第1章 直角三角形的边角关系 单元质检卷（B卷） 2024--2025学年北师大版九年级数学上册

（2）直角三角形的边角关系—九年级下册数学北师大版(2012)单元质检卷（B卷） 【满分：120】 一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分，给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.的值等于( ) A.1 B. C. D.2 2.如图，一架民航客机在飞行途中前方出现雷暴区域，机组请示后决定从C点处以仰角直线爬升至云层上方，爬升后客机所在的A点处相对于C点处的飞行高度上升了米，则客机直线爬升的距离为( ) A. B. C. D. 3.如图,一艘轮船航行至O点时,测得某灯塔A位于它的北偏东40°方向,且它与灯塔A相距13海里,继续沿正东方向航行,航行至点B处时,测得灯塔A恰好在它的正北方向,则的距离可表示为( ) A.海里 B.海里 C.海里 D.海里 4.如图,梯子(长度不变)与地面所成的锐角为,关于的三角函数值与梯子的倾斜程度之间的关系,下列说法中,正确的是( ) A.的值越大,梯子越陡 B.的值越大,梯子越陡 C.的值越小,梯子越陡 D.陡缓程度与的函数值无关 5.周末,刘老师读到《行路难》中“闲来垂钓碧溪上,忽复乘舟梦日边.”邀约好友一起去江边垂钓.如图.钓鱼竿的长为4m.露在水面上的鱼线的长为,刘老师想看看鱼钩上的情况.把鱼竿逆时针转动15°到的位置,此时露在水面上的鱼线的长度是( ) A.3m B. C. D. 6.如图,东西方向上有A,C两点,点B在点A的北偏东方向上,在点C的北偏西方向上,则下列说法正确的是( ) A. B. C. D. 7.如图,直线与坐标轴交于点A、B,则点C的坐标为( ) A. B. C. D. 8.中国古代数学家赵爽设计的“弦图”蕴含了丰富的数学知识.如图,在由四个全等的直角三角形(,,,)和中间一个小正方形拼成的大正方形中,设,若,则正方形与正方形的面积的比值为( ) A.13 B. C.5 D. 9.宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感.如图，把黄金矩形沿对角线翻折，点B落在点处，交于点E，则的值为( ) A. B. C. D. 10.如图，在矩形ABCD中，E，F是边BC上两点，且，连接DE，AF，DE与AF相交于点G，连接BG.若，，则的值为( ) A. B. C. D. 二、填空题（每小题4分，共20分） 11.一段公路路面的坡度为,如果某人沿着这段公路向上行走了260米,那么此人升高了________米. 12.计算：________. 13.如图,在中,,,点D为边上的中点.连接,过点B作于点E,延长交于点F,则的长为__________. 14.在中，，.若是锐角三角形，则边长的取值范围是__________. 15.如图，在中，，，，，线段绕点A旋转，点P为的中点，则的最大值是___________. 三、解答题（本大题共6小题，共计60分，解答题应写出演算步骤或证明过程） 16.（8分）中,,,点D在上,,,求的长. 17.（8分）如图,在中,点E,F分别在,上,且,. (1)求证：四边形是矩形； (2)若,,,求的长. 18.（10分）无人机在实际生活中的应用广泛,如图所示,某人利用无人机测最大楼的高度,无人机在空中点P处,测得点P距地面上A点80米,点A处俯角为,楼顶C点处的俯角为,已知点A与大楼的距离为70米(点A,B,C,P在同一平面内),求大楼的高度(结果保留根号) 19.（10分）如图1，在水平地面上，一辆小车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起.起始位置示意图如图2，此时测得点A到所在直线的距离，；停止位置示意图如图3，此时测得（点C，A，D在同一直线上，且直线与平面平行，图3中所有点在同一平面内.定滑轮半径忽略不计，运动过程中绳子总长不变.（参考数据：，，，） （1）求的长； （2）求物体上升的高度（结果精确到）. 20.（12分）阅读下列材料： 在中，、、所对的边分别为a、b、c，求证：. 证明：如图1，过点C作于点D，则： 在中， 在中， 根据上面的材料解决下列问题： (1)如图2，在中，、、所对的边分别为a、b、c，求证：； (2)为了办好湖南省首届旅游发展大会，张家界市积极优化旅游环境.如图3，规划中的一片三角形区域需美化，已知，，米，求这片区域的面积.(结果保留根号.参考数据：，) 21.（12分）如图,车站A在车站B的正西方向,它们之间的距离为100千米,修理厂C在车站B的正东方向.现有一辆客车从车站B出发,沿北偏东方向行驶到达D处,已知D在A的北偏东方向,D在C的北偏西方向. (1)求车站B到目的地D的距离(结果保留根号) (2)客车在D处准备返回时发生了故障,司机在D处拨打了救援电话并在原地等待,一辆救援车从修理厂C出发以35千米每小时的速度沿方向前往救援,同时一辆应急车从车站A以60千米每小时的速度沿方向前往接送滞留乘客,请通过计算说明救援车能否在应急车到达之前赶到D处.(参考数据：,,) 答案以及解析 1.答案：C 解析：, 故选：C. 2.答案：A 解析：， 米， 故选：A. 3.答案：A 解析：如图,由题意可知,, 在中, ,,海里, ∴海里. 海里. 故选：A. 4.答案：A 解析：A、的值越大,则越大,则梯子越陡,原说法正确,符合题意； B、的值越大越小,梯子越平缓,原说法错误,不符合题意； C、的值越小越小,梯子越平缓,原说法错误,不符合题意； D、陡缓程度与的函数值有关,原说法错误,不符合题意； 故选：A. 5.答案：C 解析：∵, ∴, ∴, ∴, ∴, 故选：C. 6.答案：B 解析：A、根据图象得, ∴,选项错误,不符合题意； B、根据图象得, ∴,选项正确,符合题意； C、,选项错误,不符合题意； D、,选项错误,不符合题意； 故选：B. 7.答案：A 解析：∵直线与坐标轴交于点A、B, ∴, ∴, ∴, ∵,, ∴, ∴, 解得, ∴, 故选：A. 8.答案：A 解析：设小直角三角形的长直角边为a,短直角边为b,斜边长为c, ∵四边形是正方形, ∴, ∴, ∴,, ∵, ∴, ∴, ∵, , ∴正方形与正方形的面积的比值为13, 故选：A. 9.答案：A 解析：设宽为x， 宽与长的比是， 长为：， 由折叠的性质可知，， 在和中， ， ， ， ， 设， 在中，， 变形得：， ，， ， 故选A. 10.答案：A 解析：过G作于H， 四边形ABCD是矩形， ，， ，， ， ， ， 和是等腰直角三角形 ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， 故选：A. 11.答案：100 解析：设此人升高了x米, ∵坡度为, ∴他行走的水平距离为米, 由勾股定理得,, 解得：(负值舍去), 即他沿着垂直方向升高了100米, 故答案为：100. 12.答案：0 解析： 故答案为：0. 13.答案：/ 解析：过点D作于点M, ∵,,点D为边上的中点,. ∴,,,； ∴,, ∴,, ∴, ∴, 故答案为：. 14.答案： 解析：如图，作的高，， 是锐角三角形， ，在的内部， ，， 在中，，， ， ， 又， ， 故答案为：. 15.答案： 解析：取的中点M，连接、. ，，， ， ， ， P、M分别是的中点， . 如图，当在下方时，如果B、P、M三点共线，则有最大值， 最大值为， 故答案为：. 16.答案：30 解析：∵,, ∴, ∴, ∴, 在中,. 17.答案：(1)见解析 (2) 解析：(1)证明：∵ ∴, ∵ ∴即 ∴四边形是平行四边形 ∵ ∴是矩形； (2)∵矩形 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴. 18.答案：大楼的高度为 解析：如图,过P作于H,过C作于Q,而, 则四边形是矩形, ∴,, 由题意可得：,,,, ∴,, ∴, ∴, ∴, ∴大楼的高度为. 19.答案：（1） （2） 解析：（1）由题意得，， ，， 在中，由， 得：， ， 答：； （2）在中，由勾股定理得，， 在中，， ， ， 由题意得，， ， ， 答：物体上升的高度约为. 20.答案：(1)见解析 (2) 解析：(1)证明：如图2，过点A作于点D， 在中，， 在中，， ， ； (2)如图3，过点A作于点E， ，， ， 在中， 又， 即， ， . 21.答案：(1)千米 (2)能 解析：(1)过点D作于点E,如图, 则, 由题意知,,, ∴是等腰直角三角形, ∴, 设千米,则千米, 在中,, ∴, ∵, ∴, 解得：, ∴千米, 即车站B到目的地D的距离为千米； (2)根据题意得, 又, ∴千米, 又∵ ∴千米, 救援车所用时间为：(时)； 应急车所用时间为：(时) ∵, ∴救援车能在应急车到达之前赶到D处. 学科网（北京）股份有限公司 $$