精品解析：安徽省合肥市庐江县2023-2024学年九年级上学期期末模拟数学试题 （一）

庐江县2023-2024学年九年级上学期期末模拟考试数学试题（一） 考试范围：九上全册， 考试时间：120分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 第I卷（选择题） 一、选择题（本大题共10小题，共40分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 下列四个图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则的值为（ ） A. B. 或 C. D. 3. 已知点在上．则下列命题为真命题的是（ ） A. 若半径平分弦．则四边形是平行四边形 B. 若四边形是平行四边形．则 C. 若．则弦平分半径 D. 若弦平分半径．则半径平分弦 4. 如图是二次函数图象的一部分，且过点，二次函数图象的对称轴是直线，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，是的直径，与相切于点A，，的延长线交于点P，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 一个口袋中有红球、白球共20个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有40次摸到白球．请你估计这个口袋中有（ ）个白球． A. 12 B. 8 C. 6 D. 4 7. 如图，在中，顶点，，点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，是的中线，点的坐标为，将绕点逆时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 某公司销售一种成本为每件20元的LED护眼台灯．销售过程中发现，若销售单价为x元，则月销售量为件．为使每月获得最大利润，该台灯应定价为（ ） A. 30元 B. 35元 C. 40元 D. 45元 9. 用尺规作某种六边形的方法，其步骤是：如图，①在上任取一点A，连接并延长交于点B；②以点B为圆心，为半径作圆弧分别交于C，D两点；③连接，并延长分别交于点E，F；④顺次连接，，，，，，得到六边形．连接，，交于点G，则下列结论错误的是（ ） A. 的内心与外心都是点G B. C. 点G是线段的三等分点 D. 10. 如图，的内切圆与，，分别相切于点，，，连接，，，，，则阴影部分的面积为（ ） A B. C. D. 第II卷（非选择题） 二、填空题（本大题共4小题，共20分） 11. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，的坐标分别为，，顶点在函数的图象上，将正方形沿轴正方向平移后得到正方形，点的对应点落在抛物线上，则点与其对应点间的距离为______． 12. 不透明的口袋中装有8个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.6附近，估计口袋中白球大约有________个． 13 如图，将绕点顺时针旋转得，若，，则旋转角等于_____． 14. 如图，⊙O的直径AB＝16，半径OC⊥AB，D为上一动点（不包括 B、C两点），DE⊥OC，DF⊥AB，垂足分别为E，F，且点E为OC的中点． （1）劣弧的长为___； （2）若点P为直径AB上一动点，则PC+PD最小值为___． 三、解答题（本大题共9小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 如图，已知，为射线上一定点，点关于射线的对称点为点为射线上一动点，连接，满足为钝角，以点为中心，将线段逆时针旋转至线段，满足点在射线的反向延长线上． (1)依题意补全图形； (2)当点在运动过程中，旋转角是否发生变化?若不变化，请求出的值，若变化，请说明理由； (3)从点向射线作垂线，与射线的反向延长线交于点，探究线段和的数量关系并证明． 16. 圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味，如图，是一款拱门的示意图，其中拱门最下端分米，为的中点，为拱门最高点，圆心在线段上，分米，求拱门所在圆的半径． 17. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）任取一个符合条件的的值，解上述方程． 18. 相约西安，筑梦全运，为迎接十四运，学校开展了运动会志愿者选拔活动．小亮和小贾都很优秀，一同报名参加了选拔活动，但只有一个参加名额．现通过抽卡片方式决定谁去参加，规则如下：现有两组卡片，第一组为正面分别写有字母X、Y、Z的三张卡片，第二组为正面分别写有字母X、Y、Y、Z的四张卡片，这些卡片除正面字母外其余均相同．将卡片正面朝下洗匀，随机抽一张，记下字母后放回，称为抽卡片一次． （1）若小贾从第二组中抽卡片15次，其中9次抽出的卡片上写有字母Y，求这15次抽出的卡片上写有字母Y的频率； （2）小亮从第一组中抽卡片一次，小贾从第二组中抽卡片一次，若两人抽出的卡片上的字母相同，则小亮去参加；否则，小贾去参加．请问这种抽卡片的方式对两人是否公平？用列表或画树状图的方法说明理由． 19. 如图，矩形ABCD中，AB=2cm，BC=5cm，点P从B点以1cm/s的速度沿BC向点C移动． （1）当点P出发几秒后，PA=PC； （2）当点P出发几秒后，PA=2PD． 20. 如图，中，点在边上，，将线段绕点旋转到的位置，使得，连接，与交于点 （1）求证：； (2)若，，求的度数. 21. 已知二次函数． （1）当该二次函数的图象经过点时，求该二次函数的表达式； （2）在(1) 的条件下，二次函数图象与x轴的另一个交点为点B，与y轴的交点为点C,点P从点A出发在线段AB上以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时点Q从点B出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向点C运动，直到其中一点到达终点时，两点停止运动，求△BPQ面积的最大值; （3）若对满足的任意实数x，都使得成立，求实数b的取值范围． 22. 节能减排是国家“十四五”规划中的一个重要目标，规划提出要在2030年前实现“碳达峰”，到2060年实现“碳中和”发展．为响应国家号召，某省政府计划对一批工业园区的碳排放工厂进行改建和重建，该计划拟定2021年，工厂改建和重建数量共100座，且改建座数不低于重建座数的4倍． （1）按拟定计划，2021年至少要改建多少座工厂？ （2）经财政实际预算，2021年改建与重建工厂的平均费用之比为1：2，且改建工厂按照拟定计划中最少的数量计算，将花费资金156亿元，为加快实现“碳达峰”的目标，该省政府计划加大投入，计划指出2022年用于工厂改建和重建的费用将在2021年实际预算的基础上增加10a%，另外2022年改建与重建工厂的平均费用将比2021年分别增加a%和5a%，改建与重建立厂的座数将比2021年分别增加5a%和8a%，求a的值． 23. 已知：是外接圆，且，，D为上一动点． （1）如图1，若点D是的中点，等于多少？ （2）过点B作直线的垂线，垂足为点E． ①如图2，若点D在上，求证：． ②若点D在上，当它从点A向点C运动且满足时，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 庐江县2023-2024学年九年级上学期期末模拟考试数学试题（一） 考试范围：九上全册， 考试时间：120分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 第I卷（选择题） 一、选择题（本大题共10小题，共40分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 下列四个图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义就可以选出答案． 【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意； B、不是中心对称图形，不符合题意； C、中心对称图形，符合题意； D、不是中心对称图形，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查中心对称图形的定义：把一个图形绕某个点旋转180︒，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 2. 已知，则的值为（ ） A. B. 或 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查高次方程的解法，把原方程化为：，再把看成一个整体，解一元二次方程，最后进行检验，选择正确的解 【详解】解：∵， ∴，两边同除可得，， ∴， 解之得，或， 当时，，，无解，故舍去， 当时，，． 综合得，， 故选：A． 3. 已知点在上．则下列命题为真命题的是（ ） A. 若半径平分弦．则四边形是平行四边形 B. 若四边形是平行四边形．则 C. 若．则弦平分半径 D. 若弦平分半径．则半径平分弦 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆的有关性质、垂径定理及其推论、特殊平行四边形的判定与性质依次对各项判断即可． 【详解】A．∵半径平分弦， ∴OB⊥AC，AB=BC，不能判断四边形OABC是平行四边形， 假命题； B．∵四边形平行四边形,且OA=OC, ∴四边形是菱形， ∴OA=AB=OB，OA∥BC， ∴△OAB是等边三角形， ∴∠OAB=60º, ∴∠ABC=120º, 真命题； C．∵， ∴∠AOC=120º，不能判断出弦平分半径， 假命题； D．只有当弦垂直平分半径时，半径平分弦，所以是 假命题， 故选：B． 【点睛】本题主要考查命题与证明，涉及垂径定理及其推论、菱形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识，解答的关键是会利用所学的知识进行推理证明命题的真假． 4. 如图是二次函数图象的一部分，且过点，二次函数图象的对称轴是直线，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数与一元二次方程，解题的关键是熟知函数的性质并会观察图象．由对称轴和点A得到图象与轴的另一个交点坐标，从而判断选项；由开口方向和与轴的交点得到和的正负，从而判断选项B；由对称轴为直线判断选项C；由图象与轴的交点个数判断选项D． 【详解】解：函数图象过点，对称轴是直线， 图象与轴的另一个交点为，即当时，， ，故选项A正确； 开口向上，与轴的交点在轴负半轴上， ，， ，故选项B错误； 对称轴为直线， ， ，故选项C错误； 函数图象与轴有两个交点， ，即，故选项D错误． 故选：A． 5. 如图，是的直径，与相切于点A，，的延长线交于点P，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据切线的性质，直角三角形的特征，等腰三角形的性质，三角形外角性质计算即可，熟练掌握切线的性质是解题的关键． 【详解】∵是的直径，与相切于点A， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选D． 6. 一个口袋中有红球、白球共20个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有40次摸到白球．请你估计这个口袋中有（ ）个白球． A. 12 B. 8 C. 6 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】用球的总个数乘以摸到白球的频率即可． 【详解】解：估计这个口袋中白球个数约为（个）， 故选：B． 【点睛】本题主要考查用样本估计总体，从一个总体得到一个包含大量数据的样本，我们很难从一个个数字中直接看出样本所包含的信息．这时，我们用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，从而去估计总体的分布情况． 7. 如图，在中，顶点，，点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，是的中线，点的坐标为，将绕点逆时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】探究规律，利用规律解决问题即可． 【详解】解：∵AC=CB，C（2，3）， ∴A（0，6），B（4，0）， ∴OA=6， 第1次点A的坐标为（-3，3）， 第2次点A的坐标为（-6，0）， 第3次点A的坐标为（-3，-3）， 第4次点A的坐标为（0，-6）， 第5次点A的坐标为（3，-3）， 第6次点A坐标为（6，0）， 第7次点A的坐标为（3，3）， 第8次点A的坐标为（0，6）， 8次应该循环， ∵2021÷8=252•••5， ∴第2021次旋转结束时，点A的坐标为（3，-3）， 故选：C． 【点睛】本题考查坐标与图形变化-旋转，解直角三角形，规律型问题等知识，解题的关键是学会探究规律的方法． 8. 某公司销售一种成本为每件20元的LED护眼台灯．销售过程中发现，若销售单价为x元，则月销售量为件．为使每月获得最大利润，该台灯应定价为（ ） A. 30元 B. 35元 C. 40元 D. 45元 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，根据总利润单件利润数量列出函数关系式解答即可． 【详解】解：设利润为， 由题意得：， 化简得， 故当时，每月获得最大利润． 故选B． 9. 用尺规作某种六边形的方法，其步骤是：如图，①在上任取一点A，连接并延长交于点B；②以点B为圆心，为半径作圆弧分别交于C，D两点；③连接，并延长分别交于点E，F；④顺次连接，，，，，，得到六边形．连接，，交于点G，则下列结论错误的是（ ） A. 的内心与外心都是点G B. C. 点G是线段的三等分点 D. 【答案】D 【解析】 【分析】证明是等边三角形，，，可判断A；证明，可判断B；证明，可判断C；证明，可得结论． 【详解】解：在正六边形中，， ∵， ∴，，都是等边三角形， ∴，， ∴四边形，四边形都是菱形， ∴，， ∴的内心与外心都是点G，故A正确， ∵，， ∴， ∵， ∴，故B正确， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴点G是线段F的三等分点，故C正确， ∵，， ∴，故D错误， 故选：D． 【点睛】本题考查作图-复杂作图，等边三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，三角形的内心，外心等知识，解题的关键是证明四边形，四边形都是菱形． 10. 如图，的内切圆与，，分别相切于点，，，连接，，，，，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、三角形内切圆、面积法求内切圆半径、扇形面积等知识点，求出内切圆半径是解题的关键． 连结、、，，设半径为，利用面积公式求出内切圆半径，，再说明四边形是正方形，再根据求解即可． 【详解】解：如图：连接、、，，设半径为， ，，， ， 的内切圆与，，分别相切于点，，， ，，，且， ， 四边形是正方形， ， ， ，． 故选：C． 第II卷（非选择题） 二、填空题（本大题共4小题，共20分） 11. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，的坐标分别为，，顶点在函数的图象上，将正方形沿轴正方向平移后得到正方形，点的对应点落在抛物线上，则点与其对应点间的距离为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、求函数解析式、平移的性质、解一元二次方程等知识点，解题的关键是数形结合思想的综合应用． 作辅助线，构建全等三角形，先根据和的坐标求和的长，可证，，，写出，同理得：，得出的坐标，根据平移的性质：与的纵坐标相同，则，求出的坐标，计算其距离即可． 【详解】解：如图，过作轴，交轴于，过作于， ，， ，， 四边形为正方形， ，， ， ， ， ， ， ，， ， 同理得：， ，， ， 在抛物线的图象上， 把代入函数中得：， ， 设， 由平移得：与的纵坐标相同，则， 当时，， 解得：，舍， ， 则点与其对应点间的距离为， 故答案为：． 12. 不透明的口袋中装有8个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.6附近，估计口袋中白球大约有________个． 【答案】12 【解析】 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率．设口袋中白球大约有x个，根据概率公式列出算式，再进行计算即可得出答案． 【详解】解：设口袋中白球大约有x个， ∵摸到白色球的频率稳定在0.6左右， ∴， 解得：， 经检验是原方程的解， 估计口袋中白球大约有12个， 故答案为：12． 13. 如图，将绕点顺时针旋转得，若，，则旋转角等于_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查旋转的性质、三角形的外角的性质等知识点，掌握旋转的性质以及三角形外角的性质成为解题的关键． 由旋转的性质可得，再根据三角形外角的性质可得，然后求解即可． 【详解】解：绕点顺时针旋转某个角度得到， ∴， 又∵， ． 故答案为． 14. 如图，⊙O的直径AB＝16，半径OC⊥AB，D为上一动点（不包括 B、C两点），DE⊥OC，DF⊥AB，垂足分别为E，F，且点E为OC的中点． （1）劣弧的长为___； （2）若点P为直径AB上一动点，则PC+PD的最小值为___． 【答案】 ①. ； ②. ． 【解析】 【分析】（1）连接OD，先求出∠DOE的度数，再利用弧长公式求解可得； （2）延长CO交⊙O于点G，连接DG交AB于点P，则PC+PD的最小值为DG，再根据勾股定理及EG＝12求解可得答案． 【详解】解：（1）如图，连接OD， ∵点E为OC的中点， ∴OE＝OC＝OD， ∴∠EDO＝30°， ∴∠DOE＝60°， ∴劣弧CD的长度为． 故答案为：． （2）延长CO交⊙O于点G，连接DG交AB于点P， 则PC+PD的最小值为DG． 设DE＝x， 则DG＝2x， ∵∠G＝∠COD＝30°，EG＝12， ∴x2+144＝4x2， 解得x＝， ∴DG＝， ∴PC+PD的最小值为． 【点睛】本题主要考查了弧长的计算，轴对称的性质、圆的相关性质，求得圆心角的度数是解题的关键． 三、解答题（本大题共9小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 如图，已知，为射线上一定点，点关于射线的对称点为点为射线上一动点，连接，满足为钝角，以点为中心，将线段逆时针旋转至线段，满足点在射线的反向延长线上． (1)依题意补全图形； (2)当点在运动过程中，旋转角是否发生变化?若不变化，请求出的值，若变化，请说明理由； (3)从点向射线作垂线，与射线的反向延长线交于点，探究线段和的数量关系并证明． 【答案】（1）见详解；（2）旋转角不发生变化，，理由见详解；（3），证明见详解. 【解析】 【分析】(1)根据题意画出图形即可; (2) 连接，线段交于点，证明，通过三点共圆，圆中同弧所对的圆周角与圆心角关系可证; (3) 连接，线段交于点,通过证明从而证明即可求证. 【详解】(1)补全图形如图所示 (2)旋转角不发生变化， 理由：如图，连接，线段交于点 ∵点、点关于射线对称 ∴ 又∵ ∴ 又∵线段绕点逆时针旋转至线段 ∴ ∴ ∴点在以点为圆心，线段为半径的圆上 ∴ 即旋转角不发生变化， (3) 证明：如图，连接，线段交于点 ∵ ∴ 由(2)可得： ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ 在中， ∴ 【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形的内角和定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质,同弧所对的圆周角与圆心角的关系等知识点，解题的关键是综合运用以上性质，通过题意合理构造图形求解. 16. 圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味，如图，是一款拱门的示意图，其中拱门最下端分米，为的中点，为拱门最高点，圆心在线段上，分米，求拱门所在圆的半径． 【答案】15分米 【解析】 【分析】连接，根据垂径定理求得，设圆的半径为分米，则，根据勾股定理即可求得． 【详解】解：连接， ∵过圆心，为的中点， ∴， ∵为的中点， ∴， 设圆的半径为x分米，则分米， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴（分米）， 即拱门所在圆的半径是15分米． 【点睛】本题主要考查了垂径定理的应用，勾股定理，能够准确作出辅助线，根据勾股定理列出方程是解决问题的关键． 17. 已知关于一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）任取一个符合条件的的值，解上述方程． 【答案】（1） （2）（答案不唯一）可以取，过程见解析 【解析】 【分析】本题主要考查是根的判别式，因式分解法解方程的有关知识． （1）根据方程有两个不相等的实数根得到，求解即可； （2）本题答案不唯一，可以取，然后利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． ∴， 解得； 【小问2详解】 解：取， 则原方程为 即， ∴， 解得：，． 18. 相约西安，筑梦全运，为迎接十四运，学校开展了运动会志愿者选拔活动．小亮和小贾都很优秀，一同报名参加了选拔活动，但只有一个参加名额．现通过抽卡片的方式决定谁去参加，规则如下：现有两组卡片，第一组为正面分别写有字母X、Y、Z的三张卡片，第二组为正面分别写有字母X、Y、Y、Z的四张卡片，这些卡片除正面字母外其余均相同．将卡片正面朝下洗匀，随机抽一张，记下字母后放回，称为抽卡片一次． （1）若小贾从第二组中抽卡片15次，其中9次抽出的卡片上写有字母Y，求这15次抽出的卡片上写有字母Y的频率； （2）小亮从第一组中抽卡片一次，小贾从第二组中抽卡片一次，若两人抽出的卡片上的字母相同，则小亮去参加；否则，小贾去参加．请问这种抽卡片的方式对两人是否公平？用列表或画树状图的方法说明理由． 【答案】（1）；（2）不公平，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据频率的定义即可求解； （2）画出树状图，求出字母相同和字母不同的概率，即可得出结论． 【详解】解：（1）这15次抽出的卡片上写有字母Y的频率为： ； （2）根据题意，画出树状图如下： ， P（字母相同），P（字母不相同）， ∵P（字母相同）≠P（字母不相同）， ∴不公平． 【点睛】本题考查频率与概率，掌握频率的定义、列举法求概率是解题的关键． 19. 如图，矩形ABCD中，AB=2cm，BC=5cm，点P从B点以1cm/s的速度沿BC向点C移动． （1）当点P出发几秒后，PA=PC； （2）当点P出发几秒后，PA=2PD． 【答案】（1）秒；（2）4秒 【解析】 【分析】（1）设当点出发秒后，，由勾股定理列出等量关系式求解即可； （2）设当点出发秒后，，根据勾股定理求出，，由列出等量关系式求解即可． 【详解】（1）设当点出发秒后，，，则， 在中，， 解得：， 当点出发秒后，； （2）设当点出发秒后，，，则， 在中，， 在中， ， ， ， 解得：或， ， ， 当点出发4秒后，. 【点睛】本题考查矩形的应用与勾股定理，掌握勾股定理两直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键. 20. 如图，中，点在边上，，将线段绕点旋转到的位置，使得，连接，与交于点 （1）求证：； (2)若，，求的度数. 【答案】（1）证明见解析；（2）78° 【解析】 【分析】（1）因为，所以有，又因为，所以有，得到； （2）利用等腰三角形ABE内角和定理，求得∠BAE=50°，即∠FAG=50°，又因为第一问证的三角形全等，得到，从而算出∠FGC 【详解】解：（1）证明：， ， ， ， ； （2）， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查全等三角形证明与性质，等腰三角形性质，旋转性质等知识点，解题的关键是掌握全等三角形证明． 21. 已知二次函数． （1）当该二次函数的图象经过点时，求该二次函数的表达式； （2）在(1) 的条件下，二次函数图象与x轴的另一个交点为点B，与y轴的交点为点C,点P从点A出发在线段AB上以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时点Q从点B出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向点C运动，直到其中一点到达终点时，两点停止运动，求△BPQ面积的最大值; （3）若对满足的任意实数x，都使得成立，求实数b的取值范围． 【答案】（1）；（2）；（3）-3≤b≤1． 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法，即可求解； （2）先求出A(1，0)，B(-3，0)，C(0，-3)，设运动时间为t，则AP=2t，BQ=t，BP=4-2t，过点M作MQ⊥x轴，可得MQ=t，从而得到△BPQ的面积的表达式，进而即可求解； （3）设，结合函数图像的对称轴，开口方向，分两种情况：或，进而即可求解． 【详解】解：（1）把代入， 得：，解得：b=1， ∴该二次函数的表达式为：； （2）令y=0代入， 得：， 解得：或， 令x=0代入得：y=-3， ∴A(1，0)，B(-3，0)，C(0，-3)， 设运动时间为t，则AP=2t，BQ=t， ∴BP=4-2t， 过点M作MQ⊥x轴， ∵OB=OC=3， ∴∠OBC=45°， ∴是等腰直角三角形， ∴MQ=BQ=t， ∴△BPQ的面积==， ∴当t=1时，△BPQ面积的最大值=； （3）抛物线的对称轴为：直线x=-b，开口向上， 设， ∵对的任意实数x，都使得成立， ∴或， ∴-1≤b≤1或-3≤b＜-1， ∴-3≤b≤1． 【点睛】本题主要考查二次函数综合，掌握待定系数法，二次函数的性质以及根据图像对称轴位置，列出不等式组，是解题的关键． 22. 节能减排是国家“十四五”规划中的一个重要目标，规划提出要在2030年前实现“碳达峰”，到2060年实现“碳中和”发展．为响应国家号召，某省政府计划对一批工业园区的碳排放工厂进行改建和重建，该计划拟定2021年，工厂改建和重建数量共100座，且改建座数不低于重建座数的4倍． （1）按拟定计划，2021年至少要改建多少座工厂？ （2）经财政实际预算，2021年改建与重建工厂的平均费用之比为1：2，且改建工厂按照拟定计划中最少的数量计算，将花费资金156亿元，为加快实现“碳达峰”的目标，该省政府计划加大投入，计划指出2022年用于工厂改建和重建的费用将在2021年实际预算的基础上增加10a%，另外2022年改建与重建工厂的平均费用将比2021年分别增加a%和5a%，改建与重建立厂的座数将比2021年分别增加5a%和8a%，求a的值． 【答案】（1）至少改建80座工厂；（2） 【解析】 【分析】（1）设2021年改建x座工厂，则重建工厂为（100﹣x）座，根据改建座数不低于重建座数的4倍列出不等式求解即可； （2）设2021年改建一座工厂花费y亿元，重建一座为2y亿元，根据将花费资金156亿元列出方程求出y；再根据2022年改建和重建的费用和等于2021年实际预算的基础上增加10a%，列出方程求出a． 【详解】解：（1）设2021年改建x座工厂，则重建工厂为（100﹣x）座， 根据题意得：x≥4（100﹣x）， 解得：x≥80， ∴至少改建80座工厂； （2）由（1）得：2021年改建工厂80座，则此时重建工厂20座， 设改建一座工厂花费y亿元，重建一座为2y亿元， 根据题意得：80y+20×2y＝156， 解得y＝1.3， ∴2y＝2.6， 由题意得：1.3（1+a%）×80（1+5a%）+2.6（1+5a%）×20（1+8a%）＝156（1+10a%）， 设 则 整理得： 解得： 经检验：不合题意舍去，取 解得：a＝10． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，根据题中的等量关系列出方程，同时注意解方程的技巧． 23. 已知：是的外接圆，且，，D为上一动点． （1）如图1，若点D是的中点，等于多少？ （2）过点B作直线的垂线，垂足为点E． ①如图2，若点D在上，求证：． ②若点D在上，当它从点A向点C运动且满足时，求的最大值． 【答案】（1） （2）①证明见解析；② 【解析】 【分析】（1）连接，根据可得，再根据圆周角定理进行求解即可； （2）①过B作于点H，则，证明和即可求解； ②连接并延长交于点I，则点D在上，证明和即可求解； 【小问1详解】 如图1中，连接． ∵， ∴， ∵， ∴， ∵D是的中点， ∴， ∵， ∴． 【小问2详解】 ①过B作于点H，则． 又∵于点E， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， 又∵四边形是的内接四边形， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． ②连接并延长与交于点I，则点D在上． 如图：过B作于点H， 则， 又∵于点E， ∴， ∴， 又∵四边形是的内接四边形， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 又，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵是直径，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴当点D运动到点I时取得最大值，此时． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、圆周角定理和圆内接四边形的性质，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$