精品解析：湖北省襄阳市保康县熊绎中学教联体2023-2024学年八年级下学期期中数学模拟试题

湖北省襄阳市保康县熊绎中学教联体2023−2024学年八年级下册期中模拟试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共计30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 若有意义，则实数x的取值范围为（　　） A. B. C. 且 D. 且 2. 已知，且，化简二次根式的结果是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各组数中，属于勾股数的是（ ） A. ，， B. 8，， C. 3，4，6 D. ，， 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列各式中，属于最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，点D，E分别是，边的中点，点F在的延长线上．添加一个条件，使得四边形为平行四边形，则这个条件可以是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，一个工人拿一个2.5米长的梯子，底端A放在距离墙根C米处，另一头B点靠墙，如果梯子的顶部下滑0.4米，梯子的底部向外滑多少米？（ ） A. 0.4 B. 0.6 C. 0.7 D. 0.8 8. 如图，在中，，于D，，E是斜边的中点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，直线AB∥CD，P是AB上的动点，当点P的位置变化时，三角形PCD的面积将（　　） A. 变大 B. 变小 C. 不变 D. 无法确定 10. 如图，四边形是菱形， 点M，N是对角线上的三等分点，点P是菱形边上的动点，则满足的点P的个数有（　　） A. 2个 B. 4个 C. 8个 D. 12个 二、填空题（本题共8小题，第11−14小题每题3分，第15−18小题每题4分，共28分） 11. 计算：=________． 12. 把一个边长为1的正方形如图所示放在数轴上，以正方形的对角线为半径画弧交数轴于点，则点对应的实数是______． 13. 如图，圆柱的高为6cm，底面周长为16cm，蚂蚁在圆柱侧面爬行，从点A爬到点B的最短路程是________cm． 14. 已知，则的值为________． 15. 如图，点P是角平分线上的一点，过点P作交于点C，，若，，则________________． 16. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是_______． 17. 如图，矩形的对角线和相交于点O，过点O的直线分别交和于点E、F，，，则图中阴影部分的面积为_____． 18. 正方形ABCD的边长为2，如图1，点E，F均在正方形内部，且，，则的长为_______；如图2，点均在正方形内部，且，则的长为_______. 三、解答题（本题共7小题，共62分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 19. 计算： （1） （2） （3） 20. 已知，． （1）试求的值； （2）试求的值． 21. 如图，已知点E、F为对角线上两点，且，连接，．求证： （1）； （2）四边形为平行四边形． 22. 某校“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量结果如下表（不完整）． 课题 测量学校旗杆高度 成员 组长： 组员： ， ， 工具 皮尺等 测量示意图 说明：线段AB表示学校旗杆，垂直地面于点B，如图1，第一次将系在旗杆顶端的绳子垂直到地面，并多出了一段BC，用皮尺测出的长度；如图2，第二次将绳子拉直，绳子末端落在地面的点D处，用皮尺测出的距离． 测量数据 测量项目 数值 图1中长度 1米 图2中的长度 米 … … （1）根据以上测量结果，请你帮助该“综合与实践”小组求出学校旗杆的高度． （2）该小组要写出一份完整的课题活动报告，除上表的项目外，你认为还需要补充哪些项目（写出一个即可）． 23. 如图，在中，，，，点D从点C出发沿CA方向以的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是秒（）．过点作于点F，连接DE，EF． （1）求证：； （2）四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的值，如果不能，说明理由； （3）当为何值时，为直角三角形？请说明理由． 24. 阅读材料： 基本不等式≤（a＞0，b＞0），当且仅当a＝b时等号成立，它是解决最值问题的有力工具． 例如：在x＞0的条件下，当x为何值时，x+有最小值，最小值是多少？ 解：∵x＞0，＞0∴≥，即≥2，∴≥2 当且仅当x＝，即x＝1时，x+有最小值，最小值为2． 请根据阅读材料解答下列问题： （1）已知x＞0，则当x为____时，代数式3x+的最小值为______； （2）已知a＞0，b＞0，a2+b2=7，则ab的最大值为_____ （3）已知矩形面积为9，求矩形周长的最小值． 25. 综合与实践 实践操作：如图1，已知矩形纸片． 第一步：如图2，将纸片沿折叠，使点B对应点正好落在上，然后展平纸片，得到折痕； 第二步：如图3，在图2的基础上，沿折叠纸片，点C的对应点落在处，与交于点F． 问题解决： （1）如图2，判断四边形的形状，并证明； （2）如图3，证明； （3）若，则的周长为___（直接写出答案即可）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 湖北省襄阳市保康县熊绎中学教联体2023−2024学年八年级下册期中模拟试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共计30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 若有意义，则实数x的取值范围为（　　） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查分式定义，二次根式定义．根据根据分母不为0，二次根式内的式子为非负可求得． 【详解】解：∵有意义， ∴，解得：且， 故选：D． 2. 已知，且，化简二次根式的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简与性质，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键， 根据二次根式被开方数是非负数，以及，可得，再化简即可， 详解】解：有意义，且， ， 故选：A 3. 下列各组数中，属于勾股数的是（ ） A. ，， B. 8，， C. 3，4，6 D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股数的定义，勾股数是满足勾股定理的一组正整数，据此逐项分析即可作答． 【详解】解：A、，，不是正整数，故该选项是错误的； B、8，，满足，且均为正整数，故该选项是正确的； C、3，4，6不满足，故该选项是错误的； D、，，不是正整数，故该选项是错误的； 故选：B 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】依次对各选项进行计算后，再进行判断即可. 【详解】A选项：不能直接相加，故错误； B选项：，故错误； C选项：，故正确； D选项：，故错误； 【点睛】考查了二次根式的计算，解题关键是熟记其计算法则进行计算. 5. 下列各式中，属于最简二次根式是（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，根据最简二次根式的定义：二次根式的被开方式中不含分母，并且不含有能开得尽方的因式，进行判断即可． 【详解】解：、，不是最简二次根式，不符合题意； 、，不是最简二次根式，不符合题意； 、是最简二次根式，符合题意； 、，不是最简二次根式，不符合题意． 故选：C． 6. 如图，在中，点D，E分别是，边的中点，点F在的延长线上．添加一个条件，使得四边形为平行四边形，则这个条件可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用三角形中位线定理得到DE∥AC且DE=AC，结合平行四边形的判定定理进行选择． 【详解】解：∵在△ABC中，D，E分别是AB，BC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DE∥AC且DE=AC， A、根据∠B=∠F不能判定CF∥AD，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项错误． B、根据DE=EF可以判定DF=AC，由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得到四边形ADFC为平行四边形，故本选项正确． C、根据AC=CF不能判定AD∥DF，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项错误． D、根据AD=CF，FD∥AC不能判定四边形ADFC平行四边形，故本选项错误． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了三角形的中位线的性质和平行四边形的判定．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半． 7. 如图，一个工人拿一个2.5米长的梯子，底端A放在距离墙根C米处，另一头B点靠墙，如果梯子的顶部下滑0.4米，梯子的底部向外滑多少米？（ ） A. 0.4 B. 0.6 C. 0.7 D. 0.8 【答案】D 【解析】 【分析】首先在直角三角形中计算出长，再由题意可得长，再次在直角三角形中计算出长，从而可得的长度． 【详解】解：∵米，米， ∴（米）， ∵梯子的顶部下滑0.4米， ∴米， ∴米， ∴米． ∴梯子的底部向外滑出（米）． 故选：D． 【点睛】本题考查勾股定理的应用．抓住“梯子长度不变”是解题关键． 8. 如图，在中，，于D，，E是斜边的中点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可求出，即．根据直角三角形斜边中线的性质可得出，从而可证．再根据，即得出，即，进而可求出，最后即可求出． 【详解】解：∵，， ∴，即． ∵E是斜边的中点， ∴, ∴． ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 故选B． 【点睛】本题主要考查直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质等知识．利用数形结合的思想是解题关键． 9. 如图，直线AB∥CD，P是AB上的动点，当点P的位置变化时，三角形PCD的面积将（　　） A. 变大 B. 变小 C. 不变 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】先确定出点P到CD的距离是否变化，然后再依据三角形的面积公式进行判断即可． 【详解】∵直线AB∥CD，P是AB上的动点， ∴当点P的位置变化时， 点P到CD的距离不变即△PCD的边CD上的高不变． ∴△PCD的面积不变． 故选：C． 【点睛】本题主要考查的是三角形的面积、平行线间的距离，解题的关键是确定出三角形的高为不变量． 10. 如图，四边形是菱形， 点M，N是对角线上的三等分点，点P是菱形边上的动点，则满足的点P的个数有（　　） A. 2个 B. 4个 C. 8个 D. 12个 【答案】B 【解析】 【分析】作点M关于的对称点，连接交与点P，连接，，作垂直于于点K，求出的最小值，由菱形的对称性可知，菱形的每条边上都有一个点P，使得取得最小值，即，故点P的个数为4． 【详解】解：作点M关于的对称点，连接交与点P，连接，，作垂直于于点K， ∵， ∴，， 设， ∴， ∴，，， ∴， ∵，， ∴为等边三角形，K为中点， ， ∴， ， 在中，由勾股定理得， ， ∴的最小值为a． 由菱形的对称性可知，菱形的每条边上都有一个点P，使得取得最小值，即，故点P的个数为4， 故选：B． 【点睛】本题考查菱形的性质，勾股定理，轴对称的性质．利用轴对称的性质求出的最小值为解题关键． 二、填空题（本题共8小题，第11−14小题每题3分，第15−18小题每题4分，共28分） 11. 计算：=________． 【答案】12 【解析】 【分析】根据二次根式的乘法及积的乘方等于乘方的积进行运算即可． 【详解】解：， 故答案为：12． 【点睛】题目考察二次根式的乘法法则及积的乘方法则，掌握运算法则及计算准确是解题关键． 12. 把一个边长为1的正方形如图所示放在数轴上，以正方形的对角线为半径画弧交数轴于点，则点对应的实数是______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据勾股定理求得的长度，进而可得的长，根据，即可求解． 【详解】解：如图所示， ∵，则， ∴点对应的实数是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理、实数与数轴，熟练掌握以上知识是解题的关键． 13. 如图，圆柱的高为6cm，底面周长为16cm，蚂蚁在圆柱侧面爬行，从点A爬到点B的最短路程是________cm． 【答案】10 【解析】 【分析】过A点和过B点的母线剪开，展成平面，连接AB，则AB的长是蚂蚁在圆柱表面从A点爬到B点的最短路程，求出AD和BD的长，根据勾股定理求出斜边AB即可． 【详解】解：如图所示： 沿过A点和过B点的母线剪开，展成平面，连接AB， 则AB的长是蚂蚁在圆柱表面从A点爬到B点的最短路程， AD＝×16＝8（cm），∠D＝90°，BD＝6cm， 由勾股定理得：（cm）． 故答案为：10． 【点睛】本题考查了平面展开−最短路线问题和勾股定理的应用，关键是知道求出AB的长就是蚂蚁在圆柱表面从A点爬到B点的最短路程． 14. 已知，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的概念，理解二次根式被开方数大于或等于零是解决问题的关键．和被开方数互为相反数，且必须大于或等于零，所以，由此可以求得、的值． 【详解】解： 和有意义， ， ，． ． 故答案为：． 15. 如图，点P是的角平分线上的一点，过点P作交于点C，，若，，则________________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作于，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，根据角平分线的定义可得，再根据两直线平行，内错角相等可得，然后求出，根据等角对等边可得，然后通过解直角求得的长度即可． 【详解】解：如图，过点作于， 是的角平分线， ， 是的角平分线，， ， ， ， ， ，． ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质并作出辅助线构造成直角三角形是解题的关键． 16. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴，二次根式的化简，先根据数轴确定，的范围，再根据二次根式的性质进行化简，即可解答，解决本题的关键是根据数轴确定，的范围． 【详解】解： 解：由数轴可得：，， 原式 ． 故答案为：． 17. 如图，矩形的对角线和相交于点O，过点O的直线分别交和于点E、F，，，则图中阴影部分的面积为_____． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了矩形性质，全等三角形的性质和判定的应用，关键是求出阴影部分的面积等于矩形的面积的一半． 根据矩形性质得出，，，推出，证出和的面积相等，同理可证：和的面积相等，和的面积相等，即可得出阴影部分的面积等于矩形的面积的一半，求出即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴， 即和的面积相等， 同理可证：和的面积相等，和的面积相等， 即阴影部分的面积等于矩形的面积的一半， ∵矩形面积是， ∴阴影部分的面积是4， 故答案为：4． 18. 正方形ABCD的边长为2，如图1，点E，F均在正方形内部，且，，则的长为_______；如图2，点均在正方形内部，且，则的长为_______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质、平移的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理．解题的关键是综合运用这些性质． （1）连接交与点M，可证，得到，，设，则，根据勾股定理得． （2）经过平移，把（2）中的图变成（1）中的图，利用（1）中的方法求解． 【详解】①如图，连接，交与点M， ∵在和中， ∴ ∴ ∵四边形是正方形 ∴ 根据勾股定理得， ∴， ∴． 设BE=EF=x，则，根据勾股定理得， 解得：（负值舍去） 故答案为：． ②∵ ∴把沿平移，使点H与I重合，点G与点N重合， 把H沿平移，使点H与G重合，点I与点N重合， 把沿平移，使点K与J重合，L与点M重合， 把沿平移，使点K与L重合，J与点M重合． 根据题意，此时，点B、G、N在一条直线上，点D、L、M在一条直线上，平移后的图如下图所示 设，则， ∴， 与以上证法相仿可证： ∴ 由（1）知，BD=2 ∴ 根据勾股定理得： 解得． 即． 故答案为：． 三、解答题（本题共7小题，共62分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 19. 计算： （1） （2） （3） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】此题主要考查了二次人根式的混合运算，熟练掌握运算法则和乘法公式是解答此题的关键． （1）原式先化简二次根式，再合并同类二次根式即可得到答案； （2）原式根据平方差公式即可得到答案； （3）原式根据完全平方公式和单项式乘以多项式运算法则把括号展开，然后再合并即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ． 20. 已知，． （1）试求的值； （2）试求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）转化，然后将的数值代入即可； （2）转化，然后将的数值代入即可； 【小问1详解】 解：， 将，代入上式得： ， ； 【小问2详解】 解：， 将，代入上式得： ， ； 【点睛】本题考查了二次根式的计算，相关知识点有：完全平方公式，分式的化简等，代数式的转化是解题快捷的关键． 21. 如图，已知点E、F为对角线上两点，且，连接，．求证： （1）； （2）四边形为平行四边形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质得出，，再证，即可得出结论； （2）由全等三角形的性质得，，再证，即可得出结论． 【小问1详解】 解：四边形是平行四边形， ，． ， 在和中， ， ， ； 【小问2详解】 由（1）可知，， ，， ， 四边形为平行四边形． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及平行线的判定与性质等知识，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定与性质，正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 22. 某校“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量结果如下表（不完整）． 课题 测量学校旗杆的高度 成员 组长： 组员： ， ， 工具 皮尺等 测量示意图 说明：线段AB表示学校旗杆，垂直地面于点B，如图1，第一次将系在旗杆顶端的绳子垂直到地面，并多出了一段BC，用皮尺测出的长度；如图2，第二次将绳子拉直，绳子末端落在地面的点D处，用皮尺测出的距离． 测量数据 测量项目 数值 图1中的长度 1米 图2中的长度 米 … … （1）根据以上测量结果，请你帮助该“综合与实践”小组求出学校旗杆的高度． （2）该小组要写出一份完整的课题活动报告，除上表的项目外，你认为还需要补充哪些项目（写出一个即可）． 【答案】（1）米 （2）旗杆的高度 【解析】 【分析】（1）设旗杆的高度为米，则绳子的长度为米，在中，根据勾股定理即可得出结果； （2）答案不唯一，合理即可． 【小问1详解】 解：由图1可得绳子的长度比旗杆的高度多1米， 设旗杆的高度为米，则绳子的长度为米 由图2可得，在中，， ， 解得，， 答：旗杆的高度为米． 【小问2详解】 旗杆的高度．（不唯一，合理即可）． 【点睛】本题考查了勾股定理，本题的关键是熟练运用勾股定理解决实际问题． 23. 如图，在中，，，，点D从点C出发沿CA方向以的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是秒（）．过点作于点F，连接DE，EF． （1）求证：； （2）四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的值，如果不能，说明理由； （3）当为何值时，为直角三角形？请说明理由． 【答案】（1）证明见解析； （2）t=10； （3）当t=或12时，△DEF为直角三角形，理由见解析． 【解析】 【分析】（1）由题意得∠BCA=30°，CD=4tcm，AE=2tcm，再由含30°角的直角三角形的性质得DF=DC=2tcm， 即可得到AE=DF； （2）由AE=AD，得四边形AEFD为菱形，得2t=60-4t，进而求得t的值； （3）分∠EDF=90°、∠DEF=90°两种情况，根据直角三角形的性质列出算式，计算即可． 【小问1详解】 证明：由题意可知CD=4tcm，AE=2tcm， ∵∠B=90°，∠A=60°， ∴∠C=30°， ∴DF=DC=2t cm． ∵AE=2t cm，DF=2t cm， ∴AE=DF． 【小问2详解】 解：∵AB⊥BC，DF⊥BC， ∴． ∵AE=DF，， ∴四边形AEFD为平行四边形， ∴要使平行四边形AEFD为菱形，则需AE=AD， 即2t=60-4t， 解得t=10， ∴当t=10时，四边形AEFD为菱形， 故答案为：10． 【小问3详解】 当∠EDF=90°时，如图①， ∵DF⊥BC，AB⊥BC， ∴， ∴四边形DFBE为矩形． ∴ ∴AD=2AE，即60-4t=2t×2， 解得，t=， 当∠DEF=90°时，如图②， ∵， ∴DE⊥AC， ∴． ∴AE=2AD，即2t=2×（60-4t）， 解得，t=12， 综上所述，当t=或12时，△DEF为直角三角形． 【点睛】本题考查了直角三角形的判定、平行四边形的判定与性质、菱形的判定、含30°角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握直角三角形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键． 24. 阅读材料： 基本不等式≤（a＞0，b＞0），当且仅当a＝b时等号成立，它是解决最值问题的有力工具． 例如：在x＞0的条件下，当x为何值时，x+有最小值，最小值是多少？ 解：∵x＞0，＞0∴≥，即≥2，∴≥2 当且仅当x＝，即x＝1时，x+有最小值，最小值为2． 请根据阅读材料解答下列问题： （1）已知x＞0，则当x为____时，代数式3x+的最小值为______； （2）已知a＞0，b＞0，a2+b2=7，则ab的最大值为_____ （3）已知矩形面积为9，求矩形周长的最小值． 【答案】（1）1，6；（2）；（3）12. 【解析】 【分析】（1）利用基本不等式即可解决问题； （2）利用基本不等式变形式即可得解； （3）设这个矩形的长为x米，则宽=面积÷长，即宽=米，则矩形周长为2倍的长+2倍的宽，本题就可以转化为两个非负数的和的问题，从而根据基本不等式求解． 【详解】解：（1）∵x＞0，3x>0，>0， ∴， 即， 当且仅当3x＝，即x＝1时，3x+有最小值，最小值为6． 故答案为：1，6； （2）由基本不等式≤（a＞0，b＞0）得 即 （a＞0，b＞0） 当且仅当a＝b时等号成立， ∵a2+b2=7， ∴ 即，当且仅当a=b=时，等号成立， 故答案为：； （3）设矩形的长为x米，宽=，矩形的周长为2（）， ∵x>0，>0， ∴， 当且仅当时等号成立，即x=3时，有最小值6，2（）有最小值12 即矩形的周长的最小值为12，此时长为3，宽也为3. 【点睛】本题考查基本不等式的应用，解题的关键是理解题意，学会模仿解决问题． 25. 综合与实践 实践操作：如图1，已知矩形纸片． 第一步：如图2，将纸片沿折叠，使点B的对应点正好落在上，然后展平纸片，得到折痕； 第二步：如图3，在图2的基础上，沿折叠纸片，点C的对应点落在处，与交于点F． 问题解决： （1）如图2，判断四边形的形状，并证明； （2）如图3，证明； （3）若，则的周长为___（直接写出答案即可）． 【答案】（1）正方形，证明见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质得到，折叠得到，即可得出四边形是正方形； （2）证明即可得证； （3）勾股定理求出，的长，即可得出结论． 【小问1详解】 四边形正方形 证明：∵四边形是矩形， ∴， 又∵△是由折叠得到的， ∴， ∴四边形是正方形； 【小问2详解】 ∵四边形矩形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 由折叠可得，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵矩形，正方形，， ∴， ∴， 在中，， 由（2）知：， ∴ ∴， 设，则：， 在中，，即：， 解得：， ∴， ∴的周长为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形中的折叠问题，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．熟练掌握相关性质并灵活运用，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$