1.2.1 矩形的性质与判定 课件 2024-2025学年北师大版九年级数学上册

1.2 矩形的性质与判定 第一章 特殊平行四边形 第1课时 矩形的性质 学习目标 1.理解矩形的概念，知道矩形与平行四边形的区别与联系.（重点） 2.会证明矩形的性质，会用矩形的性质解决简单的问题.（重点、难点） 3.掌握直角三角形斜边中线的性质，并会简单的运用. （重点） 自学指导1 阅读P11—P12内容，回答： 1.矩形是怎样的特殊平行四边形？它具有平行四边形的所有性质吗？ 2.矩形有哪些独有的性质？ 1.请你定义 有一个角是直角的平行四 边形叫做矩形（rectangle）. 作为特殊的平行四边形， 你能给矩形下个定义吗？ 有一个角是直角的平行四 边形叫做矩形（rectangle）. 矩形具有平行四边形的所有性质。 矩形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点。 矩形是轴对称图形，一共有2条对称轴。 A B C D O 2.矩形有哪些独有的性质？ 矩形独有的性质： 边： 角: 对角线: 四个角都是直角； 对角线相等. A B C E D 如图：矩形的对角线相交于点E，你可以找到那些相等的线段？ 1.图中有几个等腰三角形？ 2.图中有几个直角三角形？ 6 1.矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是 ( ) A.对角线相等 B.对边相等 C.对角相等 D.对角线互相平分 2.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O.若∠ACB＝30°，AB＝2，则BD的长为（ ） A．4 B．3 C． D．1 练一练 A A 3.四边形ABCD是矩形 ⑴若已知AB=8㎝，AD=6㎝， 则AC＝ ㎝ OB= ㎝ ⑵若已知∠CAB=40°，则∠OCB= ∠OBA= ∠AOB= ∠AOD= ⑶若已知AC＝10㎝，BC=6㎝，则矩形的周长＝ ㎝ 矩形的面积＝ ㎝2 ⑷若已知 ∠DOC=120°，AD＝6㎝，则AC= ㎝ O D C B A 5 50° 10 100° 40° 12 48 28 80° 点拨：矩形的两条对角线把矩形分成四个等腰三用形；另外，矩形的对角线与两邻边构成四个直用三角形，矩形中的有关计算通常需要用到等腰三角形或直角三角形的有关知识来解决。 隐含条件 8 2.如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD面积的_________. 　　　　　　　　　　　　　 自学指导2 阅读P12议一议并完成证明 矩形的两条对角线把矩形分成4个直角三角形，在直角三角形ABC中，你能找到它的一条特殊线段吗？ 你能发现它有什么特殊的性质吗？ 你能证明吗？ 证明：延长BO到E使OE=BO，连结AE、CE. A C B O ∵AO= CO ， OE =BO ∴四边形ABCE是平行四边形 E 又∵∠ABC = 90° ∴ ABCE是矩形 ∴BE = AC 由于BO= BE 所以BO = AC 已知△ABC中∠ABC=90°，AO = CO 求证：BO = AC 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形吗？你能说明理由吗？ 逆向思考： 已知：如图，在△ABC中， BO为AC边上的中线，且BO= AC. 求证：△ABC是直角三角形. 证明：如图，∵BO为AC边上的中线， ∴OA=OC= AC. ∵OB= AC,∴OA=OB=OC. ∴∠A=∠1,∠C=∠2. ∵∠A+∠1+∠C+∠2=180°， ∴2（∠1+∠2）=2∠ABC=180°. ∴∠ABC=90°. ∴△ABC是直角三角形. 自学检测2:（3分钟） A C 4.如图，已知BD，CE是△ABC不同边上的高，点G，F分别是BC，DE的中点，试说明GF⊥DE. 解：连接EG，DG. ∵BD，CE是△ABC的高， ∴∠BDC＝∠BEC＝90°. ∵点G是BC的中点， ∴EG＝ BC，DG＝ BC. ∴EG＝DG. 又∵点F是DE的中点， ∴GF⊥DE. 在直角三角形中，遇到斜边中点常作斜边中线，进而可将问题转化为等腰三角形的问题，然后利用等腰三角形“三线合一”的性质解题． 归纳 矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形. 矩形的性质： 直角三角形的一个性质： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 课堂小结 矩形的对边平行且相等. 角 对角线 边 矩形的对角线相等. 矩形的对角线互相平分. 矩形的四个角都是直角. 矩形的对角相等. 对称性: 矩形是轴对称图形， 也是中心对称图形. D D D 4.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB=6cm，BC=8cm，则EF=______cm． 2.5 5.如图，△ABC中，E在AC上，且BE⊥AC．D为AB中点，若DE=5，AE=8，则BE的长为______． 6 第4题图 第5题图 6.将一矩形纸片按如图方式折叠，BC、BD为折痕，折叠后A’B与E’B ，在同一条直线上，则∠CBD的度数（ ） A. 大于90°； B.等于90°； C. 小于90°； D.不能确定． B C 7.如图，在△ABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中点． (1)若AB＝10，AC＝8，求四边形AEDF的周长； 解：∵AD是△ABC的高，E、F分别是AB、AC的中点， ∴DE＝AE＝ AB＝ ×10＝5， DF＝AF＝ AC＝ ×8＝4， ∴四边形AEDF的周长＝AE＋DE＋DF＋AF＝5＋5＋4＋4＝18； (2)求证：EF垂直平分AD. 证明：∵DE＝AE，DF＝AF， ∴E、F在线段AD的垂直平分线上， ∴EF垂直平分AD. 当已知条件含有线段的中点、直角三角形的条件时，可联想直角三角形斜边上的中线的性质进行求解． 归纳 8.如图，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C'处，BC'交AD于E，AD=16，AB=8，求DE的长． （2）判断△BED的形状。 9.如图．四边形ABCD是矩形，AB=6，BC=8． （1）如图1，过B点作BE⊥AC，求BE的长； （2）如图2，P是AD上不同于A，D两点的任意一点，PE⊥AC，PF⊥BD，求PE+PF的值． $$