专题26.2 反比例函数的应用（五大考点）（题型专练+易错精练）-2024-2025学年九年级数学下册《知识解读•题型专练》（人教版）

专题26.2 反比例函数应用（五大考点） 【考点1 行程与工程应用】 【考点2 物理学中的应用】 【考点3 经济学的应用】 【考点4 生活中其他的应用】 【考点5 反比例函数的综合】 【考点1 行程与工程应用】 1．有一段平直的公路，A与B间的距离是．现要在该路段安装一个测速仪，当车辆经过A和B处时分别用光照射，并将这两次光照的时间差输入程序后，随即输出此车在段的平均速度，则v与t间的关系式为（    ） A． B． C． D． 2．已知甲、乙两地相距40千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶时间t（单位：小时），关于行驶速度v（单位：千米/小时）的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 3．小丽要把一篇文章录入电脑，如图是录入时间（分钟）与录字速度（字/分钟）成反比例函数的图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法不正确的是（    ） A．这篇文章一共1500字． B．当小丽的录字速度为75字/分钟时，录入时间为20分钟． C．小丽在19:20开始录入，要求完成录入时不超过19:35，则小丽每分钟至少应录入90字． D．小丽原计划每分钟录入125字，实际录入速度比原计划提高了，则小丽会比原计划提前2分钟完成任务． 4．多选题长春市煤气公司要在地下修建一个圆柱形煤气储存室．储存室的底面积与其深度H（m）成反比例，S关于H的函数图象如图所示．公司原计划把储存室的底面积S定为，当施工队按计划掘进到地下15m时，公司临时改变计划，把储存室的深度减少10m，相应地，储存室的底面积应（    ） A．减少 B．增加 C．减少 D．增加 5．甲车和乙车从A地开往B地，已知A、B两地全长约600km．设甲车的速度是，到达B地所用的时间为． (1)写出y关于x的函数表达式； (2)公路规定：行驶速度不得超过，请利用函数性质，求甲车到达B地所需的最短时间； (3)若乙车的速度是甲车的倍，乙到达B地所用的时间比甲车少80分钟，求乙车的速度． 6．某蓄水池员工对一蓄水池进行排水，该蓄水池每小时的排水量与排完水池中的水所用的时间之间的函数关系如图所示． (1)求V与t的函数表达式； (2)若每小时排水量不超过，则排完水池中的水至少需要______h； (3)由于该蓄水池员工有其他任务，为了提前排完水池中的水，需将原计划每小时的排水量增加，求原计划每小时的排水量是多少？ 7．智能饮水机接通电源后开始自动加热，水温每分钟上升，加热到时，饮水机自动停止加热，水温开始下降．在水温下降的过程中，水温（单位：）与通电时间（单位：）成反比例关系．当水温降至室温时，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为，接通电源后，水温与通电时间之间的关系如图所示． (1)在降温过程中，求关于的函数解析式，并求出自变量的取值范围． (2)在一个加热周期内，求水温不低于的时间． 【考点2 物理学中的应用】 9．（2023•大同模拟）远视眼镜的镜片是凸透镜，镜片的度数y（度）（y＞0）是关于镜片焦距x（m）（x＞0）的反比例函数，当y＝200时，x＝0.5．下列说法中，错误的是（　　） A．y与x的函数关系式为y＝（x＞0） B．y随x的增大而减小 C．当远视眼镜的镜片焦距是0.2时，该镜片是500度 D．若一副远视眼镜的度数不大于400度，则焦距不大于0.25m 10．（2023•裕华区二模）已知闭合电路的电压为定值，电流I（A）与电路的电阻R（Ω）是反比例函数关系，根据下表判断以下选项正确的是（　　） I（A） 5 … a … … … b … … R（Ω） 20 30 40 50 60 70 80 90 100 A． B．a＝25 C．a＜b D．当2＜I＜a时，40＜R＜50 11．（2023春•海陵区期末）在四个密闭容器中分别装有甲、乙、丙、丁四种气体，如图，用四个点分别描述这四种气体的密度 ρ（kg/m3） 与体积V（m3）的情况，其中描述乙、丁两种气体情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四种气体的质量最小的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 12．（2023•鹿城区校级模拟）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I与电阻R是反比例函数关系，它的图象如图所示．下列说法正确的是（　　） ​ A．函数表达式为I＝ B．蓄电池的电压是18V C．当R＝3.6Ω时，I＝4A D．当I≤10A时，R≥3.6Ω 13．（2023•修武县一模）如图①，电源两端电压U（单位：V）保持不变，电流强度I与总电阻R成反比，在实验课上，调节滑动变阻器的电阻，改变灯泡的亮度，测得电路中总电阻R和通过的电流强度I之间的关系如图②所示（温整提示：总电阻R＝灯泡电阻+滑动变阻器电阻），下列说法错误的是（　　） ​ A．电流强度I随着总电阻R的增大而减小 B．调节滑动变阻器，当总电阻R为8Ω时，电流强度I为0.75A C．当灯泡电阻为4Ω，电路中电流为0.3A时，滑动变阻器的阻值为16Ω D．当经过灯泡的电流为0.2A时，电路中的总电阻为20Ω 14．（2023•兴宁区校级模拟）已知近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，若400度的近视眼镜的镜片焦距为0.6米，则200度的近视眼镜的镜片焦距为 　　米．​ 15．（2023春•晋江市期末）如图，根据小孔成像的原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高y（单位：cm）是物距（蜡烛到小孔的距离）x（单位：cm）的反比例函数，当x＝5时，y＝1.6．则y关于x的函数表达式是 　 　． ​ 16．（2023•定海区模拟）小海利用杠杆平衡原理称药品质量（杠杆平衡时，动力×动力臂＝阻力×阻力臂）：如图1，小海发现天平平衡时左盘药品为m克，右盘砝码重20克；如图2，仍旧利用此杠杆，小海将砝码放在左盘，药品放在右盘，此时天平仍旧平衡，测得砝码重5克，右盘药品为n克．则m与n满足的关系式为 　　． 17．（2023秋•天长市月考）由物理学知识知道，在力F的作用下，物体会在力F的方向上发生位移s，力所做的功W＝Fs．当W为定值时，F与s之间的函数关系图象如图所示． （1）试确定F、s之间的函数解析式． （2）当力F为30N时，发生位移多少米？ 18．（2023•宜都市一模）古希腊科学家阿基米德曾说“给我一个支点，我可以撬动地球”．后来人们把阿基米德的发现“若杠杆上的两物体与支点的距离与其质量成反比例则杠杆平衡”归纳为“杠杆原理”．通俗地说，杠杆原理为：阻力×阻力臂＝动力×动力臂（如图）．小伟欲用撬棍撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别为1000N和1m． （1）动力F与动力臂l有怎样的函数关系？当动力臂为2米时，撬动石头至少需要多大的力？ （2）若想使动力F不超过（1）中所用力的一半，则动力臂l至少要加长多少？ 19．（2022•台州）如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高y（单位：cm）是物距（小孔到蜡烛的距离）x（单位：cm）的反比例函数，当x＝6时，y＝2． （1）求y关于x的函数解析式． （2）若火焰的像高为3cm，求小孔到蜡烛的距离． 【考点3 经济学的应用】 20．（2023春•大连月考）某种商品上市之初进行了大量的广告宣传，其日销售量y与上市的天数x之间成正比例函数关系，当广告停止后，日销售量y与上市的天数x之间成反比例函数关系（如图所示），现已知上市20天时，当日销售量为200件． （1）求该商品上市以后日销售量y（件）与上市的天数x（天）之间的函数解析式； （2）当上市的天数为多少时，日销售量为80件？ ​ 21．（2023•未央区校级三模）某种商品上市之初采用了大量的广告宣传，其日销售量y与上市的天数x之间成正比例函数关系，当广告停止后，日销售量y与上市的天数x之间成反比例函数关系（如图所示），现已知上市20天时，当日销售量为200件．（1）写出该商品上市以后日销售量y（件）与上市的天数x（天）之间的表达式． （2）当上市的天数为多少时，日销售量为100件？ 22．（2022秋•阜平县期末）某企业生产一种必需商品，经过长期市场调查后发现：商品的月总产量稳定在600件．商品的月销量Q（件）由基本销售量与浮动销售量两个部分组成，其中基本销售量保持不变，浮动销售量与售价工（元/件）（x≤10）成反比例，且可以得到如下信息： 售价x（元/件） 5 8 商品的销售量Q（件） 580 400 （1）求Q与x的函数关系式． （2）若生产出的商品正好销完，求售价x． （3）求售价x为多少时，月销售额最大，最大值是多少？ 23．（2023•沂源县一模）在新型冠状肺炎疫情期间，某农业合作社决定对一种特色水果开展线上销售，考虑到实际情况，一共开展了30次线上销售，综合考虑各种因素，该种水果的成本价为每吨2万元，销售结束后，经过统计得到了如下信息： 信息1：设第x次线上销售水果y（吨），且第一次线上销售水果为39吨，然后每一次总比前一次销售量减少1吨； 信息2：该水果的销售单价p（万元/吨）均由基本价和浮动价两部分组成，其中基本价保持不变，第1次线上销售至第15次线上销售的浮动价与销售场次x成正比，第16次线上销售至第30次线上销售的浮动价与销售场次x成反比； 信息3： x（次） 2 8 24 p（万元） 2.2 2.8 3 请根据以上信息，解决下列问题． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）若p＝3.2（万元/吨），求x的值； （3）在这30次线上销售中，哪一次线上销售获得利润最大？最大利润是多少？ 【考点4 生活中其他的应用】 24．（2023•中山区模拟）小明要把一篇文章录入电脑，完成录入的时间y（分）与录入文字的速度x（字/分）之间的函数关系如图． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）小明在19：20开始录入，要求完成录入时不超过19：35，小明每分钟至少应录入多少个字？ 25．（2023春•姑苏区校级期中）某商场销售一批散装坚果，进价为30元每斤，在销售时售货员发现坚果的日销量和每斤的利润正好成反比例关系，且价格调整为每斤50元时，当日销量为80斤，那么每日该坚果的销量y（单位：斤）与每斤价格x（单位：元）之间的函数表达式为 　　． 26．（2023•乾安县一模）李老师把油箱加满油后驾驶汽车从县城到省城接客人，油箱加满后，汽车行驶的总路程y（单位：km）与平均耗油量x（单位：L/km）之间的关系如图所示． （1）求y与x的函数关系式． （2）当平均耗油量为0.16L/km时，汽车行驶的总路程为多少km？ 27．（2022•普宁市一模）通过实验研究发现：初中生在体育课上运动能力指标（后简称指标）随上课时间的变化而变化．上课开始时，学生随着运动，指标开始增加，中间一段时间，指标保持平稳状态，随后随着体力的消耗，指标开始下降．指标y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示，当0≤x＜10和10≤x＜20时，图象是线段；当20≤x≤40时，图象是反比例函数的一部分． （1）请求出当0≤x＜10和20≤x＜40时，所对应的函数表达式； （2）杨老师想在一节课上进行某项运动的教学需要18分钟，这项运动需要学生的运动能力指标不低于48才能达到较好的效果，他的教学设计能实现吗？请说明理由． 28．（2023•驿城区二模）某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜．如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y（℃）与时间x（h）之间的函数关系，其中线段AB、BC表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段． 请根据图中信息解答下列问题： （1）求这天的温度y与时间x（0≤x≤24）的函数关系式； （2）解释线段BC的实际意义； （3）若大棚内的温度低于10℃时，蔬菜会受到伤害．问这天内，恒温系统最多可以关闭多少小时，才能使蔬菜避免受到伤害？ 29．（2023•孟津县一模）西安市某校为进一步预防“新型冠状病毒”，对全校所有的教室都进行了“熏药法消毒”处理，已知该药物在燃烧释放过程中，教室内空气中每立方米的含药量y（mg）与燃烧时间x（min）之间的函数关系如图所示，其中当x＜6时，y是x的正比例函数，当x≥6时，y是x的反比例函数，根据图象提供的信息，解答下列问题： （1）求当x≥6时，y与x的函数关系式； （2）药物燃烧释放过程中，若空气中每立方米的含药量不小于1.5mg的时间超过30分钟，即为有效消毒，请问本题中的消毒是否为有效消毒？ 30．（2022秋•铁锋区期末）为了预防疾病，某单位对办公室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成为正比例，药物燃烧后，y与x成反比例（如图），现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量6毫克，请根据题中所提供的信息，解答下列问题： （1）药物燃烧时与药物燃烧后，y关于x的函数关系式． （2）研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时员工方可进办公室，那么从消毒开始，至少需要经过几分钟后，员工才能回到办公室； （3）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？ 31．（2022秋•陵城区期末）泡茶需要将电热水壶中的水先烧到100℃，然后停止烧水，等水温降低到适合的温度时再泡茶，烧水时水温y（℃）与时间x（min）成一次函数关系；停止加热过了1分钟后，水壶中水的温度y（℃）与时间x（min）近似于反比例函数关系（如图）．已知水壶中水的初始温度是20℃，降温过程中水温不低于20℃． （1）分别求出图中所对应的函数关系式，并且写出自变量x的取值范围： （2）从水壶中的水烧开（100℃）降到90℃就可以泡茶，问从水烧开到泡茶需要等待多长时间？ 32．（2023春•淮安区期末）我校的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时每分钟上升10℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温（℃）与开机后用时（min）成反比例关系．直至水温降至20℃时自动开机加热，重复上述自动程序．若在水温为20℃时，接通电源后，水温y（℃）和时间x（min）的关系如图所示． （1）a＝　　，b＝　　． （2）直接写出图中y关于x的函数表达式． （3）饮水机有多少时间能使水温保持在50℃及以上？ （4）若某天上午7：00饮水机自动接通电源，开机温度正好是20℃，问学生上午第一节下课时（8：40）能喝到50℃以上的水吗？请说明理由． 33．（2023春•东城区校级期末）工厂对某种新型材料进行加工，首先要将其加温，使这种材料保持在一定温度范围内方可加工，如图是在这种材料的加工过程中，该材料的温度y（℃）时间x（min）变化的函数图象，已知该材料，初始温度为15℃，在温度上升阶段，y与x成一次函数关系，在第5分钟温度达到60℃后停止加温，在温度下降阶段，y与x成反比例关系． （1）写出该材料温度上升和下降阶段，y与x的函数关系式： ①上升阶段：当0≤x≤5时，y＝　　； ②下降阶段：当x＞5时，y　　． （2）根据工艺要求，当材料的温度不低于30℃，可以进行产品加工，请问在图中所示的温度变化过程中，可以进行加工多长时间？ 【考点5 反比例函数的综合】 34．（2023•赣榆区二模）在平面直角坐标系中，已知一次函数y1＝k1x+b的图象与坐标轴分别交于A（5，0），B（0，）两点，且与反比例函数的图象在第一象限内交于P，Q两点，连接OP，△OAP的面积为． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）当y2＞y1时，请你直接写出x的取值范围； （3）若C为线段OA上的一个动点，当PC+QC最小时，求△PQC的面积． 35．（2022秋•城固县期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A在y轴正半轴上，点C的坐标为（4，3），反比例函数的图象经过点B． （1）求反比例函数的表达式； （2）在反比例函数的图象上是否存在点P，使得△OAP的面积等于菱形OABC的面积？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 36．（2023春•万州区期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+4与坐标轴分别交于A、B两点，与反比例函数在第一象限交于点C（1，a），点D（7，b）是反比例函数上一点，连接CD并延长交x轴于点E． （1）求b的值； （2）连接BE，若点P是线段BE上一动点，连接CP．当时，求点P的坐标； （3）若点M是x轴上一动点，点N为平面内一点，在（2）的条件下，是否存在以A、P、M、N四点为顶点的菱形？请直接写出点N的坐标． 37．（2023春•洛江区期末）如图，已知反比例函数的图象与直线y＝k2x+b将于交于A（﹣1，6）、B（﹣6，m）两点，直线AB交x轴于点M，点C是x轴正半轴上的一点， （1）求反比例函数及直线AB的解析式； （2）若S△ABC＝25，求点C的坐标； （3）若点C的坐标为（1，0），点D为x轴上的一点，点E为直线AC上的一点，是否存在点D和点E，使得以点D、E、A、B为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出E点的坐标；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题26.2 反比例函数应用（五大考点） 【考点1 行程与工程应用】 【考点2 物理学中的应用】 【考点3 经济学的应用】 【考点4 生活中其他的应用】 【考点5 反比例函数的综合】 【考点1 行程与工程应用】 1．有一段平直的公路，A与B间的距离是．现要在该路段安装一个测速仪，当车辆经过A和B处时分别用光照射，并将这两次光照的时间差输入程序后，随即输出此车在段的平均速度，则v与t间的关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数在实际生活中的应用，先找到要行驶的路程，再由等量关系“速度路程时间”列出关系式即可．找出题中的等量关系是解决问题得关键． 【详解】解：∵， ， 故选：B． 2．已知甲、乙两地相距40千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶时间t（单位：小时），关于行驶速度v（单位：千米/小时）的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出反比例函数解析式，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．根据路程时间速度可得，再变形可得． 【详解】解：由题意得：， ， 故选：B． 3．小丽要把一篇文章录入电脑，如图是录入时间（分钟）与录字速度（字/分钟）成反比例函数的图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法不正确的是（    ） A．这篇文章一共1500字． B．当小丽的录字速度为75字/分钟时，录入时间为20分钟． C．小丽在19:20开始录入，要求完成录入时不超过19:35，则小丽每分钟至少应录入90字． D．小丽原计划每分钟录入125字，实际录入速度比原计划提高了，则小丽会比原计划提前2分钟完成任务． 【答案】C 【分析】本题考查了求反比例函数解析式，反比例函数的应用，有理数混合运算的应用，掌握反比例函数的性质是解题关键．先利用待定系数法求出反比例解析式，根据反比例函数的定义，即可判断A 选项；求出时的函数值，即可判断B选项；求出时的值，再结合反比例函数的增减性，即可判断C选项；分别求出和时的函数值，作差即可判断D选项． 【详解】解：设反比例函数解析式为，将点代入得：， 解得：， 即反比例函数解析式为， A、录入时间（分钟）与录字速度（字/分钟）的乘积恒为，即这篇文章一共1500字，说法正确，不符合题意； B、当录字速度为时，录入时间，说法正确，不符合题意； C、当录入时间时，， ，在第一象限内，随的增大而减小， 即录入时间不超过分钟时，每分钟至少应录入100字，说法错误，符合题意； D、当时，， 当时，， （分钟）， 即比原计划提前2分钟完成任务，说法正确，不符合题意； 故选：C 4．多选题长春市煤气公司要在地下修建一个圆柱形煤气储存室．储存室的底面积与其深度H（m）成反比例，S关于H的函数图象如图所示．公司原计划把储存室的底面积S定为，当施工队按计划掘进到地下15m时，公司临时改变计划，把储存室的深度减少10m，相应地，储存室的底面积应（    ） A．减少 B．增加 C．减少 D．增加 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，先求出反比例函数的解析式，再求出深度减少10m时的底面积即可得出结果． 【详解】解：设， 由图象可知：， ∴ 当深度减少10m时，即，此时， ∵， ∴储存室的底面积应增加； 故选D． 5．甲车和乙车从A地开往B地，已知A、B两地全长约600km．设甲车的速度是，到达B地所用的时间为． (1)写出y关于x的函数表达式； (2)公路规定：行驶速度不得超过，请利用函数性质，求甲车到达B地所需的最短时间； (3)若乙车的速度是甲车的倍，乙到达B地所用的时间比甲车少80分钟，求乙车的速度． 【答案】(1) (2)车到达B地所需的最短时间为 (3)乙车的速度为 【分析】本题考查反比例函数、分式方程的应用，掌握反比例函数的增减性和分式方程的解法是解题的关键． （1）根据“时间＝路程÷速度”解答即可； （2）根据反比例函数的增减性和x的取值范围计算即可； （3）根据题意，得乙车的速度为，由“A、B两地的距离÷甲车的速度两地的距离÷乙车的速度”列方程并求解，从而求出乙车的速度即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， ∴y关于x的函数表达式为． （2）解：∵，， ∴y随x的增大而减小， ∵， ∴当时，y值最小， ， ∴甲车到达B地所需的最短时间为． （3）解：乙车的速度为． 根据题意，得， 解得， 经检验，是所列分式方程的解， ， 答：乙车的速度为． 6．某蓄水池员工对一蓄水池进行排水，该蓄水池每小时的排水量与排完水池中的水所用的时间之间的函数关系如图所示． (1)求V与t的函数表达式； (2)若每小时排水量不超过，则排完水池中的水至少需要______h； (3)由于该蓄水池员工有其他任务，为了提前排完水池中的水，需将原计划每小时的排水量增加，求原计划每小时的排水量是多少？ 【答案】(1) (2)9 (3) 【分析】本题考查用待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数的应用、分式方程的应用， （1）利用待定系数法求反比例函数解析式即可； （2）把代入求得，再根据反比例函数的性质求解即可； （3）设原计划每小时的排水量是，则实际每小时的排水量为，根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：由图可得，蓄水池每小时的排水量与排完水池中的水所用的时间之间成反比例函数关系， 设V与t的函数表达式为， 把代入得，， ∴V与t的函数表达式为； （2）解：把代入得， ， ∵， ∴V随着t的增大而减小， ∴每小时排水量不超过，则排完水池中的水所用的时间满足的条件是， 故答案为：9； （3）解：设原计划每小时的排水量是，则实际每小时的排水量为， 由题意得，， 解得， 经检验得，是原方程的解， 答：原计划每小时的排水量是． 7．智能饮水机接通电源后开始自动加热，水温每分钟上升，加热到时，饮水机自动停止加热，水温开始下降．在水温下降的过程中，水温（单位：）与通电时间（单位：）成反比例关系．当水温降至室温时，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为，接通电源后，水温与通电时间之间的关系如图所示． (1)在降温过程中，求关于的函数解析式，并求出自变量的取值范围． (2)在一个加热周期内，求水温不低于的时间． 【答案】(1) (2)在一个加热周期内，水温不低于的时间是 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用，熟练掌握待定系数法是解题关键． （1）设反比例函数的表达式为，将点代入可得的值，再求出的值，由此即可得； （2）先求出时，与之间的函数表达式，再求出时，的值，由此即可得． 【详解】（1）解：设反比例函数的表达式为， 将点代入得：， ∴与之间的函数表达式为， 当时，， ∴与之间的函数表达式为． （2）解：设当时，与之间的函数表达式为， 将点代入得：，解得， 则， 当时，，解得， 对于， 当时，， ∵， ∴加热一次，水温不低于的时间为． 【考点2 物理学中的应用】 9．（2023•大同模拟）远视眼镜的镜片是凸透镜，镜片的度数y（度）（y＞0）是关于镜片焦距x（m）（x＞0）的反比例函数，当y＝200时，x＝0.5．下列说法中，错误的是（　　） A．y与x的函数关系式为y＝（x＞0） B．y随x的增大而减小 C．当远视眼镜的镜片焦距是0.2时，该镜片是500度 D．若一副远视眼镜的度数不大于400度，则焦距不大于0.25m 【答案】D 【解答】解：∵镜片的度数y（度）（y＞0）是关于镜片焦距x（m）（x＞0）的反比例函数，当y＝200时，x＝0.5， ∴k＝0.5×200＝100， ∴y与x的函数关系式为y＝（x＞0）， 故A不符合题意； ∵k＝100＞0，x＞0， ∴y随着x增大而减小， 故B不符合题意； 当x＝0.2时，y＝＝500， 故C不符合题意； ∵一副远视眼镜的度数不大于400度，y随着x增大而减小， ∴焦距不小于0.25m， 故D符合题意， 故选：D． 10．（2023•裕华区二模）已知闭合电路的电压为定值，电流I（A）与电路的电阻R（Ω）是反比例函数关系，根据下表判断以下选项正确的是（　　） I（A） 5 … a … … … b … … R（Ω） 20 30 40 50 60 70 80 90 100 A． B．a＝25 C．a＜b D．当2＜I＜a时，40＜R＜50 【答案】D 【解答】解：∵闭合电路的电压为定值， ∴U＝IR＝5×20＝100， ∴I＝（R＞0），故A错误，不符合题意； 当R＝40时，I＝a＝＝2.5，故B错误，不符合题意； 当R＝80时，I＝b＝＝1.25， ∴a＞b，故C错误，不符合题意； 当I＝2时，R＝＝50， 当I＝a＝2.5时，R＝＝40， ∴当2＜I＜a时，40＜R＜50，故D正确，符合题意； 故选：D． 11．（2023春•海陵区期末）在四个密闭容器中分别装有甲、乙、丙、丁四种气体，如图，用四个点分别描述这四种气体的密度 ρ（kg/m3） 与体积V（m3）的情况，其中描述乙、丁两种气体情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四种气体的质量最小的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】A 【解答】解：根据题意，ρV的值即为该气体的质量， ∵描述乙、丁两该气体的质量的点恰好在同一个反比例函数的图象上， ∴乙、丁两该气体的质量相同， ∵点丙在反比例函数图象上面，点甲在反比例函数图象下面， ∴丙该气体的质量值最大，甲气体的质量的值最小． 故选：A． 12．（2023•鹿城区校级模拟）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I与电阻R是反比例函数关系，它的图象如图所示．下列说法正确的是（　　） ​ A．函数表达式为I＝ B．蓄电池的电压是18V C．当R＝3.6Ω时，I＝4A D．当I≤10A时，R≥3.6Ω 【答案】D 【解答】解：设I＝， ∵图象过（4，9）， ∴k＝36， ∴I＝，故选项A错误，不符合题意； ∴蓄电池的电压是36V，故选项B错误，不符合题意； 当R＝3.6Ω时，I＝＝10（A），故选项C错误，不符合题意； 当I＝10A时，R＝3.6Ω， 由图象知：当I≤10A时，R≥3.6Ω，故选项D正确，符合题意； 故选：D． 13．（2023•修武县一模）如图①，电源两端电压U（单位：V）保持不变，电流强度I与总电阻R成反比，在实验课上，调节滑动变阻器的电阻，改变灯泡的亮度，测得电路中总电阻R和通过的电流强度I之间的关系如图②所示（温整提示：总电阻R＝灯泡电阻+滑动变阻器电阻），下列说法错误的是（　　） ​ A．电流强度I随着总电阻R的增大而减小 B．调节滑动变阻器，当总电阻R为8Ω时，电流强度I为0.75A C．当灯泡电阻为4Ω，电路中电流为0.3A时，滑动变阻器的阻值为16Ω D．当经过灯泡的电流为0.2A时，电路中的总电阻为20Ω 【答案】D 【解答】解：∵电源两端电压U（单位：V）保持不变，电流强度I与总电阻R成反比， ∴可设I＝， 将（6，1）代入，得U＝6×1＝6， ∴电流强度I与总电阻R之间的函数解析式为I＝， ∴电流强度I随着总电阻R的增大而减小，故选项A说法正确，不符合题意； 当R＝8Ω时，I＝＝0.75（A），故选项B说法正确，不符合题意； 当I＝0.3A时，R＝＝20（Ω）， ∴滑动变阻器电阻＝总电阻R﹣灯泡电阻＝20﹣4＝16（Ω），故选项C说法正确，不符合题意； 当I＝0.2A时，R＝＝30（Ω），故选项D说法错误，符合题意． 故选：D． 14．（2023•兴宁区校级模拟）已知近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，若400度的近视眼镜的镜片焦距为0.6米，则200度的近视眼镜的镜片焦距为 　1.2　米．​ 【答案】1.2． 【解答】解：根据题意近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，设y＝， 由于点（0.6，400）在此函数解析式上， ∴k＝0.6×400＝240， ∴y＝， 当y＝200时，x＝＝1.2， ∴200度的近视眼镜的镜片焦距为1.2米， 故答案为：1.2． 15．（2023春•晋江市期末）如图，根据小孔成像的原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高y（单位：cm）是物距（蜡烛到小孔的距离）x（单位：cm）的反比例函数，当x＝5时，y＝1.6．则y关于x的函数表达式是 　y＝　． ​ 【答案】y＝． 【解答】解：设解析式为（k≠0）， 把x＝5，y＝1.6代入，得： 1.6＝， 解得k＝8， ∴函数解析式为y＝， 故答案为：y＝． 16．（2023•定海区模拟）小海利用杠杆平衡原理称药品质量（杠杆平衡时，动力×动力臂＝阻力×阻力臂）：如图1，小海发现天平平衡时左盘药品为m克，右盘砝码重20克；如图2，仍旧利用此杠杆，小海将砝码放在左盘，药品放在右盘，此时天平仍旧平衡，测得砝码重5克，右盘药品为n克．则m与n满足的关系式为 　mn＝100　． 【答案】100． 【解答】解：根据“杠杆平衡时，动力×动力臂＝阻力×阻力臂”， 由图1得m•OA＝20•OB， ∴m＝， 由图2得5•OA＝n•OB， ∴n＝， ∴mn＝100， 故答案为：mn＝100． 17．（2023秋•天长市月考）由物理学知识知道，在力F的作用下，物体会在力F的方向上发生位移s，力所做的功W＝Fs．当W为定值时，F与s之间的函数关系图象如图所示． （1）试确定F、s之间的函数解析式． （2）当力F为30N时，发生位移多少米？ 【答案】（1）F＝； （2）0.25m． 【解答】解：（1）把s＝1，F＝7.5，代入公式W＝Fs＝1×7.5＝7.5，即力F所做的功是7.5J； ∵W＝7.5为定值，故Fs＝7.5， ∴F＝； （2）当F＝30N时，代入Fs＝7.5中，得s＝＝0.25m． 18．（2023•宜都市一模）古希腊科学家阿基米德曾说“给我一个支点，我可以撬动地球”．后来人们把阿基米德的发现“若杠杆上的两物体与支点的距离与其质量成反比例则杠杆平衡”归纳为“杠杆原理”．通俗地说，杠杆原理为：阻力×阻力臂＝动力×动力臂（如图）．小伟欲用撬棍撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别为1000N和1m． （1）动力F与动力臂l有怎样的函数关系？当动力臂为2米时，撬动石头至少需要多大的力？ （2）若想使动力F不超过（1）中所用力的一半，则动力臂l至少要加长多少？ 【答案】（1）动力F与动力臂l的函数关系为，动力臂为2米时，撬动石头至少需要500N的力； （2）动力臂至少要加长2m． 【解答】解：（1）由题意可得：1000×1＝Fl， 则， 当动力臂为2米时， 则撬动石头至少需要：， 答：动力F与动力臂l的函数关系为，动力臂为2米时，撬动石头至少需要500N的力； （2）当动力F不超过题（1）中所用力的一半，即F≤250， 则， 解得：l≥4， 即动力臂至少要加长4﹣2＝2（m）， 答：动力臂至少要加长2m． 19．（2022•台州）如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高y（单位：cm）是物距（小孔到蜡烛的距离）x（单位：cm）的反比例函数，当x＝6时，y＝2． （1）求y关于x的函数解析式． （2）若火焰的像高为3cm，求小孔到蜡烛的距离． 【答案】（1）y＝； （2）4cm． 【解答】解：（1）由题意设：y＝， 把x＝6，y＝2代入，得k＝6×2＝12， ∴y关于x的函数解析式为：y＝； （2）把y＝3代入y＝，得，x＝4， ∴小孔到蜡烛的距离为4cm 【考点3 经济学的应用】 20．（2023春•大连月考）某种商品上市之初进行了大量的广告宣传，其日销售量y与上市的天数x之间成正比例函数关系，当广告停止后，日销售量y与上市的天数x之间成反比例函数关系（如图所示），现已知上市20天时，当日销售量为200件． （1）求该商品上市以后日销售量y（件）与上市的天数x（天）之间的函数解析式； （2）当上市的天数为多少时，日销售量为80件？ ​ 【答案】（1）当0＜x≤20时，y＝10x； 当x≥20时，y＝； （2）当上市的天数为8天或50天时，日销售量为80件． 【解答】解：（1）当0＜x≤20时，设y＝k1x，把（20，200）代入得k1＝10， ∴y＝10x； 当x≥20时，设y＝，把（20，200）代入得k2＝4000， ∴y＝； （2）当y＝80时，80＝10x， 解得：x＝8， 当y＝80时，80＝， 解得：x＝50， 故当上市的天数为8天或50天时，日销售量为80件． 21．（2023•未央区校级三模）某种商品上市之初采用了大量的广告宣传，其日销售量y与上市的天数x之间成正比例函数关系，当广告停止后，日销售量y与上市的天数x之间成反比例函数关系（如图所示），现已知上市20天时，当日销售量为200件．（1）写出该商品上市以后日销售量y（件）与上市的天数x（天）之间的表达式． （2）当上市的天数为多少时，日销售量为100件？ 【答案】（1）y＝10x；y＝； （2）10天或40天． 【解答】解：（1）当0＜x≤20时，设y＝k1x，把（20，200）代入得k1＝10， ∴y＝10x； 当x≥20时，设y＝，把（20，200）代入得k2＝4000， ∴y＝； （2）当y＝100时，100＝10x， 解得：x＝10， 当y＝100时，100＝， 解得：x＝40， 故当上市的天数为10天或40天时，日销售量为100件． 22．（2022秋•阜平县期末）某企业生产一种必需商品，经过长期市场调查后发现：商品的月总产量稳定在600件．商品的月销量Q（件）由基本销售量与浮动销售量两个部分组成，其中基本销售量保持不变，浮动销售量与售价工（元/件）（x≤10）成反比例，且可以得到如下信息： 售价x（元/件） 5 8 商品的销售量Q（件） 580 400 （1）求Q与x的函数关系式． （2）若生产出的商品正好销完，求售价x． （3）求售价x为多少时，月销售额最大，最大值是多少？ 【答案】（1）；（2）4.8元/件；（3）当x＝10时，月销售额最大，最大值为3400元． 【解答】解：（1）设，依题意得：， 解得：， ∴； （2）当Q＝600时有：， 解得：x＝4.8， ∴售价为4.8元． （3）依题意得：月销售额＝， ∵100＞0， ∴Q随x的增大而增大， 则当x＝10时，月销售额最大，最大值为3400元． 23．（2023•沂源县一模）在新型冠状肺炎疫情期间，某农业合作社决定对一种特色水果开展线上销售，考虑到实际情况，一共开展了30次线上销售，综合考虑各种因素，该种水果的成本价为每吨2万元，销售结束后，经过统计得到了如下信息： 信息1：设第x次线上销售水果y（吨），且第一次线上销售水果为39吨，然后每一次总比前一次销售量减少1吨； 信息2：该水果的销售单价p（万元/吨）均由基本价和浮动价两部分组成，其中基本价保持不变，第1次线上销售至第15次线上销售的浮动价与销售场次x成正比，第16次线上销售至第30次线上销售的浮动价与销售场次x成反比； 信息3： x（次） 2 8 24 p（万元） 2.2 2.8 3 请根据以上信息，解决下列问题． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）若p＝3.2（万元/吨），求x的值； （3）在这30次线上销售中，哪一次线上销售获得利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）y与x之间的函数关系式为：y＝40﹣x；（2）12或20；（3）在这30次线上销售中，第15次线上销售获得利润最大，最大利润37.5万元． 【解答】解：（1）设第x次线上销售水果y（吨）， ∵第一次线上销售水果为39吨，然后每一次总比前一次销售量减少1吨； ∴y与x之间的函数关系式为：y＝40﹣x； （2）设第1场～第15场时p与x的函数关系式为p＝ax+b；第16场～第30场时p与x的函数关系式为， 依题意得，解这个方程组得，， ∴， 又当x＝24时，有，解之得，m＝24， ∴， 当1≤x≤15时，， 解之得，x＝12 当16≤x≤30时，， 解之得，x＝20 （3）设每场获得的利润为W（万元），则有 当1≤x≤15时，， 所以当x＝15时，W最大，最大为37.5万元； 当16≤x≤30时，， 当x＝16时，W最大，最大为36万元， 所以在这30次线上销售中，第15次线上销售获得利润最大，最大利润37.5万元 【考点4 生活中其他的应用】 24．（2023•中山区模拟）小明要把一篇文章录入电脑，完成录入的时间y（分）与录入文字的速度x（字/分）之间的函数关系如图． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）小明在19：20开始录入，要求完成录入时不超过19：35，小明每分钟至少应录入多少个字？ 【答案】（1）y与x的函数表达式为y＝；（2）小明每分钟至少录入100个字． 【解答】解：（1）设y＝， 把（150，10）代入y＝得，10＝， ∴k＝1500， ∴y与x的函数表达式为y＝； （2）∵当y＝35﹣20＝15时，x＝100， ∵k＞0， 在第一象限内，y随x的增大而减小， ∴小明录入文字的速度至少为100字/分， 答：小明每分钟至少录入100个字 25．（2023春•姑苏区校级期中）某商场销售一批散装坚果，进价为30元每斤，在销售时售货员发现坚果的日销量和每斤的利润正好成反比例关系，且价格调整为每斤50元时，当日销量为80斤，那么每日该坚果的销量y（单位：斤）与每斤价格x（单位：元）之间的函数表达式为 　y＝　． 【答案】y＝． 【解答】解：∵坚果的日销量和每斤的利润正好成反比例关系， ∴y与（x﹣30）成反比例关系， 设y＝（k＞0）， ∵x＝50时，y＝80， ∴＝80， 解得，k＝1600， ∴y与x之间的函数表达式为：y＝， 故答案为：y＝． 26．（2023•乾安县一模）李老师把油箱加满油后驾驶汽车从县城到省城接客人，油箱加满后，汽车行驶的总路程y（单位：km）与平均耗油量x（单位：L/km）之间的关系如图所示． （1）求y与x的函数关系式． （2）当平均耗油量为0.16L/km时，汽车行驶的总路程为多少km？ 【答案】（1）； （2）当平均耗油量为0.16L/km时，汽车行驶的总路程为437.5km． 【解答】解：（1）设y与x的函数表达式为， 将点（0.1，700）代入，得k＝0.1×700＝70， ∴y与x的函数表达式为． （2）当x＝0.16时，， ∴当平均耗油量为0.16L/km时，汽车行驶的总路程为437.5km． 27．（2022•普宁市一模）通过实验研究发现：初中生在体育课上运动能力指标（后简称指标）随上课时间的变化而变化．上课开始时，学生随着运动，指标开始增加，中间一段时间，指标保持平稳状态，随后随着体力的消耗，指标开始下降．指标y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示，当0≤x＜10和10≤x＜20时，图象是线段；当20≤x≤40时，图象是反比例函数的一部分． （1）请求出当0≤x＜10和20≤x＜40时，所对应的函数表达式； （2）杨老师想在一节课上进行某项运动的教学需要18分钟，这项运动需要学生的运动能力指标不低于48才能达到较好的效果，他的教学设计能实现吗？请说明理由． 【答案】（1）y＝2x+40，； （2）杨老师的教学设计能实现，理由见解析． 【解答】解：（1）设0﹣10分钟的函数解析式为y＝kx+b，20﹣40分钟的函数解析式为， ∴，， ∴，k＝1200， ∴0﹣10分钟的函数解析式为y＝2x+40，20﹣40分钟的函数解析式为； （2）杨老师的教学设计能实现， 理由：将y＝48代入y＝2x+40中，得x＝4， 将y＝48代入中，得x＝25， ∵25﹣4＝21＞18， ∴杨老师的教学设计能实现． 28．（2023•驿城区二模）某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜．如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y（℃）与时间x（h）之间的函数关系，其中线段AB、BC表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段． 请根据图中信息解答下列问题： （1）求这天的温度y与时间x（0≤x≤24）的函数关系式； （2）解释线段BC的实际意义； （3）若大棚内的温度低于10℃时，蔬菜会受到伤害．问这天内，恒温系统最多可以关闭多少小时，才能使蔬菜避免受到伤害？ 【答案】（1）y＝，， （2）线段BC表示恒温系统设定恒温为20℃； （3）10小时． 【解答】解：（1）设线段AB解析式为y＝kx+b（k≠0） ∵线段AB过点（0，10），（3，15）， ∴， 解得， ∴线段AB的解析式为：y＝x+10（0≤x＜6）， ∵B在线段AB上当x＝6时，y＝20， ∴B坐标为（6，20）， ∴线段BC的解析式为：y＝20（6≤x＜10）， 设双曲线CD解析式为：， ∵C（10，20）， ∴m＝200， ∴双曲线CD的解析式为：， ∴y关于x的函数解析式为： y＝， （2）线段BC表示恒温系统设定恒温为20℃； （3）把y＝10代入中， 解得：x＝20， ∴20﹣10＝10（小时）， ∴恒温系统最多可以关闭10小时，蔬菜才能避免受到伤害． 29．（2023•孟津县一模）西安市某校为进一步预防“新型冠状病毒”，对全校所有的教室都进行了“熏药法消毒”处理，已知该药物在燃烧释放过程中，教室内空气中每立方米的含药量y（mg）与燃烧时间x（min）之间的函数关系如图所示，其中当x＜6时，y是x的正比例函数，当x≥6时，y是x的反比例函数，根据图象提供的信息，解答下列问题： （1）求当x≥6时，y与x的函数关系式； （2）药物燃烧释放过程中，若空气中每立方米的含药量不小于1.5mg的时间超过30分钟，即为有效消毒，请问本题中的消毒是否为有效消毒？ 【答案】（1）y与x的函数关系式为y＝（x≥6）； （2）超过30分钟，故是有效消毒． 【解答】解：（1）设y与x的函数关系式为y＝（k≠0）， 将（15，4）代入，得15＝． ∴k＝4×15＝60， ∴y与x的函数关系式为y＝（x≥6）； （2）当x＝6时y＝＝10， ∴点A的坐标为（6，10）； 由A点（6，10）可得OA所在直线表达式为y＝x＝x， 将y＝1.5代入y＝x，得x＝1.5， ∴x＝0.9， 将y＝1.5代入y＝，得＝1.5， ∴x＝40， ∴40﹣0.9＝39.1（分钟）， 超过30分钟，故是有效消毒． 30．（2022秋•铁锋区期末）为了预防疾病，某单位对办公室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成为正比例，药物燃烧后，y与x成反比例（如图），现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量6毫克，请根据题中所提供的信息，解答下列问题： （1）药物燃烧时与药物燃烧后，y关于x的函数关系式． （2）研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时员工方可进办公室，那么从消毒开始，至少需要经过几分钟后，员工才能回到办公室； （3）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设药物燃烧时y关于x的函数关系式为y＝k1x（k1＞0）代入（8，6）为6＝8k1 ∴k1＝， 设药物燃烧后y关于x的函数关系式为y＝（k2＞0）， ∵经过点（8，6）， ∴6＝， ∴k2＝48， ∴药物燃烧时y关于x的函数关系式为y＝x（0≤x≤8）药物燃烧后y关于x的函数关系式为y＝（x＞8）； （2）结合实际，令y＝中y≤1.6得x≥30， 答：即从消毒开始，至少需要30分钟后员工才能回到办公室； （3）把y＝3代入y＝x，得：x＝4， 把y＝3代入y＝，得：x＝16， ∵16﹣4＝12＞10， 所以这次消毒是有效的． 31．（2022秋•陵城区期末）泡茶需要将电热水壶中的水先烧到100℃，然后停止烧水，等水温降低到适合的温度时再泡茶，烧水时水温y（℃）与时间x（min）成一次函数关系；停止加热过了1分钟后，水壶中水的温度y（℃）与时间x（min）近似于反比例函数关系（如图）．已知水壶中水的初始温度是20℃，降温过程中水温不低于20℃． （1）分别求出图中所对应的函数关系式，并且写出自变量x的取值范围： （2）从水壶中的水烧开（100℃）降到90℃就可以泡茶，问从水烧开到泡茶需要等待多长时间？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）停止加热时，设y＝， 由题意得：50＝， 解得：k＝900， ∴y＝， 当y＝100时，解得：x＝9， ∴C点坐标为（9，100）， ∴B点坐标为（8，100）， 当加热烧水时，设y＝ax+20， 由题意得：100＝8a+20， 解得：a＝10， ∴当加热烧水，函数关系式为y＝10x+20（0≤x≤8）； 当停止加热，得y与x的函数关系式 为（1）y＝100（8＜x≤9）；y＝（9＜x≤45）； （2）把y＝90代入y＝，得x＝10， 因此从烧水开到泡茶需要等待10﹣8＝2分钟． 32．（2023春•淮安区期末）我校的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时每分钟上升10℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温（℃）与开机后用时（min）成反比例关系．直至水温降至20℃时自动开机加热，重复上述自动程序．若在水温为20℃时，接通电源后，水温y（℃）和时间x（min）的关系如图所示． （1）a＝　8　，b＝　40　． （2）直接写出图中y关于x的函数表达式． （3）饮水机有多少时间能使水温保持在50℃及以上？ （4）若某天上午7：00饮水机自动接通电源，开机温度正好是20℃，问学生上午第一节下课时（8：40）能喝到50℃以上的水吗？请说明理由． 【答案】（1）8；40． （2）y＝． （3）学生在每次温度升降过程中能喝到50℃以上水的时间有16﹣3＝13分钟． （4）学生上午第一节下课时（8：40）不能喝到超过50℃的水． 【解答】解：（1）∵开机加热时每分钟上升10℃， ∴从20℃到100℃需要8分钟， 设一次函数关系式为：y＝k1x+b， 将（0，20），（8，100）代入y＝k1x+b，得k1＝10，b＝20． ∴y＝10x+20（0≤x≤8）， 设反比例函数关系式为：y＝， 将（8，100）代入，得k＝800， ∴y＝， 当y＝20时，代入关系式可得x＝40； 故答案为：8；40． （2）由（1）中计算可得，y＝． （3）在y＝10x+20（0≤x≤8）中， 令y＝50，解得x＝3； 反比例函数y＝中，令y＝50，解得：x＝16， ∴学生在每次温度升降过程中能喝到50℃以上水的时间有16﹣3＝13分钟． （4）由题意可知，饮水机工作时40分钟为一个循环， 上午七点到上午第一节下课时（8：40）的时间是100分钟，是2个40分钟多20分钟， ∴＝40（℃）， ∴学生上午第一节下课时（8：40）不能喝到超过50℃的水． 33．（2023春•东城区校级期末）工厂对某种新型材料进行加工，首先要将其加温，使这种材料保持在一定温度范围内方可加工，如图是在这种材料的加工过程中，该材料的温度y（℃）时间x（min）变化的函数图象，已知该材料，初始温度为15℃，在温度上升阶段，y与x成一次函数关系，在第5分钟温度达到60℃后停止加温，在温度下降阶段，y与x成反比例关系． （1）写出该材料温度上升和下降阶段，y与x的函数关系式： ①上升阶段：当0≤x≤5时，y＝　9x+15　； ②下降阶段：当x＞5时，y　＝　． （2）根据工艺要求，当材料的温度不低于30℃，可以进行产品加工，请问在图中所示的温度变化过程中，可以进行加工多长时间？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）①上升阶段：当0≤x＜5时，为一次函数，设一次函数表达式为y＝kx+b， 由于一次函数图象过点（0，15），（5，60）， 所以， 解得：， 所以y＝9x+15， ②下降阶段：当x≥5时，为反比例函数，设函数关系式为：y＝， 由于图象过点（5，60），所以m＝300． 则y＝； 故答案为：9x+15；＝ （2）当0≤x＜5时，y＝9x+15＝30，得x＝， 因为y随x的增大而增大，所以x＞， 当x≥5时，y＝＝30， 得x＝10，因为y随x的增大而减小， 所以x＜10， 10﹣＝， 答：可加工min． 【考点5 反比例函数的综合】 34．（2023•赣榆区二模）在平面直角坐标系中，已知一次函数y1＝k1x+b的图象与坐标轴分别交于A（5，0），B（0，）两点，且与反比例函数的图象在第一象限内交于P，Q两点，连接OP，△OAP的面积为． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）当y2＞y1时，请你直接写出x的取值范围； （3）若C为线段OA上的一个动点，当PC+QC最小时，求△PQC的面积． 【答案】（1）一次函数的解析式为：y1＝﹣x+，反比例函数的解析式为：y2＝； （2）0＜x＜1或x＞4； （3）． 【解答】解：（1）∵一次函数y1＝k1x+b与坐标轴分别交于A（5，0），B（0，）两点， ∴， 解得． ∴一次函数的解析式为：y1＝﹣x+． ∵△OAP的面积为， ∴•OA•yP＝， ∴yP＝， ∵点P在一次函数图象上， ∴令﹣x+＝．解得x＝4， ∴P（4，）． ∵点P在反比例函数y2＝的图象上， ∴k2＝4×＝2． ∴一次函数的解析式为：y1＝﹣x+，反比例函数的解析式为：y2＝． （2）令﹣x+＝，解得x＝1或x＝4， ∴K（1，2）， 由图象可知，当y2＞y1时，x的取值范围为：0＜x＜1或x＞4； （3）如图，作点P关于x轴的对称点P′，连接QP′，线段QP′与x轴的交点即为点C， ∵P（4，）， ∴P′（4，﹣）， ∴PP′＝1， ∴直线QP′的解析式为：y＝﹣x+， 令y＝0，解得x＝， ∴C（，0）， ∴S△PQC＝•（xC﹣xQ）•PP′ ＝×（﹣1）×1 ＝， ∴当PC+QC最小时，△PKC的面积为． 35．（2022秋•城固县期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A在y轴正半轴上，点C的坐标为（4，3），反比例函数的图象经过点B． （1）求反比例函数的表达式； （2）在反比例函数的图象上是否存在点P，使得△OAP的面积等于菱形OABC的面积？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）存在；P（8，4）或P（﹣8，﹣4）． 【解答】（1）解：延长BC交x轴于点D， ∵四边形OABC是菱形， ∴OA∥BC，OA＝OC＝BC＝AB， ∴BD⊥x轴， ∵C（4，3）， ∴OD＝4，CD＝3，， ∴OA＝OC＝BC＝AB＝5， ∴BD＝BC+CD＝OC+CD＝8， ∴B（4，8）， ∵点B在双曲线上， ∴k＝4×8＝32， ∴反比例函数的表达式为：； （2）解：存在；设P点的横坐标为m， ∵S菱形OABC＝BC⋅OD＝5×4＝20， ∴， ∴m＝±8， 当m＝8时，，即：P（8，4）， 当m＝8时，，即：P（﹣8，﹣4）； 综上，存在点P（8，4）或P（﹣8，﹣4），使△OAP的面积等于菱形OABC的面积． 36．（2023春•万州区期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+4与坐标轴分别交于A、B两点，与反比例函数在第一象限交于点C（1，a），点D（7，b）是反比例函数上一点，连接CD并延长交x轴于点E． （1）求b的值； （2）连接BE，若点P是线段BE上一动点，连接CP．当时，求点P的坐标； （3）若点M是x轴上一动点，点N为平面内一点，在（2）的条件下，是否存在以A、P、M、N四点为顶点的菱形？请直接写出点N的坐标． 【答案】（1）b＝； （2）P（2，3）； （3）点N的坐标为（7，3）或（﹣3，3）或（2，﹣3）或（﹣，3）． 【解答】解：（1）∵点C（1，a）是直线y＝2x+4与反比例函数的交点， ∴a＝2+4＝6， ∴k＝1×6＝6， ∴y＝， ∵点D（7，b）是反比例函数上一点， ∴b＝； （2）过点P作PQ⊥x轴交CD于点Q， ∵C（1，6），D（7，）， ∴直线CD的解析式为y＝﹣x+， ∵点E是直线CD与x轴的交点， ∴E（8，0）， ∴直线BE的解析式为y＝﹣x+4， ∴设P（a，﹣a+4），Q（a，﹣x+）， ∴PQ＝﹣a+﹣（﹣a+4）＝﹣a+， ∴S△PCE＝S△PQC+S△PQE＝PQ（xQ﹣xC）， ∴（﹣a+）＝， ∴a＝2， ∴P（2，3）； （3）在直线y＝2x+4与坐标轴分别交于A、B两点， ∴A（﹣2，0）， ∵P（2，3）， ∴AP＝＝5， 如图2， ∵以A、P、M、N四点为顶点的菱形， ∴AP＝AM＝5， ∴M1（3，0）或M2（﹣8，0）， ∵四边形APNM是菱形， ∴PN∥AM，PN＝AM＝5， ∴N1（7，3），N2（﹣3，3）； 如图3，当AP＝PM，AP∥MN时， 点P与点N关于x轴对称， ∴N3（2，﹣3）， 如图4，当AM＝PM，PN∥AM时， 过N作NG⊥AM于G， ∴NG＝3， 过P作PQ⊥x轴于Q， ∴PQ＝3，AQ＝4， 设AM＝PM＝a， ∴a2＝32+（4﹣a）2， ∴a＝， ∴AN＝， ∴AG＝＝， ∴OG＝， ∴N4（﹣，3）， 综上所述，点N的坐标为（7，3）或（﹣3，3）或（2，﹣3）或（﹣，3）． 37．（2023春•洛江区期末）如图，已知反比例函数的图象与直线y＝k2x+b将于交于A（﹣1，6）、B（﹣6，m）两点，直线AB交x轴于点M，点C是x轴正半轴上的一点， （1）求反比例函数及直线AB的解析式； （2）若S△ABC＝25，求点C的坐标； （3）若点C的坐标为（1，0），点D为x轴上的一点，点E为直线AC上的一点，是否存在点D和点E，使得以点D、E、A、B为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出E点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y＝﹣，y＝x+7； （2）C（3，0）； （3）存在．点E的坐标为或或． 【解答】解：（1）将A（﹣1，6）代入y＝，得6＝， 解得：k1＝﹣6， ∴反比例函数的解析式为：y＝﹣； 将B（﹣6，m）代入y＝﹣， 得m＝1， ∴B（﹣6，1）， ∵直线y＝k2x+b经过A（﹣1，6）、B（﹣6，1）两点， ∴， 解得：， ∴直线AB的解析式为：y＝x+7； （2）在y＝x+7中，令y＝0，得x＝﹣7， ∴M（﹣7，0）， ∵点C是x轴正半轴上的一点， ∴设C（x，0）（x＞0）， ∴MC＝x﹣（﹣7）＝x+7， ∵S△ABC＝S△AMC﹣S△BMC＝25， ∴MC•（6﹣1）＝25，即（x+7）＝25， 解得：x＝3； ∴点C的坐标为（3，0）； （3）若点C的坐标为（1，0），点D为x轴上的一点，点E为直线AC上的一点，是否存在点D和点E，使得以点D、E、A、B为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出E点的坐标；若不存在，请说明理由． （3）存在．点E的坐标为或或． 设直线AC的解析式为y＝ax+c， 则， 解得：， ∴直线AC的解析式为：y＝﹣3x+3； 设D（t，0）、E（n，﹣3n+3）， 又A（﹣1，6）、B（﹣6，1）， 当AB、DE为平行四边形的对角线时，AB、DE的中点重合， ∴， 解得：， ∴； 当AD、BE为平行四边形的对角线时，AD、BE的中点重合， ∴ 解得 ∴； 当AE、BD为平行四边形的对角线时，AE、BD的中点重合， ∴ 解得 ∴． 综上所述，点E的坐标为或或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 2 学科网（北京）股份有限公司 $$