知识全解-【指南针·课堂优化】2024-2025学年九年级上册数学（人教版）

##A#### 指南针 导学探# RJ ZINAN ZIN I TANC YOI U ##### 同步最新教材 梳理基础知识 提炼解题方法 提升核心素养 #数# 九年级上册 目录 第二十一章 一元二次方程 第二十三章 旋 转 21.1 一元二次方程 ...........................(1) 23.1 图.............(6) 21.2 解一元二次方程 ...................1). 第1课时....................(26) 第2课时 作 21.2.1....方........................(1) 图............20(. 第1课时..直接开平方..........(1) 23.2 ....................28) (2) 23.2.1 第2课时 配方............................ 中心对.............(.8) 23.2.2 21.2.2........................... (3) 中心对称.............28) 23.2.3 (5) 21.2.3 因式分解法 ........................... 关于原点对称的点的坐标......(29) 21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 23.3 课是.学习..案设计..........(29) ...................(6) 章末复....................(..0分 21.3 实际问题与一元二次方程 (7) 第1课时..化.问................. 第二十四章 圆 24.1 (7) 圆的有...............(3.3) 第2课时 图形问题 ........................ (8) ........................................... 24.1.1...............(.3).. 章末复习 24.1.2..于.弦.直...........(34) 24.1.3. ...............35) 第二十二章 二次函数 24.1.4. ...........5分. 22.1 .二次函数的图象和性质.............(11) 24.2 点和圆、直线和圆的位置关系 22.1.1...................(1) .......(36) 24.2.1 点和圆的位.关系......(36) 22.1.2 二次函数y-a.r*}的图象和性质 24.2.2 2 直线和的位置关系.......(37) .......................................(12) 第1课时 .直线和圆的位置关系......(37) 22.1.3 二次函数y-a(x-h)②十k的图象和 第2课时 切线的判定和性质....(37) 性质..................................(13) 第3课时..切..线长定............(38) 第1课时 二次函数y=ar^{}十k的图象和性 24.3 ....................(40) ................!.3). 24.4 ..长和扇形面积...................(41) 第2课时 二次函数y三a(x-h)^{*}的图象和 第1课时.狐长和扇形的面积.........(41) 性质.............................14) 第2课时 圆锥的侧面积和全面积....(42) 第3课时 二次函数y=a(x-h){}十k的图 章末复.................................4.) 象和性质 .....................15) 22.1.4 二次函数y=ax十bx十c的图象和性 第二十五章 概率初步 ..........16) 25.1 随机事.与概...................(46) 第1课时 二次函数的图象和性质.....(16) 25.1.1..机事.....................(46) 第2课时 .求二次函数的关系式.....(17) 25.1.2.............。47). 22.2 二次函数与..元次方程...........(18) 25.2 .列...概..............47). 22.3 实际问是.次函数........(19) 第1课时..直接列举法求概率.......(47) 第1课时 实际问题与二次函数(一) 第2课时 列表法和树状图法求概率 .........................(19) ........................47) 第2课时 实际问题与二次函数(二) 25.3 用频率.计............(49). ..........21)... 章末复,...........5.0. 章末复................................(2) 参考答.....................2) 第二十一意 一元二次方程 21.1 一元二次方程 【基础导学】 故k=l时,该方程(k+1)^{}{1+({k-3)x- 1.一元二次方程:等号两边都是 式, 1-0为一元二次方程 只含有 个未知数(一元),并且未知数的最 【规律与方法】 若某方程为一元二次方程, 高次数是 (二次)的方程,叫作一元二次 则其未知数的最高次数为2,且二次项的系数不 方程. 能为0. 2.一元二次方程的一般形式为 ★考点2:已知一元二次方程的根,求方程中 ,其中,_是二次 字母的值或与此字母有关的代数式的值 项系数, 是一次项系数, 是二次项. 【例2】关于n的一元二次方程V7nn^{}一 是一次项,常数项是 ^}m-2=0的一个根为2,则n}+”-= 3.一元二次方程的解:使方程 相等的 的值,叫作一元二次方程的解 解:把m-2代入v7m{}-n{m-2-0. 或根. 得4v7n-2n-2-0. 【典例探究】 .1 27 ★考点1:一元二次方程的概念 77 【例1】当取何值时,方程(+1)}1 “.}-(n)-2-26. (-3)x-1-0是一元二次方程. 解析:要使方程为一元二次方程,则需满足 【规律与方法】方程的根一定满足原方程, +1-2且b+1-0. 将根代入到原方程即可得到关于待定字母的等 解:已知方程为一元二次方程,则 式,从而求出待定字母或与此字母有关的代数式 (^+1-2, 的值,这种方法叫根的定义法 “.b-1. 十1-0. 21.2 解一元二次方程 21.2.1 配方法 第1课时 直接开平方法 x=土a,这种方法叫作直接开平方法,其实质为 【基础导学】 1.直接开平方法:如果^}三a(a三0),那么 2.直接开平方法解一元二次方程的类型有 1. (1)x?-a(a→0),可得x .T2 (4)根据平方根的定义,得2v-3=士4, (2)(x+a)*-b(b→0),可得x= (5)移项,得4(x-2)}=64$ ,X= .(-2)}=16.-2=+4. (3)(ax+b){②}=n(a≠0,n>0),可得= '.x-6,=-2. (6)移项,得4(3x-1)②}-9(3x+1)^$}* .一 即[2(3x-1=3(3x+1} 3.降次思想:一元二次方程一般通过 ·2(3x-1)-士3(3x+1). 转化为两个一元一次方程来解,直接开平方法是 *.3x+5-0或15x+1-0. 降次的一种方法 '.x1 【典例探究】 15. 【规律与方法】 ★考点1:直接开平方的条件 如果一元二次方程的一边 【例1】下列方程中,不能用直接开平方法 是未知数的平方,另一边是一个非负数的常数, 求解的是 (C) 那么可以用直接开平方法求解;如果一元二次方 A.-3-0 程的一边是含未知数的代数式的平方,另一边也 是一个含同一未知数的代数式的平方,同样可以 B.(x-1)-4-0 C.2+2r=0 用直接开平方法求解, 第2课时 配方法 D.(x-1)-(2x+1)* 解析:利用平方根的定义能对A、B、D中方 【基础导学】 程直接开平方求得其根,但C中方程结构不符合 1.通过配成完全平方形式来解一元二次方 直接开平方法的要求。 程的方法叫作 【规律与方法】 直接开平方法的实质是求 2.用配方法解一元二次方程ar^{}+bx十c=0 非负数的平方根。 (a子0)的步骤: ★考点2:用直接开平方法解一元二次方程 【例2】 用直接开平方法解下列方程 (1)-16-0;(2)3x-27-0. 二移: 三配: (3)(x-2)2-9;(4)(2y-3)-16; (5)4(r-2)-64-0 四解: (6)4(3x-1)2-9(3x+1)2-0. 【典例探究】 解:(1)移项,得x^{}一16,根据平方根的定义, 得x=士4,即x1-4,x=-4. ★考点1:配方使二次三项式成为完全平 方式 (2)移项,得3x^*}-27,两边同除以3,得^*} 【例1】 在以下空格中填上适当式子使等式 9.根据平方根的定义,得x=士3,即1=3, 成立: r=-3. (1)*+10x+(25 )=(x+5 )2; (3)根据乎方根的定义,得x一2一士3 9 (2)23 即r-5,x:=-1. # 2. (3)x* +”#}-(a+”) 即#3--3# 【规律与方法】通过配方使一个式子成为 完全平方式的关键是当二次项系数为1,在方程 两边都加上一次项系数一半的平方, 【规律与方法】(1)“配方”即配一次项系数 ★考点2:用配方法解一元二次方程 一半的平方,对一次项系数为偶数的情况尤其适 【例2】用配方法解方程: 合;(2)完全平方式中常数项的符号与原一次项 ($ )”+6$-16=0;(2)2*-3x+1= 4 解:(1)移项,得x{+6x-16. (){#-3+-(-)} 配方,得2+6+(){②-16+()#}, ★考点3:用配方法判断代数式值的符号 即(x+3)②-25. 【例3】试说明无论为何值时,关于x的 ..x+3-士5. 方程(n-8n+17)r^*}+2nx+1=0都是一元二 即x+3-5或x+3=-5. 次方程. 'x-2,x--8. 解析:根据题意,需证明n{}-8m+17-0.利 (2)移项,得2x-3x=-1. 用配方法可解决此问题, 解:因为n2-8n+17-m}-8m+16-16+$ 配方,得-3(-3){}-1(-3), 17-(m-4)}+11-0,所以无论m为何值,该 方程都是一元二次方程. ##()-1## 【规律与方法】对二次项系数为1的二次 三项式配方时,在加上一次项系数一半的平方 时,还必须减去一次项系数一半的平方, 21.2.2 公式法 【基础导学】 程,则应分类讨论. 1.一元二次方程ar*+bx+c=o(a≠0,a,b. 3.当△>0时,方程ax^}+bx+c=0(a≠0)的 c都为常数)的根的判别式:把式子 实数根可写为 ,这个式子叫 叫作方程ar士bx十c三0(a去0)根的判别式,通 常用希腊字母“A”表示,即△三 作一元二次方程ar*+bx+c=0的 2.一元二次方程的根与根的判别式的关系; 解一个具体的一元二次方程时,把各系数直接代 (1)A>0一方程有 人求根公式,这种方法叫作 (2)△-0一方程有 4.用公式法解一元二次方程的步骤是: △>0一方程有 (1) 令 (3)△<0一方程 注意;(1)准确找出a,b,c,方程必须化为一 元二次方程的一般形式;(2)此判别式只适用于 一元二次方程,若无法确定是否为一元二次方 【典例探究】 解析:方程(1)是一般形式,确定a,b,c后代 ★考点1:利用根的判别式判断一元二次方 入求根公式即可求根;方程(2)的系数含有分数。 程根的情况 通常化为整数;方程(3)不是一般形式应先化为 【例1】 不解方程,判断下列一元二次方程 一般形式后再求根 根的情况. 解:(1):a-1,b=-23,c-3. (1)-2x+1-0: '-b-4ac-(-2③)-4x1x3-0 (2)3*+4r+5-0; .--6-4a23 -③. (3)-r2+7x+6-0; (4)3r*+5x-0 'x-x:-3. 解析:不需解方程,只要能把各方程中对应 (2)原方程化为4r*-4x+1-0. 的代数式一4ac的值求出来,然后根据其值就 “.a-4,6--4.c-1. 能对方程根的情况作出判断, .△-b-4ac=(-4)?-4×4×1-0. 解:(1)b*-4ac=(-2)*-4×1x1-4- .-士#-4ac 4-0. 2a 2X4 '.此方程有两个相等的实数根 ..-:-2 $$2)*-4ac=4*-4x3t5-16-60 -440. (3)原方程化为②r-③x-②-0. '.此方程没有实数根 “a-/2,b--③,c=-②. (3)B-4ac=7-4t(-1)6-49+24 '.△=-4ac=(-③)-4×②x(-②) 73>0. 11. '此方程有两个不相等的实数根 -b士6-4ac -3士T1 (4)-4ac-5-4x3×0-25>0. .= 2a 2x2 '.此方程有两个不相等的实数根, 6士22 【规律与方法】(1)确定a,b,c的值,计算 出A,原方程根的情况得以确定;(2)对于一元二 ,6-22 次方程ar*}+bx十c=0(a去0),当a、c异号或 【规律与方法】 c一0时,此方程一定有两个实数根. 注意运用求根公式解方程 ★考点2:用公式法解一元二次方程 时,首先要将原方程化成一般形式,以便确定a, 【例2】用公式法解下列方程 b.c的值,其次需要满足b”-4ac→0,再把a,b,c -b士、b-4aC求解.当方程有两 (1)*-23x+3-0; 的值代入x二- 2 个相等的解,要写成x二x。一处的形式 (3)3x-②(x+1)(x-1). .4. 21.2.3 因式分解法 【基础导学】 的运用,如本例中的(x一2). 1.当一元二次方程先因式分解,使方程化为 ★考点2:用因式分解法解形如^{}-(a十 两个 的乘积等于 的形式,再使 b)x十ab-0(a、b为常数)的一元二次方程 这两个一次式分别等于0,从而实现降次,这种方 【例2】用因式分解法解下列方程: 法叫作因式分解法 (1)+2023x-2024-0; 2.因式分解法的基本思想:通过因式分解达 (2)-(2+③)x+6-0 到 的目的;其数学原理是:两数之积为 (3)(2x+1)+3(2x+1)+2=0. 0.则 ,反之也成立 解析:设法找到两个数a,b,使它们的和等于 3.因式分解法解一元二次方程的步骤 一次项系数,积ab等于常数项 (1)整理方程使其右边化为0; 解:(1)+2023x-2024=0,(x-1)(x+ (2)将方程左边 2024)-0. (3)由(2)中的每个因式分别等于0,得 .x-1-0或x+2024-0 '.x.-1,x。=-2024. (4)解(3)中两个方程得 ($$)-(2+3)+6=0.(x-②)( 【典例探究】 ★考点1:用因式分解法解形如x^}一a^{}=0$ ③)-0. 或+x=0的一元二次方程 .x-2=0或x-3-0. 【例1】解方程: '.x.-v2,x-3. $($ )$-16=0;(2)-5=0;(3)(-2)*= (3)[(2x+1)+1(2x+1)+21=0 2-. *2x+2-0或2x+3-0. 解析:(1)利用平方差公式分解;(2)可用提 .x--1,x2 公因式法进行因式分解;(3)将(x一2)看作一个 2 【规律与方法】 整体,右边的2一工移到方程的左边也可用提取 用十字相乘法因式分解时, 公因式法因式分解 常数项分解成的两因数必须保证其和为一次项 解:(1)-16=0,(t+4)(x-4)=0 系数,两根的符号与常数项分解的两因数的符号 .x+4=0或x-4-0..x=-4,x-4. 正好相反. (2)r-5x-0.x(x-5)-0. ★考点3:用适当的方法解一元二次方程 '=0或x-5=0.=0,x-5. 【例3】 用适当的方法解下列方程: (3)移项,得(x-2)②+(x-2)-0. (1)-3x+1-0;(2)(x-1)-3; '(-2)[(x-2)+1]-0. (3)9(x+2)-2x(+2);(4)-2x=168 ..(x-2)(x-1)-0. 解析:(1)用公式法;(2)用直接开平方法 .x-2-0或x-1-0. (3)用因式分解法:(4)用配方法最好,因二次项 .x-2.x-1. 系数为1,一次项系数为偶数,常数项绝对值大 【规律与方法】 1解一元二次方程时,如果能 解:(1).3- 提公因式,首先提公因式,特别要注意整体思想 .5. ()x-1+/③.x=1-③ 边是两个因式的积,右边是0的形式时,就可利 (3)x.=-2,r= 用因式分解法来解;在上述三种方法都很难求解 的情况下可考虑利用公式法求解,注意用公式法 (4)x.-14,x=-12. 求解时,应先将方程式化成一般形式ar*十br十 【规律与方法】 1 解一元二次方程的关键是 c一0,再确定,么,c的值,同时还应明确其使用的 方法的选择,当一个方程左边是完全平方式,右 前提是一4ac0.解法的选择是: 边是非负数,则运用直接开平方法;当一个方程 直接开平方法→因式分解法→配方法→ 的二次项系数为1,一次项系数为偶数时则适合 公式法 用配方法;当方程的两边有公因式或易于写成左 21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 【基础导学】 【规律与方法】此类题解法有:一是让根 1.关于x的一元二次方程x②+px十q=0 “回原”,即将已知根代入原方程即可;二是由根 (,q为常数)有两实根xt1,x,则:(1)p一4q 与系数的关系建立另一根和待定系数的方程组 0;(2)x+x。=_;(3)x1r。= 解之即得,注意待定系数的值不能让二次项系数 为0或判别式△0 2.如果x,x。为一元二次方程ar{十bx十 ★考点2:已知方程,求含有两根的代数式 的值 c-0(a-0)的两实根,那么x1十x。= 【例2】 已知方程2x*+3x-1-0的两根为 x1。二 ,△-b-4ac 3.若ac0,则关于x的一元二次方程 解:由一元二次方程的根与系数的关系知 ax*+br+c=0一定 实根,这是 因为 #1+1-+(x+c)2c2 注意:使用一元二次方程ax*十bx十c=0的 #((::){} r (。)2 根与系数的关系的前提为 (-3)一2×(-) 【典例探究】 ★考点1:已知方程一根,不解方程求另一根 (一) 及待定系数 -13. 【例1】已知关于x的一元二次方程x*十 【规律与方法】 利用根与系数的关系求含 nx一8一0的一个实数根为2,则求另一实数根 有两根的代数式的值,关键是把代数式转化为含 及n的值. 有x十x。和x1x。的形式. 解:由根与系数的关系式,设另一根为x。 ★考点3:已知与方程两实根有关代数式的 则2r=-8,r=-4. 值,求方程中待定系数的值 又.2+x。=-n..m-2 【例3】已知关于x的方程x*}-6x十=0 此题也可以把工一2代入原方程求出n,再 求出另一根. “ 2 .6. 值是多少? 解得-2. 解:关于x的方程r^{②}一6x十尺-0的两根为 经检验人一2使方程有实根 x.,可得x+x-6,xx=k. 【规律与方法】 已知方程两根满足某个条 再由方程11-3. 件,求方程中字母系数及的值,求出&值后必须 & r2 代入b②}一4ac中检验,看的取值是否使方程有 实根. r:X? 21.3 实际问题与一元二次方程 第1课时 变化率问题 的百分率为x 【基础导学】 (1)用含x的代数式表示第3年的可变成本 为 万元. 变化率问题:如果商品经过两次降价(或涨 (2)如果该养殖户第3年的养殖成本为 价),每次降价(或涨价)的百分率相同,那么降价 (或涨价)前后的关系可用a(1一x){?}-b或a(1+ 7.146万元,求可变成本平均每年增长的百分 率。. c)*一b表示,其中a表示 ,表 示 ,表示 解:(1)2.6(1+x). (2)由题意,得4+2.6(1+x){②-7.146. 【典例探究】 解得:x-0.1,x。=-2.1(不合题意,舍去). ★考点1:传播与裂变问题 答:可变成本平均每年增长的百分率为 10%. 【例1】某种电脑病毒传播速度非常快,如 【规律与方法】 果一台电脑被感染,经过两轮感染后就会有81 解此类问题需牢记公式 台电脑被感染,请你用学过的知识分析,每轮感 a(l+x)?-b或a(1一x)?-b.解答此类问题所 染中平均一台电脑会感染几台电脑?若病毒得 列的方程,一般用直接开平方法求解,注意增长 不到有效控制,三轮感染后,被感染的电脑会不 率不能为负数,降低率不能大于1. 第2课时 会超过700台? 图形问题 解:设平均每台电脑要感染x台电脑,由题 【基础导学】 意,得1+x+x(x+1)=81. 此类问题属于几何图形的应用问题,解决声 解得:x=-10(舍去),x-8. 题的关键是将不规则图形分割成或组合成规则 三轮感染后的数量为,81+81×8-729 图形,找出未知量与已知量的内在联系,根据面 ·729700...三轮感染后,被感染的电脑 积、体积公式找等量关系列出方程 会超过700台: 【典例探究】 ★考点2:变化率问题 ★考点:图形的面积问题 【例2】某养殖户每年的养殖成本包括固定 【例】 如图,在宽为20m,长为32m的矩 成本和可变成本,其中固定成本每年均为4万 形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分),余 元,可变成本逐年增长,已知该养殖户第1年的 下的部分种上草坪,要使草坪的面积为540m②}. 可变成本为2.6万元,设可变成本平均每年增长 求道路的宽,(部分参考数据:32{}-1024,52^{} .7· 2704,48-2304) 当x一50时,道路的宽度超过了图中矩形地面 的长32m,也超过了宽20m,显然不合题意,应 舍去,当x一2时,道路的宽度小于图中矩形地 面的长32m,也小于宽20m,符合题意,所以此 道路的宽为2m. 答图 【规律与方法】 (1)解与几何图形有关的实 解析:通过平移,三段水平的道路长之和恰 际问题时,结合几何图形的大小(如矩形的长或 等于所给矩形的长,两段竖直的道路长之和恰等 宽、圆的半径等),可决定对方程解的取舍; 于所给矩形的宽,于是得到答图,其空白处的矩 (2)对于较复杂的图形,可通过平移、旋转。 形面积即为种植草坪的面积 割补等方法将复杂问题简单化 解:设道路的宽为xm,根据题意可列方程 $20-x)·(32-x)=540,解得x=50,x=2 章末复习 【体系构建】 一元二次方程的解(根) 一元二次方程的一般形式:y=ar{}+bx+c(a去0) 一元二次方程 一元二次方程的定义:等号两边都是整式,只含有一个未知数(一元),并且未知数 的最高次数是2(二次)的方程 △-一4ac>0,方程有两个不等的实数根 一元二次方程根的判别式 △-^}一4ac一0,方程有两个相等的实数根 A-一4ac<0,方程无实数根 111标翻 (直接开平方法 {定义 配方法 用配方法解一元二次方程的步骤 -b士、b-4ac(b-4ac>0) 一元二次方程的解法 求根公式:x一 公式法 2d 用公式法解一元二次方程的一般步骤 [定义 因式分解法 用因式分解法解一元二次方程的一般步骤 一元二次方程的根与系数的关系:xi+x。-- 列一元二次方程解应用题的步骤:审、设、列、解、验、答 一元二次方程的应用 常见类型:平均变化率问题、几何图形面积问题、利润问题、数字问题 .8.