上海市2024届高三二模数学试题分类汇编01 函数

上海市2024年高考数学二模试题按知识点分层汇编-01函数 一．选择题（共20小题） 1．（2024•静安区二模）函数y＝2sinx﹣cosx（x∈R）的最小正周期为（　　） A．2π B．π C． D． 2．（2024•杨浦区二模）下列函数中，在区间（0，+∞）上为严格增函数的是（　　） A．f（x）＝﹣lnx B．f（x）＝|x﹣1| C． D． 3．（2024•闵行区二模）已知y＝f（x），x∈R为奇函数，当x＞0时，f（x）＝log2x﹣1，则集合{x|f（﹣x）﹣f（x）＜0}可表示为（　　） A．（2，+∞） B．（﹣∞，﹣2） C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） D．（﹣2，0）∪（2，+∞） 4．（2024•闵行区二模）已知f（x）＝sinx，集合，Γ＝{（x，y）|2f（x）+f（y）＝0，x，y∈D}，Ω＝{（x，y）|2f（x）+f（y）≥0，x，y∈D}． 关于下列两个命题的判断，说法正确的是（　　） 命题①：集合Γ表示的平面图形是中心对称图形 命题②：集合Ω表示的平面图形的面积不大于 A．①真命题；②假命题 B．①假命题；②真命题 C．①真命题；②真命题 D．①假命题；②假命题 5．（2024•宝山区二模）已知a＞b＞0，则（　　） A．a2＞b2 B．2a＜2b C． D． 6．（2024•虹口区二模）设，将函数y＝f（x）的图像沿x轴向右平移个单位，得到函数y＝g（x）的图像，则（　　） A．函数y＝g（x）是偶函数 B．函数y＝g（x）的图像关于直线对称 C．函数y＝g（x）在上是严格增函数 D．函数y＝g（x）在上的值域为 7．（2024•宝山区二模）数列{an}中，Sn是其前n项的和，若对任意正整数n，总存在正整数m，使得Sn＝am，则称数列{an}为“某数列”．现有如下两个命题： ①等比数列{2n}为“某数列”； ②对任意的等差数列{an}，总存在两个“某数列”{bn}和{cn}，使得an＝bn+cn． 则下列选项中正确的是（　　） A．①为真命题，②为真命题 B．①为真命题，②为假命题 C．①为假命题，②为真命题 D．①为假命题，②为假命题 8．（2024•虹口区二模）已知定义在R上的函数f（x），g（x）的导数满足|f'（x）|≤g'（x），给出两个命题： ①对任意x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤|g（x1）﹣g（x2）|； ②若g（x）的值域为[m，M]，f（﹣1）＝m，f（1）＝M，则对任意x∈R都有f（x）＝g（x）． 则下列判断正确的是（　　） A．①②都是假命题 B．①②都是真命题 C．①是假命题，②是真命题 D．①是真命题，②是假命题 9．（2024•崇明区二模）设函数，若对于任意，在区间[0，m]上总存在唯一确定的β，使得f（α）+f（β）＝0，则m的最小值为（　　） A． B． C． D．π 10．（2024•崇明区二模）已知函数y＝f（x）的定义域为D，x1，x2∈D． 命题p：若当f（x1）+f（x2）＝0时，都有x1+x2＝0，则函数y＝f（x）是D上的奇函数． 命题q：若当f（x1）＜f（x2）时，都有x1＜x2，则函数y＝f（x）是D上的增函数． 下列说法正确的是（　　） A．p、q都是真命题 B．p是真命题，q是假命题 C．p是假命题，q是真命题 D．p、q都是假命题 11．（2024•青浦区二模）设Sn为是首项为a1，公比为q的等比数列{an}的前n项和，且S2023＜S2025＜S2024，则（　　） A．a1＞0 B．q＞0 C．|Sn|≤|a1| D．|Sn|＜|q| 12．（2024•青浦区二模）如图，已知直线y＝kx+m与函数y＝f（x），x∈（a，b）的图像相切于两点，则函数y＝f（x）﹣kx有（　　） A．2个极大值点，1个极小值点 B．3个极大值点，2个极小值点 C．2个极大值点，无极小值点 D．3个极大值点，无极小值点 13．（2024•长宁区二模）设数列{an}的前n项和为Sn，若存在非零常数c，使得对任意正整数n，都有，则称数列{an}具有性质p： ①存在等差数列{an}具有性质p； ②不存在等比数列{an}具有性质p； 对于以上两个命题，下列判断正确的是（　　） A．①真②真 B．①真②假 C．①假②真 D．①假②假 14．（2024•黄浦区二模）函数y＝1﹣2cos2（x）是（　　） A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为π的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 15．（2024•黄浦区二模）设函数若f（x）＞0恒成立，则实数a的取值范围是（　　） A．（1，+∞） B． C． D． 16．（2024•黄浦区二模）设数列{an}的前n项和为Sn，若对任意的n∈N*，Sn都是数列{an}中的项，则称数列{an}为“T数列”．对于命题： ①存在“T数列”{an}，使得数列{Sn}为公比不为1的等比数列； ②对于任意的实数a1，都存在实数d，使得以a1为首项、d为公差的等差数列{an}为“T数列”．下列判断正确的是（　　） A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题 C．①是真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是真命题 17．（2024•金山区二模）设f（x）＝x3﹣3x，有如下两个命题： ①函数y＝f（x）的图像与圆x2+y2＝1有且只有两个公共点； ②存在唯一的正方形ABCD，其四个顶点都在函数y＝f（x）的图像上． 则下列说法正确的是（　　） A．①正确，②正确 B．①正确，②不正确 C．①不正确，②正确 D．①不正确，②不正确 18．（2024•嘉定区二模）已知函数y＝f（x）（x∈R）的最小正周期是T1，函数y＝g（x）（x∈R）的最小正周期是T2，且T1＝kT2（k＞1），对于命题甲：函数y＝f（x）+g（x）（x∈R）可能不是周期函数； 命题乙：若函数y＝f（x）+g（x）（x∈R）的最小正周期是T3，则T3≥T1．下列选项正确的是（　　） A．甲和乙均为真命题 B．甲和乙均为假命题 C．甲为真命题且乙为假命题 D．甲为假命题且乙为真命题 19．（2024•闵行区二模）已知实数a，b∈（0，1），且满足cosaπ＜cosbπ，则下列关系式成立的是（　　） A．lna＜lnb B．sina＜sinb C． D．a3＜b3 20．（2024•浦东新区二模）设f0（x）＝amxm+am﹣1xm﹣1+…+a1x+a0（am≠0，m≥10，m∈Z），记fn（x）＝fn﹣1′（x）（n＝1，2，…，m﹣1），令有穷数列bn为fn（x）零点的个数（n＝1，2，…，m﹣1），则有以下两个结论： ①存在f0（x），使得bn为常数列； ②存在f0（x），使得bn为公差不为零的等差数列．那么（　　） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①②都正确 D．①②都错误 二．填空题（共15小题） 21．（2024•闵行区二模）对于任意的x1、x2∈R，且x2＞0，不等式恒成立，则实数a的取值范围为 　 　． 22．（2024•闵行区二模）已知函数f（x）＝2x+a，g（x）＝lnx﹣2x，如果对任意的，都有f（x1）≤g（x2）成立，则实数a的取值范围是　 　． 23．（2024•金山区二模）设公比为2的等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2024﹣S2022＝6，则a2024＝　 　． 24．（2024•黄浦区二模）已知数列{an}是给定的等差数列，其前n项和为Sn，若a9a10＜0，且当m＝m0与n＝n0时，|Sm﹣Sn|（m，n∈{x|x≤30，x∈N*}）取得最大值，则|m0﹣n0|的值为 　 　． 25．（2024•浦东新区二模）已知等差数列{an}满足a1+a6＝12，a4＝7，则a3＝　 　． 26．（2024•黄浦区二模）如图是某公园局部的平面示意图，图中的实线部分（它由线段CE，DF与分别以OC，OD为直径的半圆弧组成）表示一条步道．其中的点C，D是线段AB上的动点，点O为线段AB，CD的中点，点E，F在以AB为直径的半圆弧上，且∠OCE，∠ODF均为直角．若AB＝1百米，则此步道的最大长度为 　 　百米． 27．（2024•闵行区二模）始边与x轴的正半轴重合的角α的终边过点（3，﹣4），则sin（α+π）＝　 　． 28．（2024•静安区二模）已知物体的位移d（单位：m）与时间t（单位：s）满足函数关系d＝2sint，则在时间段t∈（2，6）内，物体的瞬时速度为1m/s的时刻t＝　 　（单位：s）． 29．（2024•闵行区二模）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a2＝3，a5＝81，则S5＝　 　． 30．（2024•闵行区二模）函数在x＝1处的切线方程为 　 　． 31．（2024•杨浦区二模）已知sinα，则cos2α＝　 　． 32．（2024•杨浦区二模）若函数为奇函数，则函数y＝f（x），x∈（0，+∞）的值域为 　 　． 33．（2024•杨浦区二模）各项为正的等比数列{an}满足：a1＝2，a2+a3＝12，则通项公式为an＝　 　． 34．（2024•杨浦区二模）已知实数a满足：①a∈[0，2π）；②存在实数b，c（a＜b＜c＜2π），使得a，b，c是等差数列，cosb，cosa，cosc也是等差数列．则实数a的取值范围是 　 　． 35．（2024•杨浦区二模）某钢材公司积压了部分圆钢，经清理知共有2024根，每根圆钢的直径为10厘米．现将它们堆放在一起．若堆成纵断面为等腰梯形（如图每一层的根数比上一层根数多1根），且为考虑安全隐患，堆放高度不得高于米，若堆放占用场地面积最小，则最下层圆钢根数为 　 　． 三．解答题（共5小题） 36．（2024•青浦区二模）对于函数y＝f（x），其中，x∈R． （1）求函数y＝f（x）的单调增区间； （2）在锐角三角形ABC中，若f（A）＝1，，求△ABC的面积． 37．（2024•浦东新区二模）已知函数y＝f（x），其中f（x）＝sinx． （1）求在x∈[0，π]上的解； （2）已知g（x），若关于x的方g（x）﹣m在x∈[0，]时有解，求实数m的取值范围． 38．（2024•浦东新区二模）已知函数y＝f（x）及其导函数y＝f′（x）的定义域均为D．设x0∈D，曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处的切线交x轴于点（x1，0）．当n≥1时，设曲线y＝f（x）在点（xn，f（xn））处的切线交x轴于点（xn+1，0）．依此类推，称得到的数列{xn}为函数y＝f（x）关于x0，的“N数列”． （1）若f（x）＝lnx，{xn}是函数y＝f（x）关于x0的“N数列”，求x1的值； （2）若f（x）＝x2﹣4，{xn}是函数y＝f（x）关于x0＝3的“N数列”，记an＝log3，证明：{an}是等比数列，并求出其公比； （3）若，则对任意给定的非零实数a，是否存在x0≠0，使得函数y＝f（x）关于x0的“N数列″{xn}为周期数列？若存在，求出所有满足条件的x0；若不存在，请说明理由． 39．（2024•闵行区二模）已知函数是定义域为R的偶函数． （1）求实数a的值； （2）若对任意x∈R，都有成立，求实数k的取值范围． 40．（2024•闵行区二模）已知定义在（0，+∞）上的函数y＝f（x）的表达式为f（x）＝sinx﹣xcosx，其所有的零点按从小到大的顺序组成数列{xn}（n≥1，n∈N）． （1）求函数y＝f（x）在区间（0，π）上的值域； （2）求证：函数y＝f（x）在区间（nπ，（n+1）π）（n≥1，n∈N）上有且仅有一个零点； （3）求证：． 上海市2024年高考数学二模试题按知识点分层汇编-01函数 参考答案与试题解析 一．选择题（共20小题） 1．（2024•静安区二模）函数y＝2sinx﹣cosx（x∈R）的最小正周期为（　　） A．2π B．π C． D． 【解答】解：因为y＝2sinx﹣cosx（sinxcosx） sin（x﹣φ），tanφ， 根据周期公式可得T＝2π． 故选：A． 2．（2024•杨浦区二模）下列函数中，在区间（0，+∞）上为严格增函数的是（　　） A．f（x）＝﹣lnx B．f（x）＝|x﹣1| C． D． 【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于A，y＝lnx在（0，+∞）上递增，则f（x）＝﹣lnx在区间（0，+∞）上为减函数，不符合题意； 对于B，f（x）＝|x﹣1|，在区间（0，1）上为减函数，不符合题意； 对于C，f（x）（）x，是指数函数，在R上为减函数，不符合题意； 对于D，f（x），是反比例函数，在区间（0，+∞）上为增函数，符合题意． 故选：D． 3．（2024•闵行区二模）已知y＝f（x），x∈R为奇函数，当x＞0时，f（x）＝log2x﹣1，则集合{x|f（﹣x）﹣f（x）＜0}可表示为（　　） A．（2，+∞） B．（﹣∞，﹣2） C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） D．（﹣2，0）∪（2，+∞） 【解答】解：因为y＝f（x），x∈R为奇函数，当x＞0时，f（x）＝log2x﹣1， 当x＜0时，﹣x＞0，可得f（﹣x）＝log2（﹣x）﹣1＝﹣f（x），即x＜0时，f（x）＝﹣log2（﹣x）+1， 所以f（﹣x）﹣f（x）＜0，即﹣2f（x）＜0，可得f（x）＞0， 当x＞0时，log2x﹣1＞0，可得x＞2； 当x＜0时，﹣log2（﹣x）+1＞0，可得﹣2＜x＜0． 故集合{x|f（﹣x）﹣f（x）＜0}＝（﹣2，0）∪（2，+∞）． 故选：D． 4．（2024•闵行区二模）已知f（x）＝sinx，集合，Γ＝{（x，y）|2f（x）+f（y）＝0，x，y∈D}，Ω＝{（x，y）|2f（x）+f（y）≥0，x，y∈D}． 关于下列两个命题的判断，说法正确的是（　　） 命题①：集合Γ表示的平面图形是中心对称图形 命题②：集合Ω表示的平面图形的面积不大于 A．①真命题；②假命题 B．①假命题；②真命题 C．①真命题；②真命题 D．①假命题；②假命题 【解答】解：对于①，f（x）＝sinx，集合，显然该函数为奇函数，所以f（x），f（y）都是奇函数， 则曲线2f（x）+f（y）＝0必关于（0，0）对称，即集合Γ表示的平面图形是中心对称图形，①正确； 对于②，如图： 阴影部分是由x与y围成的正方形的一半，故面积为，②错误． 故选：A． 5．（2024•宝山区二模）已知a＞b＞0，则（　　） A．a2＞b2 B．2a＜2b C． D． 【解答】解：a＞b＞0， 则a2＞b2，故A正确； 2a＞2b，故B错误； ，故C错误； ，故D错误． 故选：A． 6．（2024•虹口区二模）设，将函数y＝f（x）的图像沿x轴向右平移个单位，得到函数y＝g（x）的图像，则（　　） A．函数y＝g（x）是偶函数 B．函数y＝g（x）的图像关于直线对称 C．函数y＝g（x）在上是严格增函数 D．函数y＝g（x）在上的值域为 【解答】解：，把函数f（x）的图象沿x轴向右平移个单位， 得到函数g（x）的图象，则g（x），是奇函数，A项错误； 当，即（k∈Z），y＝g（x）其图象关于直线对称，B项错误； 当，即，y＝g（x）是减函数，故 y＝g（x）在为减函数，C项错误， 时，，函数g（x）的值域为，2]，故选项D正确． 故选：D． 7．（2024•宝山区二模）数列{an}中，Sn是其前n项的和，若对任意正整数n，总存在正整数m，使得Sn＝am，则称数列{an}为“某数列”．现有如下两个命题： ①等比数列{2n}为“某数列”； ②对任意的等差数列{an}，总存在两个“某数列”{bn}和{cn}，使得an＝bn+cn． 则下列选项中正确的是（　　） A．①为真命题，②为真命题 B．①为真命题，②为假命题 C．①为假命题，②为真命题 D．①为假命题，②为假命题 【解答】解：对于①，由等比数列{2n}可得， 若对任意正整数n，总存在正整数m，使得Sn＝am，则2n+1﹣2＝2m，即2n+1＝2m+2，显然不成立，故①为假命题； 对于②，设等差数列{an}的公差为d，则an＝a1． 令bn＝na1，cn＝（n﹣1）（d﹣a1），则an＝bn+cn（n∈N*）． 下面证{bn}是“某数列”． 设{bn}的前n项和为Tn，则（n∈N*）． 于是对任意的正整数n，总存在正整数m，使得Tn＝bn，所以{bn}是“某数列”． 同理，可证{cn}也是“H数列”． 所以对任意的等差数列{an}，总存在两个“某数列”{bn}和{cn}，使得an＝bn+cn（n∈N*）成立，故②为真命题． 故选：C． 8．（2024•虹口区二模）已知定义在R上的函数f（x），g（x）的导数满足|f'（x）|≤g'（x），给出两个命题： ①对任意x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤|g（x1）﹣g（x2）|； ②若g（x）的值域为[m，M]，f（﹣1）＝m，f（1）＝M，则对任意x∈R都有f（x）＝g（x）． 则下列判断正确的是（　　） A．①②都是假命题 B．①②都是真命题 C．①是假命题，②是真命题 D．①是真命题，②是假命题 【解答】解：对于①，设x1＞x2， ∵g′（x）≥|f′（x）|，∴g（x）在R上递增，∴g（x1）≥g（x2）， 设h（x）＝f（x）﹣g（x），m（x）＝f（x）+g（x）， ∵|f′（x）|≤g′（x），∴﹣g′（x）≤f′（x）≤g′（x）， ∴h′（x）＝f′（x）﹣g′（x）≤0，m′（x）＝f′（x）+g′（x）≥0， ∴h（x）递减，m（x）递增， ∴h（x1）≤h（x2），m（x1）≥m（x2）， ∴f（x1）﹣g（x1）≤f（x2）﹣g（x2），∴f（x1）﹣f（x2）≤g（x1）﹣g（x2）， f（x1）+g（x1）≥f（x2）+g（x2），f（x1）﹣f（x2）≥g（x2）﹣g（x1）， ∴|f（x1）﹣f（x2）|≤g（x1）﹣g（x2），故①是真命题； 对于②，由①得|f（﹣1）﹣f（1）|≤|g（﹣1）﹣g（1）|， ∵M﹣m≤|g（﹣1）﹣g（1）|， ∵|g（﹣1）﹣g（1）|≤M﹣m，∴|g（﹣1）﹣g（1）|＝M﹣m， ∵g（x）单调递增，∴g（﹣1）＝m，g（1）＝M， ∴当x∈（﹣∞，﹣1）时，g（x）＝m，g′（x）＝0，|f′（x）|≤0， ∴f′（x）＝0，∴f（x）＝M， 任取x0∈（﹣1，1），由①得： ， ∴， ∴，∴f（x0）＝g（x0）， ∴对任意的x∈R，都有f（x）＝g（x），故②是真命题． 故选：B． 9．（2024•崇明区二模）设函数，若对于任意，在区间[0，m]上总存在唯一确定的β，使得f（α）+f（β）＝0，则m的最小值为（　　） A． B． C． D．π 【解答】解：因为，x∈[，]， 所以x]， 所以f（x）∈[，0]，即f（α）∈[，0]， 由在区间[0，m]上总存在唯一确定的β，使得f（α）+f（β）＝0， 则在区间[0，m]上总存在唯一确定的β，使得f（β）∈[0，]， 由函数f（x）在[0，]为增函数，值域为：[，1]，又f（）＝sin， 即m，故m的最小值为：， 故选：B． 10．（2024•崇明区二模）已知函数y＝f（x）的定义域为D，x1，x2∈D． 命题p：若当f（x1）+f（x2）＝0时，都有x1+x2＝0，则函数y＝f（x）是D上的奇函数． 命题q：若当f（x1）＜f（x2）时，都有x1＜x2，则函数y＝f（x）是D上的增函数． 下列说法正确的是（　　） A．p、q都是真命题 B．p是真命题，q是假命题 C．p是假命题，q是真命题 D．p、q都是假命题 【解答】解：函数y＝f（x）的定义域为D，x1，x2∈D． 若当f（x1）+f（x2）＝0时，都有x1+x2＝0，这里x1，x2存在，不是任意的， 由奇函数的定义可得函数y＝f（x）不一定是D上的奇函数，故p错误； 若当f（x1）＜f（x2）时，都有x1＜x2，符合单调性的定义，为增函数，故q正确． 故选：C． 11．（2024•青浦区二模）设Sn为是首项为a1，公比为q的等比数列{an}的前n项和，且S2023＜S2025＜S2024，则（　　） A．a1＞0 B．q＞0 C．|Sn|≤|a1| D．|Sn|＜|q| 【解答】解：∵S2023＜S2025＜S2024， ∴S2025﹣S2023＞0，S2025﹣S2024＜0，即a2024+a2025＞0且a2025＜0， ∴a2024＞﹣a2025＞0，两边都除以a2024，得1＞﹣q＞0，可得﹣1＜q＜0． 对于A，由a2025＝a1q2024＜0，可得a1＜0，故A项不正确； 对于B，由于﹣1＜q＜0，所以q＞0不成立，故B不正确； 对于C，因为﹣1＜q＜0，所以0＜1﹣qn≤1﹣q，可得． 结合，可得，故C正确； 对于D，根据﹣1＜q＜0且a1＜0，当a1＝﹣1，时，， 此时|Sn|＜|q|不成立，故D不正确． 故选：C． 12．（2024•青浦区二模）如图，已知直线y＝kx+m与函数y＝f（x），x∈（a，b）的图像相切于两点，则函数y＝f（x）﹣kx有（　　） A．2个极大值点，1个极小值点 B．3个极大值点，2个极小值点 C．2个极大值点，无极小值点 D．3个极大值点，无极小值点 【解答】解：∵直线y＝kx+m与曲线y＝f（x）相切于两点， ∴kx+m＝f（x）有两个根，且f（x）≤kx+m， 由图象知m＜0，令F（x）＝f（x）﹣kx， 由图可知，函数f（x）有3个极大值点，2个极小值点， 而F′（x）＝f′（x）﹣k， 设f（x）的三个极大值点分别为c，d，e，两个极小值点分别为f，g． 则在c，d，e的左侧，f′（x）≥k，在c，d，e的右侧，f′（x）＜k，此时函数F（x）＝f（x）﹣kx有3个极大值， 在f，g的左侧，f′（x）＜k，在f，g的右侧，f′（x）≥k，此时函数F（x）＝f（x）﹣kx有2个极小值， 故函数F（x）＝f（x）﹣kx有5个极值点，3个极大值，2个极小值． 故B正确，A错误，C错误，D错误． 故选：B． 13．（2024•长宁区二模）设数列{an}的前n项和为Sn，若存在非零常数c，使得对任意正整数n，都有，则称数列{an}具有性质p： ①存在等差数列{an}具有性质p； ②不存在等比数列{an}具有性质p； 对于以上两个命题，下列判断正确的是（　　） A．①真②真 B．①真②假 C．①假②真 D．①假②假 【解答】解：对于①，若等差数列{an}具有性质p， 则存在非零常数c，使得对任意正整数n，都有2an+c， 令n＝1，则2a1+c，即a1＝2c， 令n＝2，则2a2+c，即a2＝2c， 令n＝3，则2a3+c，即a3＝2c， 由a1+a3＝2a2，得2c+2c＝2c+2c＝2（2c）， 即2，化简得a1a2， 所以等差数列{an}具有性质p，①是真命题； 对于②，若等比数列{an}具有性质p， 则存在非零常数c，使得对任意正整数n，都有2an+c， 令n＝1，则2a1+c，即a1＝2c， 令n＝2，则2a2+c，即 a2＝2c， 令n＝3，则2a3+c，则a3＝2c， 由a1•a3，设等比数列的公比为q（q≠0）， 则（2c）（2c）， 化简得c， 所以等比数列{an}具有性质p，所以②是假命题． 故选：B． 14．（2024•黄浦区二模）函数y＝1﹣2cos2（x）是（　　） A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为π的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 【解答】解：∵函数y＝1﹣2cos2（x）＝﹣cos（2x）＝﹣sin2x， 故该函数的为奇函数，且最小正周期为π， 故选：A． 15．（2024•黄浦区二模）设函数若f（x）＞0恒成立，则实数a的取值范围是（　　） A．（1，+∞） B． C． D． 【解答】解：由题意可知：当﹣4≤x≤0时， ﹣x2+ax+20＞0，即ax＞x2﹣20恒成立， 当x＝0时，上式显然成立； 当﹣4≤x＜0时， 则有a＜x恒成立， 易知函数y＝x在[﹣4，0）上单调递增， 所以ymin＝﹣41， 所以a＜1； 当0＜x≤4时，ax2﹣2x+3＞0恒成立， 即ax2＞2x﹣3，a恒成立， 令t∈[，+∞）， 则a＞2t﹣3t2在t∈[，+∞）上恒成立， 因为y＝2t﹣3t2的开口向下，对称轴为t， 所以当t时，y＝2t﹣3t2取最大值， 所以a， 综上，a的取值范围为（，1）． 故选：D． 16．（2024•黄浦区二模）设数列{an}的前n项和为Sn，若对任意的n∈N*，Sn都是数列{an}中的项，则称数列{an}为“T数列”．对于命题： ①存在“T数列”{an}，使得数列{Sn}为公比不为1的等比数列； ②对于任意的实数a1，都存在实数d，使得以a1为首项、d为公差的等差数列{an}为“T数列”．下列判断正确的是（　　） A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题 C．①是真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是真命题 【解答】解：根据题意，依次分析两个命题： 对于①，对于数列{an}，令an，则Sn，数列{Sn}为公比不为1的等比数列，①正确； 对于②，等差数列{an}，令a1＝﹣d，有an＝a1+（n﹣1）d＝（n﹣2）d， 则有Snd，数列{an}为“T数列”，②正确． 故选：A． 17．（2024•金山区二模）设f（x）＝x3﹣3x，有如下两个命题： ①函数y＝f（x）的图像与圆x2+y2＝1有且只有两个公共点； ②存在唯一的正方形ABCD，其四个顶点都在函数y＝f（x）的图像上． 则下列说法正确的是（　　） A．①正确，②正确 B．①正确，②不正确 C．①不正确，②正确 D．①不正确，②不正确 【解答】解：对于①：f（x）为奇函数，f′（x）＝3x2﹣3， 当x∈（﹣1，1）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，且f（﹣1）＝2，f（1）＝﹣2， 则函数f（x）的图像与圆x2+y2＝1有且只有两个公共点，故①正确； 对于②：根据对称性，假设正方形的中心在原点， 设OA直线方程为y＝kx，直线OB的方程yx， 设A（x1，y1），B（x2，y2）， 联立，则k+3，同理可得3， 由|OA|＝|OB|得，，即k4+3k3﹣3k+1＝0， 所以（k2+2k﹣1）（k2+k﹣1）＝0， 解得k或k＝﹣1±， 所以不止一个正方形ABCD，其四个顶点都在函数y＝f（x）的图像上，故②不正确． 故选：B． 18．（2024•嘉定区二模）已知函数y＝f（x）（x∈R）的最小正周期是T1，函数y＝g（x）（x∈R）的最小正周期是T2，且T1＝kT2（k＞1），对于命题甲：函数y＝f（x）+g（x）（x∈R）可能不是周期函数； 命题乙：若函数y＝f（x）+g（x）（x∈R）的最小正周期是T3，则T3≥T1．下列选项正确的是（　　） A．甲和乙均为真命题 B．甲和乙均为假命题 C．甲为真命题且乙为假命题 D．甲为假命题且乙为真命题 【解答】解：取f（x）＝sinx，g（x）＝sinπx，则f（x）+g（x）不是周期函数，故甲命题为真命题； 若函数y＝f（x）+g（x）（x∈R）的最小正周期是T3，则f（x+T3）+g（x+T3）＝f（x）+g（x）， ∴T3＝nT1，n∈N+，∴T3≥T1，故乙命题为真命题； 故选：A． 19．（2024•闵行区二模）已知实数a，b∈（0，1），且满足cosaπ＜cosbπ，则下列关系式成立的是（　　） A．lna＜lnb B．sina＜sinb C． D．a3＜b3 【解答】解：∵y＝cosx在（0，π）上单调递减， 又a，b∈（0，1），∴aπ，bπ∈（0，π），又cosaπ＜cosbπ， ∴aπ＞bπ，∴0＜b＜a＜1， 对于A：因为y＝lnx在定义域上单调递增，所以lnb＜lna，故A错误； 对于B：因为y＝sinx在上单调递增，所以sinb＜sina，故B错误； 对于C：因为0＜b＜a＜1，所以，故C正确； 对于D：因为y＝x3在定义域上单调递增，所以b3＜a3，故D错误； 故选：C． 20．（2024•浦东新区二模）设f0（x）＝amxm+am﹣1xm﹣1+…+a1x+a0（am≠0，m≥10，m∈Z），记fn（x）＝fn﹣1′（x）（n＝1，2，…，m﹣1），令有穷数列bn为fn（x）零点的个数（n＝1，2，…，m﹣1），则有以下两个结论： ①存在f0（x），使得bn为常数列； ②存在f0（x），使得bn为公差不为零的等差数列．那么（　　） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①②都正确 D．①②都错误 【解答】解：当时， ，此时b1＝1， ，此时b2＝1， fm﹣1（x）＝fm﹣2'（x）＝m（m﹣1）（m﹣2）⋯×2×x，此时bm﹣1＝1， 故存在f0（x），使bn为常数列；①正确； 设f0（x）＝（x﹣1）（x﹣2）⋯（x﹣m），则f0（x）有m个零点1，2，3，⋯，m， 则f1（x）在（1，2），（2，3），⋯，（m﹣1，m）的每个区间内各至少一个零点，故f1（x）至少有m﹣1个零点， 因为是一个m﹣1次函数，故最多有m﹣1个零点，因此f1（x）有且仅有m﹣1个零点， 同理，f2（x）有且仅有m﹣2个零点，⋯，fk（x）有且仅有m﹣k个零点， 故bn＝m﹣n，所以{bn}是公差为﹣1的等差数列，故②正确． 故选：C． 二．填空题（共15小题） 21．（2024•闵行区二模）对于任意的x1、x2∈R，且x2＞0，不等式恒成立，则实数a的取值范围为 　（﹣∞，2）　． 【解答】解：令f（x）＝ex﹣x，x＞0， 则f′（x）＝ex﹣1， 所以当x∈（﹣∞，0）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减； 当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增； 所以f（x）min＝f（0）＝1＞0， 所以ex﹣x＞0； 令g（x）＝lnx﹣x（x＞0）， 所以g′（x）1， 所以当x∈（0，1）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增； 当x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0，f（x）单调递减； 所以g（x）max＝g（1）＝﹣1＜0， 所以﹣g（x）≥1， 又因为对于任意的x1、x2∈R，且x2＞0，不等式恒成立， 即对于任意的x1、x2∈R，且x2＞0，不等式|f（x1）|+|g（x2）|＞a恒成立， 即f（x1）﹣g（x2）＞a恒成立， 所以[f（x1）﹣g（x2）]min＞a， 即1+1＞a，a＜2， 所以a的取值范围为：（﹣∞，2）． 故答案为：（﹣∞，2）． 22．（2024•闵行区二模）已知函数f（x）＝2x+a，g（x）＝lnx﹣2x，如果对任意的，都有f（x1）≤g（x2）成立，则实数a的取值范围是　（﹣∞，ln2﹣8]　． 【解答】解：求导函数，可得g′（x）2，x∈[，2]，g′（x）＜0， ∴g（x）min＝g（2）＝ln2﹣4， ∵f（x）＝2x+a， ∴f（x）在[，2]上单调递增， ∴f（x）max＝f（）＝4+a， ∵对任意的，都有f（x1）≤g（x2）成立， ∴4+a≤ln2﹣4， ∴a≤ln2﹣8， 故答案为：（﹣∞，ln2﹣8]． 23．（2024•金山区二模）设公比为2的等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2024﹣S2022＝6，则a2024＝　4　． 【解答】解：因为公比为2的等比数列{an}中，S2024﹣S2022＝a2023+a20246， 则a2024＝4． 故答案为：4． 24．（2024•黄浦区二模）已知数列{an}是给定的等差数列，其前n项和为Sn，若a9a10＜0，且当m＝m0与n＝n0时，|Sm﹣Sn|（m，n∈{x|x≤30，x∈N*}）取得最大值，则|m0﹣n0|的值为 　21　． 【解答】解：当d＞0时，有a9＜0＜a10，所以S9+a10＜S10，即S9为最小值， 若|Sm﹣Sn|取得最大值，则|m0﹣n0|＝30﹣9＝21； 当d＜0时，有a9＞0＞a10，所以S9+a10＞S10，即S9为最大的值， 若|Sm﹣Sn|取得最大值，则根据二次函数的对称性可知，|m0﹣n0|＝30﹣9＝21； 所以30﹣9＝21． 故答案为：21． 25．（2024•浦东新区二模）已知等差数列{an}满足a1+a6＝12，a4＝7，则a3＝　5　． 【解答】解：根据等差数列的性质，a1+a6＝a4+a3＝12，解得a3＝5． 故答案为：5． 26．（2024•黄浦区二模）如图是某公园局部的平面示意图，图中的实线部分（它由线段CE，DF与分别以OC，OD为直径的半圆弧组成）表示一条步道．其中的点C，D是线段AB上的动点，点O为线段AB，CD的中点，点E，F在以AB为直径的半圆弧上，且∠OCE，∠ODF均为直角．若AB＝1百米，则此步道的最大长度为 　　百米． 【解答】解：根据题意知，步道的长度为两个半圆周长+两条线段长，设半圆直径为OC＝2r，0＜r， 连接OE，因为OA＝OB，所以CE， 所以步道长为L＝22πr2πr，r∈（0，）． 设1﹣16r2＝sin2θ，θ∈（0，），则rcosθ， 所以L＝sinθcosθsin（θ+α），α＝arctan， 因为θ∈（0，π），α∈（0，），所以当θ+α时，L取得最大值． 故答案为：． 27．（2024•闵行区二模）始边与x轴的正半轴重合的角α的终边过点（3，﹣4），则sin（α+π）＝　　． 【解答】解：始边与x轴的正半轴重合的角α的终边过点（3，﹣4）， 则， 故sin（α+π）＝﹣sinα． 故答案为：． 28．（2024•静安区二模）已知物体的位移d（单位：m）与时间t（单位：s）满足函数关系d＝2sint，则在时间段t∈（2，6）内，物体的瞬时速度为1m/s的时刻t＝　　（单位：s）． 【解答】解：由题可得：d′＝2cost＝1， 可得cost， 又t∈（2，6）， 可得t． 故答案为：． 29．（2024•闵行区二模）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a2＝3，a5＝81，则S5＝　121　． 【解答】解：等比数列{an}中，a2＝3，a5＝81， 则q327，即q＝3， 所以a1＝1， 则S5121． 故答案为：121． 30．（2024•闵行区二模）函数在x＝1处的切线方程为 　3x+y﹣4＝0　． 【解答】解：x＝1代入得y＝1，y′1，可得k＝﹣3，所以切线方程为y﹣1＝﹣3（x﹣1），即3x+y﹣4＝0． 故答案为：3x+y﹣4＝0． 31．（2024•杨浦区二模）已知sinα，则cos2α＝　　． 【解答】解：因为sinα， 所以cos2α＝1﹣2sin2α＝1﹣2． 故答案为：． 32．（2024•杨浦区二模）若函数为奇函数，则函数y＝f（x），x∈（0，+∞）的值域为 　（0，1）　． 【解答】解：根据题意，当x≤0时，g（x）＝2x﹣1， 当x＜0时，有0＜2x＜20＝1，则有﹣1＜g（x）＜0， 又由g（x）为奇函数，则x∈（0，+∞）时，y＝f（x）为值域为（0，1）． 故答案为：（0，1）． 33．（2024•杨浦区二模）各项为正的等比数列{an}满足：a1＝2，a2+a3＝12，则通项公式为an＝　2n　． 【解答】解：各项为正的等比数列{an}满足：a1＝2，a2+a3＝12， ∴， 解得q＝2， ∴通项公式为an＝2×2n﹣1＝2n． 故答案为：2n． 34．（2024•杨浦区二模）已知实数a满足：①a∈[0，2π）；②存在实数b，c（a＜b＜c＜2π），使得a，b，c是等差数列，cosb，cosa，cosc也是等差数列．则实数a的取值范围是 　　． 【解答】解：显然0＜a＜π， 否则当a≥π时，cosa＜cosb＜cosc，显然cosb，cosa，cosc不成等差数列， 由题意可知，，cosb+cosc＝2cosa， ∴， 设，则， ∴，， ∴∃x0∈（a，2π），f'（x0）＝0， 可以证明x∈（a，x0）时，f′（x）＜0；x∈（x0，2π）时，f'（x）＞0， ∴f（x）在[a，x0]严格递减，[x0，2π]严格递增， ∵f（a）＝0， ∴若存在a＜c＜2π，f（c）＝0，则f（2π）＞0， ， ∴，∴， 又∵a＜π， ∴a的取值范围为． 故答案为：． 35．（2024•杨浦区二模）某钢材公司积压了部分圆钢，经清理知共有2024根，每根圆钢的直径为10厘米．现将它们堆放在一起．若堆成纵断面为等腰梯形（如图每一层的根数比上一层根数多1根），且为考虑安全隐患，堆放高度不得高于米，若堆放占用场地面积最小，则最下层圆钢根数为 　134　． 【解答】解：设最下层堆放的钢管为x（x∈N*），共堆放了n（n≥2，x∈N*）层， 则每一次堆放的钢管数为以x为首项，﹣1为公差的等差数列， 即an＝x﹣n+1， 又因为共有2024根钢管， 所以nx2024， 即n[2x﹣（n﹣1）]＝4048， 因为n与n﹣1的奇偶性不同， 所以n与2x﹣（n﹣1）的奇偶性不同， 又因为4028＝16×253， 所以当n＝16时，2x﹣（n﹣1）＝2x﹣15＝253，解得x＝134， 此时最上层有119根， 等腰梯形的上底为1190cm＝11.9m，下底为13.4m，两腰长为1.6m， 求得等腰梯形的高为：，满足题意； 当n＝253时，2x﹣（n﹣1）＝2x﹣252＝16，解得x＝134， 此时最上层有a253＝134﹣253+1＝﹣18＜0，不符题意． 综上x＝134， 即最下层圆钢根数为134． 故答案为：134． 三．解答题（共5小题） 36．（2024•青浦区二模）对于函数y＝f（x），其中，x∈R． （1）求函数y＝f（x）的单调增区间； （2）在锐角三角形ABC中，若f（A）＝1，，求△ABC的面积． 【解答】解：（1） ， 由，得， 故函数f（x）的单调增区间是． （2）， 则， 在锐角三角形ABC中， 则A∈， 故，即，所以， 又，所以，， 故△ABC的面积． 37．（2024•浦东新区二模）已知函数y＝f（x），其中f（x）＝sinx． （1）求在x∈[0，π]上的解； （2）已知g（x），若关于x的方g（x）﹣m在x∈[0，]时有解，求实数m的取值范围． 【解答】解：（1）f（x）＝sin（x）， 可得x＝2kπ，或2kπ，即x＝2kπ，或2kπ，k∈Z， 则在x∈[0，π]上的解为，； （2）g（x）sinxsin（x）﹣sinxsin（x+π）sinxcosx+sin2xsin2x ＝sin（2x）， 关于x的方程g（x）﹣m，即m＝sin（2x）在x∈[0，]时有解． 由x∈[0，]，可得2x∈[，]，sin（2x）∈[，1]， 所以，m的取值范围是[，1]． 38．（2024•浦东新区二模）已知函数y＝f（x）及其导函数y＝f′（x）的定义域均为D．设x0∈D，曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处的切线交x轴于点（x1，0）．当n≥1时，设曲线y＝f（x）在点（xn，f（xn））处的切线交x轴于点（xn+1，0）．依此类推，称得到的数列{xn}为函数y＝f（x）关于x0，的“N数列”． （1）若f（x）＝lnx，{xn}是函数y＝f（x）关于x0的“N数列”，求x1的值； （2）若f（x）＝x2﹣4，{xn}是函数y＝f（x）关于x0＝3的“N数列”，记an＝log3，证明：{an}是等比数列，并求出其公比； （3）若，则对任意给定的非零实数a，是否存在x0≠0，使得函数y＝f（x）关于x0的“N数列″{xn}为周期数列？若存在，求出所有满足条件的x0；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）曲线y＝lnx在点（x0，lnx0）处的切线斜率为，又， 所以曲线y＝lnx在点处的切线方程为， 令y＝0，解得，所以； （2）证明：y＝f（x）在xn处的切线方程为y﹣f（xn）＝f'（xn）（x﹣xn）， 令y＝0，可得，即xn+1， 所以，即， 又，所以a1＝log325， 因此{an}是以log325为首项，2为公比的等比数列． （3）由题意知，， 以为切点的切线方程为， 令y＝0，得到， ①当a＜0时，函数的大致图像如图所示： 因为等价于， 因此，当时，数列{|xn|}严格增；同理，当a时，数列{|xn|}严格减． 所以不存在x0使得{xn}是周期数列． ②当a＞0时，函数的大致图像如图所示： 令x1＝﹣x0，可得，即， 依此类推，显然可得x2＝﹣x1，…，xn＝﹣xn﹣1． 所以，当时，数列{xn}为周期数列，且周期T＝2． 下证唯一性： 当时，， 因此，数列{|xn|}严格减； 当时，， 所以， 因此数列{|xn|}严格增． 综上，当a＜0时，不存在x0，使得{xn}为周期数列； 当a＞0时，当且仅当时，函数y＝f（x）关于x0的“N数列”{xn}为周期数列，且周期T＝2． 39．（2024•闵行区二模）已知函数是定义域为R的偶函数． （1）求实数a的值； （2）若对任意x∈R，都有成立，求实数k的取值范围． 【解答】解：（1）由偶函数定义知：f（﹣x）＝f（x）， 即， ∴（a﹣2）•（2x﹣2﹣x）＝0对∀x∈R成立，∴a＝2． （2）由（1）得：f（x）＝2（2x+2﹣x）； ∵2x＞0，∴， 当且仅当2x＝2﹣x即x＝0时等号成立， ∴f（x）min＝4， ∴，即，解得：k＜0或 ， 综上，实数k的取值范围为． 40．（2024•闵行区二模）已知定义在（0，+∞）上的函数y＝f（x）的表达式为f（x）＝sinx﹣xcosx，其所有的零点按从小到大的顺序组成数列{xn}（n≥1，n∈N）． （1）求函数y＝f（x）在区间（0，π）上的值域； （2）求证：函数y＝f（x）在区间（nπ，（n+1）π）（n≥1，n∈N）上有且仅有一个零点； （3）求证：． 【解答】解：（1）由f′（x）＝cosx﹣（cosx﹣xsinx）＝xsinx， 当x∈（0，π）时，f′（x）＞0，即函数y＝f（x）在区间（0，π）上是严格增函数， 且f（0）＝0，f（π）＝π， 所以f（x）在区间（0，π）上的值域为（0，π）． （2）证明：当x∈（nπ，（n+1）π）（n≥1，n∈N）时，f′（x）＝cosx﹣（cosx﹣xsinx）＝xsinx， ①当n是奇数时，f′（x）＜0， 函数y＝f（x）在区间（nπ，（n+1）π）上是严格减函数； ②当n是偶数时，f′（x）＞0， 函数y＝f（x）在区间（nπ，（n+1）π）上是严格增函数； 且f（nπ）＝（﹣1）n﹣1nπ，故f（nπ）•f（（n+1）π）＝﹣n（n+1）π2＜0， 所以由零点存在定理可知， 函数y＝f（x）在区间（nπ，（n+1）π）（n≥1，n∈N）上有且仅有一个零点． （3）证明：由（2）可知函数f（x）在（nπ，（n+1）π）（n≥1，n∈N）上有且仅有一个零点xn， 且满足f（xn）＝sinxn﹣xncosxn＝0，即tanxn＝xn． 又因为，故， 所以由零点存在性定理可知， 函数y＝f（x）在上有且仅有一个零点xn， 于是，， ， ①因为xn+1﹣xn＞0，得tan（xn+1﹣（xn+π））＞0， 所以xn+1﹣（xn+π）＞0，即π＜xn+1﹣xn； （或者tanxn+1﹣tan（xn+π）＝tanxn+1﹣tanxn＝xn+1﹣xn＞0⇒tanxn+1＞tan（xn+π）⇒xn+1﹣xn＞π） ②因为， 由（1）可知，当时，有x＜tanx， 故，所以； 由①②可知． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/8/14 15:30:32；用户：18582497371；邮箱：18582497371；学号：56246982 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$