第3讲 长方体的体积和单位（讲义）-2024-2025学年六年级上册数学苏教版

03 长方体和正方体的体积 课前检测 1、如图是用棱长为2厘米的正方体摆成的物体，这个物体的表面积是（ ）平方厘米。 A、10 B、30 C、34 D、136 2、一个棱长3米的正方体木块，如果把它锯成体积相等的8个小正方体，表面积增加（ ）平方米。 3、一根长方体木料，长1.5米。宽和厚都是2分米，把它锯成4段，表面积最少增加（ ）平方分米。 4、一个机器零件如下图所示(单位:cm),将它的表面涂上防锈漆(底面不涂),涂防锈漆的面积是多少? 5、把一块横截面积为正方形的长方体木料，分割成一个表面积是96平方厘米的正方体和一个表面积是80平方厘米的长方体，那么原来长方体的表面积是多少？ 6、 一个长方体的长是5分米，宽是2分米，高是3分米，如果要使这个长方体的表面积增加20平方分米，宽和高都不变，那么长应增加多少分米？ 7、 一个底面是正方形的长方体铁箱，如果把它的侧面展开，正好得到一个边长是16厘米的正方形。如果铁箱内装有半箱水，水箱内壁与水接触的面的面积是多少平方厘米？（铁皮厚度不计） 【知识点一】体积及容积单位的认识。 【方法点拨】 1.容积： 容积是指物体所能容纳物体的体积大小，常见的容积单位有：升（L）、毫升（mL）。 2.体积： 体积是指物体本身所占空间的大小，常见的体积单位有：立方厘米（cm3）、立方分米（dm3）、立方米(m3)，1立方厘米相当于一个手指尖的体积。 3. 由于测量方法的不同，体积一般大于容积。 【典型例题】 在括号里填上合适的单位。 一台冰箱容积约为240( )；   一间教室的面积约为50( )； 一个集装箱的体积约是45( )；三本《新华字典》的体积约1( )。 操场面积大约是3000（ ）；一块橡皮的体积约是6（ ） 【知识点二】体积及容积单位换算。 【方法点拨】 1.体积及容积单位进率： 1m3＝1000dm3；1dm3＝1000cm3；1L＝1000mL；1L=1dm3；1mL＝1cm3；。 2.单位换算： 高级单位换算为低级单位乘进率，低级单位换算成高级单位除以进率。 【典型例题】 单位换算。 ( )m2＝520dm2＝( )cm2      3.6L＝( )mL＝( )cm3=( )dm3 6.03立方米=（ ）立方米（ ）立方分米 4.06升=（ ）立方分米（ ）立方厘米 2050立方厘米=（ ）毫升=（ ）升 7.04立方米=（ ）毫升 【知识点三】长方体和正方体体积的实际应用及反求。 【方法点拨】 1.长方体的体积=长×宽×高，用字母表示V=abh。 长=体积÷宽÷高，a=V÷b÷h。 宽=体积÷长÷高，b=V÷a÷h。 高=体积÷长÷宽，h= V÷a÷b。 2、正方体的体积=棱长×棱长×棱长，用字母表示V=a×a×a = a³，读作“a的立方”表示3个a相乘。 【典型例题】 1、小温用边长的正方形纸片度量长方体的两个面（如图），关于这个长方体的说法错误的是　　 A．棱长总和是 B．表面积是 C．体积是 D．底面积是 2、把一根2米长的方木截成三段（横截面是正方形），表面积增加100平方厘米，这根方木的体积是（ ）。 3、一个花坛（如图），高0.7米，底面是边长1.2米的正方形，四周用砖砌成，厚度是0.2米，中间填满泥土。 （1）这个花坛占地多少平方米？ （2）用泥土填满这个花坛，大约需要泥土多少立方米？ （3）做这样一个花坛，四周大约需要砖多少平方米？ 4、李小明参加校“节约用水”环保小组，对学校一个滴水的水龙头滴水量进行测量．他用一个棱长6分米的正方体水箱去接水，一昼夜正好接满，如果采用下面“”形的容器接水，多长时间可以接满？ 【知识点四】体积的扩倍问题和折叠问题。 【方法点拨】 长方体或正方体的长、宽、高同时扩大几倍，体积就会扩大倍数的立方倍。 【方法点拨】 根据折叠图，求出长方体对应的长、宽、高，再求体积。 【典型例题】 1、一个正方体，如果棱长增加2倍，棱长总和扩大（ ）倍，底面积扩大（ ）倍，表面积扩大（ ）倍，体积增加了（ ）倍。 2、一个长方体的长扩大到原来的2倍，宽扩大到原来的3倍，高不变，体积　　 A．扩大到原来的2倍 B．扩大到原来的4倍 C．扩大到原来的6倍 D．扩大到原来的8倍 3、一个长方体的长、宽、高都扩大到原来的2倍，棱长和就扩大到原来的（ ）倍，表面积就扩大到原来的( )倍，体积扩大到原来的( )倍。 4、一块长方形铁皮（如图），从四个角各切掉一个边长为3cm的正方形，然后做成盒子．这个盒子用了多少铁皮？它的容积有多少？ 【知识点五】等积变形问题：熔铸问题、倒水问题、底面变化问题。 【方法点拨】 长方体和正方体之间经过熔铸、锻造，其形状发生了改变，但是体积是不变的。 长方体和正方体中水的互相转移，其形状发生了改变，但是体积是不变的。 水在长方体中不同位置的放置，底面在改变，但体积始终不变。 【典型例题】 1、把一块棱长为10厘米的正方体钢坯，锻造成一个长2.5分米，宽2分米的长方体钢板，这块钢板有多厚？（损耗不计） 2、 一个正方体玻璃缸，棱长6分米，用它装满水，再把水全部倒入一个底面积为30平方分米，高为10分米的长方体水槽中，水面距水槽口多少分米？ 3、一个长方体的容器（如图），里面的水深8厘米。把这个容器盖紧后竖放，现在的底面长10厘米、宽8厘米，这时里面的水深是多少厘米？ 【知识点六】体积与表面积增减变化：拼切问题和高的变化。 【方法点拨】 1.切片问题： 刀数×2=切面个数。 2.拼接问题： 段数-1=刀数；刀数×2=切面个数。 3、高的变化问题 ①正方体高的变化，即棱长的增减变化，会引起正方体侧面积的增减变化。 ②.长方体高的变化，会引起长方体侧面积的增减变化，长方体的侧面指的是前后左右四个面。 【典型例题】 1、一根长12分米的木料，按下图横截成3段后表面积增加了100平方分米。原来这根木料的体积是多少立方分米？ 2、一个长方体，如果高减少3厘米就成了一个正方体，表面积比原来减少84平方厘米。原来长方体的体积是多少立方厘米？ 【知识点七】排水法求不规则物体体积 【方法点拨】 1、形状不规则的物体可以用排水法求体积： 排水法的公式：V物体 =V现在－V原来 也可以 V物体 =S×(h现在- h原来) V物体 = S×h升高 2、物体完全浸没在水中，如果物体的体积超过空白部分的体积，就会溢出，求溢出部分的体积需要用物体的体积减去空白部分的体积。 【典型例题】 1、求下面图形的表面积和体积。（单位：cm） 2、一个长方体玻璃容器，从里面量长、宽都是2分米，向容器中倒入6升水，再把一个土豆放入水中，这时量得容器中的水深18厘米，这个土豆的体积是多少？ 3、一个容器的内底面是长 90 厘米、宽 40 厘米的长方形,容器里斜放着一根高1米、底面边长为18厘米的长方体铁棒(浸没),这时容器里的水深0.5米。如果把铁棒取出，那么容器里的水深多少厘米?(水的损耗忽略不计) 4、如图所示，甲是空的长方体容器，乙长方体容器中水深30厘米，要将容器乙中的水倒一部分给容器甲，使两个长方体容器中水的高度相同，这时水深多少厘米？ 5、一个长方体鱼缸，从里面量长1.5米、宽0.6米、高0.8米，缸里水深0.7米，放入一块假山石后（完全浸没在水里），缸里水溢出了45立方分米。再把这块假山石取出来，缸里的水深变为0.65米。这块假山石的体积是多少立方分米？ 6、科学实验课上，乐乐先往一个棱长为2分米的正方体玻璃容器中倒入7升的水，再往容器中放入一块长15厘米、宽10厘米，高8厘米的铁块。请问。放入铁块后，玻璃容器里的水会溢出吗？如果会，溢出的水有多少升 7、一个长方体玻璃缸装有水，从里面量长25厘米，宽20厘米，高18厘米，现在完全放入一块棱长10厘米的正方体铁块，这时水深15厘米，如果把铁块从里面取出，睡眠会下降多少厘米？ 8、王亮很喜欢红金鱼，也很喜欢饲养红金鱼，于是爸爸给他做一个长、宽、高分别是10分米，6分米，6分米无盖的玻璃鱼缸。 （1）做这个玻璃缸至少要多少平方米的玻璃？ （2）如果注入300升的水，水没有溢出，水深是多少分米？ （3）注入300升的水后，再放进10条红金鱼和高4分米体积是立方分米的假山石，水有溢出，溢出的体积是2升。平均每条红金鱼的体积是多少立方分米？ 【课后巩固】 1、在括号里填上合适的单位。 一张桌面的面积大约是64（ ）； 我们教室的空间大约是240（ ）。 一个铅笔盒的体积约有2009（ ） 一间卧室面积约为15（ ） 一个货舱的容积约300（ ）游泳池大约可以蓄水4000（ ）； 2、一个长方体长5厘米，宽4厘米，高3厘米，如果高增加a厘米，那么长方体的体积增加（ ）立方厘米，表面积增加（ ）平方厘米 3、一个长方体长为a分米，宽b分米，高c分米，（a>b>c）,把它切成两个相同的小长方体。表面积最少增加（ ）平方分米，最多增加（ ）平方分米。 4、把37.5升水倒入一个长5分米，宽3分米，高3.5分米的鱼缸里。这时水面离缸口还有（ ）分米。 5、一个底面是正方形的长方体容器，高12厘米，侧面展开刚好是一个正方形。这个容器的容积是（ ）立方厘米 6、要将长为60厘米、宽为45厘米，高为30厘米的长方体划分成表面积相等的小正方体，那么每个小正方体的体积最大是（ ）立方厘米。 7、一个长方体，如果高减少3厘米，就成为一个正方体，这时体积比原来减少了96立方厘米，原来长方体的体积是（ ）立方厘米。 8、如图，求下面零件的表面积和体积。（单位：厘米） 9、在一个棱长 40厘米的盛满水的正方体容器中,垂直放入一根底面是边长20厘米的正方形、高是60厘米的长方体铁棒。会溢出多少升的水? 10、1个底面积为16平方厘米，高为20厘米的长方体容器，注入水后水面高13厘米，把5个小球沉浸在杯内，溢出容器的水重12.56克，1个小球的体积是多少立方厘米？（1立方厘米水重1克） 11、有一块长方体木料，锯成相等的3段，可以得到3个完全一样的正方体，已知原木料的表面积是350平方厘米，那么原木料的体积是多少立方分米？ 12、一个长6厘米，宽5厘米，高4厘米的长方体木块，表面涂满红色，把它切成棱长1厘米的小正方体，在这些小正方体中，两面涂色的有几个，一面涂色的有几个？六个面都没涂色的有几个？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$