数学广角——集合(讲义)-2024-2025学年三年级上册数学人教版

数学广角-集合 (知识梳理+典例分析+高频真题+答案解析) 一．容斥原理 【知识点归纳】 在日常生活中，人们常常需要统计一些数量，在统计的过程中，往往会发现有些数量重复出现，为了使重复出现的部分不致被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，既先不考虑重复的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排除出去，使计算的结果既无遗漏又无重复．这种计数方法称为包含排除法，也叫做容斥原理或重叠问题． 原理1：两量重叠问题 A类与B类元素个数的总和＝A类元素的个数+B类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数 用符号可表示成：A∪B＝A+B﹣A∩B （其中符号“∪”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思，符号“∩”读作“交”，相当于中文“且”的意思）． 原理2：三量重叠问题 A类、B类与C类元素个数的总和＝A类元素的个数+B类元素个数+C类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数﹣既是B类又是C类的元素个数﹣既是A类又是C类的元素个数+同时是A类、B类、C类的元素个数． 用符号表示为：A∪B∪C＝A+B+C﹣A∩B﹣B∩C﹣A∩C+A∩B∩C 【典例1】三（1）班一共有42人，会打篮球的有17人，会踢足球的有21人，两种运动都不会的有10人。两种运动都会的有多少人？ 【答案】6人。 【分析】先求出会打篮球的人数与会踢足球的人数和，再加上两样都不会的人数，这样就比全班的总人数多算了一次两种运动都会的人数，所以再减去总人数42，就是两种运动都会的人数。 【解答】解：21+17+10﹣42 ＝48﹣42 ＝6（人） 答：两种运动都会的有6人。 【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题。 【典例2】五（1）班组织“垃圾分类宣讲”活动，要求每个同学必须带饮料或适量水果。活动时发现，38人带了饮料，35人带了水果，15人饮料和水果都带了。五（1）班参加“垃圾分类宣讲活动”的一共有多少人？ 【答案】58人。 【分析】由题意可知，总人数＝带了饮料的人数+带了水果的人数﹣饮料和水果都带的人数，即可求出五（1）班参加“垃圾分类宣讲活动”的一共有多少人。 【解答】解：38+35﹣15 ＝73﹣15 ＝58（人） 答：五（1）班参加“垃圾分类宣讲活动”的一共有58人。 【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用。 【典例3】六（1）班有45人，有的同学订了《小学生数学报》，有的同学订了《小学生语文学习》，两种报纸都订的至少有多少人？ 【答案】7人。 【分析】先用总人数分别乘分率，求出订两种报纸的分别有多少人。根据容斥原理可知，订《小学生数学报》的人数+订《小学生语文学习》的人数﹣总人数＝两种报纸都订的人数。 【解答】解：4525（人） 4527（人） 25+27﹣45 ＝52﹣45 ＝7（人） 答：两种报纸都订的至少有7人。 【点评】此题主要考查了容斥原理的应用，要熟练掌握。 【典例4】四年级一班有50人，喜欢吃苹果的有25人，喜欢吃橘子的有22人，两种水果都喜欢吃的有13人。两种水果都不喜欢吃的有多少人？ 【答案】16人。 【分析】把喜欢苹果的和喜欢橘子的人数加起来：25+22＝47（人），因为13人既喜欢吃苹果又喜欢吃橘子，所以喜欢这两种水果（至少喜欢一种）的是47﹣13＝34（人），那么总人数减去这34人，剩下的就是两种水果都不喜欢的人数；据此求解即可。 【解答】解：50﹣（25+22﹣13） ＝50﹣34 ＝16（人） 答：两种水果都不喜欢的有16人。 【点评】本题主要考查容斥原理，解题的关键是确定喜欢这两种水果的人数。 【典例5】王老师给三（1）班出了两道思考题，批改后发现，全班每人至少做对一题，第1题做对的有28人，第2题做对的有23人，两道题都做对的有8人。三（1）班一共有多少人？ 【答案】43人。 【分析】先用23加28求出做对第2道题和做对第1道题的人数和，再减去两道题都做对的人数8（重复计算的人数），也就是三（1）班的总人数。 【解答】解：23+28﹣8 ＝51﹣8 ＝43（人） 答：三（1）班一共有43人。 【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题。 1．四年级128名学生去铁道游击队影视城研学，带矿泉水的有68人，带水果的有88人，每人至少带一样，既带矿泉水又带水果的有多少人？ 2．四（1）班有35名同学，会剪纸的有15名，会篆刻的有18名，两种都不会的有5名。两种都会的有多少名同学？ 3．为了丰富同学们的课外知识，三（2）班组织学生订阅刊物，有两种刊物供选择，每人至少订一种。订《少年博览》的有32人，订《少儿百王》的有25人，两种刊物都订的有12人，三（2）班共有多少名同学？ 4．三年级共有100名同学参加了科技兴趣小组和体育兴趣小组，其中参加科技兴趣小组的有42人，参加体育兴趣小组的有68人，那么既参加科技兴趣小组又参加体育兴趣小组的有多少人？ 5．三（1）班的小朋友到游乐园游玩（每人至少坐一种），坐旋转木马的有32人，坐小火车的有28人，两样都坐的有15人。三（1）班去游乐园的一共有多少人？ 6．幸福社区举行端午节庆祝活动，参加包粽子大赛的有85人，参加划龙舟比赛的有60人。参加这两项活动的一共有135人。两项都参加的有多少人？ 7．学校科技节，三（1）班有18人的小制作获奖，有24人的科幻画获奖。这其中有7人这两项都获了奖。三（1）班在这次学校科技节小制作和科幻画获奖的一共是多少人？ 8．书法是中国传统文化的国粹之一，承载着中国人的智慧和情感。学校开展的书法比赛中，三年级硬笔书法有18人获奖，软笔书法有10获奖，两项都获奖的有5人，三年级书法获奖的一共有多少人？ 9．三（1）班有45人，其中19人喜欢吃苹果，16人喜欢吃橘子，8人既喜欢吃苹果又喜欢吃橘子。喜欢吃苹果和橘子的有多少人？这两种水果都不喜欢吃的有多少人？ 10．本次运动会涌现了很多闪闪发光的志愿者。经统计，某学校的志愿者中，有18人参与了纸桥承重项目，有15人参与了“鸡蛋”撞地球项目。两个项目都参加的有7人。 （1）完成图。 （2）该学校一共有多少名志愿者参与了本次科技运动会？ （3）你还能提出其他数学问题并解答吗？ 11．三（1）班有45人，期中考试语文得优的有33人，数学得优的有26人，所有人至少有一科得优，语文、数学都得优的有多少人？ 12．三（1）班的女生全部报名参加学校篮球和足球兴趣班，其中有20人报名篮球兴趣班，14人报名足球兴趣班，两种兴趣班都报名的有12人，三（1）班女生有多少人？ 13．三年级共有80名同学参加书法兴趣小组和美术兴趣小组，其中参加书法组的有52人，参加美术组的有48人．那么，既参加书法组又参加美术组的有多少人？ 14．同学们参加课外活动小组，参加文艺小组的有27人，参加科技小组的有25人，两项都参加的有8人。参加课外活动小组的同学共有多少人？ 15．学校艺术节比赛，三（1）班报名参加唱歌和跳舞比赛的情况如图，参加唱歌和跳舞比赛的一共有多少人？ 16．某艺术中心有62名学生，其中会弹钢琴的有11名，会吹长笛的有56名，两样都不会的有4名。两样都会的有多少名？ 17．某进修班有50人，开甲、乙、丙三门进修课。选修甲这门课的有38人，选修乙这门课的有35人，选修丙这门课的有31人，甲、乙课两门都选的有29人，甲、丙两门课都选的有28人，乙、丙两门课都选的26人，甲、乙、丙三门都选的有24人。问三门都没有选的人数有多少？ 18．周老师出了两道题给这个班45个学生思考，所有学生要么答对一题，要么答对两题。答对第一题的有25人，答对第二题的有30人，两道题都答对的有多少人？ 19．李老师给三（2）班出了两道数学题，批改后发现，全班每人至少做对一题，第1题做对的有26人，第2题做对的有24人，两道题都做对的有8人，三（2）班一共有多少人？ 20．学校为了丰富学生的校园生活，让学生的个性特长得到优质发展，本学期开设了多门选修课，五（3）班45名同学中，有26人选择了球类课程，有18人选择了舞蹈类课程，有10人这两类课程都选择了。 （1）至少选择其中一类课程的有多少人？ （2）这两类课程都没有选择的有多少人？ 21．某单位有职工138人，其中有的人买了《中国共产党章程》，有的人买了《中国共产党第二十次全国代表大会文件汇编》，每名职工至少买了其中的一种书，两种书都买的有多少人？ 22．三（3）班参加数学竞赛的有24人，参加语文竞赛的有26人。两项都参加的有9人，两项都没参加的还有3人，三（3）班一共有多少人？ 23．甲、乙、丙三所大学选派部分学生参加开幕式表演，已知甲、乙两校共有194人参加，甲、丙两校共有198人参加，乙、丙两校共有196人参加，甲、乙、丙三校各有多少人参加开幕式表演？ 24．四（1）班参加文艺小组的有16人，参加科技小组的有25人，两项都参加的有8人，这个班参加课外小组的学生一共有多少人？ 25．八一小学六（1）班有26人参加了美术小组，有29人参加了音乐小组，其中有13人两个小组都参加，还有8人什么组都没有参加。这个班共有学生多少人？ 26．三年级有108个小朋友去秋游，带矿泉水的有68人，带水果的有87人，每人至少带一种，三年级既带矿泉水又带水果的小朋友有多少人？ 27．胜利小学六年级有48名同学参加围棋和乒乓球两个社团，每人至少参加1个社团，其中的同学参加围棋社团，的同学参加乒乓球社团，两个社团都参加的同学有多少名？ 28．随着国家人口政策的调整，不少同学有了兄弟姐妹。某实验学校一（3）班有32名同学，其中14人有兄弟，13人有姐妹，8人是独生子女。该班中有兄弟又有姐妹的有几人？ 29．六一汇演时，在舞蹈和合唱两个项目中四一班共有35人参加。其中有7人只参加了舞蹈演出，有8人只参加了合唱演出。参加舞蹈演出的一共有多少人？ 30．四一班参加了合唱和舞蹈兴趣小组的有35人，其中有8人只参加了合唱小组，有17人既参加了合唱又参加了舞蹈小组，有多少人只参加了舞蹈小组？ 31．四年级有108名学生去春游，带水果的有77人，带矿泉水的有78人，每人至少带一样，既带水果又带矿泉水的有多少人？ 32．四年级（1）班有学生54人，他们要参加书法和音乐的培训（每人至少选择一种），其中参加书法培训的有39人，参加音乐的有37人，两项培训都参加的有多少人？ 33．假期同学们到历史博物馆和民俗馆参加研学活动，每人至少参加了一项活动，其中参加历史博物馆研学的有25人，参加民俗馆研学的有28人，两项都参加的有11人。全班共有多少人？ 34．某小学共有学生540人，在一次自愿参加的线上心理辅导讲座活动中，共有50人向辅导老师进行了提问。提问的人中，有36人用文字进行了提问，25人用语音进行了提问，那么，既用文字又用语音提问的有多少人？ 35．四（1）班有30人会下棋，会下象棋的有16人，会下围棋的有19人。 （1）请根据以上信息，把如图中各部分的人数填在括号里。 （2）两种棋都会下的有多少人？ 36．逸夫小学组织学生参加周末公益活动。有66人参加周六的活动，90人参加周日的活动，其中有35人这两天的活动都参加。至少参加一天活动的有多少人？ 37．《流浪地球》和《中国机长》是我国两部优秀的电影，四年级二班有43位同学，看了《流浪地球》的有31人，看了《中国机长》的有23人，两部电影都没看的有9人。两部电影都看了的有多少人？ 38．六年级参加学校组织的研学旅行。学校分时段提供了以传统文化和劳动教育为主题的两次研学旅行，六年级每个同学至少参加了一次。已知有的同学参加了传统文化，有45%的同学参加了劳动教育，有14个同学两次都参加了。六年级共有多少名同学？ 39．三（1）班有50人，每人至少参加一个小组，参加美术小组的有29人，参加书法小组的有27人，两个小组都参加的有多少人？ 40．三（1）班同学每人都至少订一种杂志，有32人订了《数学王国》，有26人订了《作文天地》，其中有12人两种杂志都订了，三（1）班一共有多少人？ 41．三（1）班37名同学到动物园参观，其中参观金丝猴馆的有25人，参观斑马馆的有17人，既参观金丝猴馆又参观斑马馆的有多少人？ 42．同学们到动物园去参观老虎馆和熊猫馆．参观老虎馆的有70人，参观熊猫馆的有65人，两个馆都参观的有45人．去动物园的一共有多少人？ 43．学校的社团活动，三一班每个人都参加了书法或绘画活动。参加书法的有25人，参加绘画的有30人，两种活动都参加的有16人，三一班有多少人？算一算，填一填。 44．三年级一班有12人参加了数学竞赛，有15人参加了语文竞赛，有4人两项竞赛都参加了，三年级一班参加数学和语文竞赛的有多人？ 45．在55名运动员中，参加短跑比赛的有36人，参加跳绳比赛的有38人。这两项比赛都参加的有多少人？ 46．三（1）班订《数学报》的人数有27人，订《语文报》的人数有32人，两份都订的有15人，全班每人至少订一种报纸。三（1）班共有多少人？ 47．三（1）班每人至少订一份报纸，订《数学报》的有36人，订《语文报》的有28人，两种都订的有12人，三（1）班一共有多少人？ 48．某校美术社团有35名同学会剪纸，有18名同学会篆刻，其中有9名同学两种都会，美术社团有多少名同学？（先画图分析，再列式解答） 49．丽丽会唱26首歌，平平会唱18首歌。她们都会唱的歌有15首，她们一共会唱多少首不同的歌？ 50．三（1）班有45人，其中25人喜欢看《熊出没》，35人喜欢看《西游记》，如果每人至少选一个，有多少人两个动画片都喜欢看？ 51．三（2）班有38人，林老师出了两道题，每个同学都至少做对了一题，只做对第一题的有15人，两题都做对的有18人。只做对第二题的有多少人？ 52．阳光小学文艺组每人至少会演奏手风琴和电子琴中的一种乐器，已知会拉手风琴的有24人，会弹电子琴的有17人，其中这两种乐器都会演奏的有8人。这个文艺组一共有多少人？ 53．某班在四年级、五年级和六年级时分别评选10名三好学生，又知四、五年级连续被评为三好学生的有4人，五、六年级连续被评为三好学生的有3人，四、六年级被评为三好学生的有5人，四、五、六年级都没被评过三好学生的有20人，问这个班最多有多少名同学，最少有多少名同学？ 54．五年级课后兴趣班有36人，其中喜欢踢足球的有19人，喜欢打篮球的有21人，既不喜欢踢足球又不喜欢打篮球的有4人，那么既喜欢踢足球又喜欢打篮球的有几人？ 55．三（1）班同学参加书画比赛，参加书法比赛的有28人，参加绘画比赛的有25人，两项都参加的有4人，参加书画比赛的有多少人？ 1．【答案】28人。 【分析】根据容斥原理公式：既A又B＝A+B﹣总人数解答即可。 【解答】解：68+88﹣128 ＝156﹣128 ＝28（人） 答：既带矿泉水又带水果的有28人。 【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题。 2．【答案】3名。 【分析】根据容斥原理公式“既A又B＝A+B﹣（总人数﹣既不是A又不是B）”解答即可。 【解答】解：18+15﹣（35﹣5） ＝33﹣30 ＝3（名） 答：两种都会的有3名同学。 【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题。 3．【答案】45名。 【分析】用订《少年博览》的人数加上订《少儿百王》的人数，然后再减去两种刊物都订的人数，即可求出三（2）班共有多少名同学。由此解答即可。 【解答】解：32+25﹣12 ＝57﹣12 ＝45（名） 答：三（2）班共有45名同学。 【点评】此题考查容斥原理的简单应用。 4．【答案】10人。 【分析】根据题意，将分别参加科技兴趣小组和体育兴趣小组的人数相加，再减三年级同学总人数，计算即可解答。 【解答】解：42+68﹣100 ＝110﹣100 ＝10（人） 答：既参加科技兴趣小组又参加体育兴趣小组的有10人。 【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题。 5．【答案】45人。 【分析】当两部分有重复时，从和中减去重复的部分，就是原来的总数。因此用坐旋转木马的人数加坐小火车的人数后，再减去两样都坐的人数即可，依此解答。 【解答】解：32+28﹣15 ＝60﹣15 ＝45（人） 答：三（1）班去游乐园的一共有45人。 【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题。 6．【答案】10人。 【分析】根据容斥原理公式：既A又B＝A+B﹣总人数解答即可。 【解答】解：60+85﹣135 ＝145﹣135 ＝10（人） 答：两项都参加的有10人。 【点评】本题是典型的容斥问题，解答规律是：既A又B＝A+B﹣总数量（两种情况）。 7．【答案】35人。 【分析】根据题干可得，三（1）班有18人的小制作获奖，有24人的科幻画获奖，一共有18+24＝42人，这42人中有7人这两项都获奖了，说明42人中有7人重复加了1次，由此从42人里面减去7人，就是获奖总人数。 【解答】解：18+24＝42（人） 42﹣7＝35（人） 答：三（1）班在这次学校科技节小制作和科幻画获奖的一共是35人。 【点评】本题考查的是容斥原理的应用。 8．【答案】23人。 【分析】用硬笔书法获奖的人数加上软笔书法获奖的人数，然后减去两项都获奖的人数，即可求出三年级书法获奖的一共有多少人。由此解答即可。 【解答】解：18+10﹣5 ＝28﹣5 ＝23（人） 答：三年级书法获奖的一共有23人。 【点评】此题考查容斥原理的简单应用。 9．【答案】27人，18人。 【分析】把喜欢苹果的和喜欢橘子的人数加起来：19+16＝35（人），因为8人既喜欢吃苹果又喜欢吃橘子，所以喜欢这两种水果（至少喜欢一种）的是35﹣8＝27（人），那么总人数减去这27人，剩下的就是两种水果都不喜欢的人数。 【解答】解：19+16﹣8 ＝35﹣8 ＝27（人） 45﹣27＝18（人） 答：喜欢吃苹果和橘子的有27人，两种水果都不喜欢吃的有18人。 【点评】本题考查合情推理，解题的关键是确定喜欢这两种水果的人数。 10．【答案】（1） （2）26人；（3）（答案不唯一，合理即可）只参加纸桥承重项目的志愿者有多少人？11人。 【分析】（1）根据题干把图补充完成； （2）根据“A类人数+B类人数﹣既A又B类人数＝参加人数”即可； （3）（答案不唯一，合理即可）只参加纸桥承重项目的志愿者有多少人？用参加纸桥承重项目的人生减去既参加纸桥承重又参加“鸡蛋”撞地球项目的人数即可。 【解答】解：（1）如下图所示： （2）18+15﹣7＝26（人） 答：该学校一共有26名志愿者参与了本次科技运动会。 （3）（答案不唯一，合理即可）只参加纸桥承重项目的志愿者有多少人？ 18﹣7＝11（人） 答：只参加纸桥承重项目的志愿者有11人。 【点评】本题考查了容斥原理的应用。 11．【答案】14人。 【分析】由题意可知，语文、数学都得优的人数＝语文得优的人数+数学得优的人数﹣总人数，据此求解即可。 【解答】解：33+26﹣45 ＝59﹣45 ＝14（人） 答：语文、数学都得优的有14人。 【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用。 12．【答案】22人。 【分析】根据“A类人数+B类人数﹣既A又B类人数＝该班人数”即可求解。 【解答】解：20+14﹣12 ＝34﹣12 ＝22（人） 答：三（1）班女生有22人。 【点评】本题考查了容斥原理的应用。 13．【答案】见试题解答内容 【分析】根据“参加书法组的有52人，参加美术组的有48人．”可得两者的总人数：52+48＝100人，这其中把两种兴趣小组都参加的人数多计算了一次，所以根据容斥原理可得两种兴趣小组都参加的人数是：100﹣80＝20（人），据此解答即可． 【解答】解：52+48﹣80 ＝100﹣80 ＝20（人） 答：既参加书法组又参加美术组的有20人． 【点评】本题是典型的容斥问题，解答规律是：既A又B＝A+B﹣总数量（两种情况）． 14．【答案】44人。 【分析】参加文艺小组的人数加上参加科技小组的人数，因为两项都参加的有8人，所以这里重复计算了8人，再减去8人，即可解答。 【解答】解：27+25﹣8 ＝52﹣8 ＝44（人） 答：参加课外活动小组的同学共有44人。 【点评】掌握容斥原理是解题的关键。 15．【答案】16人。 【分析】根据容斥原理，把图中把参加唱歌和跳舞比赛的人数相加，再减去两项都参加的人数就是总人数。 【解答】解：12+9﹣5 ＝21﹣5 ＝16（人） 答：参加唱歌和跳舞比赛的一共有16人。 【点评】本题是典型的容斥问题，解答规律是：既A又B＝A+B﹣总数量（两种情况）。 16．【答案】9名。 【分析】用会弹钢琴的人数加会吹长笛的人数加两样都不会的人数，再减总人数即可求解。 【解答】解：11+56+4﹣62 ＝67+4﹣62 ＝71﹣62 ＝9（名） 答：两样都会的有9名。 【点评】本题主要考查了容斥原理的灵活运用。 17．【答案】5人。 【分析】此题应用容斥原理解决，选甲乙而不选丙的有：a＝29﹣24＝5（人），选甲丙而不选乙的有：b＝28﹣24＝4（人），选乙丙而不选甲的有：c＝26﹣24＝2（人），仅选乙的有：d＝35﹣24﹣a﹣c＝4（人），仅选丙的有：e＝31﹣24﹣b﹣c＝1（人），选一科的是：甲+d+c+e＝45（人），三门均没选的人数是（50﹣45）人。 【解答】解：根据题意分析，利用容斥原理可得： 选甲乙而不选丙的有：a＝29﹣24＝5（人） 选甲丙而不选乙的有：b＝28﹣24＝4（人） 选乙丙而不选甲的有：c＝26﹣24＝2（人） 仅选乙的有：d＝35﹣24﹣a﹣c＝4（人） 仅选丙的有：e＝31﹣24﹣b﹣c＝1（人） 选一科的是：甲+d+c+e＝45（人） 三门都没选的人数是：50﹣45＝5（人） 答：三门都没有选的人数有5人。 【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用。 18．【答案】10人。 【分析】答对第一题的25人加上答对第二题的30人，这里两道题都答对的重复计算了一次，所以再减去班级的45人，即可求出两道题都答对的人数。 【解答】解：25+30﹣45 ＝55﹣45 ＝10（人） 答：两道题都答对的有10人。 【点评】掌握容斥原理是解题的关键。 19．【答案】42人。 【分析】用第1题做对的加上第2题做对的减去两道题都做对的即是本班人数。 【解答】解：26+24﹣8 ＝50﹣8 ＝42（人） 答：三（2）班一共有42人。 【点评】本题考查了容斥原理的知识。 20．【答案】（1）34人； （2）11人。 【分析】（1）至少选择其中一类课程的人数＝选择球类课程的人数+选择舞蹈类课程的人数﹣两类课程都选择的人数； （2）两类课程都没有选择的人数＝班级总人数﹣至少选择其中一类课程的人数，据此解答。 【解答】解： （1）26+18﹣10 ＝44﹣10 ＝34（人） 答：至少选择其中一类课程的有34人。 （2）45﹣34＝11（人） 答：这两类课程都没有选择的有11人。 【点评】本题主要考查集合问题，分析清楚每个集合中包含与排除的关系是解答题目的关键。 21．【答案】69人。 【分析】把职工买的书的本数看作单位“1”，用买了《中国共产党章程》占职工人数的分率加上买了《中国共产党第二十次全国代表大会文件汇编》占职工人数的分率减去单位“1”即是两本都买的占职工人数的分率，用总人数乘此分率即是两种书都买的人数。 【解答】解：138×（1） ＝138 ＝69（人） 答：两种书都买的有69人。 【点评】本题考查了容斥原理的应用。 22．【答案】44人。 【分析】根据容斥原理公式：总人数＝（A+B）﹣既A又B求出参加竞赛的人数，再进一步解答即可。 【解答】解：24+26﹣9 ＝50﹣9 ＝41（人） 41+3＝44（人） 答：三（3）班一共有44人。 【点评】本题是典型的容斥问题，解答规律是：既A又B＝A+B﹣总数量（两种情况）。 23．【答案】98人、96人、100人。 【分析】将已知两校的人数相加，再除以2，即可求出甲、乙、丙三校的总人数，再减去甲、乙两校的人数，即可求出丙校的人数，用乙、丙两校的人数减去丙校的人数，即可求出乙校的人数，用甲、丙两校的人数减去丙校的人数，即可求出甲校的人数。 【解答】解：（194+198+196）÷2 ＝588÷2 ＝294（人） 294﹣194＝100（人） 196﹣100＝96（人） 198﹣100＝98（人） 答：甲校有98人、乙校有96人、丙校有100人参加开幕式表演。 【点评】本题考查容斥原理的计算及应用。理解题意，找出数量关系，列式计算即可。 24．【答案】33人。 【分析】根据题意可知，参加文艺小组的人数+参加科技小组的人数﹣两项都参加的人数＝参加课外小组的总人数，依此列式并计算即可。 【解答】解：16+25﹣8 ＝41﹣8 ＝33（人） 答：这个班参加课外小组的学生一共有33人。 【点评】当两部分有重复时，从和中减去重复的部分，就是原来的总数。 25．【答案】50人。 【分析】根据“A类人数+B类人数﹣既A又B类人数+既不A又不B类人数＝该班人数”即可求解。 【解答】解：26+29﹣13+8 ＝55﹣13+8 ＝42+8 ＝50（人） 答：这个班共有学生50人。 【点评】本题考查了容斥原理的应用。 26．【答案】47人。 【分析】根据题意可知，带矿泉水的人数+带水果的人数﹣去秋游的总人数＝既带矿泉水又带水果的人数，依此列式并计算即可。 【解答】解：68+87﹣108 ＝155﹣108 ＝47（人） 答：三年级既带矿泉水又带水果的小朋友有47人。 【点评】本题是典型的容斥问题，解答规律是：既A又B＝A+B﹣总数量（两种情况）。 27．【答案】20名。 【分析】根据求一个数的几分之几是多少的计算方法，求出参加围棋社团的人数和参加乒乓球社团的人数，再用参加围棋社团的人数加参加乒乓球社团的人数，再减去48人，即可求出两个社团都参加的人数。 【解答】解：484848 ＝36+32﹣48 ＝68﹣48 ＝20（名） 答：两个社团都参加的同学有20名。 【点评】本题是典型的容斥问题，解答规律是：既A又B＝A+B﹣总数量（两种情况）。 28．【答案】3人。 【分析】有兄弟人数加有姐妹人数，再加独生子女人数，然后减去一（3）班人数，即等于既有兄弟又有姐妹的人数。 【解答】解：14+13+8﹣32 ＝35﹣32 ＝3（人） 答：该班中有兄弟又有姐妹的有3人。 【点评】熟练掌握集合问题解题方法是解答本题的关键。 29．【答案】27人。 【分析】根据题意，用参加两项演出的人数减去只参加合唱演出的人数，计算参加舞蹈演出人数即可。 【解答】解：35﹣8＝27（人） 答：参加舞蹈演出27人。 【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用。 30．【答案】10人。 【分析】先用35减去17求出只参加一种的人数，然后再减去只参加合唱小组的人数，就是只参加舞蹈小组的人数。 【解答】解：35﹣17﹣8 ＝18﹣8 ＝10（人） 答：有10人只参加了舞蹈小组。 【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题。 31．【答案】47人。 【分析】根据容斥原理公式：既A又B＝（A+B）﹣总人数解答即可。 【解答】解：77+78﹣108 ＝155﹣108 ＝47（人） 答：既带水果又带矿泉水的有47人。 【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题。 32．【答案】22人。 【分析】根据题意，可将参加书法培训的人数加上参加音乐培训的人数，再减去全班人数，即可求出两项都参加的人数。 【解答】解：39+37﹣54 ＝76﹣54 ＝22（人） 答：两项培训都参加的有22人。 【点评】容斥原理两量重叠问题的方法是：A类与B类元素个数的总和＝A类元素的个数+B类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数。 33．【答案】42人。 【分析】用参加历史博物馆研学的人数加上参加民俗馆研学的人数，再减去两项都参加的人数，即可求出全班共有多少人。 【解答】解：25+28﹣11 ＝53﹣11 ＝42（人） 答：全班共有42人。 【点评】本题考查容斥原理的计算及应用。理解题意，找出数量关系，列式计算即可。 34．【答案】11人。 【分析】根据“提问的人中，有36人用文字进行了提问，25人用语音进行了提问”，可得两者的总人数：36+25＝61（人），再减去总人数50就是重复计算的人数，也就是既用文字又用语音提问的人数。 【解答】解：36+25﹣50 ＝61﹣50 ＝11（人） 答：既用文字又用语音提问的有11人。 【点评】本题是典型的容斥原理问题，关键是熟练掌握容斥原理的解题规律：既A又B＝（A+B）﹣总人数。 35．【答案】（1）；（2）5人。 【分析】根据容斥原理公式：既A又B＝（A+B）﹣总人数，求出两种棋都会下的有多少人，然后填写上边的图即可。 【解答】解：（1）如图所示： （2）16+19﹣30 ＝35﹣30 ＝5（人） 答：两种棋都会下的有5人。 【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题。 36．【答案】121人。 【分析】根据容斥原理公式：总人数＝（A+B）﹣既A又B解答即可。 【解答】解：66+90﹣35 ＝156﹣35 ＝121（人） 答：至少参加一天活动的有121人。 【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题。 37．【答案】20人。 【分析】根据容斥原理公式：既A又B＝（A+B）﹣总人数解答即可。 【解答】解：31+23﹣（43﹣9） ＝54﹣34 ＝20（人） 答：两部电影都看了的有20人。 【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题。 38．【答案】120名 【分析】把总人数看作单位“1”，那么两次都参加的占总人数的（45%﹣1），它对应的具体数量是14人，然后用除法解答即可。 【解答】解：14÷（45%﹣1） ＝14 ＝120（名） 答：六年级共有120名同学。 【点评】解答本题关键是求出两次都参加的占总人数的的几分之几。 39．【答案】6人。 【分析】用参加美术小组的人数加上参加书法小组的人数，求出两者的总人数，这里面把两个小组都参加的人数多算了一次，所以再减去50，即可求出两个小组都参加的人数。 【解答】解：29+27﹣50 ＝56﹣50 ＝6（人） 答：两个小组都参加的有6人。 【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题。 40．【答案】46人。 【分析】订了《数学王国》的人数+订了《作文天地》的人数﹣两种杂志都订的人数＝总人数。 【解答】解：（32+26）﹣12 ＝58﹣12 ＝46（人） 答：三（1）班一共有46人。 【点评】此题主要考查了容斥原理的应用，要熟练掌握。 41．【答案】5人。 【分析】根据容斥原理公式：既A又B＝（A+B）﹣总人数解答即可。 【解答】解：25+17﹣37 ＝42﹣37 ＝5（人） 答：既参观金丝猴馆又参观斑马馆的有5人。 【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题。 42．【答案】见试题解答内容 【分析】根据题意，利用容斥问题原理，有关系式：参观老虎馆的人数+参观熊猫馆的人数﹣两个馆都参加人数＝去参观的总人数．把数代入计算即可． 【解答】解：70+65﹣45 ＝135﹣45 ＝90（人） 答：去动物园的一共有90人． 【点评】此题考查了利用容斥问题原理解决实际问题的灵活应用．知识点是：既A又B＝（A+B）﹣总人数． 43．【答案】；39人。 【分析】先用25减去16求出只参加书法的人数，同理求出只参加绘画的人数，然后填图，再把三部分的人数相加即可。 【解答】解：25﹣16＝9（人） 30﹣16＝14（人） 9+14+16＝39（人） 答：三一班有39人。 【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题。 44．【答案】23人。 【分析】根据容斥原理公式：总人数＝A+B﹣既A又B解答即可。 【解答】解：12+15﹣4 ＝27﹣4 ＝23（人） 答：三年级一班参加数学和语文竞赛的有23人。 【点评】本题考查了容斥原理，知识点是容斥原理一：总人数＝A+B﹣既A又B。 45．【答案】19人。 【分析】参加短跑比赛的人数+参加跳绳比赛的人数﹣总人数＝这两项比赛都参加的人数，据此计算即可。 【解答】解：36+38﹣55 ＝74﹣55 ＝19（人） 答：这两项比赛都参加的有19人。 【点评】此题主要考查了容斥原理的应用，要熟练掌握。 46．【答案】44人。 【分析】订《数学报》的人数+订《语文报》的人数﹣两份都订的人数＝总人数，据此计算即可。 【解答】解：27+32﹣15 ＝59﹣15 ＝44（人） 答：三（1）班共有44人。 【点评】此题主要考查了容斥原理的应用，要熟练掌握。 47．【答案】52人。 【分析】订《数学报》的人数+订《语文报》的人数﹣两种都订的人数＝总人数。 【解答】解：36+28﹣12 ＝64﹣12 ＝52（人） 答：三（1）班一共有52人。 【点评】此题主要考查了容斥原理的应用，要熟练掌握。 48．【答案】 44名。 【分析】先用18加上35求出会篆刻与会剪纸的人数和，再减去两种都会的9名（即重复计算的人数），就是美术社团一共的人数。 【解答】解： 18+35﹣9 ＝53﹣9 ＝44（名） 答：美术社团有44名同学。 【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可以借助图形解决问题。 49．【答案】29首。 【分析】丽丽会唱的数量+平平会唱的数量﹣她们都会唱的数量＝她们一共会唱的总数量。 【解答】解：26+18﹣15 ＝44﹣15 ＝29（首） 答：她们一共会唱29首不同的歌。 【点评】此题主要考查了容斥原理的应用，要熟练掌握。 50．【答案】15。 【分析】用喜欢看《熊出没》的人数加上喜欢看《西游记》的人数，再减去三（1）班总人数，就可得两个动画片都喜欢看的人数。 【解答】解：25+35﹣45 ＝60﹣45 ＝15（人） 答：有15人两个动画片都喜欢看。 【点评】明确数量间包含与被包含的关系是解决本题的关键。 51．【答案】5人。 【分析】总人数﹣只做对第一题的人数﹣两题都做对的人数＝只做对第二题的人数。 【解答】解：38﹣15﹣18＝5（人） 答：只做对第二题的有5人。 【点评】此题主要考查了容斥原理的应用，要熟练掌握。 52．【答案】33人。 【分析】根据容斥原理公式：总人数＝（A+B）﹣既A又B解答即可。 【解答】解：24+17﹣8 ＝41﹣8 ＝33（人） 答：这个文艺组一共有33人。 【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题。 53．【答案】41，38。 【分析】用评过三好学生的人数加上没评过三好学生的人数就等于本班的学生数。评过的学生分为只在四年级、五年级、六年级评过的，四、五年级连续的、五、六年级连续的，四、六年级连续的，四、五、六连续的这7种情况。当，四、五、六连续的是0时最多，是3时最少。 【解答】解：如图： 1+4+5+2+3+3+3+20 ＝21+20 ＝41（人） 1+4+5+2+3+3+20 ＝18+20 ＝38（人） 答：这个班最多有41名同学，最少有38名同学。 【点评】明确数量之间的包含关系是解决本题的关键。 54．【答案】8人。 【分析】既喜欢踢足球又喜欢打篮球的人数＝喜欢踢足球的人数+喜欢打篮球的人数﹣总人数+既不喜欢踢足球又不喜欢打篮球的人数。据此计算即可。 【解答】解：19+21﹣36+4 ＝40﹣36+4 ＝8（人） 答：既喜欢踢足球又喜欢打篮球的有8人。 【点评】此题主要考查了容斥原理的应用，要熟练掌握。 55．【答案】49人。 【分析】根据容斥原理，参加书法比赛的+参加绘画比赛的﹣两项都参加的＝参加书画比赛的人数。据此计算即可。 【解答】解：28+25﹣4 ＝53﹣4 ＝49（人） 答：参加书画比赛的有49人。 【点评】此题主要考查了二集合容斥原理，要熟练掌握。 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$