精品解析：江西省南昌市外国语学校2023-2024学年度高二下学期5月份月考数学试卷

南昌市外国语学校2023-2024学年度下学期5月份月考试卷 高二数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. “”的一个充分条件可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合分数不等式的解，不等式的性质，及指数函数的性质，利用充分条件逐项判断即可. 【详解】由，即，所以 对选项A，， 所以不一定有，故A不正确， 选项B，由，则， 则或，故B项不正确， 选项C，， 则或，故C不正确， 选项D，由知， 所以，成立，故D正确， 故选：D. 2. 已知函数，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出函数的导数，结合得出，即可求得答案. 【详解】由得, 故由得, 所以, 故选：B 3. 已知点Q在圆C：上，点P在直线上，则PQ的最小值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】先将圆C变形，求出圆心与半径，再由圆到直线的最小距离求法求出值，再减去半径即可求出直线上的点到圆的最小距离. 【详解】圆中圆心为，半径， 圆心到直线的距离：， 则， 故选：A． 4. 设函数，则 A. 为的极大值点 B. 为的极小值点 C. 为的极大值点 D. 为的极小值点 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：因为，所以． 又，所以为的极小值点． 考点：利用导数研究函数的极值；导数的运算法则． 点评：极值点的导数为0 ，但导数为0的点不一定是极值点． 5. 设函数，在R上的导函数存在，且，则当时（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对于AB，利用特殊函数法，举反例即可排除；对于CD，构造函数，利用导数与函数单调性的关系证得在上单调递减，从而得以判断. 【详解】对于AB，不妨设，，则，，满足题意， 若，则，故A错误， 若，则，故B错误； 对于CD，因为，在上的导函数存在，且， 令，则， 所以在上单调递减， 因为，即，所以， 由得，则，故C正确； 由得，则，故D错误. 故选：C. 6. 在平面直角坐标系中，已知为双曲线的右顶点，以为直径的圆与的一条渐近线交于另一点，若，则的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由渐近线方程和⊥求出，由勾股定理得到，从而求出离心率. 【详解】由题意得，⊥，双曲线的一条渐近线方程为， 故，即， 又，所以， 由勾股定理得，即， 解得， , 故选：B. 7. 已知某羽毛球小组共有20名运动员，其中一级运动员4人，二级运动员6人，三级运动员10人.现在举行一场羽毛球选拔赛，若一级、二级、三级运动员能够晋级的概率分别为0.9，0.6，0.2，则这20名运动员中任选一名运动员能够晋级的概率为（ ） A. 0.42 B. 0.46 C. 0.58 D. 0.62 【答案】B 【解析】 【分析】由全概率公式即可求解. 【详解】设事件B为“选出的运动员能晋级”， 为“选出的运动员是一级运动员”， 为“选出的运动员是二级运动员”， 为“选出的运动员是三级运动员”， 则，，， 又根据题意可得，，， 由全概率公式可得： ， 任选一名运动员能够晋级的概率为0.46. 故选：B. 8. 已知数列的前n项和为，且，．若，则正整数k的最小值为（ ） A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定的递推公式，构造等比数列求出，再求解不等式即得. 【详解】数列中，，当时，，则， 整理得，即，而，即， 因此数列是以为首项，公比为的等比数列，， 则，由，知为奇数，此时是递增的， 而，， 所以正整数k的最小值为13. 故选：C 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知曲线和直线，则（ ） A. 曲线上与直线l平行的切线的切点为 B. 曲线上与直线l平行的切线的切点为 C. 曲线上的点到直线l的最短距离为 D. 曲线上的点到直线l的最短距离为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据导数得出切线斜率求切点判断A,B,再结合点到直线距离求出最短距离判断C,D. 【详解】设与直线平行的直线和相切，则斜率为. 因为，所以，令，可得切点为，故A错误，B正确； 则点到直线的距离就是曲线上的点到直线的最短距离， 由点到直线的距离公式知最短距离为，故C正确，D错误. 故选：BC. 10. 已知正项等比数列的公比为，前项积为，且满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 存在最大值 【答案】ACD 【解析】 【分析】先通过条件确定和的取值情况判断AB，然后利用等比数列的性质计算即可判断C，再根据数列的单调性判断D. 【详解】由已知，又，， 所以，，A正确，B错误； ， ，所以，C正确； 因为且，所以等比数列递减数列， 于是，则的最大值为，D正确. 故选：ACD 11. 已知抛物线的焦点为F，过F的直线l交C于A，B两点（A在第一象限），O为坐标原点，则（ ） A. B. 当时，直线l的倾斜角为 C. 以为直径的圆与y轴相切 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】先由直线和抛物线联立得出根与系数的关系求出数量积判断A,应用焦点弦关系得出倾斜角判断B，应用抛物线性质判断直线和圆的位置关系判断C，根据向量夹角判断D. 【详解】由题意得，抛物线的焦点为，准线方程为，设，， 直线与抛物线交于两点，所以直线的斜率不能为0， 设直线的方程为，联立，整理得，， 则， 所以， 则，故A正确； 设直线I的倾斜角为，由得， ，解得，所以，故B错误； 设中点为P，过A，P分别向y轴引垂线，垂足分别为，， 则，所以以为直径的圆与y轴相切，故C正确； 因为 ， 所以，所以，故D正确. 故选:ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若恰有三个元素，则实数m的取值范围为___________. 【答案】 【解析】 【分析】 根据题意可知，解出即可. 【详解】恰有三个元素， ， ，即. 故答案为：. 【点睛】本题考查根据集合元素个数求参数，其中涉及一元二次不等式的求解，属于基础题. 13. 已知数列的奇数项依次成等差数列，偶数项依次成等比数列，且，，，，则______. 【答案】23 【解析】 【分析】 先设奇数项公差为，偶数项公比为，根据已知条件列关系求解和，再计算，即得结果. 【详解】设数列的奇数项依次成公差为的等差数列，偶数项依次成公比为的等比数列， 由，，，，故，， 解方程得.故，则. 故答案为：23. 【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的综合应用，属于中档题. 14. 已知关于的方程有且只有两个实数根，则实数的取值范围是______ 【答案】 【解析】 【分析】由题意构造函数，对该函数求导，并利用导数求得单调区间与极值，再画出函数图象，即可求得的取值范围. 【详解】原方程可变形为， 令函数，则， 令，得或， 当或时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取得极大值，且极大值为， 当时，取得极小值，且极小值为， 又当趋向于时，趋向于0，当趋向于时，趋向于， 所以的大致图象如图，所以实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数求参数的范围问题.本题的关键点是方程有且只有两个方程，构造函数，结合导数求得单调区间与极值，从而得到函数的大致图象，即可求得参数的取值范围. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的首项是3，且满足． （1）求证：是等比数列； （2）求数列的前项和． 【答案】（1） 由，得， 又． 所以数列是以1为首项，3为公比的等比数列． （2） 【解析】 【分析】（1）利用已知变形得，结合等比数列的定义证明即可； （2）由（1）可得，利用分组求和以及公式法即可得到结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得数列是以1为首项，3为公比的等比数列， ，， 16. 已知函数. （1）若是函数的极值点，求的值； （2）求函数的单调区间. 【答案】（1） （2）当时，函数的单调递增区间为，无递减区间； 当时，函数的单调递增区间是，单调递减区间是. 【解析】 【分析】 （1）利用，解得，再检验可得答案； （2）求导后，对分和讨论，根据可得增区间，可得递减区间. 【详解】（1）函数定义域为，， 因为是函数的极值点，所以，解得（舍）或 经检验，时，是函数的极值点， 所以. （2）若，，所以函数的单调递增区间为，无递减区间； 若，令，解得， 令，解得， 所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是. 综上所述：，函数的单调递增区间为，无递减区间； 当时，函数的单调递增区间是，单调递减区间是. 【点睛】本题考查了根据函数的极值点求参数，考查了分类讨论思想，考查了由导数求单调区间，属于基础题. 17. 如图，在四棱锥中，四边形为直角梯形，其中，，，平面平面. （1）证明：平面平面； （2）若，且异面直线与所成角为45°，求平面与平面所成二面角的平面角大小. 【答案】（1）证明如下： 因为，，， 所以，，， 在中，，由余弦定理可知， 故，由勾股定理逆定理得. 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又因为平面，所以平面平面. （2）60° 【解析】 【分析】（1）先应用面面垂直得出线面垂直，再根据面面垂直判定定理证明； （2）应用空间向量线线角的得出边长，再空间向量法求二面角即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，平面，所以， 又因为，，平面，所以平面， 因为，所以是异面直线与所成角，即， 所以，所以. 以点A为坐标原点，，，所在的直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 所以，， 设平面的法向量为， 由， 令，则，，得， 由题意得为平面的一个法向量， 所以，则， 由图形可知，平面与平面所成二面角的平面角为锐角， 故平面与平面所成二面角的平面角大小为60°. 18. 已知函数. （1）当时，求在处的切线方程； （2）当时，证明：； （3）若恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2）证明：方法1：，定义域为，， 由于函数均为单调递增函数，所以在上单调递增， ，， 所以存在唯一，使得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增． 所以当时，取最小值． 因此； 方法2：，定义域为， 令，， 当时，，在上单调递增，， 所以当时，． 令，， 当时，，在单调递增； 当时，，在单调递减． 所以，所以． 因此． （3）． 【解析】 【分析】（1）求导，由点斜式方程即可求解， （2）方法一：对求导，可得单调性，进而得最小值求解， 方法二：分别利用导数求证和，即可由不等式的性质求解， （3）分离参数将问题转化为，令，即可利用导数求解单调性得最值求解，或者由分离讨论得时，，进而构造，，由导数确定单调性求解. 【小问1详解】 由得， 故，， 所以切线方程为，即． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 方法1：因为 恒成立，所以 令 ，则 ， 因为 在 上单调递减，且 ， 所以当 时，，单调递增； 当 时，，单调递减． 所以 ． 因此 ． 方法2：定义域为，， 当时，，单调递减，，，此时不成立； 当时，均在上单调递增，所以在上单调递增，，；，， 所以存在，使得， 当时，，在单调递减；当时，，在单调递增． 所以 因为函数在上单调递减， 所以由得， 因为，所以令， 则，所以在上单调递减， 所以，即． 【点睛】方法点睛：本题考查了导数的综合运用，求某点处的切线方程较为简单，利用导数求单调性时，如果求导后的正负不容易辨别，往往可以将导函数的一部分抽离出来，构造新的函数，利用导数研究其单调性，进而可判断原函数的单调性.在证明不等式时，常采用两种思路：求直接求最值和等价转化.无论是那种方式，都要敢于构造函数，构造有效的函数往往是解题的关键. 19. 若数列满足，从数列中任取2项相加，把所有和的不同值按照从小到大排成一列，称为数列的和数列，记作数列． （1）已知等差数列的前n项和为，且． ①若，，求的通项公式，并写出的前5项； ②若，，求数列的前50项的和； （2）若，证明：对任意或，，并求数列的所有项的和． 【答案】（1）①，；② （2） 假设存在或使得， 当且时，因为，所以，得，这与矛盾， 同理且时也不成立， 当且时，设，因为， 所以， 左边为奇数，右边为偶数，所以， 综上得，对任意或 所以数列的所有项的和为． 【解析】 【分析】（1）①根据等差数列的通项公式与前n项和公式列方程组求解首项与公差，即可得的通项公式，从而根据数列的和数列概念，确定的前5项；②由，得，求解，从而可得数列的第项为，结合已知即可得首项与公差，由和数列的概念可得数列的前50项的和； （2）假设存在或使得，分别讨论当且时，当且时，是否成立，从而可证得结论. 【小问1详解】 设的公差为， ①由，得 解得， 所以， 的前5项依次为． ②因为，则， 当时，， 可以是任意正整数， 所以数列的第项为， 由得 解得，所以， 数列是首项为4､公差为2的等差数列， 所以的前50项和为． 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南昌市外国语学校2023-2024学年度下学期5月份月考试卷 高二数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. “”的一个充分条件可以是（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知点Q在圆C：上，点P在直线上，则PQ的最小值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 4. 设函数，则 A. 为的极大值点 B. 为的极小值点 C. 为的极大值点 D. 为的极小值点 5. 设函数，在R上的导函数存在，且，则当时（ ） A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系中，已知为双曲线的右顶点，以为直径的圆与的一条渐近线交于另一点，若，则的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 4 7. 已知某羽毛球小组共有20名运动员，其中一级运动员4人，二级运动员6人，三级运动员10人.现在举行一场羽毛球选拔赛，若一级、二级、三级运动员能够晋级的概率分别为0.9，0.6，0.2，则这20名运动员中任选一名运动员能够晋级的概率为（ ） A. 0.42 B. 0.46 C. 0.58 D. 0.62 8. 已知数列的前n项和为，且，．若，则正整数k的最小值为（ ） A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知曲线和直线，则（ ） A. 曲线上与直线l平行的切线的切点为 B. 曲线上与直线l平行的切线的切点为 C. 曲线上的点到直线l的最短距离为 D. 曲线上的点到直线l的最短距离为 10. 已知正项等比数列的公比为，前项积为，且满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 存在最大值 11. 已知抛物线的焦点为F，过F的直线l交C于A，B两点（A在第一象限），O为坐标原点，则（ ） A. B. 当时，直线l的倾斜角为 C. 以为直径的圆与y轴相切 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若恰有三个元素，则实数m的取值范围为___________. 13. 已知数列的奇数项依次成等差数列，偶数项依次成等比数列，且，，，，则______. 14. 已知关于的方程有且只有两个实数根，则实数的取值范围是______ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的首项是3，且满足． （1）求证：是等比数列； （2）求数列的前项和． 16. 已知函数. （1）若是函数的极值点，求的值； （2）求函数的单调区间. 17. 如图，在四棱锥中，四边形为直角梯形，其中，，，平面平面. （1）证明：平面平面； （2）若，且异面直线与所成角为45°，求平面与平面所成二面角的平面角大小. 18. 已知函数. （1）当时，求在处的切线方程； （2）当时，证明：； （3）若恒成立，求的取值范围. 19. 若数列满足，从数列中任取2项相加，把所有和的不同值按照从小到大排成一列，称为数列的和数列，记作数列． （1）已知等差数列的前n项和为，且． ①若，，求的通项公式，并写出的前5项； ②若，，求数列的前50项的和； （2）若，证明：对任意或，，并求数列的所有项的和． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $