第2章 不等式 （课件）-2024届湖北省中职高考数学总复习

第2章 不等式 中职高考数学总复习与同步练 考纲要求 知识单元 考试内容 考核要求       不等式 不等式的基本性质 理解   区间的概念 掌握   一元二次不等式 掌握   含绝对值的不等式 了解 知识框架 目 录 CONTENTS 考点1 不等式的基本性质与区间 考点2 一元二次不等式 考点3 含绝对值的不等式 01 不等式的基本性质与区间 1.1 比较实数的大小 设 a， b∈R 则有， a > b ⇔ a − b > 0， a < b ⇔ a − b < 0， a = b ⇔ a − b = 0， ． 这种作差比较两个实数（或代数式）大小的方法称为作差比较法． 1.2 不等式的性质 不等式的性质包括加法法则、乘法法则、传递性及其推论，如表2–1 所示． 不等式的性质 表2–1 1.3 区间 由数轴上两点间的所有实数所组成的集合称为区间，这两个点称为区间端点．设a，b ∈R 且 a < b ，则各种区间表示的集合如表 2–2 所示． 表2–2 区间 概念 记法 集合表示 闭区间 满足不等式a≤x≤b的实数x的集合 [a,b] {x|a≤x≤b} 开区间 满足不等式a<x<b的实数x的集合 (a,b) {x|a<x<b} 左闭右开区间 满足不等式a≤x<b的实数x的集合 (a,b) {x|a≤x<b} 左开右闭区间 满足不等式a<x≤b的实数x的集合 [a,b] {x|a<x≤b} 1.3 区间 表2–2（续） （1）我们常用区间来表示数集，特别是不等式的解集．另外，利用不等式表示的集合，也常用区间来表示． （2）实数集 R 也是无穷区间，记作 (−∞ , + ∞) ． 敲黑板 区间 概念 记法 集合表示         无穷区间 满足不等式x<b的实数x的集合 (-,b) {x|x<b}   满足不等式x≤b的实数x的集合 [-0,b] {x|x≤b}   满足不等式x>a的实数x的集合 (a,+0) {x|x>a}   满足不等式x≥a的实数x的集合 [a,+00] {x|x≥a} 典例精讲 例 1 　当 时，判断 与 的大小． 解析 因为 ， 且当 时， 恒成立，所以 ． 【名师点睛】 对于用字母表示的两个实数，一般通过判断它们之间差的符号来比较它们的大小． 解题通法 作差比较法比较实数（或代数式）大小的步骤：作差→变形（可利用因式分解、配方法，把差写成积的形式或配成完全平方式）→判断符号． 变式训练 1 设 a ，b 为两个不相等的实数，判断 ab – a2 与 b2 – ab 的大小． 典例精讲 解析 选项 A 缺少对 a ， b ， c ， d 同为正数的限制；选项 B 缺少对 c 为正数的限制；选项 C要成立，还要求 a ， b 同号；选项 D 满足同向不等式可加性，故正确选项为 D． 例2 下列命题中，正确的是（　　）． A．若 a > b ， c > d ，则 ac > bd B．若 ac > bc ，则 a > b C．若 a > b，则 D．若 a > b ， c > d ，则 a + c > b + d 【名师点睛】 本题考查不等式的基本性质及其推论． 易错警示 a > b ⇒ 不一定成立，需分情况讨论：① 若 a > b ，ab > 0 ，则 ；② 若 a > b ，ab < 0 ，则 ；③ 若 a > b ，ab = 0 ，则 无意义． 典例精讲 变式训练2 　下列各选项中正确的是（　　）． A． a > b > 0 且 d > c > 0 ⇒ B．a > b ⇒ ac2 > bc2 C． a > b ⇐ ac2 > bc2 D．a > b 且 c > d ⇐ ac > bd 在判断不等式是否成立时，部分情况下可使用特殊值法，即根据条件取特殊值代入不等式进行验证． 敲黑板 典例精讲 解析 由集合 A ， B 可得， A ∩ B = [1，3) ， A ∪ B = (0 ，5) ． 例 3 已知集合 A = (0 ，3) ， B = [1，5) ，求 A ∩ B ， A ∪ B ． 【名师点睛】 用区间表示集合的交集、并集和补集时，可通过数形结合准确表示集合． 易错警示 在使用区间表示集合时，要特别注意判断区间端点能否取到． 变式训练 3 设全集为 R ，集合 A = [4 ，+ ∞) ，集合 B = (2 ，7) ，求： （1） A ∩ B ， A ∪ B ； （2）  ； （3） ． 典例精讲 例4 设全集 U = R ，集合 A = {x | (x + 4)(2 – x) > 0}，B = {x | 2x – 1 > 1 – }，则A ∪ B =______， = _________．（用区间表示） 解析 解不等式可得 ，所以 ，由全集 U = R 可得 ，所以 ． 【名师点睛】 本题考查不等式的求解、集合的运算及区间的表示方法． 变式训练4 　不等式组 的解集用区间表示为_________． 典例精讲 【名师点睛】 对于此类求函数定义域的问题，应当全面考虑，重点需注意区间端点的取舍． 例5 　函数 的定义域用区间表示为__________________． 解析 要使函数 有意义，则其分母 ，解得 ． 因此， 函数 的定义域为 ． 变式训练5 函数 的定义域是（　　）． A． [−2，2] B．(2，+ ∞) C． (2，3)∪ (3，+ ∞) D． [−2，2] ∪ (3，+ ∞) 02 一元二次不等式 解一元一次不等式（组） 1）求解一元一次不等式 任何一元一次不等式最后都能化为形如 ax > b （ 或 ax ≥ b ）或 ax < b（或 ax ≤ b ）的不等式（a ≠ 0），然后进行求解．如表 2–3 所示为以 ax > b ( a ≠ 0)为例的一元一次不等式的解集 ． 2.1 表 2–3 解一元一次不等式（组） 2）求解一元一次不等式组 求解一元一次不等式组的方法有两种：① 图象法．分别求出每一个不等式的解集，然后利用数轴找出它们的公共部分．② 口诀法．以两个一元一次不等式组成的不等式组为例，其解集如表2–4 所示， 其中 a < b ． 2.1 表 2–4 不等式组的形式   x<b x<b     解集 x>b a<x<b x<a 无解 口诀 同大取大 大小、小大取中间 同小取小 小小、大大为空集 解一元二次不等式 1）一元二次不等式的含义 含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2 的不等式，称为一元二次不等式．其一般形式为 ax2 + bx + c > 0 (a ≠ 0) 2.2 2）求解一元二次不等式 （1）利用因式分解法求解． 同解变形后的判断依据是： 解一元二次不等式 具体步骤 ① 将一元二次不等式的右端化为0；② 将左端进行因式分解，并利用以上同解变形后的判断依据，转化为两个一次不等式；③ 求出解集． 解一元二次不等式 （2）利用一元二次函数的性质求解． 当 a > 0 时，函数 f (x) = ax2 + bx + c的图象、方程 ax2 + bx + c = 0 的解及不等式 ax2 + bx + c > 0 的解集之间的关系如表2–5 所示． 2.2 表2–5 解一元二次不等式 2.2 表2–5（续） 解一元二次不等式 2.2 （1）对于 a < 0 的情况，根据不等式的性质，可先将其转化为 a > 0 的情况，得到与原不等式同解的不等式，再按步骤进行求解． （2）当 a > 0 且 Δ > 0 时，也可以先求出对应的一元二次方程的两个实数解，再结合口诀“大于取两边，小于取中间”得出解集． 敲黑板 典例精讲 例 1 　解关于 x 的不等式 3 – kx < –5 (k ≠ 0)． 解析 原不等式 3 – kx < –5 (k ≠ 0) 移项后得 kx > 8 (k ≠ 0) ． 【名师点睛】 本题考查了分类讨论的数学思想．不等式移项后，需分别讨论 k > 0 和 k < 0 两种情况的解集． （1）当时 k > 0 ， ，即不等式的解集是 ． （1）当时 k < 0 ， ，即不等式的解集是 ． 典例精讲 解题通法 解一元一次不等式的步骤为：去分母 → 去括号 → 移项 → 合并同类项（化为 ax > b 或 ax < b 的形式）→ 将未知数的系数化为1（若系数为负，则不等式需变号）． 变式训练1 　解关于 x 的不等式 ． 典例精讲 【名师点睛】 先按照解一元一次不等式的步骤分别求出每一个不等式的解集，然后根据“大小、小大取中间”的口诀求其交集，即为原不等式组的解集． 例 2 　解不等式组 解析 　由原不等式组解得 所以原不等式组的解集为 [2 ，3) ． 变式训练2 　解不等式组 典例精讲 【名师点睛】 本题可利用一元二次函数的性质及一元二次不等式的解集公式进行求解． 例 3 解不等式 5x –3x2 – 2 > 0 ． 解析 5x –3x2 – 2 >0 变形得 3x2 – 5x + 2 < 0 ． 因为方程 3x2 – 5x + 2 = 0 中 Δ = (–5)2 – 4 × 3 × 2 = 1 > 0，所以方程 3x2 – 5x + 2 = 0 有两个实数解， 求得它们分别是 ，x2 = 1 ，所以不等式 3x2 – 5x + 2 < 0 的解集为 ，即原不等式的解集为 ． 典例精讲 解题通法 解一元二次不等式的步骤： ① 化：把不等式化为 a > 0 且右端为 0 的形式；② 判：计算对应一元二次方程的判别式 Δ ， 判断方程是否有实数解；③ 求：求出一元二次方程的实数解 (Δ ≥ 0)；④ 写：利用口诀“大于取两 边，小于取中间”写出不等式的解集．  变式训练3 　解不等式 (x + 4)(x – 3) ≤ 0 . 典例精讲 【名师点睛】 题中一元二次不等式的解集的区间端点取值即为对应的一元二次方程的两个实数解． 例 4 已知一元二次不等式 ax2 + bx + 2 > 0 的解集是 ，则 a – b = _________． 解析 由不等式 ax2 + bx + 2 > 0 的解集为 可知，方程 ax2 + bx + 2 = 0 的两个实数解为 和 ．由韦达定理得 解得 a = – 12，b = – 2，所以 a – b = – 12 – (– 2) = – 10． 变式训练 4 若不等式 x2 – ax – b < 0 的解集为 (2，3) ，求不等式 bx2 – ax – 1 > 0 的解集． 典例精讲 【名师点睛】 解此题的关键是根据 a < 0 来判断 a 与 2a 的大小，进而求解不等式． 例 5 当 a < 0 时，不等式 x2 - 3ax + 2a2 < 0 的解集是 ． 解析 将原不等式 x2 - 3ax + 2a2 < 0 进行因式分解后得 (x - a)(x - 2a) < 0 ．因为 a < 0 ，所以a > 2a ，根据同解变形后的判断依据，可得不等式 (x - a)(x - 2a) < 0 的解集为 (2a ，a) ，即原不等式的解集为 (2a ，a) ． 变式训练 5 若 a < b ，求不等式 (x - a)(b - x) > 0 的解集． 易错警示 求解含参数的不等式时，不仅要判断两个实数解的大小关系，还需注意二次项系数的正负， 若二次项系数为负，需先将其化为二次项系数为正的不等式，以便正确写出解集． 典例精讲 例 6 关于 x 的不等式 kx2 - kx + 1 > 0 对任意实数都成立，求实数 k 的取值范围． 解析 （1）当 k = 0 时，上述不等式变形为 1 > 0 ， x 取任意实数时都成立． （2）当 k ≠ 0 时，由题意得，一元二次函数 y = kx2 - kx + 1 的图象应该是如图 2-1 所示的形式． 此时，有 解得 0 < k < 4 ． 所以，k 的取值范围是 0 ≤ k < 4 ． 图 2-1 【名师点睛】 （1）因为 x2 项的系数含有参数 k ，所以需要分别讨论 k = 0 和 k ≠ 0 两种情况． （2）当 k ≠ 0 时，先大致确定对应一元二次函数的图象，再根据图象得出 k 与 Δ 的范围，进而求解． 典例精讲 解题通法 对于在R上恒成立的含参一元二次不等式，要求解参数的取值范围，首先，若二次项系数为参数，需分类讨论参数为零、不为零两种情况；其次，若二次项系数不为零，则可以利用图象法，先确定对应一元二次函数的大致图象，再结合一元二次函数的性质将图象特点转化为数学语言；最后综合所有情况，得出结论． 变式训练 6 已知不等式 kx2 + kx - 3 ≥� 0 的解集是空集，则实数 k 的取值范围是 ________． 03 含绝对值的不等式 含绝对值的不等式的定义 绝对值内含有未知数的不等式称为含绝对值的不等式． 3.1 解含绝对值的不等式 解含绝对值的不等式的总体思想是将含绝对值的不等式转化为不含绝对值的不等式，其解集如表2-6 所示． 3.2 表2-6 条件 不等式 解集   a>0 |x|>a x<-a或x>a   |x|<a —a<x<a   c>0 |ax+b|>c ax+b<-c或ax+b>c   ax+b|<c -C<ax+b<c 解含绝对值的不等式 3.2 对于 | ax + b | > c (c > 0) 与 | ax + b | < c (c > 0) 的不等式，可以通过“变量替换”的方法求解， 就是用单一的字母表示一个代数式，从而使一些数学问题化难为易，化繁为简．例如，不等式| ax + b | > c (c > 0) 中，设 m = ax + b ，则原不等式可化为 | m | > c ，其解集为 m > c 或 m < -c ，即ax + b > c 或 ax + b < -c ，进而求出原不等式的解集． 敲黑板 典例精讲 【名师点睛】 | x | 的几何意义是指数轴上表示实数 x 的点到原点的距离，因此有 | x | ≥ 0 ． 例 1 解不等式 | x + 1| ≤� - 2 ． 解析 由绝对值的几何意义可得 | x + 1| ≥ 0，所以不等式 | x + 1| ≤ − 2的解集是 ∅ ． 变式训练 1 解不等式 | x + 1 | ≥ − 2 ． 典例精讲 【名师点睛】 题中绝对值内 x 的系数是负的，需先化负为正，再利用变量替换的思想解不等式，变量替换的书写过程可以省略． 例 2 解不等式 | 3 – 2x | ≥ - 2 ． 解析 | 3 - 2x | < 5 变形为 | 2x – 3 | < 5 ，展开得 -5 < 2x - 3 < 5 ，变形得 -2 < 2x < 8 ，解得 -1 < x < 4 ，所以不等式 | 3 - 2x | < 5 的解集是 (-1，4) ． 变式训练 2 解不等式 | 8 - x | ≥ 3 ． 解题通法 解含绝对值的不等式，既可以通过“变量替换”的方法求解，也可以运用“大于取两边，小于取中间”的规律去掉绝对值符号，进而转化为一元一次不等式（组）再进行求解． 典例精讲 【名师点睛】 可利用变量替换的思想，先解一元二次不等式，求出 | x | 的范围，再进一步求解出 x 的范围． 例 3 解不等式 x2 - 5| x | ＋ 6 ≤ 0 ． 解析 不等式 x2 - 5| x | ＋ 6 ≤ 0 可变形为 | x | 2 - 5 | x | + 6 ≤ 0 ，解得 2 ≤ | x | ≤ 3 ．进一步求解可得 -3 ≤ x ≤ - 2 或 2 ≤ x ≤ 3 ．所以，原不等式的解集为 [-3，- 2]∪[2 ，3] ． 变式训练 3 解不等式 | x | + x2 ≥ 0 ． 解含绝对值的不等式时需注意以下几点． （1）要特别注意“且”和“或”的区别和联系． （2）不等式（组）的解集通常用区间表示． 敲黑板 典例精讲 例 4 解不等式 2 ≤ | 3x - 2 | ≤ 5 ． 解析 （解法一）原不等式可变形为 即 进一步得 解得 -1 < x ≤ 0 或 ，所以原不等式的解集为 ． （解法二）利用绝对值的几何意义求解．原不等式 ⇔ 2 ≤ 3x -2 < 5 或 -5 < 3x -2 ≤ 2 ，解得 -1 < x ≤ 0 或 ，所以原不等式的解集为 ． 典例精讲 【名师点睛】 对于此类含绝对值的不等式（组），运用绝对值的几何意义进行求解的方法更为简便． 变式训练 4 解不等式 ． 解题通法 求解绝对值不等式时，不等式的性质同样适用． 典例精讲 【名师点睛】 对于此类含参数的绝对值不等式，可利用待定系数法进行求解． 例 5 若不等式 | x - a | < b 的解集是 (-2，8) ，求 a ，b 的值． 解析 原不等式变形为 -b < x - a < b ，即 a - b < x < a + b ．因为原不等式的解集为 (-2 ，8) ，所 以有 变式训练 5 已知 a > 0 ，且不等式 | 3x - 2| < a 的解集为 ，求 a 的值． 典例精讲 【名师点睛】 此题是集合与不等式的综合题，解题时应熟练掌握不等式的性质和解不等式的方法，必要时也可利用数轴实现数形结合． 解析 不等式 | x - a | ≤ 1可变形为 -1 ≤ x - a ≤ 1，解得 a - 1 ≤ x ≤ a + 1 ，可得集合 A = {x | a - 1 ≤ x ≤ a + 1} ． 又因为 B = {x | x - 3 > 2} = {x | x > 5} ，且 A ∩ B = A ，所以 a - 1 ≥ 5 ，解得 a ≥ 6，所以实数 a 的取值范围为 [6 ，+ ∞) ． 变式训练6 设 A = {x| x - a | ≤ 2} ，B = {x | x2 - 2x - 8 ≥ 0} ，且 A ∩ B = ∅ ，求实数 a 的取值范围． 例 6 已知 ， 且 A ∩ B = A ，求实数 a 的取值范围． 谢 谢 $$