ ）． A．关于 x 轴对称 B．关于 y 轴对称 C．关于直线 y = x 对称 D．关于原点对称 变式训练 2 已知 f (x) = (m2 - 1)x2 + (m - 1)x + (n + 2) 为奇函数，则 m = ， n = ． 典例精讲 【名师点睛】 掌握定义法判断函数单调性的步骤：取值→作差变形→定号→得出结论． 例 3 利用函数单调性的定义证明：函数 f (x) = x2 + 1 在(0，+ ∞) 内是增函数． 解析 任取 ，有 ． 因为 ，所以 ，即 ，得出 ，故此函数在(0，+ ∞)内是增函数． 典例精讲 解题通法 证明过程中对差值进行变形时，常用的技巧有：① 当原函数是多项式形式时，通常采用因式分解法；② 当原函数是分式形式时，通常对其通分后再进行因式分解；③ 当原函数是一元二次函数形式时，可采用因式分解或配方法；④ 当原函数是根式形式时，通常采用分母有理化的方法． 变式训练3 利用函数单调性的定义证明：函数 在内 (0，+∞) 是减函数． 典例精讲 解析 第（3）题中函数的定义域为[2 ，+∞) ，不关于原点对称，故此函数为非奇非偶函数．第（1），（2），（4）题中函数的定义域都是 R，关于原点对称，可以进一步讨论奇偶性． （1） f (-x) = (-x)3 + 3(-x) = -(x3 + 3x) = - f (x) ，故此函数为奇函数． （2） f (-x) = (-x)4 - (-x)2 = x4 - x2 = f (x) ，故此函数为偶函数． （4） f (-x) = (-x) + 1 = -x + 1 ，而 f (x) = x + 1 ．因为 f (-x) ≠ f (x) ， f (-x) ≠ - f (x) ，所以此函数为非奇非偶函数． 例 4 判断下列函数的奇偶性． （1） f (x) = x3 + 3x ； （2） f (x) = x4 - x2 ； （3） ； （4） f (x) = x + 1 ． 典例精讲 【名师点睛】 本题主要运用定义判断函数的奇偶性，还可以根据函数奇偶性的性质来判断．例如，（1）中的函数可看成是两个奇函数之和，为奇函数；（2）中的函数可看成是两个偶函数之差， 为偶函数；（4）中的函数可看成是奇函数与偶函数的和，为非奇非偶函数． 解题通法 判断函数的奇偶性的方法： （1）定义法：首先求出函数的定义域，判断定义域是否关于原点对称．① 若关于原点对称， 进而判断 f (− x) 与 f (x) 的关系；② 若不关于原点对称，可直接得出此函数为非奇非偶函数的结论． （2）图象法：观察函数图象是否关于原点或 y 轴对称． 变式训练 4 判断下列函数的奇偶性． （1） f (x) = x2 + x + 1 ； （2） f (x) = x2 - 1，x ∈(-2，2] ； （3） f (x) = 5 ； （4） f (x) = ． 19 典例精讲 例 5 　若函数是奇函数 ，则 a = ____________． 解析 因为 f (x) 是奇函数且当 x = 0 时有意义，所以 ，解得 ． 将 代入函数解析式中，可得 ， 且 ，符合题意，所以 ． 【名师点睛】 利用该奇函数图象经过原点的性质即可求解． 变式训练 5 　若函数 是奇函数，则 f (-1) = ____________． 20 典例精讲 例 6 偶函数 f (x) 在区间[2，6] 内是增函数且最小值为 5，则 f (x) 在[-6，- 2] 内是（ ）． A．增函数且有最小值 5 B．增函数且有最大值-5 C．减函数且有最小值-5 D．减函数且有最小值 5 解析 因为 f (x) 为偶函数，所以根据偶函数的单调性及图象特点可得 f (x) 在[-6 ，- 2] 内是减函数且有最小值 5，故选 D． 【名师点睛】 若函数 f (x) 是偶函数，且在[a ，b] 内是增函数（减函数），则函数 f (x) 在[-b ，- a]内是减函数（增函数），可简记为：偶函数单调性相反，最值相同． 21 典例精讲 若函数 g(x) 是奇函数，且在[a ，b] 内是增函数（减函数），则函数 g(x) 在[-b ，- a] 内也是增函数（减函数），可简记为：奇函数单调性相同，最值的大小、正负相反． 敲黑板 变式训练 6 奇函数 f (x) 在 [1，4] 内是增函数，且有最小值 3，则 f (x) 在[-4 ，- 1] 内是（）． A．增函数且有最小值 3 B．增函数且有最大值-3 C．减函数且有最小值-3 D．减函数且有最大值 3 22 典例精讲 例 7 函数 y = ax2 + bx + c 和 y = ax + 2 在同一坐标系中的图象可能为（ ）． 解析 选项 A 中由一次函数图象可知 a < 0 ，此时一元二次函数的图象开口方向应向下，故选项 A 错误，同理选项C 也是错误的；选项D 中，直线在 y 轴上的截距是负数，显然错误．因此，正确选项为 B． 【名师点睛】 在一次函数 y = kx + b 中， k 决定着函数的单调性， b 决定着直线与 y 轴的交点， 交点为(0 ，b) ．在一元二次函数 y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) 中， a 决定着图象的开口方向． 23 典例精讲 变式训练 7 函数 y = ax2 + bx + c 和 y = ax - 2 在同一坐标系中的图象可能为（ ）． 24 谢 谢 $$