第六章 平面向量（测）-【中职专用】2025年春季高考数学一轮复习讲练测（山东专用）

第六章 平面向量（测） 一、选择题（本大题共20小题，每题3分，共60分.在每小题所列的四个选项中，只有一项符号题目要求.） 1．下列叙述中正确的个数是 ①若，则； ②若，则与的方向相同或相反； ③若，，则； ④对任一向量，是一个单位向量 A．0 B．1 C．2 D．3 2．已知，向量的夹角为，则（    ） A． B．1 C．2 D． 3．已知向量，满足，，且，则（    ） A． B．2 C． D． 4．若向量共线，则（    ） A．-3 B．3 C．-1 D．1 5．已知向量，，若，则m= A． B． C．3 D．-3 6．已知是的边上的中线，若，则（    ） A． B． C． D． 7．已知向量，若，则（ ） A． B． C． D． 8．已知向量，，且，则（    ） A．15 B． C．16 D．225 9．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 10．已知向量，若，则实数的值为（    ） A． B．-2 C．-1 D．8 11．若向量，，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 12．已知向量，且，则实数的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 13．已知在四边形ABCD中，则四边形ABCD一定是（　　） A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 14．已知向量、满足， 与的夹角为，则（　　） A． B． C． D．、 15．如图，在中，已知，则（    ） A． B． C． D． 16．已知，，，（    ） A． B． C． D．3 17．平面向量满足，且，则（    ） A． B．13 C． D．21 18．已知向量，，，满足与互为相反向量，，，，则（    ） A．2 B．7 C． D． 19．设非零向量，满足，，，则（    ） A． B． C． D． 20．在边长为2的等边三角形中，为边上的动点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共5小题，每题4分，共20分） 21．下列结论正确的是 . ①单位向量的方向相同或相反； ②对任一向量，总是成立的； ③； ④与的长度不相等. 22．已知，，三点共线，则 . 23．向量，，若，则 . 24．已知，，则的最小值为 ． 25．已知向量，满足，，，则 ． 3、 解答题（本大题共5小题，每题8分，共40分） 26．已知，，当为何值时与垂直？ 27．等腰梯形中，已知且，)，求点D的坐标. 28．已知为坐标原点，在中，向量，，且，，．求、、三点的坐标，并判断、、三点是否共线． 29．已知向量． (1)当时，求向量与的夹角的余弦值； (2)当时，求． 30．已知平面向量，满足，，． （1）求； （2）若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围． 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第六章 平面向量（测） 一、选择题（本大题共20小题，每题3分，共60分.在每小题所列的四个选项中，只有一项符号题目要求.） 1．下列叙述中正确的个数是 ①若，则； ②若，则与的方向相同或相反； ③若，，则； ④对任一向量，是一个单位向量 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】利用向量概念判断①；共线向量判断②③，零向量判断④ 【详解】向量不能比较大小，①错误；由于零向量与任一向量共线，且零向量的方向是任意的，故②错误；对于③，若为零向量，与可能不是共线向量，故③错误；对于④，当时，无意义，故④错误.故选：A 2．已知，向量的夹角为，则（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】C 【分析】根据向量的数量积的运算律结合已知条件求解即可 【详解】因为，向量的夹角为， 所以 ， 故选：C 3．已知向量，满足，，且，则（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以，则， 所以，故． 故选：B 4．若向量共线，则（    ） A．-3 B．3 C．-1 D．1 【答案】A 【分析】由向量共线列方程求解即可. 【详解】若向量共线，则当且仅当，解得. 故选：A. 5．已知向量，，若，则m= A． B． C．3 D．-3 【答案】C 【分析】根据即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出的值． 【详解】解：，，故选C． 6．已知是的边上的中线，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的线性运算法则，得到，即可求解. 【详解】因为是的边上的中线，且， 可得. 故选：D. 7．已知向量，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据向量垂直的坐标运算求出x，再根据向量的加法法则求解即可. 【详解】，， ，. 故选：B. 8．已知向量，，且，则（    ） A．15 B． C．16 D．225 【答案】A 【分析】由，得，求出的值，从而可求出的坐标，进而可求得其模 【详解】因为，所以，解得， 所以， 则. 故选：A 9．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据数量积求出，再根据向量夹角的坐标公式求解即可. 【详解】因为，，，即，解得，所以， 所以． 故选：C． 10．已知向量，若，则实数的值为（    ） A． B．-2 C．-1 D．8 【答案】A 【分析】根据题意，结合向量的共线的坐标表示，列出方程，即可求解. 【详解】由向量，因为，可得，解得. 故选：A. 11．若向量，，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】根据向量的坐标运算及命题的充分必要性分别判断. 【详解】当时，，又， ∴，，则， ∴是的充分条件， 当时，， 由，解得或， 所以不是的必要条件， 所以是的充分不必要条件， 故选：A. 12．已知向量，且，则实数的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】先求出，根据平行得到方程，求出答案. 【详解】， 由可得，解得. 故选：D 13．已知在四边形ABCD中，则四边形ABCD一定是（　　） A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 【答案】A 【分析】根据平面向量减法法则判断即可. 【详解】由，可得， 所以四边形一定是平行四边形. 故选：A 14．已知向量、满足， 与的夹角为，则（　　） A． B． C． D．、 【答案】C 【分析】直接对化简，然后利用数量积的定义和运算律求解即可 【详解】因为， 与的夹角为， 所以 ， 故选：C 15．如图，在中，已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量的线性运算即可得出答案. 【详解】解：因为， 所以，故选：C. 16．已知，，，（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】根据向量数量积的运算律得，展开代入数据即可. 【详解】， 故选：A. 17．平面向量满足，且，则（    ） A． B．13 C． D．21 【答案】A 【分析】由得到，由向量数量积运算法则求出，从而求出. 【详解】由得：，所以，其中，故. 故选：A 18．已知向量，，，满足与互为相反向量，，，，则（    ） A．2 B．7 C． D． 【答案】D 【分析】根据已知，在向量等式的两边，同时平方，同时点乘向量，都将向量问题数量化，构造方程组可解. 【详解】与互为相反向量， ， 得两边平方得，， 即，① 又由，在两边同时点乘向量， 得，即，② 联立①②，解得. 故选：D. 19．设非零向量，满足，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，将条件，代入，可解出. 【详解】，. ， 故选：A. 20．在边长为2的等边三角形中，为边上的动点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立平面直角坐标系，利用平面向量的坐标运算求解. 【详解】如图，以的中点为坐标原点，建立平面直角坐标系， 设， 则， 可得， 则， 当时，则的最小值是. 故选：D. 二、填空题（本大题共5小题，每题4分，共20分） 21．下列结论正确的是 . ①单位向量的方向相同或相反； ②对任一向量，总是成立的； ③； ④与的长度不相等. 【答案】③ 【分析】根据单位向量的定义可判断①，根据向量及模的概念可判断②，根据相反向量的概念可判断③④. 【详解】①中，单位向量的长度为 ，方向任意，故①错； ②中，零向量的模为零，故②错； ③中，与方向相反，但大小相等，故③正确； ④中，与的长度相等，故④错。 故答案为：③. 22．已知，，三点共线，则 . 【答案】 【分析】由三点共线可得，由向量平行的坐标表示可构造方程求得结果. 【详解】由题意得：，， 三点共线，，，解得：. 故答案为：. 23．向量，，若，则 . 【答案】6 【分析】由已知，可得，根据向量的坐标运算求解即可. 【详解】由已知，所以， 可得，解得. 故答案为：6. 24．已知，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据模长坐标公式可求得模长，再根据二次函数的性质即可求得最小值. 【详解】 因为对称轴， 所以当时，有最小值，即. 故答案为： 25．已知向量，满足，，，则 ． 【答案】3 【分析】求出，即得解. 【详解】解：∵，∴，∴ 所以. 故答案为：3 3、 解答题（本大题共5小题，每题8分，共40分） 26．已知，，当为何值时与垂直？ 【答案】 【分析】首先求出与的坐标，再根据及数量积的坐标表示得到方程，解得即可. 【详解】解：因为，，所以，， 因为与垂直，所以， 解得. 27．等腰梯形中，已知且，)，求点D的坐标. 【答案】 【分析】令，由题设得，且，利用向量共线的坐标表示，列方程组求，即可得D的坐标. 【详解】令，由题设知，，又， ∴，即，则，得， ∴D的坐标. 28．已知为坐标原点，在中，向量，，且，，．求、、三点的坐标，并判断、、三点是否共线． 【答案】，，，、、三点共线 【分析】根据平面向量线性运算的坐标运算表示出，，，即可求出、、三点的坐标，再求出，，即可判断三点共线. 【详解】因为，，则，所以； 又，，则，所以； 又，所以； 因为，， 所以，即，又直线与直线有公共点， 所以、、三点共线. 29．已知向量． (1)当时，求向量与的夹角的余弦值； (2)当时，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据夹角公式计算出正确答案. （2）利用向量垂直的坐标表示列方程，化简求得，进而求得. 【详解】（1）当时，， . （2）， 由于，所以， 解得，即. 30．已知平面向量，满足，，． （1）求； （2）若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2）且． 【分析】（1）由数量积的运算律求得，然后利用模的平方转化为数量积运算求得模； （2）由数量积小于0且排除两向量反向的情形后可得． 【详解】解：（1）∵，又，，∴． 则，即． （2）∵向量与的夹角为钝角，∴，即， 当向量与反向时，，综上所述，的取值范围为且． 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$