第2讲 长方体和正方体的表面积（讲义）-2024-2025学年六年级上册数学苏教版

02 长方体和正方体的表面积 课前检测 1、一个棱长和为80厘米的长方体，正好可以切成两个完全相同的小正方体，每个小正方体的棱长和是（ ）厘米，表面积是（ ）平方厘米。 2、一个长方体木块正好可以切成3个完全相同的正方体，3个正方体的棱长总和比原来长方体的棱长和增加了160厘米，原来长方体的棱长和是（ ）厘米。 3、一块长方体木料，长72厘米，宽60厘米，高36厘米，现在要把它锯成同样大小的正方体木块，木块的体积要最大，木料又不能剩下，算一算这块木料可以锯成（ ）块， 4、一个正方体的六个面上分别标有1、2、3、4、5、6这6个数字，从3个不同的角度看正方体（如下图），标有数字6的对面是（ ） A、1 B、3 C、5 D、4 5、如图，有一个无盖的正方体纸盒，下底标有字母”M”,如果沿图中粗线将其剪开并展开成平面图形想想会是（ ） 6、如图是A、B、C、D四个正方体中（    ）的平面展开图。 A． B． C． D． 【知识点一】长方体和正方体表面积的实际应用及反求棱长。 【方法点拨】 1、表面积的意义。   长方体(或正方体)６个面的总面积，叫作它的表面积。 2、长方体、正方体表面积的计算公式。 1、长方体的表面积。 长方体的表面积=长×宽×2+长×高×2+宽×高×2=（长×宽+长×高+宽×高）×2。 2、正方体的表面积。 正方体的表面积=棱长×棱长×6=1个面的面积×6。 3、注意与生活实际相结合 油箱、罐头盒等都是6个面； 游泳池、鱼缸等都只有5个面水管 烟囱等都只有4个面。 【典型例题】 1、一种长方体下水管，长2米，横截面是一个边长为3分米的正方形，做一对这样的水管，至少需要铁皮（ ）平方分米（损耗不计）） A、480 B、48 C、516 D、276 2、一个长方体的表面积是242平方厘米，它的宽是7厘米，高是3厘米。那么，聪明的你知道这个长方体的长是多少厘米吗? 3、大厅里有8根高为5米的方柱需要涂油漆，方柱的横截面是边长为0.5米的正方形，若1千克油漆可以涂5平方米，则涂这8根方柱需要多少千克油漆？ 【对应练习】 1、如图中的大纸盒里能装（ ）个棱长是的小正方体，这个大纸盒的表面积是（ ） 　　。 2、 一个长方体纸箱，长、宽、高分别是0.5米，0,4米，0.3米。把它放在地上，至少占地（ ）平方米，做这个纸箱至少需要（ ）平方米的纸板（损耗0.3平方米） 3、工人师傅做了一个如图的零件，如果要给这个零件的表面都涂上油漆，涂漆的面积是　　平方厘米。 【知识点二】长方体和正方体的展开图与表面积 【方法点拨】 ①利用长方体的展开图求表面积，关键在于找到长、宽、高。 ② 如果长方体的侧面展开图是正方形，即长方体底面周长=长方体的高 【典型例题】 1、一个长方体的底面是面积9平方分米的正方形，它的侧面展开图正好是一个正方形，这个长方体的表面积为( )平方分米。 A、90 B、144 C、162 D、216 2、小明用一张长方形纸可以剪出一个完整的棱长为2厘米的无盖正方体表面展开图，这张长方形纸的面积最小是( )平方厘米。 3、一个长方体，如果长增加5厘米，体积增加100立方厘米；如果宽增加6厘米，体积就增加144立方厘米；如果高增加7厘米，体积增加210立方厘米。求原来长方体的表面积 【对应练习】 下面是一个长方体的展开图，如果将它还原成长方体。（所有字母露在外面） （1）如果面在下面，那么（        ）面在上面。 （2）如果面在前面，从右面看到的是面，那么（        ）在左面，（        ）在上面。 （3）求出这个长方体的表面积是多少平方厘米？ 【知识点三】长方体和正方体的棱长扩倍问题。 【方法点拨】 长方体（正方体）的长、宽、高同时扩大到原来的n倍，那么它的棱长和就扩大到原来的n倍，表面积就扩大到原来的n2倍。 【典型例题】 1、一个正方体的棱长扩大到原来的3倍，那么它的棱长和扩大到原来的( )倍，表面积扩大到原来的( )倍。 2、一个长方体的长、宽、高都分别扩大2倍，则其表面积扩大（ ）倍。 【对应练习】 1、 一个正方体的棱长扩大到原来的3倍后，表面积是216平方厘米，则原来正方体的表面积是（ ）平方厘米，棱长是（ ）厘米. 2、如图，将一个正方体2厘米的棱长增加到3厘米，它的棱长总和扩大到原来的（ ）倍；它的体积扩大到原来的（ ）倍。 【知识点四】表面积增减变化问题其一：拼切问题。 【方法点拨】 表面积的增减变化问题主要有三种，一种是切片问题，表面积会相应增加，一种是拼接问题，表面积会相应减少，一种是高的变化引起的表面积变化。 1.切片问题： （1）切一刀增加两个切面，沿着不同的方向切，多出的表面积一般是不一样的，其中正方体比较特殊，它的表面积的增减变化都是都是正方形在进行变化，相对比较简单。 （2）刀数×2=切面个数。 2.拼接问题： （1）长方体或正方体的拼接会使表面积减少，两个正方体的拼接，有两个重合面，会减少两个正方形的面积，同理，三个正方体的拼接会减少四个正方形的面积，与切片问题类似，可以先判断刀数，再根据刀数去推正方形的个数，但是长方体的拼接要根据不同的拼接面来判断具体减少的面积。 （2）段数-1=刀数；刀数×2=切面个数。 【典型例题】 1、用3个完全一样的正方体拼成一个长方体，这个长方体的棱长总和是160厘米，这个长方体的表面积是多少平方厘米？ 2、把一个正方体木块锯成两个长方体木块，其中小长方体的表面积比大长方体的表面积少20平方厘米。原来正方体木块的棱长是5厘米，小长方体的表面积是多少平方厘米？ 3、从一个长10厘米、宽8厘米、高6厘米的长方体木块上切下一个最大的正方体,剩下部分的表面积是多少平方厘米? 4、有一个长方体木块，长是10厘米。宽是8厘米。高是6厘米，把它切割成棱长是2厘米的小正方体，这些小正方体的表面积之和比原来长方体的表面积增加多少平方厘米？ 【对应练习】 1、一个长方体正好能切成两个大小相同的正方体，正方体的棱长是a米，这个长方体的表面积是（    ）平方米。 A．12a B．12a² C．10a D．10a² 2、下图是一个棱长4厘米的正方体，在正方体上面正中向下挖一个棱长是2厘米的正方体小洞，接着在小洞的底面正中再向下挖一个棱长是1厘米正方体小洞，最后得到的立方体图形的表面积是（    ）平方厘米。 A．96 B．116 C．128 D．132 3、如图，将若干个棱长1厘米的小正方体排成一排，拼成一个大长方体。 (1)3个这样的小正方体拼成的长方体表面积是( )平方厘米。 (2) n个这样的小正方体拼成的长方体的表面积是( )平方厘米。 4、把一根长1.4米的长方体钢材（横截面是正方形）全部锯成长0.35米的小段，表面积比原来增加了6平方分米，如果每立方分米钢材重7.8千克，原来这根钢材重多少千克？ 【知识点五】表面积增减变化问题其二：高引起的面积变化问题。 【方法点拨】 1.正方体高的变化，即棱长的增减变化，会引起正方体侧面积的增减变化。 2.长方体高的变化，会引起长方体侧面积的增减变化，长方体的侧面指的是前后左右四个面。 【典型例题】 1、有一个长方体玻璃鱼缸（如图所示）。现在向鱼缸内注水，随着水面的上升，水与玻璃接触的面积会不断发生变化。第一次有一组相对的面出现正方形时，鱼缸内有( )立方厘米的水，水与玻璃接触的面积是( )平方厘米。 2、一个长方体木块，从它的上部和下部分别截去高4厘米和5厘米的长方体后，成为一个正方体，这样表面积比原来减少了216平方厘米。原来长方体的体积是多少立方厘米？（提示：可以先画出示意图帮助理解） 【对应练习】 1、一个长方体的高增加3分米后，就变成了一个正方体。这个正方体的表面积比原来长方体的表面积增加了60平方分米，原来长方体的表面积是多少平方米？ 2、一个高为8厘米的长方体木块，如果纵向把它切成两个小长方体，表面积就增加80平方厘米；如果横向把它切成两个小长方体，表面积就增加60平方厘米，这个长方体木块的表面积是多少？ 【知识点六】不规则立体图形的表面积。 ①在求与长方体、正方体有关的不规则立体图形时，注意分析该图形是由哪些面组合而成的，再求出对应面的面积即可。 ②求不规则物体的表面积，可以先求部分面积，再根据物体的特点求出总面积。像这样由若干个相同的正方体摆成的物体，表面积=(上面的面积+前面的面积+右面的面积)×2。 【典型例题】 1、下图是用棱长3厘米的小正方体摆成的物体。 (1)这个物体的表面积是多少平方厘米? （2） ）如果添加同样的小正方体,把这个物体补成一个大正方体，表面积至少是多少平方厘米?需要添加多少个这样的小正方体? 2、有一个长方体木箱靠墙放置，木箱角上靠墙放有一个小正方体， （1）求小正方体和长方体露在外面的面积之和。 （2）求小正方体和长方体的体积之和。 【对应练习】 1、关于下图中的两个立体图形，下列说法正确的是（    ）。 A．表面积，体积都相等 B．表面积相等，体积不等 C．表面积不等，体积相等 D．表面积，体积都不等 2、下图,底层的长方体长 10 厘米,宽8厘米,高4厘米,中间层和顶层的两个正方体的棱长分别为6厘米和3厘米。搭成的物体的表面积是多少平方厘米? 【知识点七】表面涂色问题 【方法点拨】 三面涂色的在顶点，两面涂色的在棱上，一面涂色的在面上，没有涂色的在里面： （1）染三个面的小正方体数量：8个。 （2）染两个面的小正方体数量：12×（n-2）。 （3）染一个面的小正方体数量：6×（n-2）x（n-2）。 （4）没有染色的面的小正方体数量：（n-2）×（n-2）×（n-2）。 【典型例题】 1、一个表面涂色的正方体，每条棱都平均分成5份，如果照图的样子把它切开，切成同样大的小正方体。切成的小正方体中2面涂色的有（ ）个。A．8 B．36 C．54 2、一个表面涂成红色的大正方体，把它全部切成若干个棱长为1厘米的小正方体。小正方体中，如果两面涂色的有84个，那么一面涂色的有( )个。 【对应练习】 1、 一个表面涂色的正方体，每条棱都平均分成5份，切成同样大的小正方体后，两面涂色的小正方体有( )个；如果把这个表面涂色的正方体每条棱平均分成n份，切开后，三面涂色的小正方体有( )个。 2、 一个4×4×4的魔方上，三面涂色的小正方体共有( )块，两面涂色的小正方体共有( )块，一面涂色的小正方体有( )块。 3、给一个棱长8dm的正方体表面涂上红色，如果把它切割成棱长2dm的小正方体，一共能切成( )块，只有一面涂色的有( )块。 【课后巩固】 1、一个正方体的棱长扩大3倍，它的体积扩大（ ）倍，表面积扩大（ ）倍 A、6、3 B、6、9 C、9、6 D、27、9 2、一个从里面量长8米，宽2.6米，高3米的集中箱中摆放棱长是8分米的正方体货箱，最多能摆（ ）个。 A、8 B、90 C、121 D、122 3、一个长方形纸板长80厘米，宽10厘米，把它对折、对折，打开后，围成一个高10厘米的长方体纸箱的侧面，如果要为这个长方体纸箱配一个底面，底面积是（ ）平方厘米 A、800 B、200 C、 400 4、小娟用棱长1厘米的小正方体木块拼成一个棱长5厘米的大正方体，并把这个大正方体的表面涂成红色，其中一面涂色的小正方体有（ ）个。 A．8 B．12 C．36 D．54 5、 一个正方体的棱长总和是36厘米，把它切成两个完全一样的小长方体，小长方体的表面积是（ ）平方厘米。 6、 把5个完全相同的正方体拼成一个长方体后，棱长总和减少64厘米，每个小正方体的表面积是（ ）平方厘米。 7、 有两根同样长的铁丝，一根做成一个底面周长是24厘米的正方体框架，另一根做成一个底面周长是18厘米的长方体框架，这个长方体框架的高是（ ）厘米。 8、小怡做了一个测量铁球体积的实验：①将300毫升的水倒入一个容积为500毫升的杯子中；②将4个相同的铁球放入水中，结果水没有满；③再将一个同样的铁球放入水中，结果水满并且有溢出。根据这个试验，一个铁球的体积大约相当于（     ）毫升的水的体积。 9、用一根88厘米长的铁丝围成一个长方体框架，再在外面糊一层纸，已知它的长是高的3倍，宽比长短6厘米，长方体的表面积是多少平房厘米？ 10、一本书的长是16厘米，宽是10厘米，厚度是0.5厘米，如果把三本这样的书包成一包，最少需要多少平方厘米的包装纸（接口处不计）？ 12、将12个棱长为1厘米的小正方体拼成一个大长方体，这个长方体的表面积最大是多少平方厘米？表面积最小是多少平方厘米？ 13、为了争创“市书香校园示范校”，学校为每个班级制作一个长80厘米，宽60厘米，高150厘米的暑假（如下图，有背板），并且最下面一层有两个门板，门板高40厘米，制作这样一个书架需要木板多少平方分米？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$