第六章概率单元测试-2024-2025学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

第六章　概率 时间：120分钟　满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．随机变量ξ的分布列如表所示，则Eξ的最大值是(　　) ξ －1 0 a P ＋a －b A.－　　　　　　　　 B．－ C．－ D．－ 2．已知某射击运动员每次击中目标的概率是0.8，则该射击运动员射击4次至少击中3次的概率大约为(　　) A．0.85 B．0.819 2 C．0.86 D．0.75 3．已知汽车在公路上行驶时发生车祸的概率为0.001，如果公路上每天有1 000辆汽车通过，则公路上发生车祸的概率为(　　) (已知0.9991 000≈0.367 70，0.999999≈0.368 06，精确到0.000 1) A．0.368 1 B．0.632 3 C．0.367 7 D．0.434 3 4．已知随机变量X～N(2，1)，其正态分布密度曲线如图所示，则图中阴影部分的面积为(　　) (附：若随机变量ξ～N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜ ξ≤μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ＜ξ≤μ＋2σ)＝0.954 4) A．0.135 9 B．0.728 2 C．0.864 1 D．0.932 05 5．在三次独立重复试验中，事件A在每次试验中发生的概率相同．若事件A至少发生一次的概率为，则事件A发生次数ξ的期望和方差分别为(　　) A．和 B．和 C．和 D．和 6．2020年元旦期间，某高速公路收费站的三个高速收费口每天通过的小汽车数X(单位：辆)均服从正态分布N(600，σ2).若P(500＜X≤700)＝0.6，假设三个收费口均能正常工作，则这三个收费口每天通过的小汽车数至少有一个超过700辆的概率为(　　) A． B． C． D． 7．将3颗骰子各掷一次，记事件A表示为“三个点数都不同”，事件B表示为“至少出现一个1点”，则条件概率P(A|B)和P(B|A)分别为(　　) A．， B．， C．， D．， 8．9粒种子分种在3个坑内，每个坑3粒，每粒种子发芽的概率为0.5.若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种；若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种．假定每个坑至多补种一次，每补种1个坑需10元，用随机变量X表示补种费用，则X的均值等于(　　) A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．一袋中有6个大小相同的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的白球，编号为7，8，9，10，现从中任取4个球，则下列结论中正确的是(　　) A．取出的最大号码X服从超几何分布 B．取出的黑球个数Y服从超几何分布 C．取出2个白球的概率为 D．若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则总得分最大的概率为 10．已知在某一次学情检测中，学生的数学成绩X服从正态分布N(100，100)，其中90分为及格线，120分为优秀线，则下列说法正确的是(　　) 附：随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜ξ＜μ＋σ)≈0.683，P(μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)≈0.954，P(μ－3σ＜ξ＜μ＋3σ) ≈0.997. A．学生数学成绩的期望为100 B．学生数学成绩的标准差为100 C．学生数学成绩及格率超过0.8 D．学生数学成绩不及格的人数和优秀的人数大致相等 11．某学校共有6个学生餐厅，甲、乙、丙丁四位同学每人随机地选择一家餐厅就餐(选择到每个餐厅概率相同)，则下列结论正确的是(　　) A．四人去了四个不同餐厅就餐的概率为 B．四人去了同一餐厅就餐的概率为 C．四人中恰有两人去了第一餐厅就餐的概率为 D．四人中去第一餐厅就餐的人数的数学期望为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。把答案填在题中的横线上。 12．从只有3张有奖的10张彩票中不放回地随机逐张抽取，设X表示直至抽到中奖彩票时的次数，则P(X＝4)＝________． 13．(一题两空)已知袋子中有大小相同的红球1个，黑球2个，从中任取2个．设ξ表示取到红球的个数，则E(ξ)＝______，D(ξ)＝________．(本题第一空3分，第二空2分) 14．某商圈为了吸引顾客举办了一次有奖竞猜活动，活动规则如下：两人一组，在一轮竞猜活动中，每人两次竞猜机会，若两人猜对的次数之和不少于三次就可以获得一张奖券．小蓝和她的妈妈同一小组，小蓝和她妈妈猜中的概率分别为p1，p2，两人是否猜中相互独立．若p1＋p2＝，则当小蓝和她妈妈获得一张奖券的概率最大时，p＋p的值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．(13分)设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：取出红球得1分，取出黄球得2分，取出蓝球得3分． (1)当a＝3，b＝2，c＝1时，从该袋子中任取(有放回，且每个球取到的机会均等)2个球，记随机变量ξ为取出此2个球所得分数之和，求ξ的分布列； (2)从该袋中任取(每个球取到的机会均等)1个球，记随机变量η为取出此球所得分数．若E(η)＝，D(η)＝，求a∶b∶c. 16．(15分)有甲、乙两家公司都需要招聘求职者，这两家公司的聘用信息如表所示． 甲公司 职位 A B C D 月薪/千元 5 6 7 8 获得相应 位概率 0.4 0.3 0.2 0.1 乙公司 职位 A B C D 月薪/千元 4 6 8 10 获得相应 职位概率 0.4 0.3 0.2 0.1 (1)若一人去应聘甲公司的C职位，另一人去应聘乙公司的C职位，记这两人被录用的人数和为η，求η的分布列． (2)根据甲、乙两家公司的聘用信息，如果你是求职者，你会选择哪一家公司？说明理由． (3)若小王和小李分别被甲、乙两家公司录用，求小王月薪高于小李的概率． 17．(15分)某中学调查防疫期间学生居家每天锻炼时间情况，从高一、高二年级学生中分别随机抽取100人，由调查结果得到如下的频率分布直方图： (1)写出频率分布直方图(高一)中a的值；记高一、高二学生100人锻炼时间的样本的方差分别为s，s，试比较s，s的大小，(只要求写出结论). (2)估计在高一、高二、学生中各随机抽取1人，恰有一人的锻炼时间大于20分钟的概率． (3)由频率分布直方图可以认为，高二学生锻炼时间Z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差，且每名学生锻炼时间相互独立．设X表示从高二学生中随机抽取10人，其锻炼时间位于(14.55，38.55)的人数，求X的数学期望． 注：①同一组数据用该区间的中点值作代表，计算得s＝≈11.95； ②若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜Z≤μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ＜Z≤＋μ＋2σ)＝0.954 4. 18．(17分)把编号为1，2，3，4，5的五个大小、形状相同的小球，随机放入编号为1，2，3，4，5的五个盒子里，每个盒子里放入一个小球． (1)求恰有两个球的编号与盒子的编号相同的概率； (2)设恰有X个小球的编号与盒子编号相同，求随机变量X的分布列与期望． 19．(17分)某工厂抽取了一台设备A在一段时间内生产的一批产品，测量一项质量指标值，绘制了如图所示的频率分布直方图． (1)计算该样本的平均值，方差s2.(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表) (2)根据长期生产经验，可以认为这台设备在正常状态下生产的产品的质量指标值近似服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均值，σ近似为样本方差s2.任取一个产品，记其质量指标值为X.若|X，μ|≤σ，则认为该产品为一等品；σ＜|X－μ|≤2σ，则认为该产品为二等品；若|X－μ|＞2σ，则认为该产品为不合格品．已知设备A正常状态下每天生产这种产品1 000个． (ⅰ)用样本估计总体，该工厂一天生产的产品中不合格品是否超过3%? (ⅱ)某公司向该工厂推出以旧换新活动，补足50万元即可用设备A换得生产相同产品的改进设备B.经测试，设备B正常状态下每天生产产品1 200个，生产的产品为一等品的概率是70%，二等品的概率是26%，不合格品的概率是4%.若工厂生产一个一等品可获得利润50元，生产一个二等品可获得利润30元，生产一个不合格品亏损40元，试为工厂做出决策，是否需要换购设备B? 参考数据：P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.954 4，P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.997 4，≈2.2. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第六章　概率 时间：120分钟　满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．随机变量ξ的分布列如表所示，则Eξ的最大值是(　　) ξ －1 0 a P ＋a －b A.－　　　　　　　　 B．－ C．－ D．－ B　[根据随机变量分布列的性质，所有的概率之和为1，且每个概率都介于0和1之间，得到b－a＝0，－＜b＜.根据随机变量数学期望公式得E(ξ)＝(－1)×＋a＝－b2＋b－＝－－，当b＝时，Eξ取得最大值－，经检验符合题意．故选B.] 2．已知某射击运动员每次击中目标的概率是0.8，则该射击运动员射击4次至少击中3次的概率大约为(　　) A．0.85 B．0.819 2 C．0.86 D．0.75 B　[设运动员射击4次，击中目标的次数为X，则P(X≥3)＝C0.84＋C0.83×0.2＝0.819 2.] 3．已知汽车在公路上行驶时发生车祸的概率为0.001，如果公路上每天有1 000辆汽车通过，则公路上发生车祸的概率为(　　) (已知0.9991 000≈0.367 70，0.999999≈0.368 06，精确到0.000 1) A．0.368 1 B．0.632 3 C．0.367 7 D．0.434 3 B　[设发生车祸的车辆数为X，则X～B(1 000，0.001).记事件A为“公路上发生车祸”，则P(A)＝1－P(X＝0)＝1－0.9991 000≈1－0.367 70＝0.632 3，故选B.] 4．已知随机变量X～N(2，1)，其正态分布密度曲线如图所示，则图中阴影部分的面积为(　　) (附：若随机变量ξ～N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜ ξ≤μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ＜ξ≤μ＋2σ)＝0.954 4) A．0.135 9 B．0.728 2 C．0.864 1 D．0.932 05 A　[根据题意，随机变量X满足正态分布N(2，1)， 得μ＝2，σ2＝1，则对称轴为x＝2，且σ＝1， 根据正态分布密度曲线的性质，可得阴影部分的面积S＝P(0＜X≤1)＝[P(0＜X≤4)－P(1＜X≤3)]＝[P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)－P(μ－σ＜X≤μ＋σ)]＝×(0.954 4－0.682 6)＝0.135 9.] 5．在三次独立重复试验中，事件A在每次试验中发生的概率相同．若事件A至少发生一次的概率为，则事件A发生次数ξ的期望和方差分别为(　　) A．和 B．和 C．和 D．和 A　[由题意，设事件A在每次试验中发生的概率为p，因为事件A至少发生一次的概率为，即1－C(1－p)3＝.解得p＝，则事件A发生的次数ξ服从二项分布B，所以事件A发生的次数ξ的期望E(ξ)＝3×＝，方差Dξ＝3××＝，故选A.] 6．2020年元旦期间，某高速公路收费站的三个高速收费口每天通过的小汽车数X(单位：辆)均服从正态分布N(600，σ2).若P(500＜X≤700)＝0.6，假设三个收费口均能正常工作，则这三个收费口每天通过的小汽车数至少有一个超过700辆的概率为(　　) A． B． C． D． C　[根据正态曲线的对称性，每个收费口每天通过的小汽车数超过700辆的概率P(X＞700)＝[1－P(500＜X≤700)]＝×(1－0.6)＝0.2＝，所以这三个收费口每天通过的小汽车数至少有一个超过700辆的概率P＝1－＝，故选C.] 7．将3颗骰子各掷一次，记事件A表示为“三个点数都不同”，事件B表示为“至少出现一个1点”，则条件概率P(A|B)和P(B|A)分别为(　　) A．， B．， C．， D．， C　[由题意知P(A)＝＝，P(B)＝1－＝，P(AB)＝＝，条件概率P(A|B)表示在事件B发生的情况下，事件A发生的概率，即P(A|B)＝＝，同理，P(B|A)＝＝.] 8．9粒种子分种在3个坑内，每个坑3粒，每粒种子发芽的概率为0.5.若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种；若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种．假定每个坑至多补种一次，每补种1个坑需10元，用随机变量X表示补种费用，则X的均值等于(　　) A． B． C． D． A　[根据题意，每个坑需要补种的概率是相等，都是＝，所以此问题相当于独立重复试验，做了三次，每次发生的概率都是，所以需要补种的坑的均值为3×＝，所以补种费用X的均值为10×＝.故选A.] 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．一袋中有6个大小相同的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的白球，编号为7，8，9，10，现从中任取4个球，则下列结论中正确的是(　　) A．取出的最大号码X服从超几何分布 B．取出的黑球个数Y服从超几何分布 C．取出2个白球的概率为 D．若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则总得分最大的概率为 BD　[对于A，B根据超几何分布的定义可知A错误，B正确；对于C，取出2个白球的概率P1＝＝，故C错误；对于D，若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则取出四个黑球的总得分最大，所以总得分最大的概率为P2＝＝，故D正确．故选BD.] 10．已知在某一次学情检测中，学生的数学成绩X服从正态分布N(100，100)，其中90分为及格线，120分为优秀线，则下列说法正确的是(　　) 附：随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜ξ＜μ＋σ)≈0.683，P(μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)≈0.954，P(μ－3σ＜ξ＜μ＋3σ) ≈0.997. A．学生数学成绩的期望为100 B．学生数学成绩的标准差为100 C．学生数学成绩及格率超过0.8 D．学生数学成绩不及格的人数和优秀的人数大致相等 AC　[数学成绩X服从正态分布N(100，100)，则数学成绩的期望为100，数学成绩的标准差为10，故A正确，B错误；及格率p1＝1－≈0.841 5，故C正确；不及格率p2≈0.158 5，优秀率p3＝≈0.023，故D错误．故选AC.] 11．某学校共有6个学生餐厅，甲、乙、丙丁四位同学每人随机地选择一家餐厅就餐(选择到每个餐厅概率相同)，则下列结论正确的是(　　) A．四人去了四个不同餐厅就餐的概率为 B．四人去了同一餐厅就餐的概率为 C．四人中恰有两人去了第一餐厅就餐的概率为 D．四人中去第一餐厅就餐的人数的数学期望为 ACD　[四位同学随机选择一家餐厅就餐有64种选择方法．四人去了四个不同餐厅就餐的概率为＝，所以选项A正确；四人去了同一餐厅就餐的概率为＝，所以选项B正确；四人中恰有两人去了第一餐厅就餐的概率为＝，所以选项C正确；每位同学选择去第一餐厅的概率为，所以去第一餐厅就餐的人数X～B，所以E(X)＝4×＝，所以选项D正确．故选ACD.] 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。把答案填在题中的横线上。 12．从只有3张有奖的10张彩票中不放回地随机逐张抽取，设X表示直至抽到中奖彩票时的次数，则P(X＝4)＝________． 解析　P(X＝4)＝×××＝. 答案　 13．(一题两空)已知袋子中有大小相同的红球1个，黑球2个，从中任取2个．设ξ表示取到红球的个数，则E(ξ)＝______，D(ξ)＝________．(本题第一空3分，第二空2分) 解析　本题考查超几何分布概率公式的应用．从袋中3个球中任取2个球，共有C种取法；则其中ξ的可能取值为0，1，且ξ服从超几何分布，∴P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝. ∴E(ξ)＝0×＋1×＝，D(ξ)＝×＋×＝. 答案　　 14．某商圈为了吸引顾客举办了一次有奖竞猜活动，活动规则如下：两人一组，在一轮竞猜活动中，每人两次竞猜机会，若两人猜对的次数之和不少于三次就可以获得一张奖券．小蓝和她的妈妈同一小组，小蓝和她妈妈猜中的概率分别为p1，p2，两人是否猜中相互独立．若p1＋p2＝，则当小蓝和她妈妈获得一张奖券的概率最大时，p＋p的值为________． 解析　由题意知小蓝和她妈妈获得一张奖券的概率P＝2p1(1－p1)p＋2pp2(1－p2)＋pp，代入p1＋p2＝， 化简得P＝－3(p1p2)2＋3p1p2， ∵p1＋p2≥2，∴p1p2≤， ∴当p1p2＝时，Pmax＝，此时pp＝(p1＋p2)2－2p1p2＝－2×＝. 答案　 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．(13分)设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：取出红球得1分，取出黄球得2分，取出蓝球得3分． (1)当a＝3，b＝2，c＝1时，从该袋子中任取(有放回，且每个球取到的机会均等)2个球，记随机变量ξ为取出此2个球所得分数之和，求ξ的分布列； (2)从该袋中任取(每个球取到的机会均等)1个球，记随机变量η为取出此球所得分数．若E(η)＝，D(η)＝，求a∶b∶c. 解　(1)由题意得ξ可取2，3，4，5，6. 故P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝，P(ξ＝4)＝＝，P(ξ＝5)＝＝，P(ξ＝6)＝＝. 所以ξ的分布列为 ξ 2 3 4 5 6 P (2)由题意知η的分布列为 η 1 2 3 P 所以E(η)＝＋＋＝， D(η)＝·＋·＋·＝.解得a＝3c，b＝2c，故a∶b∶c＝3∶2∶1. 16．(15分)有甲、乙两家公司都需要招聘求职者，这两家公司的聘用信息如表所示． 甲公司 职位 A B C D 月薪/千元 5 6 7 8 获得相应 位概率 0.4 0.3 0.2 0.1 乙公司 职位 A B C D 月薪/千元 4 6 8 10 获得相应 职位概率 0.4 0.3 0.2 0.1 (1)若一人去应聘甲公司的C职位，另一人去应聘乙公司的C职位，记这两人被录用的人数和为η，求η的分布列． (2)根据甲、乙两家公司的聘用信息，如果你是求职者，你会选择哪一家公司？说明理由． (3)若小王和小李分别被甲、乙两家公司录用，求小王月薪高于小李的概率． 解　因为这两人被录用的人数和为η，所以随机变量η可能取值为0，1，2， 其中P(η＝0)＝C0.20×0.82＝0.64， P(η＝1)＝C0.2×0.8＝0.32， P(η＝2)＝C0.22×0.80＝0.04， 所以η的分布列为 η 0 1 2 P 0.64 0.32 0.04 (2)设甲、乙两家公司的月薪分别为随机变量X，Y， 则E(X)＝5×0.4＋6×0.3＋7×0.2＋8×0.1＝6， E(X)＝4×0.4＋6×0.3＋8×0.2＋10×0.1＝6， D(X)＝(5－6)2×0.4＋(6－6)2×0.3＋(7－6)2×0.2＋(8－6)2×0.1＝1， D(Y)＝(4－6)2×0.4＋(6－6)2×0.3＋(8－6)2×0.2＋(10－6)2×0.1＝4， 则E(X)＝E(Y)，D(X)＜D(Y)， 我希望不同职位的月薪差距小一些，故选择甲公司； 或我希望不同职位的月薪差距大一些，故选择乙公司． (3)设小王和小李的月薪分别为ξ，ω(千元)，则 P(ξ＞ω)＝P(ξ＝5，ω＝4)＋P(ξ＝6，ω＝4)＋P(ξ＝7，ω≤6)＋P(ξ＝8，ω≤6)＝0.4×0.4＋0.3×0.4＋0.2×0.7＋0.1×0.7＝0.49，所以小王月薪高于小李的概率为0.49. 17．(15分)某中学调查防疫期间学生居家每天锻炼时间情况，从高一、高二年级学生中分别随机抽取100人，由调查结果得到如下的频率分布直方图： (1)写出频率分布直方图(高一)中a的值；记高一、高二学生100人锻炼时间的样本的方差分别为s，s，试比较s，s的大小，(只要求写出结论). (2)估计在高一、高二、学生中各随机抽取1人，恰有一人的锻炼时间大于20分钟的概率． (3)由频率分布直方图可以认为，高二学生锻炼时间Z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差，且每名学生锻炼时间相互独立．设X表示从高二学生中随机抽取10人，其锻炼时间位于(14.55，38.55)的人数，求X的数学期望． 注：①同一组数据用该区间的中点值作代表，计算得s＝≈11.95； ②若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜Z≤μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ＜Z≤＋μ＋2σ)＝0.954 4. 解　(1)a＝0.015，s＞s. (2)设事件A：在高一学生中随机抽取1人，其锻炼时间不大于20分钟；事件B：在高二学生中随机抽取1人，其锻炼时间不大于20分钟；事件C：在高一、高二学生中各随机抽取1人，恰有一人锻炼时间大于20分钟，且另一人不大于20分钟，则P(A)＝0.20＋0.10＝0.30， P(B)＝0.10＋0.20＝0.30， 所以P(C)＝P()P(B)＋P(A)P()＝0.42. (3)＝26.5，由已知得Z～N(26.5，142.75)， 从而P(14.55＜Z≤38.45)＝P(26.5－11.95＜Z≤26.5＋11.95)＝0.682 6， 所以从高二中随机抽取10人，其锻炼时间位于(14.55，38.45)的概率是0.682 6， 根据题意得X～B(10，0.682 6)，所以E(X)＝10×0.682 6＝6.826. 18．(17分)把编号为1，2，3，4，5的五个大小、形状相同的小球，随机放入编号为1，2，3，4，5的五个盒子里，每个盒子里放入一个小球． (1)求恰有两个球的编号与盒子的编号相同的概率； (2)设恰有X个小球的编号与盒子编号相同，求随机变量X的分布列与期望． 解　(1)记恰有2个小球与盒子编号相同为事件A. 将5个小球随机放入5个盒子中，每个盒子放1个共有A即120种不同的放法． 事件A共有C×2＝20种放法，所以P(A)＝＝. (2)随机变量X的可能值为0，1，2，3，5. P(X＝0)＝＝＝，P(X＝1)＝＝＝，P(X＝2)＝＝＝，P(X＝3)＝＝＝，P(X＝5)＝.故X的分布列为 X 0 1 2 3 5 P 所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋5×＝1. 19．(17分)某工厂抽取了一台设备A在一段时间内生产的一批产品，测量一项质量指标值，绘制了如图所示的频率分布直方图． (1)计算该样本的平均值，方差s2.(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表) (2)根据长期生产经验，可以认为这台设备在正常状态下生产的产品的质量指标值近似服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均值，σ近似为样本方差s2.任取一个产品，记其质量指标值为X.若|X，μ|≤σ，则认为该产品为一等品；σ＜|X－μ|≤2σ，则认为该产品为二等品；若|X－μ|＞2σ，则认为该产品为不合格品．已知设备A正常状态下每天生产这种产品1 000个． (ⅰ)用样本估计总体，该工厂一天生产的产品中不合格品是否超过3%? (ⅱ)某公司向该工厂推出以旧换新活动，补足50万元即可用设备A换得生产相同产品的改进设备B.经测试，设备B正常状态下每天生产产品1 200个，生产的产品为一等品的概率是70%，二等品的概率是26%，不合格品的概率是4%.若工厂生产一个一等品可获得利润50元，生产一个二等品可获得利润30元，生产一个不合格品亏损40元，试为工厂做出决策，是否需要换购设备B? 参考数据：P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.954 4，P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.997 4，≈2.2. 解　(1)由频率分布直方图可得 ＝170×0.02＋180×0.09＋190×0.22＋200×0.33＋210×0.24＋220×0.08＋230×0.02＝200， s2＝(－30)2×0.02＋(－20)2×0.09＋(－10)2×0.22＋02×0.33＋102×0.24＋202×0.08＋302×0.02＝150. (2)(ⅰ)方法一：由(1)得(－2s，＋2s)≈(175.6，224.4)， 由题图可得质量指标值在(165，175)和(225，235)的频率为0.02＋0.02＝0.04＞0.03， 所以该工厂一天生产的产品中不合格品超过3%. 方法二：由于P(|X－μ|＞2σ)＝1－P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝1－0.954 5＝0.45 5＞0.03. 所以该工厂一天生产的产品中不合格品超过3%. (ⅱ)设W1，W2分别为设备A，B一天为工厂创造的利润， 则E(W1)＝1 000×(50×0.682 6＋30×0.271 8－40×0.0045 5)＝1 000×(34.13＋8.154－1.82)＝40 464， E(W2)＝1 200×(50×0.7＋30×0.26－40×0.04)＝1 200×(35＋7.8－1.6)＝49 440， 所以采用新设备利润每天增加E(ΔW)＝E(W2)－E(W1)＝49 440－40 464＝8 976，500 000÷8 976≈56(天)， 因此，只需56天使用设备B产生的利润就超过使用设备A产生的利润和换购费用总和，从长远来看，应该换购设备B. 学科网（北京）股份有限公司 $$