精品解析：福建省泉州市2023-2024学年高一下学期期末质量检测数学模拟训练试题（3）

泉州市2023-2024学年 高一年下学期期末质量检测模拟训练（3） 数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第I卷（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 已知向量，则（    ） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量加法以及模长的坐标计算公式，结合已知条件，计算即可. 【详解】根据题意可得，故. 故选：A. 2. 已知向量，满足，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量的相关知识，计算出，借助数量积公式计算即可. 【详解】结合题意：，， ，， ． 故选：A. 3. 在中，点F为线段BC上任一点（不含端点），若，则的最小值为（ ） A. 9 B. 8 C. 4 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量共线定理得推论得到，再利用基本不等式“1”的妙用求解最小值. 【详解】因为点F为线段BC上任一点（不含端点）， 所以， 故， 当且仅当，即时等号成立， 故选：A 4. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的乘方法则计算出，，，，，发现数列的周期性，利用周期性即可求得所求式的值. 【详解】由，，，，， 故是一个周期数列，最小正周期为4， 且， 则 . 故选：B. 5. 如图，已知四面体的棱平面，且，其余的棱长均为．四面体以所在的直线为轴旋转弧度，且四面体始终在水平放置的平面的上方．如果将四面体在平面内正投影面积看成关于的函数，记为，则函数的最小正周期与取得最小值时平面与平面所成角分别为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对称性得出的周期；取AB中点E，可得，到的距离为且直线与平面所成的角为，面CDE，面ABD面ABC，设CD在平面的投影为MN，可得，讨论一个周期内的情形，当时，，则；当时，，求出及此时与的关系，即可求出此时平面与平面所成角． 【详解】设过且平行于平面的平面为， 由题意知，四面体在平面的上方时和下方时完全对称，故函数的周期为． 取中点E，连接CE、D+E，如图， ，，， ，，， 则，而，故，， 所以到的距离为， 又，，平面，所以平面， 则为直线与平面所成的角，又， 所以直线与平面所成的角为， ，E为AB中点， ，又在平面内，则面CDE， 又面CDE，则DE， ，在平面内 ，则面ABC， 又面ABD，则面ABD面ABC， 设在平面的投影为，可得． 下面讨论一个周期内的情形： 当时，如图， ， ，，则，故． 当时，如图， 到的距离为，，当时等号成立， ，即． 综上所述，，此时，又直线与平面所成的角为， 所以平面与平面所成的角为． 故选：D． 【点睛】关键点点睛：本题关键是确定在平面的投影为，从而得到的最小值. 6. 总体由编号为01，02，…，39，40的40个个体组成，从中选取5个个体.利用科学计算器依次生成一组随机数如下，则选出来的第5个个体的编号为（ ） 66 06 58 61 54 35 02 42 35 48 96 21 14 32 52 41 52 48 A. 54 B. 14 C. 21 D. 32 【答案】B 【解析】 【分析】根据随机数表法可得结果. 【详解】生成的随机数中落在编号01，02，…，39，40内的依次有06，35，02，35（重复）， 21，14，32，故第5个编号为14， 故选：B. 7. 某商场开展20周年店庆购物抽奖活动（100%中奖），凡购物满500元的顾客均可参加该活动，活动方式是在电脑上设置一个包含1，2，3，4，5，6的6个数字编号的滚动盘，随机按下启动键后，滚动盘上的数字开始滚动，当停止时滚动盘上出现一个数字，若该数字是大于5的数，则获得一等奖，奖金为150元；若该数字是小于4的奇数，则获得二等奖，奖金为100元；若该数字出现其它情况，则获得三等奖，奖金为50元.现某顾客依次操作两次，则该顾客奖金之和为200元的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将两次抽奖奖金之和为200元分为第一次与第二次都中二等奖，第一次中一等奖，第二次中三等奖，第一次中三等奖，第二次中一等奖三种情况，然后利用古典概型求概率的公式计算. 【详解】由题意得，抽奖两次滚动盘上出现两个数字的情况为，，共36种情况， 两次抽奖奖金之和为200元包括三种情况：①第一次与第二次都中二等奖，其包含的情况为，概率为； ②第一次中一等奖，第二次中三等奖，其包含的情况为，概率为； ③第一次中三等奖，第二次中一等奖，其包含的情况为，概率为， 所以该顾客两次抽奖后获得奖金之和为200元的概率为. 故选：B. 8. 已知棱长为1的正方体，以正方体中心为球心的球与正方体的各条棱相切，若点在球的正方体外部（含正方体表面）运动，则的最大值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】取中点，根据空间向量的数量积运算得，判断的最大值即可求解. 【详解】取中点，可知在球面上，可得， 所以， 点在球的正方体外部（含正方体表面）运动，当为直径时，， 所以的最大值为. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设是复数，则下列说法正确的是（ ） A. 若为纯虚数，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】利用复数的概念，运算逐个分析判断即可 【详解】对于A，因为是纯虚数，所以设，则，所以A正确， 对于B，设，因为，所以， 因为，，所以，所以B不正确， 对于C，设，则，所以，所以，所以C正确， 对于D，设， 因为， 则，时，且，所以D不正确， 故选：AC 10. 一个盒子里装有除颜色外完全相同的四个小球，其中黑球有两个，编号为1，2；红球有两个，编号为3，4，从中不放回的依次取出两个球，A表示事件“取出的两球不同色”，B表示事件“第一次取出的是黑球”，C表示事件“第二次取出的是黑球”，D表示事件“取出的两球同色”，则（ ） A. A与D相互独立. B. A与B相互独立 C. B与D相互独立 D. A与C相互独立 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据相互独立事件的概念进行判定. 【详解】不放回依次取出两个，基本事件有， 共种， 事件“”； 事件“”； 事件“”； 事件“”. 事件，事件“”， 事件“”， 事件“”， 则，，， ，，，， 所以，所以A与D不相互独立； ，所以A与B相互独立； ，所以B与D相互独立； ，所以A与C相互独立； 故选：BCD 11. 如图，PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，，点C是圆周上异于A，B的任意一点，D，E分别是PA、PC的中点，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 平面DEB C. 三棱锥外接球的表面积是 D. 若，则直线BD与平面PAC所成角的余弦值为 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A：反证，假设，根据线面垂直可得，得出矛盾；对于B：根据线面平行的判定定理分析判断；对于C：由题意可证，结合直角三角形的性质可知三棱锥外接球的球心为的中点，进而可求半径和表面积；对于D：分析可知直线BD与平面PAC所成角为，即可得结果. 【详解】对于选项A：因为平面，平面，则， 又因为D，E分别是PA、PC的中点，则∥， 假设，则， 且，平面，可知平面， 由平面，可得，这与题意不符，故A错误； 对于选项B：因为∥，平面DEB，平面DEB， 所以平面DEB，故B正确； 对于选项C：因为平面，平面，则， 由题意可知：，且，平面， 可知平面，由平面，可得， 由可知：三棱锥外接球的球心为的中点， 则三棱锥外接球的半径为， 所以三棱锥外接球的表面积为，故C正确； 对于选项D：连接， 因为平面，且， 可知直线BD与平面PAC所成角为，其余弦值为，故D错误； 故选：BC. 第II卷（非选择题92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 对于没有重复数据的样本、、…、，记这m个数的第k百分位数为．若不在这组数据中，且在区间中的数据有且只有5个，则m的所有可能值组成的集合为______． 【答案】 【解析】 【分析】就是否为正整数分类讨论，若为正整数，则5个数分别为；若不为整数，则5个数分别为，就的范围分类计算后可得m的所有可能值组成的集合. 【详解】不妨设，因为不在这组数据，故为正整数， 若为正整数，故，其中为正整数， 故，， 因为在区间中的数据有且只有5个， 故这个5个数分别为，故即， 但当时，，此时至少有6个， 故， 当时，即为，共5个，符合； 当时，即为，共6个，不符合； 当时，即为，共7个，不符合； 若为不是整数，故，其中为正奇数， 设，其中为正整数， 则，且，故， 故，， 因为在区间中的数据有且只有5个， 故这个5个数分别为，故即， 但当，，此时至少有6个， 故， 当时，即为，共5个，符合； 当时，即为，共6个，不符合； 当时，即为，共7个，不符合； 综上，符合条件的为，， 故答案为：. 【点睛】思路点睛：与不等式有关的整数解问题，可先根据区间中含有的整数的个数初步确定参数的范围，再逐个讨论后舍去矛盾的情况即可. 13. 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一幅“勾股圆方图”，后人称其为“赵爽弦图”.类比赵爽弦图，用3个全等的小三角形拼成了如图所示的等边，若，，则__________. 【答案】3 【解析】 【分析】在中，由正弦定理得出，再在中，由余弦定理得出即可得解. 【详解】在中，， 由正弦定理可知，，即，则， 在中，， ， 解得或（舍去）， 所以. 故答案为：3. 14. 采矿、采石或取土时，常用炸药包进行爆破，部分爆破呈圆锥漏斗形状（如图），已知圆锥的母线长是炸药包的爆破半径R，它的值是固定的．当炸药包埋的深度为_______可使爆破体积最大． 【答案】 【解析】 【分析】先将圆锥的体积转化为关于深处的关系式，再利用导数与函数性质的关系求得的最大值点，从而得解. 【详解】结合图形，可知圆锥的体积为， 又因为，即， 所以，，则， 令，得；令，得； 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得最大值， 所以炸药包要埋在深处. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知是复数，和均为实数，，其中是虚数单位. （1）求复数的共轭复数; （2）若复数在复平面内对应的点在第一象限，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，再根据复数的除法运算及实数的定义求出，再根据共轭复数的定义即可得解； （2）先求出复数，再根据复数的几何意义即可得解. 【小问1详解】 设，则， 为实数，，解得， 为实数， ，解得， ， ； 【小问2详解】 由（1）可知，， 复数在复平面内对应的点在第一象限， ，解得， 故实数的取值范围为. 16. 首届中国航协航空大会的一个鲜明的特色是在各个展区中设置了多项互动体验活动，吸引了很多的中小学生，其中模拟飞行体验区是让这些中小学生戴上VR眼镜模拟从起飞到降落，大大激发了他们的兴趣爱好.现从某个有互动体验的展区中随机抽取60名中小学生，统计他们的参观时间（从进入该展区到离开该展区的时长，单位：分钟，时间取整数），将时间分成六组，并绘制成如图所示的频率分布直方图. （1）由频率分布直方图，估计样本的平均数和方差；（每组数据以区间的中点值为代表） （2）为对比展区是否有体验区对中小学生的吸引程度，某工作人员给出了一份该展区中没有体验区的参观时间的随机数据，经计算得到该组数据参观时长平均值为65分钟，方差为，试判断有体验区的参观时长均值比没有体验区的参观时长均值是否有显著提高？（如果，则认为有显著提高，否则不认为有显著提高） （3）利用（2）中的结果，你认为展区是否应该设置互动体验展区？请说明理由. 【答案】（1）71，194 （2）有显著提高 （3） 从（2）中可知展区应该设置互动体验展区，这样可以吸引更多的参观者进行观看与体验， 使他们能更多地了解产品，并能更大程度地激发中小学生的兴趣爱好. 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图平均数和方差公式计算； （2）应用公式计算判断即可； （3）根据结果判断是否设置互动体验展区即可. 【小问1详解】 由题得， 所以样本的方差为 【小问2详解】 由题得， 所以， 所以有体验区的参观时长均值比没有体验区的参观时长均值有显著提高. 【小问3详解】 略 17. 已知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共4个，从中任取一球，得到红球或黄球的概率是，得到黄球或蓝球的概率是. （1）求盒中红球、黄球、蓝球的个数； （2）随机试验：从盒中有放回的取球两次，每次任取一球记下颜色. （i）写出该试验的样本空间； （ii）设置游戏规则如下：若取到两个球颜色相同则甲胜，否则乙胜.从概率的角度，判断这个游戏是否公平，请说明理由. 【答案】（1）盒中红球、黄球、蓝球的个数分别是； （2） （i） . （ii）游戏不公平，理由： 由（i）得，记“取到两个球颜色相同”为事件，“取到两个球颜色不相同”为事件，则，所以 所以 因为，所以此游戏不公平. 【解析】 【分析】（1）从中任取一球，分别记得到红球、黄球、蓝球为事件，根据为两两互斥事件， 由求解. （2）（i）根据红球、黄球、蓝球个数分别为2，1，1，用1，2表示红球，用表示黄球，用表示蓝球，表示第一次取出的球，表示第二次取出的球，表示试验的样本点，列举出来；（ii）由（i）利用古典概型的概率求解. 【小问1详解】 解：从中任取一球，分别记得到红球、黄球、蓝球为事件， 因为为两两互斥事件， 由已知得， 解得. ∴盒中红球、黄球、蓝球的个数分别是； 【小问2详解】 （i）由（1）知红球、黄球、蓝球个数分别为2，1，1，用1，2表示红球，用表示黄球，用表示蓝球，表示第一次取出的球，表示第二次取出的球，表示试验的样本点， 则样本空间 . （ii）略 18. 如图，在四棱锥P-ABCD中，E是线段PD上的点，且，PA=PD=AD=3，，，∠ADC=45°． （1）求证：平面PAB； （2）若M是线段CE上一动点，则线段AD上是否存在点N，使平面PAB？若存在，求出MN的最小值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2）存在，1 【解析】 【分析】（1）在PA上取点F使，连接EF，BF，由线面平行的判定定理即可证明. （2）在AD上取点N使，连接CN，EN，由线面平行的判定定理和性质定理即可证明. 【小问1详解】 证明：如图1，在PA上取点F使，连接EF，BF． ∵， ∴且， 又，且， ∴，EF=AD， ∴四边形BCEF为平行四边形， ∴， 而平面PAB，平面PAB，则平面PAB． 【小问2详解】 线段AD上存在点N且，使得平面PAB． 理由如下： 如图2，在AD上取点N使，连接CN，EN． ∵，， ∴． ∵平面PAB，平面PAB， ∴平面PAB． 由（1）知平面PAB，又， ∴平面平面PAB，又M是CE上的动点，平面CEN， ∴平面PAB， ∴线段AD上存在点N，使得平面PAB． ∵，BC=AN， ∴ND=2． 在中，∠ADC=45°，，由余弦定理知CN=2． 在中，CN=NE=2，， ∴由余弦定理知∠CNE=120°， ∴MN的最小值为， ∴线段AD上存在点N，使平面PAB，且MN的最小值为1． 19. 设平面内两个非零向量的夹角为，定义一种运算“” .试求解下列问题: （1）若向量求的值; （2）试探求的值与平面向量的坐标的关系; （3）设点，求的面积. 【答案】（1）2； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）由求得，再利用定义运算“”计算即得； （2）设出，根据向量的数量积求得，再利用定义运算“”计算即得； （3）由三点坐标求得的坐标，利用（2）的结论计算，代入三角形面积公式计算即得. 【小问1详解】 由已知,得， 由，可得， 又， 【小问2详解】 设，则， ， ， 又， . 【小问3详解】 ， ， 由（2）知. . 【点睛】关键点点睛：本题主要考查新定义运算的应用，属于较难题. 解题的关键在于理解定义运算“”的规定，把握其与向量数量积规定，三角形的面积公式的联系、异同，根据所给定的运算及三角函数间的关系，计算即可得到. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 泉州市2023-2024学年 高一年下学期期末质量检测模拟训练（3） 数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第I卷（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 已知向量，则（    ） A. 2 B. 3 C. D. 2. 已知向量，满足，，则（ ） A. B. C. D. 3. 在中，点F为线段BC上任一点（不含端点），若，则的最小值为（ ） A. 9 B. 8 C. 4 D. 2 4. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知四面体的棱平面，且，其余的棱长均为．四面体以所在的直线为轴旋转弧度，且四面体始终在水平放置的平面的上方．如果将四面体在平面内正投影面积看成关于的函数，记为，则函数的最小正周期与取得最小值时平面与平面所成角分别为（ ） A. B. C. D. 6. 总体由编号为01，02，…，39，40的40个个体组成，从中选取5个个体.利用科学计算器依次生成一组随机数如下，则选出来的第5个个体的编号为（ ） 66 06 58 61 54 35 02 42 35 48 96 21 14 32 52 41 52 48 A. 54 B. 14 C. 21 D. 32 7. 某商场开展20周年店庆购物抽奖活动（100%中奖），凡购物满500元的顾客均可参加该活动，活动方式是在电脑上设置一个包含1，2，3，4，5，6的6个数字编号的滚动盘，随机按下启动键后，滚动盘上的数字开始滚动，当停止时滚动盘上出现一个数字，若该数字是大于5的数，则获得一等奖，奖金为150元；若该数字是小于4的奇数，则获得二等奖，奖金为100元；若该数字出现其它情况，则获得三等奖，奖金为50元.现某顾客依次操作两次，则该顾客奖金之和为200元的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知棱长为1的正方体，以正方体中心为球心的球与正方体的各条棱相切，若点在球的正方体外部（含正方体表面）运动，则的最大值为（ ） A. 2 B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设是复数，则下列说法正确的是（ ） A. 若为纯虚数，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 一个盒子里装有除颜色外完全相同的四个小球，其中黑球有两个，编号为1，2；红球有两个，编号为3，4，从中不放回的依次取出两个球，A表示事件“取出的两球不同色”，B表示事件“第一次取出的是黑球”，C表示事件“第二次取出的是黑球”，D表示事件“取出的两球同色”，则（ ） A. A与D相互独立. B. A与B相互独立 C. B与D相互独立 D. A与C相互独立 11. 如图，PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，，点C是圆周上异于A，B的任意一点，D，E分别是PA、PC的中点，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 平面DEB C. 三棱锥外接球的表面积是 D. 若，则直线BD与平面PAC所成角的余弦值为 第II卷（非选择题92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 对于没有重复数据的样本、、…、，记这m个数的第k百分位数为．若不在这组数据中，且在区间中的数据有且只有5个，则m的所有可能值组成的集合为______． 13. 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一幅“勾股圆方图”，后人称其为“赵爽弦图”.类比赵爽弦图，用3个全等的小三角形拼成了如图所示的等边，若，，则__________. 14. 采矿、采石或取土时，常用炸药包进行爆破，部分爆破呈圆锥漏斗形状（如图），已知圆锥的母线长是炸药包的爆破半径R，它的值是固定的．当炸药包埋的深度为_______可使爆破体积最大． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知是复数，和均为实数，，其中是虚数单位. （1）求复数的共轭复数; （2）若复数在复平面内对应的点在第一象限，求实数的取值范围. 16. 首届中国航协航空大会的一个鲜明的特色是在各个展区中设置了多项互动体验活动，吸引了很多的中小学生，其中模拟飞行体验区是让这些中小学生戴上VR眼镜模拟从起飞到降落，大大激发了他们的兴趣爱好.现从某个有互动体验的展区中随机抽取60名中小学生，统计他们的参观时间（从进入该展区到离开该展区的时长，单位：分钟，时间取整数），将时间分成六组，并绘制成如图所示的频率分布直方图. （1）由频率分布直方图，估计样本的平均数和方差；（每组数据以区间的中点值为代表） （2）为对比展区是否有体验区对中小学生的吸引程度，某工作人员给出了一份该展区中没有体验区的参观时间的随机数据，经计算得到该组数据参观时长平均值为65分钟，方差为，试判断有体验区的参观时长均值比没有体验区的参观时长均值是否有显著提高？（如果，则认为有显著提高，否则不认为有显著提高） （3）利用（2）中的结果，你认为展区是否应该设置互动体验展区？请说明理由. 17. 已知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共4个，从中任取一球，得到红球或黄球的概率是，得到黄球或蓝球的概率是. （1）求盒中红球、黄球、蓝球的个数； （2）随机试验：从盒中有放回的取球两次，每次任取一球记下颜色. （i）写出该试验的样本空间； （ii）设置游戏规则如下：若取到两个球颜色相同则甲胜，否则乙胜.从概率的角度，判断这个游戏是否公平，请说明理由. 18. 如图，在四棱锥P-ABCD中，E是线段PD上的点，且，PA=PD=AD=3，，，∠ADC=45°． （1）求证：平面PAB； （2）若M是线段CE上一动点，则线段AD上是否存在点N，使平面PAB？若存在，求出MN的最小值；若不存在，说明理由． 19. 设平面内两个非零向量的夹角为，定义一种运算“” .试求解下列问题: （1）若向量求的值; （2）试探求的值与平面向量的坐标的关系; （3）设点，求的面积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $