新课预习衔接：分数乘法 (讲义)-2024-2025学年六年级上册数学人教版

分数乘法 【思维导图+知识精讲+典型例题+高频真题+答案解析】编者的话：同学们，恭喜你已经开启了本单元的求知之旅，相信你已经正确规划了自己的学习任务，本套资料为课前预习，课中巩固，课后提升而设计，对单元知识点进行全面精讲，易错点逐个分解，强化练习常考易错真题，答案解析非常通俗易懂，可助你轻松掌握、理解、运用单元知识点解决问题！ 2024年8月 目录导航 资料说明 第一部分：思维导图：单元知识简单且高效的发散性思维呈现，是一种实用性的知识小结。 第二部分：知识精讲：把握知识要点，掌握方法技巧，理解数学本质，提升数学思维。 第三部分：典型例题：选题典型、高频易错、考试母题，具有理解一题，掌握一类的优势。 第四部分：高频真题：精选近两年统考真题，助您学习有方向，做好题，达到事半功倍的效果。 第五部分：答案解析：重点、难点题精细化解析，犹如名师讲解，可以轻松理解。 第一部分 思维导图 第二部分 知识精讲 知识清单+方法技巧 【分数乘分数知识点归纳】 分数乘法的计算法则 1、整数和分数相乘：整数和分子相乘的积作分子，分母不变。 2、分数和分数相乘：分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。 3、注意：能约分的先约分，然后再乘，得数必须是最简分数。当带分数进行乘法计算时，要先把带分数化成假分数再进行计算。 【方法总结】 分数大小的比较： 1、一个数（0除外）乘以一个真分数，所得的积小于它本身。一个数（0除外）乘以一个假分数，所得的积等于或大于它本身。一个数（0除外）乘以一个带分数，所得的积大于它本身。 2、如果几个不为0的数与不同分数相乘的积相等，那么与大分数相乘的因数反而小，与小分数相乘的因数反而大。 【分数乘法知识点归纳】 分数乘法的意义与整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数和的简便运算． 乘积是1的两个数叫做互为倒数． 分数乘法法则： （1）分数乘以整数或整数乘以分数：由于任何整数（0除外）都可以化成分母是1的假分数，分数乘以整数或整数乘以分数，都可以转化成分数乘以分数的形式．因此，在计算中，是用分数的分子和整数相乘的积作为分子，分母不变．在乘的过程中，如果有可以约分的数，可以先约分，这样，可以使计算的数字缩小，从而使计算变得简便． （2）分数乘以分数：用分子相乘的积作为分子，用分母相乘的积作为分母．为了使计算简便，在计算的过程中，能够约分的，要约分． （3）带分数乘法：先把带分数化成假分数，然后再乘．结果是假分数时，要把假分数化成带分数或整数． 分数乘法的运算定律： （1）交换律：两个分数相乘，交换分数的位置，它们的积不变． （2）结合律：三个分数相乘，先把前两个分数相乘，再乘以第三个分数，或者先把后两个分数相乘，再乘以第一个分数，它们的积不变． （3）乘法分配律：两个分数的和与一个分数相乘所得的积，等于每一个加数分别与这个分数相乘所得的积的和． 第三部分 典型例题 例题1：有一种奶粉，每千克中含有千克蛋白质，千克脂肪，千克碳水化合物．哪种成分的含量最高？哪种成分的含量最低？ 【答案】碳水化合物的含量最高，蛋白质的含量最低 【详解】试题分析：先依据分数的基本性质化成同分母分数，再按照同分母分数大小的比较方法即可进行大小比较． 解：， =， 则， 所以； 答：碳水化合物的含量最高，蛋白质的含量最低． 点评：此题主要考查异分母分数的大小比较的比较方法． 例题2：花园里，茶花的棵数比桂花多，已知桂花有40棵，茶花有多少棵？ 【答案】50棵 【分析】把桂花的棵数看作单位“1”，茶花的棵数相当于（1+），根据分数乘法的意义，用桂花的棵数（40棵）乘（1+）就是茶花的棵数． 【详解】40×（1+） =40× =40（棵） 答：茶花有50棵 例题3：张阿姨的体重是65千克，人体内血液约是体重的，血液中约含有的水，她的血液中含水大约有多少千克？ 【答案】千克 【分析】根据分数乘法的意义，用张阿姨的体重乘，即可计算出张阿姨体内血液的质量，再用张阿姨体内血液的质量乘，即可计算出她的血液中含水大约有多少千克。 【详解】 ＝ ＝（千克） 答：她的血液中含水大约有千克。 【点睛】本题考查分数乘法应用题，解题关键是先找出题目中的单位“1”是哪个量，再根据一个数乘分数的意义，列式计算。 例题4：某汽车厂去年计划生产汽车12600辆，结果上半年完成了全年计划的，下半年完成全年计划的。全年超产汽车多少辆？ 【答案】1960辆 【分析】把计划的生产数量看成单位“1”，全年实际一共完成了计划的（＋），用乘法求出实际一共完成了多少辆，然后再用实际完成的数量减去计划的数量就是超产完成了多少辆。 【详解】12600×（＋）﹣12600 ＝12600×﹣12600 ＝14560﹣12600 ＝1960（辆） 答：全年超产1960辆。 【点睛】此题考查的是分数应用题的列式，要先找准单位“1”，再据题中的数量关系列式求解。 第四部分 高频真题 1．体育中心修建了一个长方体游泳池，长50米，宽是长的，深3米。 （1）这个游泳池的占地面积是多少平方米？ （2）挖成这个游泳池共挖土多少方？ 2．甲乙两地相距420千米，一辆汽车4小时行驶了全程的，行驶了多少千米？ 3．学校图书馆新购进540本书，其中故事书的本数是这批书的，故事书有多少本？ 4．扎西老师看一本400页的《格萨尔往》故事书，第一周看了，第二周看了余下的，两周一共看了多少页？ 5．从广州到香港，原来乘火车全程大约需要2小时，现在广州到香港的高速铁路开通后时间比原来减少，现在从广州到香港乘坐高铁需要多少小时？ 6．一个正方形的边长是米，它的周长是多少？它的面积是多少？ 7．一台电脑原来售价7200元，现在降价。现在每台售价多少元？ 8．一台电视机的原价是3000元，现价比原价降低了，这台电视机的现价是多少元? 9．一个 西瓜，平均分成6块，小明吃了4块，小明吃了这块西瓜的几分之几？还剩几分之几？ 10．一辆汽车从东城开往西城，每小时行驶68km，5小时到达，返回时因是上坡路，每小时比原来慢，返回时用了多少小时？ 11．某市为了绿化环境，计划种植观赏树5400棵，工作人员平均每天可植总棵树的，9天可植树多少棵？ 12．商店出售一种电视机，原价1540元，现在降低了，降低了多少元？ 13．奶奶今年75岁，妈妈的年龄是奶奶的，小红的年龄是妈妈的。小红今年多少岁？ 14．针对“节约用水”活动，我校3月份用水650吨，4月份比3月份节约。我校4月份用水多少吨？ 15．有三筐水果，第一筐重42千克，第二筐的质量是第一筐的，第三筐的质量是第二筐的，第三筐重多少千克？（用两种方法解答） 16．学校买来100千克白菜，吃了，还剩多少千克？ 17．李峰的爸爸身高是170cm，李峰的身高正好是他爸爸的，李峰的身高是多少？ 18．小明是个足球迷，他买了一本20元的新版《马拉多纳传》，共有160页。他上周看了全书的，剩下的打算5天看完，这5天平均每天应看多少页？ 19．学校五年级有故事书400本，科技书的本数是故事书的，文艺书的本数是科技书的，文艺书有多少本？ 20．工厂原有职工800人，年初有的职工下岗，后来在下岗的职工中有的人重新上岗。下岗后重新上岗的有多少人？ 21．现有含糖量为的糖水200克，要把它变成含糖量为的糖水，需要加糖多少克？ 22．学校书法比赛上，获三等奖的有32人，获二等奖的人数是三等奖的，获一等奖的人数是二等奖的，获一等奖的有多少人？ 23．修路队修一条公路，第一天修了千米，第二天修的是第一天的1.2倍，第二天修了多少千米？两天一共修了多少千米？ 24．一块平行四边形木板，底长米，高是底的．这块木板的面积是多少平方米？ 25．食堂运来一批白菜，共45kg，星期一煮了15千克，星期二煮了这批白菜的，这批白菜还有( )kg． 26．刘鹏一周看完360页的故事书，其中的是第一天看完的，是第二天看完的，两天共看完了多少页？ 27．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，甲车每小时行80千米，乙车的速度是甲车速度的，经过小时后两车相遇，求A、B两地相距多少千米？ 28．有56个班级先后参与了学校开展社会实践活动，其中的班级参观制药厂车间，的班级参观了新型农业基地，参观制药厂车间与参观了新型农业基地的班级各有多少？ 29．一批水泥，用去28吨，剩下的是用去的，这批水泥有多少吨？ 30．一本故事书共240页，小敏第一天看了全书的，第二天看了全书的。小敏两天共看了多少页？ 31．一个最简分数分子缩小为原来的，分母扩大9倍后是，原分数是多少？ 32．春节期间，“春旺”水果超市运来苹果吨，运来香蕉的质量是苹果的，运来梨的质量是香蕉的，运来梨多少吨？ 33．小明读一本200页的《莫言小说集》，第一天读了全书的，第二天读了余下的。 （1）第一天读了多少页？ （2）第二天读了多少页？ 34．在一个山坡上，樟树和桂花树共有560棵．其中是樟树，而大叶樟占樟树总棵数的．大叶樟有多少棵？ 35．一个西瓜平均分成5块，玲玲吃了3块，强强吃了2块，两人一共吃了西瓜的几分之几？ 36．小军从家出发，去相距的学校。15分钟后还未到学校，此时距离学校的路程正好是全程的。求小军已行的路程。 37．一件商品先涨价，然后再降价，问现在的价格和原价格比较升高、降低还是不变？ 38．百果园超市购进60千克香蕉，第一天卖出了，第二天卖出了余下的，第二天卖出多少千克？ 39．阳光小学的操场在扩建（如图），扩建的面积是原来的。扩建后操场的面积是多少平方米？ 40．一台电脑原价为5000元，先降价后，再涨价，现在这台电脑多少元钱？ 41．甲5小时行了24千米，乙7小时行了32千米．它们两人谁的速度快？ 42．海象的寿命大约是40年，海狮的寿命是海象的。海狮的寿命是多少年？ 43．一本书有300页，小李第一天看了这本书的，第二天看了剩下的，第三天应从第几页看起？ 44．一袋大米重60千克，吃了，还剩下多少千克？ 45．一个大西瓜，八戒吃了，悟空吃了剩下的，因为＜，八戒不高兴，认为自己吃了亏，你怎么看？ 参考答案： 1．（1）1000平方米； （2）3000方 【分析】（1）求一个数的几分之几是多少的问题的解法：一个数（单位“1”的量）×几分之几＝部分量。据此用50×先求出长方体游泳池的宽是20米；这个游泳池的占地面积即是长方体游泳池的底面积，长方形的面积＝长×宽，再用50×20求出这个游泳池的占地面积是1000平方米。 （2）长方体的体积（容积）＝长×宽×高，据此用50×20×3求出这个游泳池的容积，也就是挖出的土的体积。 【详解】（1） ＝50×20 ＝1000（平方米） 答：这个游泳池的占地面积是1000平方米。 （2） ＝50×20×3 ＝3000（立方米） 3000立方米＝3000方 答：挖成这个游泳池共挖土3000方。 【点睛】此题考查了求一个数的几分之几是多少的问题、长方形的面积计算公式、长方体的体积（容积）计算公式。 2．300千米 【分析】把甲乙两地的距离看作单位“1”，一辆汽车行驶了全程的，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，即可求出行驶的路程。 【详解】420×＝300（千米） 答：行驶了300千米。 【点睛】本题考查分数乘法的应用，找出单位“1”，单位“1”已知，根据分数乘法的意义解答。 3．240本 【分析】把书的总本数看作单位“1”，根据分数乘法的意义，用540×即可求出故事书的本数。 【详解】540×＝240（本） 答：故事书有240本。 【点睛】本题主要考查了分数乘法的应用，明确求一个数的几分之几是多少，用乘法计算。 4．300页 【分析】把这本书的总页数看作单位“1”，第二周看的页数占这本书总页数的（1－）×，再根据求一个数几分之几是多少的计算方法用分数乘法计算。 【详解】400×[＋（1－）×] ＝400×[＋×] ＝400×[＋] ＝400× ＝300（页） 答：两周一共看了300页。 【点睛】的单位“1”是这本书的总页数，的单位“1”是看完这本书后剩下的页数。 5．小时 【分析】将原来用时看作单位“1”，现在用时是原来的（1－），原来用时×现在用时对应分率＝现在用时，据此列式解答。 【详解】2×（1－） ＝2× ＝（小时） 答：现在从广州到香港乘坐高铁需要小时。 【点睛】关键是确定单位“1”，整体数量×部分对应分率＝部分数量。 6．米，平方米 【详解】试题分析：正方形的边长=边长×4，正方形的面积=边长×边长，据此代入数据即可解答． 解：周长是：×4=（米）， 面积是：×=（平方米）， 答：它的周长是米，面积是平方米． 点评：此题主要考查正方形的周长和面积公式的计算应用． 7．6300元 【分析】把电视机的原价看成单位“1”，售价是原价的（1－），由此用乘法求出售价。 【详解】7200×（1－） ＝7200× ＝6300（元） 答：现在每台售价6300元。 【点睛】此题主要考查学生对确定单位“1”的理解与应用，需要掌握求一个数的几分之几是多少，用乘法。 8．2400元 【详解】3000×(1－)＝2400(元) 9．， 【详解】试题分析：一个 西瓜，平均分成6块，根据分数的意义，即将这块西瓜当做单位“1”平均分成6份，小明吃了4块，则吃了这块西瓜的，即，还剩下全部的1﹣=． 解：小明这块西瓜的，即， 还剩下全部的1﹣=． 答：小明吃了这块西瓜的，还剩． 点评：分的意义为：将单位“1”平均分成若干份，表示其中这样一份或几份的数为分数． 10．小时 【解析】略 11．3600棵 【详解】.（棵） 12．答：降低了560元 【详解】1540×=560（元） 答：降低了560元 13．15岁 【分析】用奶奶的年龄乘，先求出妈妈的年龄，再将妈妈的年龄乘，即可求出小红的年龄。 【详解】75×× ＝45× ＝15（岁） 答：小红今年15岁。 【点睛】本题考查了分数乘法应用题，求一个数的几分之几是多少，用这个数乘分率。 14．500吨 【分析】将3月份的用水量看作单位“1”，4月份比3月份节约，则4月份的用水量＝3月份的用水量×，据此解答。 【详解】 （吨） 答：我校4月份用水500吨。 15．30千克 【分析】方法一：把第一筐水果的质量看作单位“1”，第二筐的质量是第一筐的，第二筐水果的质量＝第一筐水果的质量×，第三筐的质量是第二筐的，第三筐水果的质量＝第二筐水果的质量×； 方法二：把第一筐水果的质量看作单位“1”，第二筐的质量是第一筐的，第三筐的质量是第二筐的，则第三筐水果的质量占第一筐水果质量的（×），已知一个数，求这个数的几分之几是多少用分数乘法计算，第三筐水果的质量＝第一筐水果的质量×（×），据此解答。 【详解】方法一：42×× ＝35× ＝30（千克） 方法二：42×（×） ＝42× ＝30（千克） 答：第三筐重30千克。 【点睛】本题主要考查分数乘法的应用，掌握分数乘法的意义是解答题目的关键。 16．20千克 【分析】把这些白菜的质量看作单位“1”，吃了，还剩下（），根据分数乘法的意义，求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，用100乘（），即可求出剩下的千克数。 【详解】100×（） ＝100× ＝20（千克） 答：还剩20千克。 【点睛】此题主要是考查分数乘法的应用，首先确定单位“1”，已知一个数，求它的几分之几是多少，用乘法计算。 17．(cm) 【详解】略 18．20页 【分析】由分析可知，用这本书的总页数×（1－）＝剩下的页数，然后用剩下的页数÷剩下需要的天数＝剩下平均每天应看的页数。 【详解】剩下的页数：160×（1－） ＝160× ＝100（天） 剩下每天应看的页数：100÷5＝20（页） 答：这5天平均每天应看20页。 【点睛】此题解题的关键是找出剩下的页数。 19．240本 【分析】把故事书的本数看作单位“1”，科技书的本数是故事书的，文艺书的本数是科技书的，已知一个数，连续求这个数的几分之几是多少用分数连乘计算，文艺书的本数＝故事书的本数××，据此解答。 【详解】400×× ＝320× ＝240（本） 答：文艺书有240本。 【点睛】本题主要考查分数连乘的应用，掌握分数乘法的意义是解答题目的关键。 20．192人 【分析】把工厂原有职工人数看作单位“1”，年初有的职工下岗，求下岗人数，用800×，求出下岗职工人数；再把下岗职工人数看作单位“1”， 后来在下岗的职工中有的人重新上岗，求重新上岗人数，用下岗职工人数×，即可求出下岗后重新上岗人数。 【详解】800×× ＝320× ＝192（人） 答：下岗后重新上岗的有192人。 21．25克 【分析】含糖量为的糖水200克，含水的质量为200×（1－）＝180（克），含糖量为的糖水，水重量是180÷（1－），计算出结果，再减去200克即可。 【详解】200×（1－） ＝200× ＝180（克） 180÷（1－） ＝180÷ ＝180× ＝225（克） 225－200＝25（克） 答：需要加糖25克。 【点睛】此题抓住了水的质量不变来求浓度为的糖水质量，这是解题的关键。 22．4人 【详解】32××＝4(人) 23．×1.2＝×＝（千米） 答：第二天修了千米． ＋=＋=（千米） 答：两天一共修了千米． 【详解】因为第二天是第一天的1.2倍，也就是第二天修的是的1.2倍，所以列式为×1.2，再根据分数乘小数的计算法则计算出结果，即可得到第二天修的长度．要求两天一共修多少千米，可以用两天修的千米数相加，即＋，再根据异分母分数加法法则计算出结果． 24．平方米 【分析】已知平行四边形的底长米，高是底的，根据一个数乘分数的意义，求出它的高；再根据面积公式，s=ah，列式解答即可。 【详解】×（） = =（平方米）； 答：这块木板的面积是平方米。 25．12 【详解】略 26．（页） 【解析】略 27．25千米 【分析】用80×求出乙车的速度，相遇问题，路程和＝速度和×相遇时间。 【详解】（80×＋80）× ＝140× ＝25（千米） 答：A、B两地相距25千米。 【点睛】此题考查相遇问题的基本公式以及分数乘法的意义的应用，求一个数的几分之几是多少用分数乘法。 28．35个   21个 【详解】56×＝35（个） 56×＝21（个） 答：参观制药厂车间的班级有35个；参观了新型农业基地的班级有21个． 29．48吨 【详解】剩下水泥的数量是28×=20吨，这批水泥共有28＋20=48吨 30．108页 【分析】把这本故事书的总页数看作单位“1”，用这本书的总页数乘，计算出第一天看的页数，再用这本书的总页数乘，计算出第二天看的页数，最后把两天看的页数相加，据此解答。 【详解】 （页） 答：小敏两天共看了108页。 【点睛】本题考查的是分数乘法在实际问题中的运用，解题关键是先找出题目中的单位“1”是哪个量，再根据一个数乘分数的意义，列式计算。 31． 【分析】分子缩小为原来的，分母扩大9倍，那么原来这个分数是×45，计算即可。 【详解】×（5×9） ＝×45 ＝ 答：原分数是。 【点睛】此题主要根据分数的基本性质解答问题。 32．(吨) 【详解】略 33．（1）40页 （2）40页 【分析】（1）根据求一个数的几分之几是多少，用这本书的总页数乘计算即可。 （2）由题意可知：第一天读了全书的，则还剩下1－没有读，然后根据求一个数的几分之几是多少，用余下的页数乘就是即可。 【详解】（1）200×＝40（页） 答：第一天读了40页。 （2）200×（1－）× ＝160× ＝40（页） 答：第二天读了多少页40页。 【点睛】本题考查求一个数的几分之几是多少，明确用乘法是解题的关键。 34．240棵 【详解】560××=240（棵） 答：大叶樟有240棵． 35． 【详解】试题分析：玲玲吃了3块，强强吃了2块，则两人共吃了3+2=5块，共被平均分成5块，根据分数的意义可知，两人一共吃了这块瓜的5÷5=． 解：（3+2）÷5 =5÷5， =． 答：两人一共吃了这块瓜的． 点评：求一个数是另一个数的几分之几，用除法解答． 36．0.9千米 【分析】由题意可知，15分钟后小军已行了全程的1－＝，求全程的是多少，根据求一个数的几分之几是多少用乘法计算，即1.2×（1－）。 【详解】1.2×（1－） ＝1.2× ＝0.9（千米） 答：小军已行了0.9千米。 【点睛】解答此题的关键是明白15分钟后小军已行了全程的几分之几，再根据分数乘法的意义计算。 37．降低 【分析】，所以现在的价格比原价降低了。 【详解】设这件商品的原价是“1”， 因为＜1，所以现在的价格和原价格比较是降低了。 答：现在的价格和原来的价格比降低了。 【点睛】本题考查分数的应用，解决本题的关键是找准单位“1”。 38．24千克 【分析】先用60×（1－）求出余下的香蕉的重量，再用余下的重量乘求出第二天卖出的重量即可。 【详解】60×（1－）× ＝60×× ＝24（千克） 答：第二天卖出24千克。 【点睛】本题重点考查分数乘法的应用，明确题目单位“1”发生了变化是解题的关键。 39．2760m2 【分析】先求出扩建后的面积再加上原来操场的面积即可。 【详解】原面积：40×60＝2400（m2） 扩建的面积：2400×＝360（m2） 扩建后的面积：2400＋360＝2760（m2） 答：扩建后操场的面积是2760m2。 【点睛】明确“求一个数的几分之几是多少，用乘法”是解答本题的关键。 40．4950元 【分析】降价后的价格是5000×（1－）；再次涨价，上涨的部分是降价后价格的，所以最后的价格用5000×（1－）×5000×（1＋）即可。 【详解】5000×（1－）×5000×（1＋） ＝5000× ＝4950（元） 答：现在这台电脑4950元。 【点睛】涨价或者降价问题，要分清每一次价格变化前的单位“1”是谁。 41．甲 【详解】试题分析：先利用“速度=路程÷时间”求出它们的速度，再据异分母分数大小的比较方法，比较出它们的大小，即可知道谁的速度快． 解：甲的速度：24÷5=（千米/小时）， 乙的速度：32÷7=（千米/小时）， 因为， ， 且， 所以， 则甲的速度快． 答：它们两人甲的速度快． 点评：解答此题的关键是：先求出二者的速度，再按照异分母分数大小的比较方法，即可比较出它们的大小． 42．30年 【分析】把海象的寿命看作单位“1”，单位“1”已知，根据分数乘法的意义，用海象的寿命乘，即可求出海狮的寿命。 【详解】40×＝30（年） 答：海狮的寿命是30年。 【点睛】此题的解题关键是掌握求一个数的几分之几是多少的计算方法。 43．151页 【分析】用书的页数乘，求出第一天看了多少页，再利用减法求出此时剩下多少页。用第一天后剩下的页数乘，求出第二天看了多少页。利用加法，求出两天一共看了多少页，那么第三天需要从下一页看起。 【详解】第一天：300×＝50（页） 第二天：（300－50）× ＝250× ＝100（页） 两天一共：50＋100＝150（页） 150＋1＝151（页） 答：第三天应从第151页看起。 【点睛】本题考查了分数乘法的应用，求一个数的几分之几是多少，用这个数乘分率。 44．12千克 【分析】把这袋大米的总质量看作单位“1”，吃了，还剩下总质量的（1－）；单位“1”已知，用大米的总质量乘，即可求出还剩下的大米质量。 【详解】60×（1－） ＝60× ＝12（千克） 答：还剩下12千克。 【点睛】本题考查分数乘法的意义及应用，明确求一个数的几分之几是多少，用乘法计算。 45．一样多 【分析】八戒吃了，其中的单位“1”是整个西瓜，悟空吃了剩下的，其中的是（1－）的，计算出悟空吃的部分占整个西瓜的分率，并和比较大小。 【详解】假设整个西瓜为1 八戒：1×＝ 悟空：（1－）× ＝× ＝ ＝，则八戒和悟空都吃了整个西瓜的。 答：八戒和悟空吃的同样多。 【点睛】两个分数对应的单位“1”不一样，所以不能直接比较大小。 学科网（北京）股份有限公司 $$